1、- 1 -题组层级快练(六十二)1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线x 5x，y 3y)x 2y 21，则曲线 C 的方程为( )A25x 29y 21 B9x 225y 21C25x9y1 D 1x225 y29答案 A2极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为( )A(x )2y 2 Bx 2(y )212 14 12 14Cx 2(y )2 D(x )2y 212 14 12 14答案 D解析 由 cos，得 2cos，x 2y 2x.选 D.3设点 M 的直角坐标为(1， ，3)，则它的柱坐标为( )3A(2， ，3) B(2， ，3) 3 23C(2， ，3)
2、 D(2， ，3)43 53答案 C4极坐标方程 cos2sin2 表示的曲线为( )A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆答案 C5(2016北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( )A1 B 2Csin1 D(sincos)1答案 A解析 1 化为直角坐标方程为 x2y 21，表示圆心在原点，半径为 1 的圆，故 A 正确； 化为直角坐标方程为 x0(y0)，表示射线，故 B 不正确；sin1 化为直角坐 2标方程为 y1，表示直线，故 C 不正确；(sincos)1 化为直角坐标方程为xy1，表示直线，故 D 不正确- 2 -6在极坐标系中，过点(2， )且与极
3、轴平行的直线方程是( ) 2A0 B 2Ccos2 Dsin2答案 D解析 极坐标为(2， )的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为 2y2，其极坐标方程为 sin2，故选 D.7在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A(1， ) B(1， ) 2 2C(1，0) D(1，)答案 B解析 由 2sin 得 22sin，化成直角坐标方程为 x2y 22y，化成标准方程为 x2(y1) 21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1， ) 28在极坐标系中，点(2， )到圆 2cos 的圆心的距离为( ) 3A2 B.4 29C. D.9 29 7答案 D解析
4、在直角坐标系中，点(2， )的直角坐标为(1， )，圆 2cos 的直角坐 3 3标方程为 x2y 22x，即(x1) 2y 21，圆心为(1，0)，所以所求距离为 .故选 D.（ 1 1） 2 （ 3 0） 2 79(2016皖北协作区联考)在极坐标系中，直线 ( cossin)2 与圆 4sin3的交点的极坐标为( )A(2， ) B(2， ) 6 3C(4， ) D(4， ) 6 3答案 A解析 ( cossin)2 可化为直角坐标方程 xy2，即 y x2.3 3 3- 3 -4sin 可化为 x2y 24y，把 y x2 代入 x2y 24y，得 4x28 x120，即3 3x22
5、x30，所以 x ，y1.3 3所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为(2， )，故选 A.3 610在极坐标系中，与圆 4sin 相切的一条直线的方程是( )Asin2 Bcos2Ccos4 Dcos4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程 4sin 即 24sin，所以直角坐标方程为x2y 24y0.选项 A，直线 sin2 的直角坐标方程为 y2，代入圆的方程，得 x24，x2，不符合题意；选项 B，直线 cos2 的直角坐标方程为 x2，代入圆的方程，得(y2)20，y2，符合题意同理，以后选项都不符合题意方法二：如图，C 的极坐标方程为 4sin，COOx，OA 为直径，|O
6、A|4，直线 l 和圆相切，l 交极轴于点 B(2，0)，点 P(，)为 l 上任意一点，则有 cos ，得 cos2.|OB|OP| 211(2015湖南)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为_答案 x 2y 22y0解析 两边同乘以 ，得 22sin，即 x2y 22y，故曲线 C 的直角坐标方程为x2y 22y0.12(2015北京)在极坐标系中，点(2， )到直线 (cos sin)6 的距离为 3 3_答案 1解析 点(2， )的直角坐标为(1， )，直线 (cos sin)6
7、 的直角坐标方程为 3 3 3x y60，所以点(1， )到直线的距离 d 1.3 3|1 33 6|1 3- 4 -13在极坐标系中，设曲线 C1：2sin 与 C2：2cos 的交点分别为 A，B，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为_答案 sincos1(或 sin( ) ) 4 22解析 曲线 C1：2sin 的直角坐标方程为 x2y 22y0，曲线 C2：2cos 的直角坐标方程为 x2y 22x0，所以 AB 的方程为xy0.又易知 AB 的垂直平分线斜率为1，经过圆 C1的圆心(0，1)，所以 AB 的垂直平分线的方程为 xy10，化为极坐标方程为 sincos1，或化成 si
