（新课标）2017版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 文（课件+习题）（打包4套）选修4-4.zip

- 1 -题组层级快练(六十二)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线{x′ ＝ 5x，y′ ＝ 3y)x′ 2＋y′ 2＝1，则曲线 C 的方程为( )A．25x 2＋9y 2＝1 B．9x 2＋25y 2＝1C．25x＋9y＝1 D． ＋ ＝1x225 y29答案 A2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( )A．(x＋ )2＋y 2＝ B．x 2＋(y＋ )2＝12 14 12 14C．x 2＋(y－ )2＝ D．(x－ )2＋y 2＝12 14 12 14答案 D解析 由 ρ＝cosθ，得 ρ 2＝ρcosθ，∴x 2＋y 2＝x.选 D.3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ ，3)，则它的柱坐标为( )3A．(2， ，3) B．(2， ，3)π 3 2π3C．(2， ，3) D．(2， ，3)4π3 5π3答案 C4．极坐标方程 ρcosθ＝2sin2θ 表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆答案 C5．(2016·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( )A．ρ＝1 B．θ＝π 2C．ρsinθ＝1 D．ρ(sinθ＋cosθ)＝1答案 A解析 ρ＝1 化为直角坐标方程为 x2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为 1 的圆，故 A 正确；θ＝ 化为直角坐标方程为 x＝0(y≥0)，表示射线，故 B 不正确；ρsinθ＝1 化为直角坐π 2标方程为 y＝1，表示直线，故 C 不正确；ρ(sinθ＋cosθ)＝1 化为直角坐标方程为x＋y＝1，表示直线，故 D 不正确．- 2 -6．在极坐标系中，过点(2， )且与极轴平行的直线方程是( )π 2A．ρ＝0 B．θ＝π 2C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2答案 D解析 极坐标为(2， )的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为π 2y＝2，其极坐标方程为 ρsinθ＝2，故选 D.7．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( )A．(1， ) B．(1，－ )π 2 π 2C．(1，0) D．(1，π)答案 B解析 由 ρ＝－2sinθ 得 ρ 2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y 2＝－2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1) 2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－ )．π 28．在极坐标系中，点(2，－ )到圆 ρ＝－2cosθ 的圆心的距离为( )π 3A．2 B.4＋ π 29C. D.9＋ π 29 7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－ )的直角坐标为(1，－ )，圆 ρ＝－2cosθ 的直角坐π 3 3标方程为 x2＋y 2＝－2x，即(x＋1) 2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝ .故选 D.（ 1＋ 1） 2＋ （ － 3－ 0） 2 79．(2016·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线 ρ( cosθ－sinθ)＝2 与圆 ρ＝4sinθ3的交点的极坐标为( )A．(2， ) B．(2， )π 6 π 3C．(4， ) D．(4， )π 6 π 3答案 A解析 ρ( cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 x－y＝2，即 y＝ x－2.3 3 3- 3 -ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y 2＝4y，把 y＝ x－2 代入 x2＋y 2＝4y，得 4x2－8 x＋12＝0，即3 3x2－2 x＋3＝0，所以 x＝ ，y＝1.3 3所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为(2， )，故选 A.3π 610．在极坐标系中，与圆 ρ＝4sinθ 相切的一条直线的方程是( )A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程 ρ＝4sinθ 即 ρ 2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y 2－4y＝0.选项 A，直线 ρsinθ＝2 的直角坐标方程为 y＝2，代入圆的方程，得 x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项 B，直线 ρcosθ＝2 的直角坐标方程为 x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA 为直径，|OA|＝4，直线 l 和圆相切，l 交极轴于点 B(2，0)，点 P(ρ，θ)为 l 上任意一点，则有 cosθ＝ ＝ ，得 ρcosθ＝2.