1、黑龙江省双鸭山一中 2015 届高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数、圆锥曲线、程序框图、充分、必要条件、集合、复数、参数方程极坐标、绝对值不等式等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷
2、.第卷（选择题 共 60 分）【题文】一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分.）【题文】1. 若 ，则 =（ ）032|,1|2 xBxABAA. B. C. D. 31【知识点】集合的运算 A1【答案】【解析】D 解析：因为 A=1，1，B=-1，3，所以 =1，则选 D.BA【思路点拨】在集合运算中，能对集合化简的应先化简，再进行运算.【题文】2. 已知复数 ，则( )2ziA. B. 的实部为 1 C. 的虚部为-1 D. 的共轭复数为 1+i 2zzz【知识点】复数的代数运算 L4【答案】【解析】C 解析：因为 ，所以其虚部为1，则选 C.zii【思路点拨】可先利用复数的除法运算求
3、出所给的复数，再进行判断.【题文】3设条件 p： ；条件 q： ，那么 p 是 q 的 （ ）0a02aA必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】B 解析：若 a0，则 成立，所以充分性满足，若 ，还可能 a1，所以必要性不满02a 02a足，则选 B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】4、已知 ABC中， 2,3AC，且 B的面积为 32，则 BAC( )A 150 B 2 C 60或 1 D 0或 15 【知识点】三角
4、形面积公式 C8【答案】【解析】D 解析：由 ,得 ，所以BAC=30或 150，则选 D.33sin22ABCSAsin2BAC【思路点拨】直接利用三角形面积公式求出所求角的正弦，再确定角即可.【题文】5. 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于( )nanS538,6aS9aA.12 B. 8 C.16 D.24 【知识点】等差数列 D2【答案】【解析】C解析：因为 ，所以公差为 ，则 ，所以选 C.326,Sa8259216a【思路点拨】可利用等差数列的性质先求出等差数列的公差，再利用通项公式求第 9 项即可.【题文】6. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
5、( )A12 B11 C10 D9【知识点】三视图 G2【答案】【解析】A 解析：由三视图可知该几何体上面为一个球，下面是一个圆柱，所以其表面积为，则选 A.2241132【思路点拨】由三视图求几何体的表面积与体积，可先分析几何体的特征再进行求值.【题文】7. 已知 ,mn是两条不同直线， ,是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A 若 则 B ,若 则 C ,若 则 D mnn若 则 【知识点】平行关系 垂直关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 选项，若 m,n,m,n 还可能相交和异面，所以错误；B 选项，两面 ， 还可能相交，所以错误；C 选项，两面还可能相交，所以错误；D 选
6、项由线面垂直的性质可知正确，综上选 D.【思路点拨】判断平行与垂直关系，能直接利用定理推导的可直接推导，不能推导的可考虑用反例法排除.【题文】8如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )A. B. C. D. 34 23 12 45【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】A 解析：第一次执行循环体得 i=2,m=1,n= ,第二次执行循环体得 i=3,m=2,n= ,第三次执行循环121263体得 i=4,m=3,n= ,此时 i4，则跳出循环体，所以输出的 n 的值为 ,则选 A.2134 34【思路点拨】遇到循环结构程序框图时，可依次执行循环体，直到跳出循环，再进行判断.【题文】
7、9. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）yx,142yxyxz3A. B. C. D. 6,231,6,2,6【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】A 解析：由约束条件 在直角坐标系中画出目标函数的可行域，如图所包围的阴影部分（包括边142yx界）：因为 ，所以 z ，故选 A.36,1,2zABzC6,23【思路点拨】抓住目标函数取得最值的点一定存在于顶点处，可分别求出目标函数在各顶点对应的函数值，即可得其范围.【题文】10.已知函数 ，则 = ( )2,01xfxf2014fA. B. C.2015 D. 201440312409【知识点】分段函数 B1【答案】
8、【解析】A 解析：因为 ，所以选 A .40312014312013021420152ffffff【思路点拨】可利用函数所给的递推关系逐步转化到 x=1 时的函数值，再代入求值即可.【题文】11.已知双曲线 ，过其右焦点 作圆 的两条切线，切点记作 ， ,2()9xybF29xyCD双曲线的右顶点为 , ，其双曲线的离心率为( )E015CDA. B. C. D. 2393233【知识点】双曲线 H6【答案】【解析】D 解析：因为 ，所以COE=30,则 ，所以选 D015CED123cos0a.【思路点拨】抓住离心率为 ，结合图中 OC=a,OF=c，再由直角三角形边角关系求比值.ca【题文
