（新课标）2016高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 理（课时作业+单元检测）（打包7套）新人教A版.zip

1第六章单元质量检测时间：90 分钟 分值：100 分一、选择题(每小题 4分，共 40分)1．若 x0， y0，则“ x＋ y1”是“ x2＋ y21”的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件解析：在平面坐标系中，画出 x＋ y1与 x2＋ y21表示的图形区域，可知 x2＋ y21成立可以得到 x＋ y1成立，反过来则不成立，所以“ x＋ y1”是“ x2＋ y21”的必要非充分条件，故选 B.答案：B2．设 a， b∈R，若 a－| b|0，则下列不等式中正确的是( )A． b－ a0 B． a3＋ b30解析：由 a－| b|0得 a|b|≥0，所以 a0且 a＋ b0，故选 D.答案：D3．函数 y＝ (x1)的最小值是( )x2＋ 2x－ 1A．2 ＋2 B．2 －23 3C．2 D．23解析：由 y＝ ＝x2＋ 2x－ 1 x2－ 1＋ 3x－ 1＝( x＋1)＋ ＝( x－1)＋ ＋2≥2 ＋2.3x－ 1 3x－ 1 3等号成立的条件是 x＝1＋ .3答案：A4．条件 p： 4得 a1}，则函数y＝ f(－ x)的图象可以为( )3解析：由 f(x)1}知 a0的解集为 ，则不等式－ cx2＋2 x－ a0(－13， 12)的解集为________．解析：由 ax2＋2 x＋ c0的解集为 知 a0，即 2x2－2 x－120，当非零实数 a， b满足 4a2－2 ab＋4 b2－ c＝0 且使|2a＋ b|最大时， － ＋ 的最小值为________．3a 4b 5c解析：要求|2 a＋ b|最大值，只需求(2 a＋ b)2的最大值．∵4 a2－2 ab＋4 b2－ c＝0，∴4 a2＋ b2＝ c＋2 ab－3 b2.∴(2 a＋ b)2＝4 a2＋ b2＋4 ab＝ c＋2 ab－3 b2＋4 ab＝ c＋6 ab－3 b2＝ c＋3 b(2a－ b)＝ c＋ ·2b(2a－ b)≤ c＋ 2＝ c＋ 2.32 32[2b＋  2a－ b2 ] 32(2a＋ b2 )即(2 a＋ b)2≤ c，当且仅当 2b＝2 a－ b，即 3b＝2 a时取到等号，即(2 a＋ b)2取到最大85值．故 3b＝2 a时，|2 a＋ b|取到最大值．把 3b＝2 a时，即 b＝ 代入 4a2－2 ab＋4 b2－ c＝0，可得 c＝ a2.2a3 409∴ － ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ＝ 2－2.3a 4b 5c 3a 423a 5409a2 3a 6a 98a2 98(1a2－ 83a) 98(1a－ 43)∴当 ＝ 时， － ＋ 取到最小值－2.1a 43 3a 4b 5c答案：－2三、解答题(共 4小题，共 44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10 分)已知 x0， y0，且 2x＋5 y＝20.(1)求 u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求 ＋ 的最小值．1x 1y6解：(1)∵ x0， y0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 .10xy∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20， xy≤10，当且仅当 2x＝5 y时，等号成立．10xy因此有Error! 解得Error!此时 xy有最大值 10.∴ u＝lg x＋lg y＝lg( xy)≤lg10＝1.∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y有最大值 1.(2)∵ x0， y0，∴ ＋ ＝ · ＝ ≥ ＝ ，1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y20 120(7＋ 5yx＋ 2xy) 120(7＋ 25yx·2xy) 7＋ 21020当且仅当 ＝ 时，等号成立．5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 .1x 1y 7＋ 2102016．(10 分)已知等差数列{ an}的公差 d＝2，首项 a1＝5.(1)求数列{ an}的前 n项和 Sn；(2)设 Tn＝ n(2an－5)，求 S1， S2， S3， S4， S5； T1， T2， T3， T4， T5，并归纳出 Sn与 Tn的大小规律．解：(1)由于 a1＝5， d＝2，∴ Sn＝5 n＋ ×2＝ n(n＋4)．n n－ 12(2)∵ Tn＝ n(2an－5)＝ n[2(2n＋3)－5]＝4 n2＋ n.∴ T1＝5， T2＝4×2 2＋2＝18， T3＝4×3 2＋3＝39，T4＝4×4 2＋4＝68， T5＝4×5 2＋5＝105.S1＝5， S2＝2×(2＋4)＝12， S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32， S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知 S1＝ T1，当 n≥2 时， Snx，求实数 a的取值范围；(3)已知 a0，且 cn＋1 ＝ f′( cn)(n＝1,2，…)，证明：数列{ cn}是单调递增数列．