|OB||OP| 2ρ11．(2015·湖南)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ，则曲线 C 的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－2y＝0解析 两边同乘以 ρ，得 ρ 2＝2ρsinθ，即 x2＋y 2＝2y，故曲线 C 的直角坐标方程为x2＋y 2－2y＝0.12．(2015·北京)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的距离为π 3 3________．答案 1解析 点(2， )的直角坐标为(1， )，直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的直角坐标方程为π 3 3 3x＋ y－6＝0，所以点(1， )到直线的距离 d＝ ＝1.3 3|1＋ 3×3－ 6|1＋ 3- 4 -13．在极坐标系中，设曲线 C1：ρ＝2sinθ 与 C2：ρ＝2cosθ 的交点分别为 A，B，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．答案 ρsinθ＋ρcosθ＝1(或 ρsin(θ＋ )＝ )π 4 22解析 曲线 C1：ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y 2－2y＝0，曲线 C2：ρ＝2cosθ 的直角坐标方程为 x2＋y 2－2x＝0，所以 AB 的方程为－x＋y＝0.又易知 AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆 C1的圆心(0，1)，所以 AB 的垂直平分线的方程为 x＋y－1＝0，化为极坐标方程为 ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成 ρsin(θ＋ )＝ .π 4 2214．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为( ， )，半径 r＝ ，点 P 的极坐标为(2，π)，过 P 作直线 l 交圆 C2π 4 2于 A，B 两点．(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x－1) 2＋(y－1) 2＝2 (2)8解析 (1)圆 C 的圆心的极坐标 C( ， )，2π 4∴x＝ cos ＝1，y＝ sin ＝1，2π 4 2 π 4∴圆 C 的直角坐标方程为(x－1) 2＋(y－1) 2＝2.(2)点 P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为 P(－2，0)．当直线 l 与圆 C 相切于点 D 时，则|PD|2＝|PC| 2－r 2＝(－2－1) 2＋(0－1) 2－( )2＝8.2∴|PA|·|PB|＝|PD| 2＝8.15．(2016·河北唐山三模)在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 ρsinθ＝2，M 是 C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2的极坐标方程；(2)求曲线 C2上的点到直线 C3：ρcos(θ＋ )＝ 距离的最大值．π 4 2答案 (1)ρ＝2sinθ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设 P(ρ，θ)，M(ρ 1，θ)，依题意有ρ 1sinθ＝2，ρρ 1＝4.消去 ρ 1，得曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ(ρ≠0)．- 5 -(2)将 C2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x 2＋(y－1) 2＝1，C 3：x－y＝2.C2是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d＝ ，故曲线 C2上的点322到直线 C3距离的最大值为 1＋ .32216．(2014·辽宁)将圆 x2＋y 2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1) (t 为参数 ){x＝ cost，y＝ 2sint， )(2)ρ＝34sinθ － 2cosθ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点(x，y)，依题意，得 {x＝ x1，y＝ 2y1， )由 x ＋y ＝1 得 x2＋( )2＝1，即曲线 C 的方程为 x2＋ ＝1.21 21y2 y24故 C 的参数方程为 (t 为参数){x＝ cost，y＝ 2sint， )(2)由 解得 或{x2＋ y24＝ 1，2x＋ y－ 2＝ 0， ) {x＝ 1，y＝ 0， ) {x＝ 0，y＝ 2.)不妨设 P1(1，0)，P 2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为( ，1)，所求直线斜率为 k＝ ，于是12 12所求直线方程为 y－1＝ (x－ )，化为极坐标方程，并整理得12 122ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即 ρ＝ .34sinθ － 2cosθ1．