（新课标）2016高考数学大一轮复习 第五章 数列 理（课时作业+单元检测）（打包6套）新人教A版.zip

1第五章 数列课时作业 32 数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列 ，，， …的第 10项是( )234567 89A. B.1617 1819C. D.2021 2223解析：由已知得数列的通项公式 an＝ ，∴ a10＝ .2n2n＋ 1 2021答案：C2．数列{ an}中， an＋1 ＝ an＋2 － an， a1＝2， a2＝5，则 a5为( )A．－3 B．－11C．－5 D．19解析：由 an＋1 ＝ an＋2 － an，得 an＋2 ＝ an＋1 ＋ an，又∵ a1＝2， a2＝5，∴ a3＝ a1＋ a2＝7， a4＝ a3＋ a2＝12， a5＝ a4＋ a3＝19，选 D.答案：D3．数列{ an}满足： a1＝1，且当 n≥2 时， an＝ an－1 ，则 a5＝( )n－ 1nA. B.15 16C．5 D．6解析：因为 a1＝1，且当 n≥2 时， an＝ an－1 ，n－ 1n则 ＝anan－ 1 n－ 1n所以 a5＝ · · · ·a1＝ × × × ×1＝ .故选 A.a5a4 a4a3 a3a2 a2a1 45 34 23 12 15答案：A4．已知数列{ an}的前 n项和 Sn＝ n2－9 n，第 k项满足 50，解得 n6或 n1(舍)．∴从第 7项起各项都是正数．11．在数列{ an}中， a1＝1， Sn为其前 n项和，且 an＋1 ＝2 Sn＋ n2－ n＋1.(1)设 bn＝ an＋1 － an，求数列{ bn}的前 n项和 Tn；(2)求数列{ an}的通项公式．解：(1)∵ an＋1 ＝2 Sn＋ n2－ n＋1，∴ an＝2 Sn－1 ＋( n－1) 2－( n－1)＋1( n≥2)，两式相减得， an＋1 － an＝2 an＋2 n－2( n≥2)．由已知可得 a2＝3，∴ n＝1 时上式也成立．∴ an＋1 －3 an＝2 n－2( n∈N *)， an－3 an－1 ＝2( n－1)－2( n≥2)．两式相减，得( an＋1 － an)－3( an－ an－1 )＝2( n≥2)．∵ bn＝ an＋1 － an，4∴ bn－3 bn－1 ＝2( n≥2)， bn＋1＝3( bn－1 ＋1)( n≥2)．∵ b1＋1＝3≠0，∴{ bn＋1}是以 3为公比，3 为首项的等比数列，∴ bn＋1＝3×3 n－1 ＝3 n，∴ bn＝3 n－1.∴ Tn＝3 1＋3 2＋…＋3 n－ n＝ ·3n＋1 － n－ .12 32(2)由(1)知， an＋1 － an＝3 n－1，∴ an＝( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋( an－2 － an－3 )＋…＋( a3－ a2)＋( a2－ a1)＋ a1＝3 0＋3 1＋3 2＋…＋3 n－1 －( n－1)＝ (3n＋1)－ n.121．已知函数 y＝ f(x)，数列{ an}的通项公式是 an＝ f(n)(n∈N *)，那么“函数 y＝ f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{ an}是递增数列”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若函数 y＝ f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{ an}是递增数列一定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{ an}是递增数列，则函数在[1,2]上可以先减后增，只要在x＝1 处的函数值比在 x＝2 处的函数值小即可．故“函数 y＝ f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{ an}是递增数列”的充分不必要条件．选 A.答案：A2．已知数列{ an}的前 n项和 Sn＝2 an－1，则满足 ≤2 的正整数 n的集合为( )annA．{1,2} B．{1,2,3,4}C．{1,2,3} D．{1,2,4}解析：因为 Sn＝2 an－1，所以当 n≥2 时， Sn－1 ＝2 an－1 －1，两式相减得an＝2 an－2 an－1 ，整理得 an＝2 an－1 ，所以{ an}是公比为 2的等比数列，又因为 a1＝2 a1－1，解得 a1＝1，故{ an}的通项公式为 an＝2 n－1 .而 ≤2，即 2n－1 ≤2 n，所以有 n＝1,2,3,4.ann答案：B3．