8、n( ) . 4 2214在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为( ， )，半径 r ，点 P 的极坐标为(2，)，过 P 作直线 l 交圆 C2 4 2于 A，B 两点(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)求|PA|PB|的值答案 (1)(x1) 2(y1) 22 (2)8解析 (1)圆 C 的圆心的极坐标 C( ， )，2 4x cos 1，y sin 1，2 4 2 4圆 C 的直角坐标方程为(x1) 2(y1) 22.(2)点 P 的极坐标为(2，)，化为直角坐标为 P(2，0)当直线 l 与圆 C 相切于点 D 时
9、，则|PD|2|PC| 2r 2(21) 2(01) 2( )28.2|PA|PB|PD| 28.15(2016河北唐山三模)在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin2，M 是 C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|OM|4，记点 P 的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2的极坐标方程；(2)求曲线 C2上的点到直线 C3：cos( ) 距离的最大值 4 2答案 (1)2sin(0) (2)1322解析 (1)设 P(，)，M( 1，)，依题意有 1sin2， 14.消去 1，得曲线 C2的极坐标方程为2sin(0)- 5 -(2)将 C2，C 3的极坐标方程化为直
10、角坐标方程，得 C2：x 2(y1) 21，C 3：xy2.C2是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d ，故曲线 C2上的点322到直线 C3距离的最大值为 1 .32216(2014辽宁)将圆 x2y 21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程答案 (1) (t 为参数 )x cost，y 2sint， )(2)34sin 2cos解析 (
11、1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点(x，y)，依题意，得 x x1，y 2y1， )由 x y 1 得 x2( )21，即曲线 C 的方程为 x2 1.21 21y2 y24故 C 的参数方程为 (t 为参数)x cost，y 2sint， )(2)由 解得 或x2 y24 1，2x y 2 0， ) x 1，y 0， ) x 0，y 2.)不妨设 P1(1，0)，P 2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为( ，1)，所求直线斜率为 k ，于是12 12所求直线方程为 y1 (x )，化为极坐标方程，并整理得12 122cos4sin3，即 .34sin 2co
12、s1(2016广东肇庆一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 2(0，02)，曲线 C 在点(2， )处的切线为 l，以极点为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则 l 4的直角坐标方程为_答案 xy2 02- 6 -解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 2x 2y 24，点(2， ) 4( ， )因为点( ， )在圆 x2y 24 上，故圆在点( ， )处的切线方程为 x2 2 2 2 2 2 2y4xy2 0，故填 xy2 0.2 2 22在极坐标系中，直线 l 的方程为 cos5，则点(4， )到直线 l 的距离为_ 3答案 3解析 在直角坐标系中，直线 l 的方程
13、为 x5.在直角坐标系中，x4cos 2，y4sin 2 ，故点(4， )的直角坐标为(2，2 )， 3 3 3 3 3到直线 x5 的距离为 523.3在极坐标系中，直线 sin( )2 被圆 2 截得的弦长为_ 4答案 4 3解析 直线 sin( )2 的直角坐标方程为 xy2 0，圆 4 的直角坐标方程 4 2为 x2y 216.圆心的坐标是(0，0)，半径是 4，圆心到直线的距离 d 2，所以直| 22|12 12线 sin( )2 被圆 4 截得的弦长是 2 4 . 4 42 22 34在极坐标系中，曲线 C1：2 与曲线 C2：4sin( )交点的极坐标是 2_答案 (2， )56
14、解析 由题意分析可得，曲线 C1是圆心为(0，0)，半径为 2 的圆，曲线 C1的方程为x2y 24.对 4sin 变形得 24sin，所以曲线 C2的方程为 x2y 24y.联立两个方程，解得 或 又 ，交点为 ( ，1)，转化为极坐标x 3，y 1， ) x 3，y 1. ) 2 32，tan ，由题意 ，所以交点的极坐标为(2， )1 3 56 565(2014陕西)在极坐标系中，点(2， )到直线 sin( )1 的距离是_ 6 6答案 1解析 sin( )(sincos sin cos)1， 6 6 6因为在极坐标系中，cosx，siny，所以直线可化为 x y20.3- 7 -同理