(2016·广东肇庆一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2(ρ0，0≤θ2π)，曲线 C 在点(2， )处的切线为 l，以极点为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则 lπ 4的直角坐标方程为________．答案 x＋y－2 ＝02- 6 -解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2， )π 4⇒( ， )．因为点( ， )在圆 x2＋y 2＝4 上，故圆在点( ， )处的切线方程为 x＋2 2 2 2 2 2 2y＝4⇒x＋y－2 ＝0，故填 x＋y－2 ＝0.2 2 22．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρcosθ＝5，则点(4， )到直线 l 的距离为________．π 3答案 3解析 在直角坐标系中，直线 l 的方程为 x＝5.在直角坐标系中，x＝4cos ＝2，y＝4sin ＝2 ，故点(4， )的直角坐标为(2，2 )，π 3 π 3 3 π 3 3到直线 x＝5 的距离为 5－2＝3.3．在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋ )＝2 被圆 ρ＝2 截得的弦长为________．π 4答案 4 3解析 直线 ρsin(θ＋ )＝2 的直角坐标方程为 x＋y－2 ＝0，圆 ρ＝4 的直角坐标方程π 4 2为 x2＋y 2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是 4，圆心到直线的距离 d＝ ＝2，所以直|－ 22|12＋ 12线 ρsin(θ＋ )＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长是 2 ＝4 .π 4 42－ 22 34．在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2 与曲线 C2：ρ＝4sinθ( θπ)交点的极坐标是π 2________．答案 (2， )5π6解析 由题意分析可得，曲线 C1是圆心为(0，0)，半径为 2 的圆，曲线 C1的方程为x2＋y 2＝4.对 ρ＝4sinθ 变形得 ρ 2＝4ρsinθ，所以曲线 C2的方程为 x2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得 或 又∵ θπ，∴交点为 (－ ，1)，转化为极坐标{x＝ 3，y＝ 1， ) {x＝ － 3，y＝ 1. ) π 2 3ρ＝2，tanθ＝ ，由题意 θ＝ ，所以交点的极坐标为(2， )．1－ 3 5π6 5π65．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρsin(θ－ )＝1 的距离是________．π 6 π 6答案 1解析 ρsin(θ－ )＝ρ(sinθcos －sin cosθ)＝1，π 6 π 6 π 6因为在极坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线可化为 x－ y＋2＝0.3- 7 -同理点(2， )可化为( ，1)，π 6 3所以点到直线距离 d＝ ＝1.|3－ 3＋ 2|3＋ 16．(2016·唐山模拟)已知圆 C：x 2＋y 2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR| 2，当点 P在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．答案 (1)C：ρ＝2 l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2 (2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)解析 (1)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为(ρ 1，θ)，(ρ，θ)，(ρ 2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR| 2得 ρρ 1＝ρ .2又 ρ 2＝2，ρ 1＝ ，2cosθ ＋ sinθ所以 ＝4，2ρcosθ ＋ sinθ故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．7．已知极坐标方程 C1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－ )＝6.π 3(1)化 C1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求 C1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2： x－y＋12＝0 (2)163解析 (1)由 C1：ρ＝10，得 ρ 2＝100.∴x 2＋y 2＝100.所以 C1为圆心在(0，0)，半径等于 10 的圆．由 C2：ρsin(θ－ )＝6，得 ρ( sinθ－ cosθ)＝6.π 3 12 32∴y－ x＝12，即 x－y＋12＝0.3 3所以 C2表示直线．(2)由于圆心(0，0)到直线 x－y＋12＝0 的距离为 d＝ ＝610，3|12|（ 3） 2＋ （ － 1） 2所以直线 C2被圆截得的弦长等于 2 ＝16.102－ 628．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos(θ－ )＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．π 3- 8 -(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．