已知数列{ an}满足 an＋1 ＝Error!若 a3＝1，则 a1的所有可能取值为________．解析：当 a2为奇数时， a3＝ a2－4＝1， a2＝5；当 a2为偶数时， a3＝ a2＝1， a2＝2；12当 a1为奇数时， a2＝ a1－2＝5， a1＝75或 a2＝ a1－2＝2， a1＝4(舍去)；当 a1为偶数时， a2＝ a1＝5， a1＝1012或 a2＝ a1＝2， a1＝412综上， a1的可能取值为 4,7,10.答案：4,7,104．已知数列{ an}满足前 n项和 Sn＝ n2＋1，数列{ bn}满足 bn＝ ，且前 n项和为2an＋ 1Tn，设 cn＝ T2n＋1 － Tn.(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)判断数列{ cn}的增减性．解：(1) a1＝2， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n－1( n≥2)．∴ bn＝Error!(2)∵ cn＝ bn＋1 ＋ bn＋2 ＋…＋ b2n＋1＝ ＋ ＋…＋ ，1n＋ 1 1n＋ 2 12n＋ 1∴ cn＋1 － cn＝ ＋ － 0，12n＋ 2 12n＋ 3 1n＋ 1∴{ cn}是递减数列．1课时作业 33 等差数列一、选择题1．(2014·重庆卷)在等差数列{ an}中， a1＝2， a3＋ a5＝10，则 a7＝( )A．5 B．8C．10 D．14解析：设{ an}的公差为 d，则 a1＋2 d＋ a1＋4 d＝10，又a1＝2，∴4＋6 d＝10，∴ d＝1，∴ a7＝ a1＋6 d＝8.答案：B2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{ an}的公差是 2，若 a2， a4， a8成等比数列，则{an}的前 n项和 Sn＝( )A． n(n＋1) B． n(n－1)C. D.n n＋ 12 n n－ 12解析：由题可知 a ＝ a2a8，则( a1＋3 d)2＝( a1＋ d)(a1＋7 d)，即( a1＋6) 2＝( a1＋2)24(a1＋14)，解得 a1＝2， Sn＝2 n＋ ·2＝ n(n＋1)．n n－ 12答案：A3．设 Sn是公差不为 0的等差数列{ an}的前 n项和，若 a1＝2 a8－3 a4，则 ＝( )S8S16A. B.310 13C. D.19 18解析：由题意可得， a1＝2 a1＋14 d－3 a1－9 d，∴ a1＝ d，又 ＝ ＝52 S8S16 8a1＋ 28d16a1＋ 120d＝ ＝ ，故选 A.20d＋ 28d40d＋ 120d 48d160d 310答案：A4．已知等差数列{ an}中， a3＋ a7－ a10＝0， a11－ a4＝4，记 Sn＝ a1＋ a2＋…＋ an，则S13＝( )A．78 B．68C．56 D．52解析：设等差数列{ an}的公差为 d，首项为 a1，2则Error! ，解得Error! ，∴ S13＝13 a1＋ d＝13× ＋78× ＝52.13 13－ 12 47 47答案：D5．已知 Sn是等差数列{ an}的前 n项和， S100并且 S11＝0，若 Sn≤ Sk对 n∈N *恒成立，则正整数 k构成的集合为( )A．{5} B．{6}C．{5,6} D．{7}解析：在等差数列{ an}中，由 S100， S11＝0 得，S10＝ 0⇒a1＋ a100⇒a5＋ a60，10 a1＋ a102S11＝ ＝0⇒ a1＋ a11＝2 a6＝0，11 a1＋ a112故可知等差数列{ an}是递减数列且 a6＝0，所以 S5＝ S6≥ Sn，其中 n∈N *，所以 k＝5 或 6.答案：C6．设等差数列{ an}的前 n项和为 Sn，且 a10， a3＋ a100， a6a70的最大自然数 n的值为( )A．6 B．7C．12 D．13解析：∵ a10， a6a70， a70， a1＋ a13＝2 a70， S130的最大自然数 n的值为12.答案：C二、填空题7．在等差数列{ an}中，已知 a2＋ a9＝5，则 3a5＋ a7的值为________．解析：设等差数列{ an}的公差为 d，∵ a2＋ a9＝5，∴2 a1＋9 d＝5，∴3 a5＋ a7＝3 a1＋12 d＋ a1＋6 d＝4 a1＋18 d＝2(2 a1＋9 d)＝10.答案：108．已知等差数列{ an}中， an≠0，若 n≥2 且 an－1 ＋ an＋1 － a ＝0， S2n－1 ＝38，则 n等于2n________．解析：∵2 an＝ an－1 ＋ an＋1 ，又 an－1 ＋ an＋1 － a ＝0，2n∴2 an－ a ＝0，即 an(2－ an)＝0.2n∵ an≠0，∴ an＝2.3∴ S2n－1 ＝2(2 n－1)＝38，解得 n＝10.