15、点(2， )可化为( ，1)， 6 3所以点到直线距离 d 1.|3 3 2|3 16(2016唐山模拟)已知圆 C：x 2y 24，直线 l：xy2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|OP|OR| 2，当点 P在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程答案 (1)C：2 l：(cossin)2 (2)2(cossin)(0)解析 (1)将 xcos，ysin 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C：
16、2，l：(cossin)2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为( 1，)，(，)，( 2，)，则由|OQ|OP|OR| 2得 1 .2又 22， 1 ，2cos sin所以 4，2cos sin故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cossin)(0)7已知极坐标方程 C1：10，C 2：sin( )6. 3(1)化 C1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求 C1，C 2交点间的距离答案 (1)C 1：x 2y 2100，C 2： xy120 (2)163解析 (1)由 C1：10，得 2100.x 2y 2100.所以 C1为圆心在(0，0)，半径等于 10 的圆由
17、 C2：sin( )6，得 ( sin cos)6. 3 12 32y x12，即 xy120.3 3所以 C2表示直线(2)由于圆心(0，0)到直线 xy120 的距离为 d 610，3|12|（ 3） 2 （ 1） 2所以直线 C2被圆截得的弦长等于 2 16.102 628在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos( )1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 3- 8 -(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程答案 (1)x y20，M(2，0
18、)，N( ， )3233 2(2) ，R 6解析 (1)由 cos( )1，得 3( cos sin)1.12 32从而 C 的直角坐标方程为 x y1，12 32即 x y2.3当 0 时，2，所以 M(2，0)；当 时， ，所以 N( ， ) 2 233 233 2(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0， )所以 P 点的直角坐标为(1， )，233 33则 P 点的极坐标为( ， )233 6所以直线 OP 的极坐标方程为 ，(，) 6- 1 -题组层级快练(六十三)1若直线的参数方程为 (t 为参数)，则直线的斜率为( )x 1 2t，y 2 3t)A. B23 2
19、3C. D32 32答案 D2直线 (t 为参数)的倾斜角为( )x 1 tsin70，y 2 tcos70)A70 B20C160 D110答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式：(t 为参数 )，则倾斜角为 20，故选 B.x 1 tcos20，y 2 tsin20)3下列参数方程与方程 y2x 表示同一曲线的是( )A. (t 为参数 ) B. (t 为参数)x t，y t2) x sin2t，y sint )C. (t 为参数) D. (t 为参数)x t，y |t|) x 1 cos2t1 cos2t，y tant )答案 D解析 考查四个选项：对于 A，消去 t 后所得方程为 x
20、2y，不符合 y2x；对于 B，消去 t 后所得方程为 y2x，但要求 0x1，也不符合 y2x；对于 C，消去 t 得方程为 y2|x|，且要求 y0，xR，也不符合 y2x；对于 D，x tan 2ty 2即符合 y2x.1 cos2t1 cos2t 2sin2t2cos2t因此 D 是正确的，故选 D.4与参数方程为 (t 为参数)等价的普通方程为( )x t，y 21 t)Ax 2 1 Bx 2 1(0x1)y24 y24Cx 2 1(0y2) Dx 2 1(0x1，0y2)y24 y24答案 D解析 x 2t， 1t1x 2，x 2 1，而 t0，01t1，得 0y2.y24 y24
21、- 2 -5参数方程 ( 为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( x 3 2cos ，y 4 2sin )A1 B2C3 D4答案 A解析 参数方程 ( 为参数)表示的曲线的普通方程为(x3) 2(y4)x 3 2cos ，y 4 2sin )24，这是圆心为(3，4)，半径为 2 的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1.6参数方程 ( 为参数)和极坐标方程 6cos 所表示的图形分别是( x 2cos ，y sin )A圆和直线 B直线和直线C椭圆和直线 D椭圆和圆答案 D解析 参数方程 ( 为参数)的普通方程为 y 21，表示椭圆极坐标方程x 2cos ，y sin ) x246