解：(1)当 a＝2 时， f(x)＝ x2－2 x＋ln( x＋1)，f′( x)＝2 x－2＋ ＝ ，1x＋ 1 2x2－ 1x＋ 1令 f′( x)＝0，得 x＝± .22又 x－1，且 x∈(－1，－ )∪( ，＋∞)时， f′( x)0， x∈(－ ， )时， f′( x)22 22 22 228x，得 2x－ a＋ x，即 a1，∴ a≤1.1x＋ 1 1x＋ 1(3)①当 n＝1 时， c2＝ f′( c1)＝2 c1－ a＋ ，1c1＋ 1∵ c10，∴ c1＋11，又 a2－( a＋1)＝1－ a0，1c1＋ 1 1c1＋ 1∴ c2c1，即当 n＝1 时结论成立．②假设当 n＝ k(k∈N *)时，有 ck＋1 ck0.则当 n＝ k＋1 时， ck＋2 － ck＋1 ＝ ck＋1 － a＋ ＝ ck＋1 ＋1＋ －( a＋1)1ck＋ 1＋ 1 1ck＋ 1＋ 12－( a＋1)＝1－ a0.∴ ck＋2 ck＋1 ，即当 n＝ k＋1 时结论成立．由①，②知数列{ cn}是单调递增数列．1课时作业 38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合 A＝{ x||2x＋1|3}，集合 B＝{ x|y＝ }，则 A∩(∁ RB)＝( )x＋ 1x－ 2A．(1,2) B．(1,2]C．(1，＋∞) D．[1,2]解析：由 A＝{ x||2x＋1|3}＝{ x|x1或 x2或 x≤－1}，所以∁ RB＝{ x|－10}＝{ x|－1e或 x≤－ }，故12A∩ B＝(－1，－ ]．12答案：B3． “00 的解集是实数集 R”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当 a＝0 时，10，显然成立；当 a≠0 时，Error!故 ax2＋2 ax＋10 的解集是实数集 R等价于 0≤ a0 的解集是实数集 R”的充分而不必要条件．答案：A4．关于 x的不等式 x2－( a＋1) x＋ a1时，得 10 在区间[1,5]上有解，则 a的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) (－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235]解析：由 Δ ＝ a2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)0， f(1)≤0，解得 a－ ，且235a≤1，故 a的取值范围为 .(－235， 1]答案：B6．已知奇函数 f(x)满足 f(－1)＝ f(3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数 F(x)＝Error!，则 F(x)0的解集是( )A．{ x|x3}B．{ x|x3}C．{ x|－30，即 xf(x)0时，－ f(x)0，即 f(x)0的解集为{ x|－30时， B＝ ＝ ，若 A⊆B，则 ≥2，即 04 的解集为{ x|xb}．(1)求 a， b；(2)解不等式 ax2－( ac＋ b)x＋ bc4 的解集为{ x|xb}，∴ x＝1 与 x＝ b是方程ax2－3 x＋2＝0 的两个实数根，且 b1.由根与系数的关系，得Error!解得Error!(2)原不等式 ax2－( ac＋ b)x＋ bc2时，不等式( x－2)( x－ c)2时，不等式 ax2－( ac＋ b)x＋ bc0的解集；(2)若 a0，且 00，即 a(x＋1)( x－2)0.那么当 a0时，不等式 F(x)0的解集为{ x|x2}；当 a0的解集为{ x|－10，且 00.∴ f(x)－ m0 对于一切x∈R 恒成立．(1)当 a2＋4 a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式化为 24x＋30，不满足题意；若 a＝1 时，不等式化为 30，满足题意．(2)当 a2＋4 a－5≠0 时，应有Error!解得 10的解集为(1,2)，若 f(x)的最大值小于 1，则 a的取值范围是________．解析：由题意知 a－4，故－40的解集为(1， t)，记函数 f(x)＝ ax2＋( a－ b)x－ c.(1)求证：函数 y＝ f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数 y＝ f(x)的两个零点分别为 m， n，求| m－ n|的取值范围．解：(1)证明：由题意知 a＋ b＋ c＝0，且－ 1，b2a∴ a1，∴ ac0，ca∴对于函数 f(x)＝ ax2＋( a－ b)x－ c有 Δ ＝( a－ b)2＋4 ac0，∴函数 y＝ f(x)必有两个不同零点．(2)|m－ n|2＝( m＋ n)2－4 mn＝ b－ a 2＋ 4aca2＝ ＝ 2＋8 ＋4， － 2a－ c 2＋ 4aca2 (ca) ca由不等式 ax2＋ bx＋ c0的解集为(1， t)可知，方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的两个解分别为 1和 t(t1)，由根与系数的关系知 ＝ t，∴| m－ n|2＝ t2＋8 t＋4， t∈(1，＋∞)．