答案：109．设数列{ an}的通项公式为 an＝2 n－10( n∈N *)，则| a1|＋| a2|＋…＋| a15|＝________.解析：由 an＝2 n－10( n∈N *)知{ an}是以－8 为首项，2 为公差的等差数列，又由an＝2 n－10≥0 得 n≥5，∴当 n≤5 时， an≤0，当 n5时， an0，∴| a1|＋| a2|＋…＋| a15|＝－( a1＋ a2＋ a3＋ a4)＋( a5＋ a6＋…＋ a15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题10．设等差数列{ an}的前 n项和为 Sn，其中 a1＝3， S5－ S2＝27.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)若 Sn,2 (an＋1 ＋1)， Sn＋2 成等比数列，求正整数 n的值．2解：(1)设等差数列{ an}的公差为 d，则 S5－ S2＝3 a1＋9 d＝27，又 a1＝3，则 d＝2，故 an＝2 n＋1.(2)由(1)可得 Sn＝ n2＋2 n，又 Sn·Sn＋2 ＝8( an＋1 ＋1) 2，即 n(n＋2) 2(n＋4)＝8(2 n＋4) 2，化简得 n2＋4 n－32＝0，解得 n＝4 或 n＝－8(舍)，所以 n的值为 4.11．已知公差大于零的等差数列{ an}的前 n项和为 Sn，且满足 a3·a4＝117， a2＋ a5＝22.(1)求通项公式 an；(2)求 Sn的最小值；(3)若数列{ bn}是等差数列，且 bn＝ ，求非零常数 c.Snn＋ c解：(1)∵数列{ an}为等差数列，∴ a3＋ a4＝ a2＋ a5＝22.又 a3·a4＝117，∴ a3， a4是方程 x2－22 x＋117＝0 的两实根，又公差 d0，∴ a30， b1321.故 k的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．1课时作业 34 等比数列一、选择题1．设数列{ an}是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 S3＝3 a3，则公比 q 为( )A．－ B．112C．－ 或 1 D.12 14解析：当 q＝1 时，满足 S3＝3 a1＝3 a3.当 q≠1 时， S3＝ ＝ a1(1＋ q＋ q2)＝3 a1q2，解得 q＝－ ，综上 q＝－ 或a1 1－ q31－ q 12 12q＝1.答案：C2．在等比数列{ an}中，若 a4， a8是方程 x2－3 x＋2＝0 的两根，则 a6的值是( )A．± B．－2 2C. D．±22解析：由题意得 a4a8＝2，且 a4＋ a8＝3，则 a40， a80，又{ an}为等比数列，故a4， a6， a8同号，且 a ＝ a4a8＝2，故 a6＝ ，选 C.26 2答案：C3．已知等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋ a3＝ ， a2＋ a4＝ ，则 ＝( )52 54 SnanA．4 n－1 B．4 n－1C．2 n－1 D．2 n－1解析： q＝ ＝ ，则 ＝ ＝2 n－1.a2＋ a4a1＋ a3 12 Snana1[1－  12 n]1－ 12a1 12 n－ 1答案：C4．等比数列{ an}中，已知对任意正整数 n， a1＋ a2＋ a3＋…＋ an＝2 n－1，则a ＋ a ＋ a ＋…＋ a 等于( )21 2 23 2nA. (4n－1) B. (2n－1)13 13C．4 n－1 D．(2 n－1) 22解析：由题意知 a1＝1， q＝2，数列{ a }是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，2na ＋ a ＋…＋ a ＝ ＝ (4n－1)．21 2 2n1－ 4n1－ 4 13答案：A5．已知公差不为 0 的等差数列{ an}满足 a1， a3， a4成等比数列， Sn为数列{ an}的前 n项和，则 的值为( )S3－ S2S5－ S3A．2 B．3C. D.15 13解析：由题意， a1(a1＋3 d)＝( a1＋2 d)2， d≠0，∴ a1＝－4 d，∴ ＝ ＝ ＝2.S3－ S2S5－ S3 a3a4＋ a5 － 2d－ d答案：A6．已知数列{ an}，{ bn}满足 a1＝ b1＝3， an＋1 － an＝ ＝3， n∈N *，若数列{ cn}满足bn＋ 1bncn＝ ban，则 c2 013＝( )A．9 2 012 B．27 2 012C．