22、cos 的直角坐标方程为(x3) 2y 29，表示圆7已知直线 l： (t 为参数)，圆 C：2cos，则圆心 C 到直线 l 的距离是( x t，y t 1)A2 B. 3C. D12答案 C解析 直线 l： (t 为参数)的普通方程为 xy10，圆 C：2cos 的直角坐x t，y t 1)标方程为 x2y 22x0，即(x1) 2y 21，则圆心 C(1，0)到直线 l 的距离d .|1 0 1|2 28(2014安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，圆 C 的x t 1，y t
23、3)极坐标方程是 4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )A. B214 14C. D22 2答案 D- 3 -解析 由题意得直线 l 的方程为 xy40，圆 C 的方程为(x2) 2y 24.则圆心到直线的距离 d ，故弦长2 2 .2 r2 d2 29(2016皖南八校联考)若直线 l： (t 为参数)与曲线 C： (x 2t，y 1 4t) x 5cos ，y m 5sin )为参数)相切，则实数 m 为( )A4 或 6 B6 或 4C1 或 9 D9 或 1答案 A解析 由 (t 为参数 )，得直线 l：2xy10，由 ( 为参数)，x 2t，y 1 4t) x 5cos
24、，y m 5sin )得曲线 C：x 2(ym) 25，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 m4 或 m6.|m 1|22 1 510(2016北京朝阳二模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x t，y 4 t)以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4 sin( )，则直线 l 和曲线 C 的公共点有( )2 4A0 个 B1 个C2 个 D无数个答案 B解析 直线 l： (t 为参数)化为普通方程得 xy40；x t，y 4 t)曲线 C：4 sin( )化成普通方程得(x2) 2(y2) 2
25、8，2 4圆心 C(2，2)到直线 l 的距离为 d 2 r.|2 2 4|2 2直线 l 与圆 C 只有一个公共点，故选 B.11(2015湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 (sin3cos)0，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|_x t 1t，y t 1t)答案 2 5- 4 -解析 因为 (sin3cos)0，所以 sin3cos，所以 y3x0，即 y3x.由 消去 t 得 y2 x24.由 解得 或 不妨令x t 1t，y t 1t， ) y 3x，y2 x2
26、4， ) x 22，y 322， ) x 22，y 322， )A( ， )，B( ， )，由两点间的距离公式得22 322 22 322|AB| 2 .（ 22 22） 2 （ 322 322） 2 512已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为x 1 2t，y 2t )极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 .sin1 sin2(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程；(2)若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最小值，并求出此时点 P 的坐标答案 (1) cos( )1，yx 2 (2)2 4 328解析 (1
27、)由 得 xy1，x 1 2t，y 2t )直线 l 的极坐标方程为 cossin1，即 (coscos sinsin )1，即 cos( )1.2 4 4 2 4 ，cos 2sin，(cos) 2sin，即曲线 C 的sin1 sin2 sincos2普通方程为 yx 2.(2)设 P(x0，y 0)，则 y0x ，20直线 l 的普通方程为 xy10.点 P 到直线 l 的距离 d ，|x0 y0 1|2 | （ x0 12） 2 34|2 （ x0 12） 2 342当 x0 时，d min ，此时 P( ， )，12 328 12 14当点 P 为( ， )时，点 P 到直线 l 距
28、离最小，最小值为 .12 14 32813(2015陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)以x 3 12t，y 32t )原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 sin. 3- 5 -(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标答案 (1)x 2(y )23 (2)(3，0)3解析 (1)由 2 sin，得 22 sin，从而有 x2y 22 y，所以 x2(y )3 3 3 323.(2)设 P(3 t， t)，又 C(0， )，则|PC| ，故12 32 3 （