9、】12已知函数 是定义在 上的增函数，函数 的图像关于点 对称，)(xfyR)1(xfy)0,1(若任意的 、 ，不等式 恒成立，则当 时， 的xR0)8()21622 f 32yx取值范围是( ).A13,49.B(13,4).C9,4.D3,49【知识点】函数的单调性 奇函数 圆的方程 B3 B4 H3【答案】【解析】D 解析：因为函数 的图像关于点 对称，所以函数 f(x)图象关于原点对称，则 f(x)为奇函)1(xfy)0,1(数，由不等式 得 ，因为函数8(2622 yf22618fxfy是定义在 上的增函数，所以 ，即 ，)(xfyR68xy343xx为半圆上的点到原点的距离的平方
10、，因为圆心到原点的距离为 5，所以半圆上的点到原点的距离2的最大值为 7，半圆下方顶点坐标为(3,2)，到原点距离为 ，所以 (13,49,则选 D.132yx【思路点拨】利用函数的单调性与奇函数的性质，先对不等式进行转化，再利用其几何意义求范围.第卷（非选择题 共 90 分）【题文】二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）【题文】13.已知向量 ，向量 ，则 在 方向上的投影为_ _。a(2,1),3(bab【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】2 解析：因为 ，所以 在 方向上的投影为 .10,5abab1025b【思路点拨】理解向量的投影的概念是本题的关键
11、.【题文】14第十二届全运会于 2013 年 8 月 31 日在沈阳举行，运动会期间从来自 A 大学的 2 名志愿者和来自 B 大学的 4 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务，至少有一名 A 大学志愿者的概率是_【知识点】概率 K2【答案】【解析】 35解析：设“至少有一名 A 大学志愿者”为 M，从 6 名志愿者抽 2 人有 ，事件 M 包含有2615C个基本事件，所以 .24159C9315P【思路点拨】本题为古典概型的概率求法，结合古典概型概率计算公式求值即可.【题文】15.已知向量 ，若函数 在区间 上是增函数，则实数sin,axbtxfxab0,2的取值范围是 t【知识点】
12、向量的数量积 导数的应用 F3 B12【答案】【解析】t1 解析：因为 ，若函数 在区间 上是增函数，则sin,cos1fxtxftxfxab0,2tcosx+10,因为 0cosx1,得 t+10,t1.【思路点拨】由函数单调递增可转化为导数在所给区间上大于等于 0 恒成立，再结合一次函数的特征列条件求解.【题文】16.下列五个命题：若一个圆锥的底面半径缩小到原来的 ，其体积缩小到原来的 ；2141若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；直线 与圆 相切；“ ”是“ ”的充分不必要条件.01yx212yxba0balg其中真命题的序号是：_ _【知识点】命题 充分、必要条件 A2【答案
13、】【解析】 解析：设圆锥底面半径为 r，高为 h，则 ，圆锥的底面半径缩小到原来的 ，则体积为213Vrh21，所以正确；令两组数分别为 2,3,4 与 1，3,14，显然中位数相等，但平2211343rVh均数不相等，所以错误；因为圆心到直线的距离为 ，等于圆的半径，所以直线与圆相切，则12命题正确；当 ba0 时 成立，但 不成立，所以充分性不满足，则命题错误，综上ba10balg可知真命题的序号是.【思路点拨】判断命题的真假，能直接推导的可直接推导，不能直接推导的可用反例法判断.【题文】三、解答题【题文】17（本题满分 12 分）在 设内角 A,B,C 的对边分别为 ，向量 ,向量ABC
14、中 ，V,abccos,inAm，若2sin,co2mn（1）求内角 A 的大小；（2）若 且 求 的面积4,ba,cBCV【知识点】解三角形 C8【答案】【解析】(1) ；(2) 164解析：(1)因为向量 ,向量 ，由 得cos,inmA2sin,coA2mn,得 ，2132si2csicosics4si4mn A si04A又 ,所以 ；44A0,4A(2)因为 ，所以 ,得 C=90，所以三角形 ABC 为等腰直角三角形，得2casin2si1C.116ABCS【思路点拨】先求向量的模并化简，即可求出角 A，再利用正弦定理求出角 C，发现三角形的特殊性，再求其面积即可【题文】18.（本
15、小题满分 12 分）有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6(2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率【知
16、识点】分层抽样 概率 I1 K2【答案】【解析】(1)略；(2) 29解析：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记从 A 组抽到的 3 位评委分别为 a1，a 2，a 3，其中 a1，a 2支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6 位评委分别为 b1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中 b1，b 2支持 1 号歌手，从a 1，a 2，a 3和b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6中各抽取 1 人的所有结果如图：由树状图知所有结果共 18 种，其中