ca6∴| m－ n| ，13∴| m－ n|的取值范围为( ，＋∞)．131课时作业 39 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2014·广东卷)若变量 x， y满足约束条件Error!且 z＝2 x＋ y的最大值和最小值分别为 m和 n，则 m－ n＝( )A．8 B．7 C．6 D．5解析：画出如图阴影部分所示的可行域，易知 z＝2 x＋ y在点(2，－1)与(－1，－1)处分别取得最大值 m＝3 和最小值 n＝－3，∴ m－ n＝6，选 C.答案：C2．(2014·湖北卷)由不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω 1，不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω 2，在 Ω 1中随机抽取一点，则该点恰好在 Ω 2内的概率为( )A. B.18 14C. D.34 78解析：由题意作图，如图所示，Ω 1的面积为 ×2×2＝2，图中阴影部分的面积为 2－ × ×12 12 222＝ ，则所求的概率 P＝ ＝ ，选 D.22 74 742 78答案：D3．若点( x， y)位于曲线 y＝| x|与 y＝2 所围成的封闭区域，则 2x－ y的最小值是( )A．－6 B．－2C．0 D．2解析：由题中条件画出封闭区域如图中阴影部分所示．结合图形知， z＝2 x－ y在 A(－2,2)处取得最小值，且 zmin＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(2014·安徽卷) x， y满足约束条件Error!若 z＝ y－ ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为( )A. 或－1 B．2 或12 12C．2 或 1 D．2 或－1解析：画出如图阴影部分所示的可行域， z＝ y－ ax表示的直线向上移动取到最大值，z＝ y－ ax取得最大值的最优解不唯一，则当 a0时， z＝ y－ ax与 2x－ y＋2＝0 平行．所以a＝2，而当 a0时，有两种情况：当 k取最小值即抛物线过点 A .所以 的最小值是(32， 12) x2y；当抛物线 y＝ 与直线 x－ y－1＝0 相切时，联立方程组消掉 y得到92 x2k (32x3)x2－ kx＋ k＝0，∴ Δ ＝ k2－4 k＝0，∴ k＝4，此时 的最小值是 4.综上可知 的最小值是 4.x2y x2y9答案：41课时作业 40 基本不等式一、选择题1．若 a，b∈R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )A． a＋ b≥2 B. ＋ ab1a 1b 2abC. ＋ ≥2 D． a2＋ b22abba ab解析：因为 ab0，即 0， 0，所以 ＋ ≥2 ＝2.ba ab ba ab ba×ab答案：C2．设 00， b0.若 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值是( )1a 1bA．2 B.14C．4 D．8解析：由题意 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即1a 1b a＋ ba a＋ bb ba ab ba×ab ba aba＝ b＝ 时，取等号，所以最小值为 4.12答案：C4．已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m＝ b＋ ， n＝ a＋ ，则 m＋ n 的最小值是( )1a 1bA．3 B．42C．5 D．6解析：由题意知： ab＝1，∴ m＝ b＋ ＝2 b， n＝ a＋ ＝2 a，∴ m＋ n＝2( a＋ b)≥4 ＝4.1a 1b ab答案：B5．已知函数 y＝ x－4＋ (x－1)，当 x＝ a 时， y 取得最小值 b，则 a＋ b＝( )9x＋ 1A．－3 B．2C．3 D．8解析： y＝ x－4＋ ＝ x＋1＋ －5，由 x－1，得 x＋10， 0，所以由基本不9x＋ 1 9x＋ 1 9x＋ 1等式得 y＝ x＋1＋ －5≥2 －5＝1，当且仅当 x＋1＝ ，即( x＋1)9x＋ 1  x＋ 1 ×9x＋ 1 9x＋ 12＝9，所以 x＋1＝3，即 x＝2 时取等号，所以 a＝2， b＝1， a＋ b＝3.答案：C6．已知直线 ax＋ by＋ c－1＝0( bc0)经过圆 x2＋ y2－2 y－5＝0 的圆心，则 ＋ 的最小4b 1c值是( )A．9 B．8C．4 D．2解析：由圆的一般方程 x2＋ y2－2 y－5＝0 知 D＝0， E＝－2，所以，圆心的坐标为(0,1)．又因为直线 ax＋ by＋ c－1＝0( bc0)经过该圆心，所以 a×0＋ b×1＋ c－1＝0，即b＋ c＝1，所以， ＋ ＝ ＋ ＝4＋ ＋ ＋1＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9.4b 1c 4 b＋ cb b＋ cc 4cb bc 4cb bc 4cb×bc答案：A二、填空题7．若正实数 a， b 满足 ab＝2，则(1＋2 a)·(1＋ b)的最小值为________．解析：(1＋2 a)(1＋ b)＝5＋2 a＋ b≥5＋2 ＝9.当且仅当 2a＝ b，即 a＝1， b＝2 时取2ab等号．