29、 3 12t） 2 （ 32t 3） 2 t2 12当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)14(2015湖南)已知直线 l： (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半x 5 32t，y 3 12t)轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值3答案 (1)x 2y 22x0 (2)18解析 (1)2cos 等价于 22cos.将 2x 2y 2，cosx 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 2
30、2x0.(2)将 代入，得 t25 t180，设这个方程的两个实根分别为 t1，t 2，则x 5 32t，y 3 12t) 3由参数 t 的几何意义即知，|MA|MB|t 1t2|18.15(2016衡水调研卷)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标x 2 tcos ，y tsin )原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin2cos.(1)求曲线 C 的参数方程；(2)当 时，求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 4答案 (1)C： ( 为参数)x 1 2cos ，y 1 2sin )(2)(2， )，(2，) 2解析 (1)由 2sin2co
31、s，可得 22sin2cos.所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22y2x，标准方程为(x1) 2(y1) 22.曲线 C 的极坐标方程化为参数方程为 ( 为参数)x 1 2cos ，y 1 2sin )- 6 -(2)当 时，直线 l 的方程为 化成普通方程为 yx2. 4 x 2 22t，y 22t， )由 解得 或x2 y2 2y 2x，y x 2， ) x 0，y 2) x 2，y 0. )所以直线 l 与曲线 C 交点的极坐标分别为(2， )，(2，) 21(2016天津一中月考)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： (t 为参数)与曲x t 1，y 1 2t)线 C2：
32、 ( 为参数， a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_x asin ，y 3cos )答案 32解析 曲线 C1： 化为普通方程为 2xy30，令 y0，可得 x .x t 1，y 1 2t) 32曲线 C2： ( 为参数， a0)，化为普通方程为 1，x asiny 3cos ) x2a2 y29两曲线有一个公共点在 x 轴上， 1，a .94a2 322在直角坐标系中，已知直线 l： (s 为参数)与曲线 C： (t 为参数)x 1 s，y 2 s) x t 3，y t2 )相交于 A，B 两点，则|AB|_答案 2解析 曲线 C 可化为 y(x3) 2，将 代入 y(x3) 2，化简解
33、得 s11，s 22，x 1 s，y 2 s)所以|AB| |s1s 2| .12 12 23设 P，Q 分别为直线 (t 为参数)和曲线 C： cos( )上的点，则x 1 45t，y 1 35t) 2 4|PQ|的最小值为_答案 9 5210解析 由直线 (t 为参数)，消去参数可得 3x4y10.由曲线 C： cosx 1 45t，y 1 35t) 2- 7 -( )，可得(x )2(y )2 ，所以|PQ|的最小值为 4 12 12 12 |312 4（ 12） 1|5 .22 9 52104已知在直角坐标系中曲线 C1的参数方程为 (t 为参数且 t0)，在以原点 O 为x t 1t
34、，y t2 1t2)极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C2的极坐标方程为 (R)，则曲 4线 C1与 C2交点的直角坐标为_答案 (2，2)解析 由曲线 C1的参数方程 (t 为参数且 t0)，消去参数 t 得到曲线 C1的普通x t 1t，y t2 1t2)方程为 yx 22(x2 或 x2)曲线 C2的极坐标方程为 (R)化为直角坐标方程为 yx. 4由方程组 解得 xy2(xy1 舍去)，y x，y x2 2， )故曲线 C1与 C2交点的直角坐标为(2，2)5以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 A 的极坐标为