9 2 013 D．27 2 013解析：由已知条件知{ an}是首项为 3，公差为 3 的等差数列，数列{ bn}是首项为 3，公比为 3 的等比数列，∴ an＝3 n， bn＝3 n，又 cn＝ ban＝3 3n，∴ c2 013＝3 3×2 013＝27 2 013，故选 D.答案：D二、填空题7．在等比数列{ an}中， a1＋ a2＝30， a3＋ a4＝60，则 a7＋ a8＝________.解析：∵ a1＋ a2＝ a1(1＋ q)＝30， a3＋ a4＝ a1q2(1＋ q)＝60，∴ q2＝2，∴ a7＋ a8＝ a1q6(1＋ q)＝[ a1(1＋ q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案：2408．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 ，过点 A 作 BC 的垂2线，垂足为 A1；过点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2作 A1C 的垂线，垂足为 A3；…，3依此类推，设 BA＝ a1， AA1＝ a2， A1A2＝ a3，…， A5A6＝ a7，则 a7＝________.解析：由题意知数列{ an}是以首项 a1＝2，公比 q＝ 的等比数列，∴ a7＝ a1·q6＝2×226＝ .(22) 14答案：149．已知{ an}是等比数列， a2＝2， a5＝ ，则 Sn＝ a1＋ a2＋…＋ an的取值范围是14________．解析：因为{ an}是等比数列，所以可设 an＝ a1qn－1 .因为 a2＝2， a5＝ ，14所以Error! 解得Error!所以 Sn＝ a1＋ a2＋…＋ an＝4[1－ (12)n]1－ 12＝8－8× n.(12)因为 01，∴ q＝2，∴ a1＝1.故数列{ an}的通项为 an＝2 n－1 .4(2)由于 bn＝ln a3n＋1 ， n＝1,2，…，由(1)得 a3n＋1 ＝2 3n，∴ bn＝ln2 3n＝3 nln2.又 bn＋1 － bn＝3ln2，故数列{ bn}为等差数列．∴ Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝ ＝ ＝ ln2.故 Tn＝n b1＋ bn2 n 3ln2＋ 3nln22 3n n＋ 12ln2.3n n＋ 1211．已知数列{ an}中， a1＝1， an·an＋1 ＝ n，记 T2n为{ an}的前 2n 项的和，(12)bn＝ a2n＋ a2n－1 ， n∈N *.(1)判断数列{ bn}是否为等比数列，并求出 bn；(2)求 T2n.解：(1)∵ an·an＋1 ＝ n，∴ an＋1 ·an＋2 ＝ n＋1 ，(12) (12)∴ ＝ ，即 an＋2 ＝ an.an＋ 2an 12 12∵ bn＝ a2n＋ a2n－1 ，∴ ＝ ＝ ＝ ，bn＋ 1bn a2n＋ 2＋ a2n＋ 1a2n＋ a2n－ 1 12a2n＋ 12a2n－ 1a2n＋ a2n－ 1 12∴{ bn}是公比为 的等比数列．12∵ a1＝1， a1·a2＝ ，12∴ a2＝ ⇒b1＝ a1＋ a2＝ .12 32∴ bn＝ × n－1 ＝ .32 (12) 32n(2)由(1)可知 an＋2 ＝ an，12∴ a1， a3， a5，…是以 a1＝1 为首项，以 为公比的等比数列； a2， a4， a6，…是以 a2＝12为首项，以 为公比的等比数列，12 12∴ T2n＝( a1＋ a3＋…＋ a2n－1 )＋( a2＋ a4＋…＋ a2n)＝ ＋ ＝3－ .1－ (12)n1－ 1212[1－ (12)n]1－ 12 32n51．已知等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是( )A．若 a30，则 a2 0130，则 a2 0140，则 S2 0130D．若 a40，则 S2 0140解析：若 a30，则 a2 013＝ a3q2 0100；若 a40，则 a2 014＝ a4q2 0100，故 A，B 错；当a30，则 a1＝ 0，因为 1－ q 与 1－ q2 013同号，所以 S2 013＝ 0，C 正a3q2 a1 1－ q2 0131－ q确．故选 C.答案：C2．函数 y＝ 图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下1－  x＋ 2 2不可能成为公比的数是( )A. B.32 12C. D.33 3解析：因为 y＝ ⇔(x＋2) 2＋ y2＝1( y≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为1－  x＋ 2 2圆心，1 为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为 1，最大值为 3，故 ≤ q2≤3，即 ≤ q≤ ，而 a1a2…an的最大12正整数 n 的值为________．