答案 (1)x＋ y－2＝0，M(2，0)，N( ， )3233 π 2(2)θ＝ ，ρ∈Rπ 6解析 (1)由 ρcos(θ－ )＝1，得π 3ρ( cosθ＋ sinθ)＝1.12 32从而 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1，12 32即 x＋ y＝2.3当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2，0)；当 θ＝ 时，ρ＝ ，所以 N( ， )．π 2 233 233 π 2(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0， )．所以 P 点的直角坐标为(1， )，233 33则 P 点的极坐标为( ， )．233 π 6所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ ，ρ∈(－∞，＋∞)．π 6- 1 -题组层级快练(六十三)1．若直线的参数方程为 (t 为参数)，则直线的斜率为( ){x＝ 1＋ 2t，y＝ 2－ 3t)A. B．－23 23C. D．－32 32答案 D2．直线 (t 为参数)的倾斜角为( ){x＝ 1＋ tsin70°，y＝ 2＋ tcos70°)A．70° B．20°C．160° D．110°答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式：(t 为参数 )，则倾斜角为 20°，故选 B.{x＝ 1＋ tcos20°，y＝ 2＋ tsin20°)3．下列参数方程与方程 y2＝x 表示同一曲线的是( )A. (t 为参数 ) B. (t 为参数){x＝ t，y＝ t2) {x＝ sin2t，y＝ sint )C. (t 为参数) D. (t 为参数){x＝ t，y＝ |t|) {x＝ 1－ cos2t1＋ cos2t，y＝ tant )答案 D解析 考查四个选项：对于 A，消去 t 后所得方程为 x2＝y，不符合 y2＝x；对于 B，消去 t 后所得方程为 y2＝x，但要求 0≤x≤1，也不符合 y2＝x；对于 C，消去 t 得方程为 y2＝|x|，且要求 y≥0，x∈R，也不符合 y2＝x；对于 D，x＝ ＝ ＝tan 2t＝y 2即符合 y2＝x.1－ cos2t1＋ cos2t 2sin2t2cos2t因此 D 是正确的，故选 D.4．与参数方程为 (t 为参数)等价的普通方程为( ){x＝ t，y＝ 21－ t)A．x 2＋ ＝1 B．x 2＋ ＝1(0≤x≤1)y24 y24C．x 2＋ ＝1(0≤y≤2) D．x 2＋ ＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)y24 y24答案 D解析 x 2＝t， ＝1－t＝1－x 2，x 2＋ ＝1，而 t≥0，0≤1－t≤1，得 0≤y≤2.y24 y24- 2 -5．参数方程 (θ 为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( {x＝ － 3＋ 2cosθ ，y＝ 4＋ 2sinθ ))A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析 参数方程 (θ 为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3) 2＋(y－4){x＝ － 3＋ 2cosθ ，y＝ 4＋ 2sinθ )2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为 2 的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1.6．参数方程 (θ 为参数)和极坐标方程 ρ＝－6cosθ 所表示的图形分别是( {x＝ 2cosθ ，y＝ sinθ ))A．圆和直线 B．直线和直线C．椭圆和直线 D．椭圆和圆答案 D解析 参数方程 (θ 为参数)的普通方程为 ＋y 2＝1，表示椭圆．极坐标方程{x＝ 2cosθ ，y＝ sinθ ) x24ρ＝－6cosθ 的直角坐标方程为(x＋3) 2＋y 2＝9，表示圆．7．已知直线 l： (t 为参数)，圆 C：ρ＝2cosθ，则圆心 C 到直线 l 的距离是( {x＝ t，y＝ t＋ 1))A．2 B. 3C. D．12答案 C解析 直线 l： (t 为参数)的普通方程为 x－y＋1＝0，圆 C：ρ＝2cosθ 的直角坐{x＝ t，y＝ t＋ 1)标方程为 x2＋y 2－2x＝0，即(x－1) 2＋y 2＝1，则圆心 C(1，0)到直线 l 的距离d＝ ＝ .|1－ 0＋ 1|2 28．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，圆 C 的{x＝ t＋ 1，y＝ t－ 3)极坐标方程是 ρ＝4cosθ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )A. B．214 14C. D．22 2答案 D- 3 -解析 由题意得直线 l 的方程为 x－y－4＝0，圆 C 的方程为(x－2) 2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离 d＝ ，故弦长＝2 ＝2 .2 r2－ d2 29．(2016·皖南八校联考)若直线 l： (t 为参数)与曲线 C： (θ{x＝ 2t，y＝ 1－ 4t) {x＝ 5cosθ ，y＝ m＋ 5sinθ )为参数)相切，则实数 m 为( )A．－4 或 6 B．－6 或 4C．－1 或 9 D．