35、(2 ， )，曲线 C 的参数方程为 ( 为参2 4 x 2 cos ，y 2 sin )数)，则曲线 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为_答案 5解析 点 A 的直角坐标为(2，2)，曲线 C 是圆，圆心为(2，2)，半径为 1，结合图像知，点 A 在圆外，点 B 与点 A 的距离的最大值为 15.（ 2 2） 2 （ 2 2） 26(2013陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2y 2x0 的参数方程为_答案 ( 为参数 )x cos2 ，y sin cos )- 8 -解析 如图，圆的半径为 ，记圆心为 C( ，0)，连接 CP，则PCx2，故12 12xP cos
36、2cos 2，y P sin2sincos( 为参数)12 12 12故圆的参数方程为 ( 为参数)x cos2 ，y sin cos )7已知曲线 C1： ( 为参数)，C 2： ( 为参数)x 4 cos ，y 3 sin ) x 8cos ，y 3sin )(1)分别求出曲线 C1，C 2的普通方程；(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： 2(t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标x 3 2t，y 2 t)答案 (1)C 1：(x4) 2(y3) 21 C 2： 1 (2) ，( ， )x264 y29 855 325 95
37、解析 (1)由曲线 C1： ( 为参数)，得(x4) 2(y3) 21，它表示一个x 4 cos ，y 3 sin )以(4，3)为圆心，以 1 为半径的圆；由 C2： ( 为参数)，得 1，它x 8cos ，y 3sin ) x264 y29表示一个中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆(2)当 时，P 点的坐标为(4，4)，设 Q 点坐标为(8cos，3sin)，PQ 的中点 2M(24cos，2 sin)32C 3： C 3的普通方程为 x2y70，x 3 2t，y 2 t， )d| 2 4cos 4 3sin 7|5 ，|4cos 3sin 13|5
38、|5sin（ ） 13|5当 sin ，cos 时，d 的最小值为 ，35 45 855Q 点坐标为( ， )325 95- 9 -8已知曲线 C1的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴x 2cos ，y sin )为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2sin.(1)写出 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程；(2)已知点 M1，M 2的极坐标分别为(1， )和(2，0)，直线 M1M2与曲线 C2相交于 P，Q 两点， 2射线 OP 与曲线 C1相交于点 A，射线 OQ 与曲线 C1相交于点 B，求 的值1|OA|2 1|OB|2解析 (1)曲线 C1的普通
39、方程为 y 21，x24化成极坐标方程为 2sin21. 2cos24曲线 C2的直角坐标方程为 x2(y1) 21.(2)在直角坐标系下，M 1(0，1)，M 2(2，0)，线段 PQ 是圆 x2(y1) 21 的一条直径，POQ90.由 OPOQ，得 OAOB，A，B 是椭圆 y 21 上的两点，在极坐标下，设 A( 1，)，x24B( 2， )，分别代入得 sin21， sin2( )1， 2 21 2 2sin 2， cos 2，则 ，即 .cos24 sin24 54 1|OA|2 1|OB|2 549平面直角坐标系中，已知曲线 C1：x 2y 21，将曲线 C1上所有点横坐标、纵坐
40、标分别伸长为原来的 倍和 倍后，得到曲线 C2.2 3(1)试写出曲线 C2的参数方程；(2)在曲线 C2上求点 P，使得点 P 到直线 l：xy4 0 的距离最大，并求距离的最大5值解析 (1)曲线 C1参数方程为 ( 为参数)，由 得x cos ，y sin ) x 2x，y 3y， )x 2cos ，y 3sin ， )曲线 C2的参数方程为 ( 为参数)x 2cos ，y 3sin )(2)由(1)得点 P( cos， sin)，2 3则点 P 到直线 l 的距离 d ，|2cos 3sin 45|2 |5cos（ ） 45|2其中 tan ，则 dmax ，此时点 P 的坐标为( ，
41、 )32 552 5102 255 355- 10 -10(2016郑州质检)已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，在同一平面直x 6cos ，y 4sin )角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换 得到曲线 C.x 13x，y 14y)(1)求曲线 C的普通方程；(2)若点 A 在曲线 C上，点 D(1，3)当点 A 在曲线 C 上运动时，求 AD 中点 P 的轨迹方程解析 (1)将 代入 得曲线 C的参数方程为x 6cos ，y 4sin ) x 13x，y 14y) x 2cos ，y sin .)曲线 C的普通方程为 y 21.x24(2)设点 P(x，y)，A(x 0，y 0)，又 D(1，3)，且 AD 的中点为 P， x0 2x 1，y0 2y 3.)又点 A 在曲线 C上，代入 C的普通方程 y 21，得(2x1) 24(2y3) 24，x24动点 P 的轨迹方程为(2x1) 24(2y3) 24.