解析：设正项等比数列{ an}的公比为 q，则由 a5＝ ， a6＋ a7＝ a5(q＋ q2)＝3 可得 q＝2，12于是 an＝2 n－6 ，则 a1＋ a2＋…＋ an＝ ＝2 n－5 － .132 1－ 2n1－ 2 132∵ a5＝ ， q＝2，12∴ a6＝1， a1a11＝ a2a10＝…＝ a ＝1.26∴ a1a2…a11＝1.当 n 取 12 时， a1＋ a2＋…＋ a12＝2 7－ a1a2…a11a12＝ a12＝2 6成立；当1326n 取 13 时， a1＋ a2＋…＋ a13＝2 8－ 13 时，随着132n 增大 a1＋ a2＋…＋ an将恒小于 a1a2…an.因此所求 n 的最大值为 12.答案：124．(2014·天津卷)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数．设集合M＝{0,1,2，…， q－1}，集合 A＝{ x|x＝ x1＋ x2q＋…＋ xnqn－1 ， xi∈ M， i＝1,2，…， n}．(1)当 q＝2， n＝3 时，用列举法表示集合 A；(2)设 s， t∈ A， s＝ a1＋ a2q＋…＋ anqn－1 ， t＝ b1＋ b2q＋…＋ bnqn－1 ，其中ai， bi∈ M， i＝1,2，…， n.证明：若 anbn，则 st.解：(1)当 q＝2， n＝3 时， M＝{0,1}，A＝{ x|x＝ x1＋ x2·2＋ x3·22， xi∈ M， i＝1,2,3}．可得， A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s， t∈ A， s＝ a1＋ a2q＋…＋ anqn－1 ， t＝ b1＋ b2q＋…＋ bnqn－1 ， ai， bi∈ M， i＝1,2，…， n及 anbn，可得 s－ t＝( a1－ b1)＋( a2－ b2)q＋…＋( an－1 － bn－1 )qn－2 ＋( an－ bn)qn－1≤( q－1)＋( q－1) q＋…＋( q－1) qn－2 － qn－1＝ － qn－1 ＝－10. q－ 1  1－ qn－ 11－ q所以， st.1课时作业 35 数列求和一、选择题1．数列{1＋2 n－1 }的前 n项和为( )A．1＋2 n B．2＋2 nC． n＋2 n－1 D． n＋2＋2 n解析：由题意得 an＝1＋2 n－1 ，所以 Sn＝ n＋ ＝ n＋2 n－1，故选 C.1－ 2n1－ 2答案：C2．设数列{(－1) n}的前 n项和为 Sn，则对任意正整数 n， Sn＝( )A. B.n[ － 1 n－ 1]2  － 1 n－ 1＋ 12C. D. － 1 n＋ 12  － 1 n－ 12解析：∵数列{(－1) n}是首项与公比均为－1 的等比数列，∴ Sn＝ ＝ . － 1 －  － 1 n× － 11－  － 1  － 1 n－ 12答案：D3．已知数列{ an}中， a1＝1， a2＝2＋3， a3＝4＋5＋6， a4＝7＋8＋9＋10，…，则 a10的值为( )A．750 B．610C．510 D．505解析： a10＝46＋47＋…＋55＝505.答案：D4．数列{ an}中， a1， a2－ a1， a3－ a2，…， an－ an－1 ，…是首项为 1，公比为 的等比数13列，则 an等于( )A. (1－ ) B. (1－ )32 13n 32 13n－ 1C. (1－ ) D. (1－ )23 13n 23 13n－ 1解析：由题得 an－ an－1 ＝( )n－1 ，所以 an＝( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋…＋( a2－ a1)132＋ a1＝( )n－1 ＋( )n－2 ＋…＋ ＋1＝ (1－ )．13 13 13 32 13n答案：A5．已知等差数列{ an}的前 n项和为 Sn， a5＝5， S5＝15，则数列 的前 100项和{1anan＋ 1}为( )A. B.100101 99101C. D.99100 101100解析：设等差数列{ an}的首项为 a1，公差为 d.∵ a5＝5， S5＝15，∴Error!∴Error! ∴ an＝ a1＋( n－1) d＝ n.