答案：98．已知 a， b， m， n 均为正数，且 a＋ b＝1， mn＝2，则( am＋ bn)(bm＋ an)的最小值为________．解析：( am＋ bn)(bm＋ an)＝ ab(m2＋ n2)＋ mn(a2＋ b2)≥2 abmn＋2( a2＋ b2)＝2( a＋ b)2＝2.当且仅当 m＝ n＝ 时取等号．2答案：29．已知不等式 ·ln ≥0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 m 的取值范围是(20n－ m) mn3________．解析：当 ≥1，即 m≥ n 时，ln 0，所以 － m≥0，得 m≤ ，即 n≤ m≤ ，所以mn mn 20n 20n 20nn2≤20.又因为 n∈N *，所以 n≤4，故 ≥5.20n所以 4≤ m≤5；当 0m≥ ，故 n220.20n 20n又因为 n∈N *，所以 n≥5，所以 4≤ m0， b0， a＋ b＝1，求证：(1) ＋ ＋ ≥8；1a 1b 1ab(2)(1＋ )(1＋ )≥9.1a 1b证明：(1)∵ a＋ b＝1， a0， b0，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋1a 1b 1ab 1a 1b a＋ bab＝2( ＋ )＝2( ＋ )1a 1b a＋ ba a＋ bb＝2( ＋ )＋4≥4 ＋4＝8ba ab ba×ab(当且仅当 a＝ b＝ 时，等号成立)，12∴ ＋ ＋ ≥8.1a 1b 1ab(2)∵(1＋ )(1＋ )＝ ＋ ＋ ＋1，1a 1b 1a 1b 1ab由(1)知 ＋ ＋ ≥8.1a 1b 1ab∴(1＋ )(1＋ )≥9.1a 1b11．运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤ x≤100)(单位：千米/小时)4．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是每小时 14x2360元．(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)由题意得，行驶时间为 小时．130xy＝ × ×2＋14×130x (2＋ x2360) 130x＝ ＋ .x∈[50,100]2 340x 13x18(2)由题意得， 0， 013x18 2 340x由基本不等式可得， y＝ ＋ ≥22 340x 13x18 13x18×2 340x＝26 10当且仅当 ＝ 即 x＝18 ∈[50,100]时等号成立．13x18 130×18x 10所以当 x 为 18 千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用为 26 元．10 101．若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为( )1a 1b 1a－ 1 9b－ 1A．1 B．6C．9 D．16解析：方法 1：因为 ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab⇒(a－1)( b－1)＝1，所以 ＋ ≥21a 1b 1a－ 1 9b－ 1＝2×3＝6.1a－ 1·9b－ 1方法 2：因为 ＋ ＝1，所以1a 1ba＋ b＝ ab， ＋ ＝ ＝ b＋9 a－10＝( b＋9 a) －10≥16－10＝6.1a－ 1 9b－ 1 b－ 1＋ 9a－ 9ab－ a－ b＋ 1 (1a＋ 1b)方法 3：因为 ＋ ＝1，所以 a－1＝ ，1a 1b 1b－ 1所以 ＋ ＝( b－1)＋ ≥2 ＝2×3＝6.1a－ 1 9b－ 1 9b－ 1 95答案：B2．若实数 a， b， c 满足 a2＋ b2＋ c2＝8，则 a＋ b＋ c 的最大值为( )A．9 B．2 3C．3 D．22 6解析：( a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab＋2 ac＋2 bc＝8＋2 ab＋2 ac＋2 bc.∵ a2＋ b2≥2 ab， a2＋ c2≥2 ac， b2＋ c2≥2 bc，∴8＋2 ab＋2 ac＋2 bc≤2( a2＋ b2＋ c2)＋8＝24，当且仅当 a＝ b＝ c 时取等号，∴ a＋ b＋ c≤2 .6答案：D3．若实数 a， b， c 满足 2a＋2 b＝2 a＋ b,2a＋2 b＋2 c＝2 a＋ b＋ c，则 c 的最大值是________．解析：由基本不等式得 2a＋2 b≥2 ＝2×2 ，即 2a＋ b≥2×2 ，所以 2a＋ b≥4.令2a2b t＝2 a＋ b，由 2a＋2 b＋2 c＝2 a＋ b＋ c可得 2a＋ b＋2 c＝2 a＋ b·2c，所以 2c＝ ＝1＋ ，由tt－ 1 1t－ 1t≥4，得 1 ≤ ，即 12c≤ ，所以 0c≤log 2 ＝2－log 23，故答案为 2－log 23.tt－ 1 43 43 43答案：2－log 234．设关于 x 的不等式| x－2| a(a∈R)的解集为 A，且 ∈ A，－ ∉A.32 12(1)∀x∈R，| x－1|＋| x－3|≥ a2＋ a 恒成立，且 a∈N，求 a 的值；(2)若 a＋ b＝1，求 ＋ 的最小值，并指出取得最小值时 a 的值．13|b| |b|a解：(1)∵ ∈ A，－ ∉A，32 12∴ a， ≥ a，即 a≤ ，|32－ 2| |－ 12－ 2| 12 52∵| x－1|＋| x－3|≥|( x－1)－( x－3)|＝2，∴ a2＋ a－2≤0，∴－2≤ a≤1，∴ a≤1.12又 a∈N，∴ a＝1.(2)∵ a≤ ， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥－ ＋2 ＝12 52 13|b| |b|a a＋ b3|b| |b|a b3|b| a3|b| |b|a 13 a3|b|×|b|a.当且仅当Error!即Error! 时上式取等号．又∵ ＝ ≤ ，∴ ＋ 的最23－ 13 12 33－ 1 3＋ 32 52 13|b| |b|a小值是 ，取最小值时 a＝ .23－ 13 3＋ 321课时作业 41 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列推理过程是类比推理的为( )A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为 0.5B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检验溶液的 pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数解析：由类比推理的概念可知．答案：B2．已知△ ABC中，∠ A＝30°，∠ B＝60°，求证： a2， f(23) ， f(24)3， f(25) ，推测12 13 1n 52 72当 n≥2 时，有________．解析：因为 f(22) ， f(23) ， f(24) ， f(25) ，所以当 n≥2 时，有 f(2n) .42 52 62 72 n＋ 22答案： f(2n)n＋ 22三、解答题10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积 S＝ ×底×高；(3)三角形的中位线平行于第12三边且等于第三边的 ；……12请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积 V＝ ×底面积×高；13(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 .1411．给出下面的数表序列：5其中表 n(n＝1,2,3，…)有 n行，第 1行的 n个数是 1,3,5，…，2 n－1，从第 2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表 4，验证表 4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证明)．解：表 4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2的等比数列．将这一结论推广到表 n(n≥3)，即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2的等比数列．1．如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n1， n∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝( )9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 012a2 013A. B. C. D.2 0102 011 2 0112 012 2 0122 013 2 0132 012解析：由图案可得第 n个图案中的点数为 3n，则 an＝3 n－3，∴ ＝93 n－ 1 ×3n＝ － ，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋1n n－ 1 1n－ 1 1n 9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 012a2 013 (11－ 12) (12－ 13)＝1－ ＝ ，故选 B.(12 011－ 12 012) 12 012 2 0112 012答案：B2．从 1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )6A．2 907 B．2 111C．2 012 D．2 090解析：依题意，设位于三角形内的最小数是 n，其中 n被 8除后的余数必是 3,4,5,6之一，则这九个数的和等于 n＋3( n＋8)＋5( n＋16)＝9 n＋104.令 9n＋104＝2 012，得n＝212，且 n＝212 被 8除后的余数是 4.答案：C3．观察分析下表中的数据：多面体 面数( F) 顶点数( V) 棱数( E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F， V， E所满足的等式是________．解析：由给出的数据归纳可得出 F＋ V－ E＝2.答案： F＋ V－ E＝24．