－9 或 1答案 A解析 由 (t 为参数 )，得直线 l：2x＋y－1＝0，由 (θ 为参数)，{x＝ 2t，y＝ 1－ 4t) {x＝ 5cosθ ，y＝ m＋ 5sinθ )得曲线 C：x 2＋(y－m) 2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝ ，解得 m＝－4 或 m＝6.|m－ 1|22＋ 1 510．(2016·北京朝阳二模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数){x＝ t，y＝ 4＋ t)．以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4 ·sin(θ＋ )，则直线 l 和曲线 C 的公共点有( )2π 4A．0 个 B．1 个C．2 个 D．无数个答案 B解析 直线 l： (t 为参数)化为普通方程得 x－y＋4＝0；{x＝ t，y＝ 4＋ t)曲线 C：ρ＝4 sin(θ＋ )化成普通方程得(x－2) 2＋(y－2) 2＝8，2π 4∴圆心 C(2，2)到直线 l 的距离为 d＝ ＝2 ＝r.|2－ 2＋ 4|2 2∴直线 l 与圆 C 只有一个公共点，故选 B.11．(2015·湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝________．{x＝ t－ 1t，y＝ t＋ 1t)答案 2 5- 4 -解析 因为 ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以 ρsinθ＝3ρcosθ，所以 y－3x＝0，即 y＝3x.由 消去 t 得 y2－ x2＝4.由 解得 或 不妨令{x＝ t－ 1t，y＝ t＋ 1t， ) { y＝ 3x，y2－ x2＝ 4， ) {x＝ 22，y＝ 322， ) {x＝ － 22，y＝ － 322， )A( ， )，B(－ ，－ )，由两点间的距离公式得22 322 22 322|AB|＝ ＝2 .（ 22＋ 22） 2＋ （ 322＋ 322） 2 512．已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为{x＝ 1＋ 2t，y＝ 2t )极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝ .sinθ1－ sin2θ(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程；(2)若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最小值，并求出此时点 P 的坐标．答案 (1) ρcos(θ＋ )＝1，y＝x 2 (2)2π 4 328解析 (1)由 得 x－y＝1，{x＝ 1＋ 2t，y＝ 2t )∴直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ－ρsinθ＝1，即 ρ(cosθcos －sinθsin )＝1，即 ρcos(θ＋ )＝1.2π 4 π 4 2 π 4∵ρ＝ ∴ρ＝ ，∴ρcos 2θ＝sinθ，∴(ρcosθ) 2＝ρsinθ，即曲线 C 的sinθ1－ sin2θ sinθcos2θ普通方程为 y＝x 2.(2)设 P(x0，y 0)，则 y0＝x ，20直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0.∴点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ＝ ＝ ，|x0－ y0－ 1|2 |－ （ x0－ 12） 2－ 34|2 （ x0－ 12） 2＋ 342∴当 x0＝ 时，d min＝ ，此时 P( ， )，12 328 12 14∴当点 P 为( ， )时，点 P 到直线 l 距离最小，最小值为 .12 14 32813．(2015·陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)．以{x＝ 3＋ 12t，y＝ 32t )原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝2 sinθ. 3- 5 -(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．答案 (1)x 2＋(y－ )2＝3 (2)(3，0)3解析 (1)由 ρ＝2 sinθ，得 ρ 2＝2 ρsinθ，从而有 x2＋y 2＝2 y，所以 x2＋(y－ )3 3 3 32＝3.(2)设 P(3＋ t， t)，又 C(0， )，则|PC|＝ ＝ ，故12 32 3 （ 3＋ 12t） 2＋ （ 32t－ 3） 2 t2＋ 12当 t＝0 时，|PC|取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．14．(2015·湖南)已知直线 l： (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半{x＝ 5＋ 32t，y＝ 3＋ 12t)轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值．3答案 (1)x 2＋y 2－2x＝0 (2)18解析 (1)ρ＝2cosθ 等价于 ρ 2＝2ρcosθ.①将 ρ 2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y 2－2x＝0.②(2)将 代入②，得 t2＋5 t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为 t1，t 2，则{x＝ 5＋ 32t，y＝ 3＋ 12t) 3由参数 t 的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t 1t2|＝18.15．