17、2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1，a 1b2，a 2b1，a 2b2共 4 种，故所求概率 P .418 29.【思路点拨】分层抽样就是按各层所占的比例进行抽样，求概率时，可利用列举法得到所有结果及所求事件包含的结果，再利用公式计算即可.【题文】19（本题满分 12 分）如图，DC平面 ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q 分别为 AE，AB 的中点(1)证明：PQ平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值【知识点】线面平行的判定定理 线面所成角 G4 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 55解析：(1)证明：因为 P，Q 分别为 AE，AB
18、 的中点，所以 PQEB.又 DCEB，因此 PQDC，又 PQ平面 ACD，从而 PQ平面 ACD.(2)如图，连接 CQ，DP，因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC，所以 CQAB.因为 DC平面 ABC，EBDC，所以 EB平面 ABC，因此 CQEB.故 CQ平面 ABE.由(1)有 PQDC，又 PQ EBDC，12所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ.因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 RtDPA 中，AD ，DP1，sinDAP ，555因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 .55【思路点拨】证明线面平行一般结合线面平行
19、的判定定理转化为线线平行进行证明，求线面所成角，可先利用定义作出线面所成角再进行计算.【题文】20、（本小题满分 12 分）已知椭圆 C: 的离心率为 ，以原点 O 为圆心，)0(12bayx21椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切06yx（）求椭圆 C 的标准方程（）若直线 L： 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且mky 2akOBA求证： 的面积为定值 AOB【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8【答案】【解析】（） ；（）略 2314xy解析：（）由题意得， ， ，又 ，|06|32b12ca22bc联立解得 ， 椭圆的方程为 42yx.24,3a（）设 )(1,yxA， )(
20、2,B则 A,B 的坐标满足 mkxy132消去 y 化简得， 0148432mkx2218km， 13， 得 0342k212)()( xx= 22 )443kk。，321xy，即 212143xyOABK2443kmkm即 k222121 )43(8)()() kmxx = )43(82k243)(k。O 到直线 xy的距离 21kd1ABdSAOB2m21= 2243)1(k= 2243k= 为定值.【思路点拨】一般遇到直线与椭圆位置关系问题，通常把所要解决的问题转化为交点坐标的关系，再联立方程，利用韦达定理进行转化求解.【题文】21（本小题满分 12 分）已知函数 .()lnfx（1）
21、求 的单调区间和最小值；（2）若对任意 恒成立，求实数 m 的最大值23(0,)(xmxf【知识点】导数的应用 B12【答案】【解析】(1) 在 上递增，在 上递减，最小值为 ；(2)4 1,e10,e1fe解析：（1) lnfx， ，ln1fx有 ， 函数 在 上递增； 有 ， 函数0fx1e,e0fx1xe在 上递减； 在 处取得最小值，最小值为 ；,fx 1e(2) ，即 ，又 23fxm2ln3xx，令 lnh2222l xhx x 令 ，解得 或 （舍）013当 时， ，函数 在 上递减,10hh0,1当 时， ，函数 在 上递增xxxh(x)的最小值=h(1)=4，得 m4,即 的
22、最大值 4.m【思路点拨】结合导数的符号判断单调性，结合函数的单调性判断函数的最值，遇到不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.【题文】22（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合直线 的参数方程为：xl（ 为参数），曲线 的极坐标方程为： tyx213tCcos4（1）写出曲线 的直角坐标方程，并指明 是什么曲线；（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值lQP,【知识点】参数方程 极坐标 N3【答案】【解析】(1) ，是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆；(2) 24xy解析：(1)由 得 ，得 ，即 ，所以曲线 C 是以cos4cos24xy24xy(2,0)为圆心，2 为半径的圆.（2）把 代入 ，整理得 ， tyx213xy420532tt设其两根分别为 则 ，,1t 5,32121tt所以 .72tPQ【思路点拨】一般遇到直线上的点与直线经过的定点之间的距离关系问题时，可考虑利用直线参数方程中的参数的几何意义进行解答.【题文】23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲