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－ sin30°＝ .12 34(2)归纳三角恒等式sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ .347证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ ＋ －sin α (cos30°cosα ＋sin30°sin α )1－ cos2α2 1＋ cos 60°－ 2α 2＝ － cos2α ＋ ＋ (cos60°cos2α ＋sin60°sin2 α )－ sinα cosα － sin2α12 12 12 12 32 12＝ － cos2α ＋ ＋ cos2α ＋ sin2α － sin2α － (1－cos2 α )12 12 12 14 34 34 14＝1－ cos2α － ＋ cos2α ＝ .14 14 14 341课时作业 43 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋ a＋ a2＋…＋ an＝ ， a≠1， n∈N *”，在验证 n＝1 时，1－ an＋ 11－ a左边是( )A．1 B．1＋ aC．1＋ a＋ a2 D．1＋ a＋ a2＋ a3解析：当 n＝1 时，代入原式有左边＝1＋ a.故选 B.答案：B2．如果命题 p(n)对 n＝ k 成立，则它对 n＝ k＋2 也成立．若 p(n)对 n＝2 成立，则下列结论正确的是( )A． p(n)对所有正整数 n 都成立B． p(n)对所有正偶数 n 都成立C． p(n)对所有正奇数 n 都成立D． p(n)对所有自然数 n 都成立解析：归纳奠基是： n＝2 成立．归纳递推是： n＝ k 成立，则对 n＝ k＋2 成立．∴ p(n)对所有正偶数 n 都成立．答案：B3．数列{ an}中，已知 a1＝1，当 n≥2 时， an＝ an－1 ＋2 n－1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想 an的表达式是( )A． an＝3 n－2 B． an＝ n2C． an＝3 n－1 D． an＝4 n－3解析：求得 a2＝4， a3＝9， a4＝16，猜想 an＝ n2.答案：B4．用数学归纳法证明“ n3＋( n＋1) 3＋( n＋2) 3(n∈N *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证n＝ k＋1 时的情况，只需展开( )A．( k＋3) 3 B．( k＋2) 3C．( k＋1) 3 D．( k＋1) 3＋( k＋2) 3解析：假设当 n＝ k 时，原式能被 9 整除，即 k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3能被 9 整除．当 n＝ k＋1 时，( k＋1) 3＋( k＋2) 3＋( k＋3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将( k＋3) 32展开，让其出现 k3即可．答案：A5．用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)成立，其初始值至少应取( )12 14 12n－ 112764A．7 B．8C．9 D．10解析：左边＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝2－ ，代入验证可知 n 的最小值是 8.12 14 12n－ 11－ 12n1－ 12 12n－ 1故选 B.答案：B6．用数学归纳法证明：“( n＋1)·( n＋2)·…·( n＋ n)＝2 n·1·3·…·(2n－1)” ，从“ k 到 k＋1”左端需增乘的代数式为( )A．2 k＋1 B．2(2 k＋1)C. D.2k＋ 1k＋ 1 2k＋ 3k＋ 1解析： n＝ k＋1 时，左端为( k＋2)( k＋3)…[( k＋1)＋( k－1)][( k＋1)＋ k][(k＋1)＋( k＋1)]＝( k＋2)( k＋3)…( k＋ k)(2k＋1)(2 k＋2)＝( k＋1)( k＋2)…( k＋ k)[2(2k＋1)]，∴应增乘 2(2k＋1)．答案：B二、填空题7．使| n2－5 n＋5|＝1 不成立的最小的正整数是__________．解析： n＝1,2,3,4 代入验证成立，而 n＝5 验证不成立．答案：58．用数学归纳法证明 12＋2 2＋…＋( n－1) 2＋ n2＋( n－1) 2＋…＋2 2＋1 2＝时，由 n＝ k 的假设到证明 n＝ k＋1 时，等式左边应添加的式子是________．n 2n2＋ 13答案：( k＋1) 2＋ k29．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第 60 个数对是__________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数 n 所拥有数对为( n－1)对．3设 1＋2＋3＋…＋( n－1)＝60，∴ ＝60， n－ 1 n2∴ n＝11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第 60 个数对为(5,7)．答案：(5,7)三、解答题10．用数学归纳法证明下面的等式：12－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) n－1 ·n2＝(－1) n－1 .n n＋ 12证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1 2＝1，右边＝(－1) 0· ＝1，1× 1＋ 12∴原等式成立．