(2016·衡水调研卷)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标{x＝ － 2＋ tcosα ，y＝ tsinα )原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.(1)求曲线 C 的参数方程；(2)当 α＝ 时，求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标．π 4答案 (1)C： (φ 为参数){x＝ － 1＋ 2cosφ ，y＝ 1＋ 2sinφ )(2)(2， )，(2，π)π 2解析 (1)由 ρ＝2sinθ－2cosθ，可得 ρ 2＝2ρsinθ－2ρcosθ.所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y 2＝2y－2x，标准方程为(x＋1) 2＋(y－1) 2＝2.曲线 C 的极坐标方程化为参数方程为 (φ 为参数)．{x＝ － 1＋ 2cosφ ，y＝ 1＋ 2sinφ )- 6 -(2)当 α＝ 时，直线 l 的方程为 化成普通方程为 y＝x＋2.π 4 {x＝ － 2＋ 22t，y＝ 22t， )由 解得 或{x2＋ y2＝ 2y－ 2x，y＝ x＋ 2， ) {x＝ 0，y＝ 2) {x＝ － 2，y＝ 0. )所以直线 l 与曲线 C 交点的极坐标分别为(2， )，(2，π)．π 21．(2016·天津一中月考)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： (t 为参数)与曲{x＝ t＋ 1，y＝ 1－ 2t)线 C2： (θ 为参数， a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a＝________．{x＝ asinθ ，y＝ 3cosθ )答案 32解析 曲线 C1： 化为普通方程为 2x＋y－3＝0，令 y＝0，可得 x＝ .{x＝ t＋ 1，y＝ 1－ 2t) 32曲线 C2： (θ 为参数， a0)，化为普通方程为 ＋ ＝1，{x＝ asinθy＝ 3cosθ ) x2a2 y29∵两曲线有一个公共点在 x 轴上，∴ ＝1，∴a＝ .94a2 322．在直角坐标系中，已知直线 l： (s 为参数)与曲线 C： (t 为参数){x＝ 1＋ s，y＝ 2－ s) {x＝ t＋ 3，y＝ t2 )相交于 A，B 两点，则|AB|＝________．答案 2解析 曲线 C 可化为 y＝(x－3) 2，将 代入 y＝(x－3) 2，化简解得 s1＝1，s 2＝2，{x＝ 1＋ s，y＝ 2－ s)所以|AB|＝ |s1－s 2|＝ .12＋ 12 23．设 P，Q 分别为直线 (t 为参数)和曲线 C：ρ＝ cos(θ＋ )上的点，则{x＝ 1＋ 45t，y＝ 1＋ 35t) 2 π 4|PQ|的最小值为________．答案 9－ 5210解析 由直线 (t 为参数)，消去参数可得 3x－4y＋1＝0.由曲线 C：ρ＝ cos{x＝ 1＋ 45t，y＝ 1＋ 35t) 2- 7 -(θ＋ )，可得(x－ )2＋(y＋ )2＝ ，所以|PQ|的最小值为 －π 4 12 12 12 |3×12－ 4×（ － 12） ＋ 1|5＝ .22 9－ 52104．已知在直角坐标系中曲线 C1的参数方程为 (t 为参数且 t≠0)，在以原点 O 为{x＝ t＋ 1t，y＝ t2＋ 1t2)极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C2的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，则曲π 4线 C1与 C2交点的直角坐标为________．答案 (2，2)解析 由曲线 C1的参数方程 (t 为参数且 t≠0)，消去参数 t 得到曲线 C1的普通{x＝ t＋ 1t，y＝ t2＋ 1t2)方程为 y＝x 2－2(x≤－2 或 x≥2)．曲线 C2的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y＝x.π 4由方程组 解得 x＝y＝2(x＝y＝－1 舍去)，{y＝ x，y＝ x2－ 2， )故曲线 C1与 C2交点的直角坐标为(2，2)．5．以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 A 的极坐标为(2 ， )，曲线 C 的参数方程为 (θ 为参2π 4 {x＝ 2＋ cosθ ，y＝ － 2＋ sinθ )数)，则曲线 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为________．答案 5解析 点 A 的直角坐标为(2，2)，曲线 C 是圆，圆心为(2，－2)，半径为 1，结合图像知，点 A 在圆外，∴点 B 与点 A 的距离的最大值为 ＋1＝5.（ 2－ 2） 2＋ （ 2＋ 2） 26．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，则圆 x2＋y 2－x＝0 的参数方程为________．答案 (θ 为参数 ){x＝ cos2θ ，y＝ sinθ cosθ )- 8 -解析 如图，圆的半径为 ，记圆心为 C( ，0)，连接 CP，则∠PCx＝2θ，故12 12xP＝ ＋ cos2θ＝cos 2θ，y P＝ sin2θ＝sinθcosθ(θ 为参数)．12 12 12故圆的参数方程为 (θ 为参数)．{x＝ cos2θ ，y＝ sinθ cosθ )7．已知曲线 C1： (α 为参数)，C 2： (θ 为参数)．{x＝ － 4＋ cosα ，y＝ 3＋ sinα ) {x＝ 8cosθ ，y＝ 3sinθ )(1)分别求出曲线 C1，C 2的普通方程；(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 α＝ ，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：π 2(t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标．{x＝ 3＋ 2t，y＝ － 2＋ t)答案 (1)C 1：(x＋4) 2＋(y－3) 2＝1 C 2： ＋ ＝1 (2) ，( ，－ )x264 y29 855 325 95解析 (1)由曲线 C1： (α 为参数)，得(x＋4) 2＋(y－3) 2＝1，它表示一个{x＝ － 4＋ cosα ，y＝ 3＋ sinα )以(－4，3)为圆心，以 1 为半径的圆；由 C2： (θ 为参数)，得 ＋ ＝1，它{x＝ 8cosθ ，y＝ 3sinθ ) x264 y29表示一个中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆．(2)当 α＝ 时，P 点的坐标为(－4，4)，设 Q 点坐标为(8cosθ，3sinθ)，PQ 的中点π 2M(－2＋4cosθ，2＋ sinθ)．32∵C 3： ∴C 3的普通方程为 x－2y－7＝0，{x＝ 3＋ 2t，y＝ － 2＋ t， )∴d＝|－ 2＋ 4cosθ － 4－ 3sinθ － 7|5＝ ＝ ，|4cosθ － 3sinθ － 13|5 |5sin（ θ ＋ φ ） － 13|5∴当 sinθ＝－ ，cosθ＝ 时，d 的最小值为 ，35 45 855∴Q 点坐标为( ，－ )．325 95- 9 -8．已知曲线 C1的参数方程是 (θ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴{x＝ 2cosθ ，y＝ sinθ )为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 ρ＝2sinθ.(1)写出 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程；(2)已知点 M1，M 2的极坐标分别为(1， )和(2，0)，直线 M1M2与曲线 C2相交于 P，Q 两点，π 2射线 OP 与曲线 C1相交于点 A，射线 OQ 与曲线 C1相交于点 B，求 ＋ 的值．1|OA|2 1|OB|2解析 (1)曲线 C1的普通方程为 ＋y 2＝1，x24化成极坐标方程为 ＋ρ 2sin2θ＝1.ρ 2cos2θ4曲线 C2的直角坐标方程为 x2＋(y－1) 2＝1.(2)在直角坐标系下，M 1(0，1)，M 2(2，0)，线段 PQ 是圆 x2＋(y－1) 2＝1 的一条直径，∴∠POQ＝90°.由 OP⊥OQ，得 OA⊥OB，A，B 是椭圆 ＋y 2＝1 上的两点，在极坐标下，设 A(ρ 1，θ)，x24B(ρ 2，θ＋ )，分别代入得 ＋ρ sin2θ＝1， ＋ρ sin2(θ＋ )＝1，∴ ＝π 2 21 2 π 2＋sin 2θ， ＝ ＋cos 2θ，则 ＋ ＝ ，即 ＋ ＝ .cos2θ4 sin2θ4 54 1|OA|2 1|OB|2 549．平面直角坐标系中，已知曲线 C1：x 2＋y 2＝1，将曲线 C1上所有点横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 倍和 倍后，得到曲线 C2.2 3(1)试写出曲线 C2的参数方程；(2)在曲线 C2上求点 P，使得点 P 到直线 l：x＋y－4 ＝0 的距离最大，并求距离的最大5值．解析 (1)曲线 C1参数方程为 (θ 为参数)，由 得{x＝ cosθ ，y＝ sinθ ) {x′ ＝ 2x，y′ ＝ 3y， ){x′ ＝ 2cosθ ，y′ ＝ 3sinθ ， )∴曲线 C2的参数方程为 (θ 为参数)．{x＝ 2cosθ ，y＝ 3sinθ )(2)由(1)得点 P( cosθ， sinθ)，2 3则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，|2cosθ ＋ 3sinθ － 45|2 |5cos（ θ － φ ） － 45|2其中 tanφ＝ ，则 dmax＝ ＝ ，此时点 P 的坐标为(－ ，－ )．32 552 5102 255 355- 10 -10．(2016·郑州质检)已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)，在同一平面直{x＝ 6cosθ ，y＝ 4sinθ )角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换 得到曲线 C′.{x′ ＝ 13x，y′ ＝ 14y)(1)求曲线 C′的普通方程；(2)若点 A 在曲线 C′上，点 D(1，3)．当点 A 在曲线 C 上运动时，求 AD 中点 P 的轨迹方程．解析 (1)将 代入 得曲线 C′的参数方程为{x＝ 6cosθ ，y＝ 4sinθ ) {x′ ＝ 13x，y′ ＝ 14y) {x′ ＝ 2cosθ ，y′ ＝ sinθ .)∴曲线 C′的普通方程为 ＋y 2＝1.x24(2)设点 P(x，y)，A(x 0，y 0)，又 D(1，3)，且 AD 的中点为 P，∴ {x0＝ 2x－ 1，y0＝ 2y－ 3.)又点 A 在曲线 C′上，∴代入 C′的普通方程 ＋y 2＝1，得(2x－1) 2＋4(2y－3) 2＝4，x24∴动点 P 的轨迹方程为(2x－1) 2＋4(2y－3) 2＝4.