(2)假设 n＝ k(k∈N *， k≥1)时，等式成立，即有 12－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) k－1 ·k2＝(－1) k－1 .k k＋ 12那么，当 n＝ k＋1 时，则有12－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) k－1 ·k2＋(－1) k·(k＋1) 2＝(－1) k－1 ＋(－1) k·(k＋1) 2k k＋ 12＝(－1) k· [－ k＋2( k＋1)]k＋ 12＝(－1) k . k＋ 1  k＋ 22∴ n＝ k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知对任意 n∈N *，有12－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) n－1 ·n2＝(－1) n－1 .n n＋ 1211．在数列{ an}，{ bn}中， a1＝2， b1＝4，且 an， bn， an＋1 成等差数列， bn， an＋1 ， bn＋1成等比数列( n∈N *)．(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测{ an}，{ bn}的通项公式，并证明你的结论．(2)证明： ＋ ＋…＋ 2( n＋1) n.所以 f(a2k＋1 )f(1)＝ a2，即1ca2k＋2 a2.再由 f(x)在(－∞，1]上为减函数得 c＝ f(c)f(a2k＋2 )f(a2)＝ a31.故 ca2k＋3 1，因此 a2(k＋1) ca2(k＋1)＋1 1.这就是说，当 n＝ k＋1 时结论成立．综上，符合条件的 c 存在，其中一个值为 c＝ .141课时作业 44 空间几何体的结构特征及三视图与直观图一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0 个 B．1 个C．2 个 D．3 个解析：对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错；对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错．答案：A2．一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为 4 的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为( )A．4 B．22C．2 D．42解析：2由俯视图得底面积 S＝ × × ＝1，结合体积得三棱柱高为 4，所以侧视图面积12 2 2S＝4×1＝4.答案：D3．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：给几何体的各顶点标上字母，如图(1)． A， E 在侧投影面上的投影重合， C， G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图(2)所示，故正确选项为 B(而不是 A)．答案：B4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )3解析：对于选项 A，两个圆柱的组合体符合要求；对于选项 B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项 D，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个正四棱柱的组合体符合要求．故选 C.答案：C5．如图正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心) P－ ABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧视图的周长等于( )A．17 cm B. ＋5 cm119C．16 cm D．14 cm解析：如右图，侧视图为△ PEF， PE＝ PF＝ ＝4， EF＝6，所以△ PEF 的周长52－ 32＝4×2＋6＝14.答案：D6．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A．1 B. 2C. D.2－ 12 2＋ 12解析：由题意可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为 1×1＝1；当正方体逆时针旋转 45°时，其正视图的面积最大，为 1× ＝ .而 1，所以正方体的正视图的2 22－ 124面积不可能等于 .2－ 12答案：C二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．解析：依题意得该几何体的侧视图面积为 22＋ ×2× ＝4＋ .12 3 3答案：4＋ 38．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为116 ，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台的母线长为________cm.题 图 答 图解析：由圆台上、下底面积之比为 116 ，设圆台上下底面的半径分别为 r,4r.圆台的母线长为 l，根据相似三角形的性质得 ＝ ，解得 l＝9.33＋ l r4r答案：99．给出下列命题：①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4 个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：5①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 ABCD—A1B1C1D1中的四面体 A—CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ ABC 为等边三角形，可令AB＝ VB＝ VC＝ BC＝ AC，则△ VBC 为等边三角形，△ VAB 和△ VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①三、解答题10．正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求侧面上的斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？3 7解：如图所示，在正四棱锥 S—ABCD 中，高 OS＝ ，侧棱 SA＝ SB＝ SC＝ SD＝ ，3 7在 Rt△ SOA 中， OA＝ ＝2，∴ AC＝4.SA2－ OS2∴ AB＝ BC＝ CD＝ DA＝2 .2作 OE⊥ AB 于 E，则 E 为 AB 的中点．连接 SE，则 SE 即为斜高，在 Rt△ SOE 中，∵ OE＝ BC＝ ， SO＝ ，12 2 3∴ SE＝ ，即侧面上的斜高为 .5 511．在四棱锥 P—ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．6(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA 的长．解：(1)该四棱锥的俯视图如下(内含对角线)，为边长为 6 cm 的正方形，如下图，其面积为 36 cm2.(2)由侧视图可求得 PD＝ ＝ ＝6 .由正视图可知 AD＝6，且 AD⊥ PD，PC2＋ CD2 62＋ 62 2所以在 Rt△ APD 中， PA＝ ＝ ＝6 cm.PD2＋ AD2  62 2＋ 62 31．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图 1 所示的几何体，则它的俯视图是( )图 1解析：由三视图的知识可知 B 选项正确．答案：B2．(2014·北京卷)在空间直角坐标系 O—xyz 中，已知 A(2,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)，D(1,1， )．若 S1， S2， S3分别是三棱锥 D—ABC 在 xOy， yOz， zOx 坐标平面上的正投影图2形的面积，则( )7A． S1＝ S2＝ S3 B． S2＝ S1且 S2≠ S3C． S3＝ S1且 S3≠ S2 D． S3＝ S2且 S3≠ S1解析：D—ABC 在 xOy 平面上的投影为△ ABC，故 S1＝2，设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影为 D2和 D3，则 D—ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 OCD2和△ OAD3，易知 D2(0,1， )，2D3(1,0， )，故 S2＝ S3＝ ，综上，选项 D 正确．2 2答案：D3．已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 4，若其中一圆的半径为 4，则另一圆的半径为________．解析：由题知，球心到另一圆的距离 d＝ ＝2 ，另一圆的半径 R＝ ＝42－ 22 3 52－ d2.13答案： 134．如图，在四棱锥 P—ABCD 中， PD⊥平面ABCD， AB∥ DC， AB⊥ AD， BC＝5， DC＝3， AD＝4，∠ PAD＝60°.(1)当正视方向与向量 的方向相同时，画出四棱锥 P—ABCD 的正视图(要求标出尺寸，AD→ 并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证： DM∥平面 PBC；(3)求三棱锥 D—PBC 的体积．解：8(1)在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CE⊥ AB，垂足为 E，由已知得，四边形 ADCE 为矩形， AE＝ CD＝3，在 Rt△ BEC 中，由 BC＝5， CE＝4，依勾股定理得 BE＝3，从而 AB＝6.又由 PD⊥平面 ABCD 得， PD⊥ AD，从而在 Rt△ PDA 中，由 AD＝4，∠ PAD＝60°，得 PD＝4 .3正视图如图所示：(2)证明：取 PB 中点 N，连接 MN， CN.在△ PAB 中，∵ M 是 PA 中点，∴ MN∥ AB， MN＝ AB＝3.12又 CD∥ AB， CD＝3，∴ MN∥ CD， MN＝ CD.∴四边形 MNCD 为平行四边形．∴ DM∥ CN.又 DM⊄平面 PBC， CN⊂平面 PBC，∴ DM∥平面 PBC.(3)VD—PBC＝ VP—DBC＝ S△ DBC·PD，139又 S△ DBC＝6， PD＝4 ，3所以 VD—PBC＝8 .3