∴ ＝ ＝ － ，1anan＋ 1 1n n＋ 1 1n 1n＋ 1∴数列 的前 100项和为{1anan＋ 1}1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .12 12 13 1100 1101 1101 100101答案：A6．已知函数 f(n)＝ n2cosnπ，且 an＝ f(n)＋ f(n＋1)，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝( )A．0 B．－100C．100 D．10 200解析： f(n)＝ n2cosnπ＝Error!＝(－1) n·n2，由 an＝ f(n)＋ f(n＋1)＝(－1) n·n2＋(－1) n＋1 ·(n＋1) 2＝(－1) n[n2－( n＋1) 2]＝(－1)n＋1 ·(2n＋1)，得 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案：B二、填空题7．设 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，若 Sn·Sn＋1 ＝ ，则 n的值为________．12 16 112 1n n＋ 1 34解析： Sn＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ －12 12 13 13 14 1n 1n＋ 1＝1－ ＝ ，1n＋ 1 nn＋ 1∴ Sn·Sn＋1 ＝ · ＝ ＝ ，解得 n＝6.nn＋ 1 n＋ 1n＋ 2 nn＋ 2 343答案：68．数列 ，， ， ，…的前 n项和 Sn为________．32942586516解析：∵ ＝1＋ ， ＝2＋ ， ＝3＋ ， ＝4＋ ，…32 12 94 14 258 18 6516 116∴ Sn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋( n＋ )32 94 258 6516 12n＝(1＋2＋3＋…＋ n)＋( ＋ ＋ ＋…＋ )12 122 123 12n＝ ＋ ＝ ＋1－ .n n＋ 1212[1－  12 n]1－ 12 n n＋ 12 12n答案： ＋1－n n＋ 12 12n9．已知 f(x)＝ ，求 f ＋ f ＋…＋ f ＝4x4x＋ 2 (111) (211) (1011)________.解析：因为 f(x)＋ f(1－ x)＝ ＋4x4x＋ 2 41－ x41－ x＋ 2＝ ＋ ＝ ＋ ＝1.4x4x＋ 2 44＋ 2·4x 4x4x＋ 2 22＋ 4x所以 f ＋ f ＝ f ＋ f ＝…＝ f ＋ f ＝1.∴ f ＋ f ＋…＋ f ＝5.(111) (1011) (211) (911) (511) (611) (111) (211) (1011)答案：5三、解答题10．(2014·安徽卷)数列{ an}满足 a1＝1， nan＋1 ＝( n＋1) an＋ n(n＋1)， n∈N *.(1)证明：数列{ }是等差数列；ann(2)设 bn＝3 n· ，求数列{ bn}的前 n项和 Sn.an解：(1)由已知可得 ＝ ＋1，即 － ＝1an＋ 1n＋ 1 ann an＋ 1n＋ 1 ann所以{ }是以 ＝1 为首项，1 为公差的等差数列．ann a11(2)由(1)得 ＝1＋( n－1)·1＝ n，所以 an＝ n2，从而 bn＝ n·3nannSn＝1×3 1＋2×3 2＋3×3 3＋…＋ n·3n ①3Sn＝1×3 2＋2×3 3＋3×3 4＋…＋( n－1)·3 n＋ n·3n＋1 ②①－②得：－2 Sn＝3 1＋3 2＋3 3＋…＋3 n－ n·3n＋14＝ － n·3n＋1 ＝3× 1－ 3n1－ 3  1－ 2n ·3n＋ 1－ 32所以 Sn＝ . 2n－ 1 ·3n＋ 1＋ 3411．(2014·山东卷)已知等差数列{ an}的公差为 2，前 n项和为 Sn，且 S1， S2， S4成等比数列．(1)求数列{ an}的通项公式；(2)令 bn＝(－1) n－1 ，求数列{ bn}的前 n项和 Tn.4nanan＋ 1解：(1)因为 S1＝ a1， S2＝2 a1＋ ×2＝2 a1＋2，2×12S4＝4 a1＋ ×2＝4 a1＋12，4×32由题意得(2 a1＋2) 2＝ a1(4a1＋12)，解得 a1＝1，所以 an＝2 n－1.(2)bn＝(－1) n－1 ＝(－1) n－14nanan＋ 1 4n 2n－ 1  2n＋ 1＝(－1) n－1 .(12n－ 1＋ 12n＋ 1)当 n为偶数时，Tn＝ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .(1＋13) (13＋ 15) ( 12n－ 3＋ 12n－ 1) ( 12n－ 1＋ 12n＋ 1) 12n＋ 1 2n2n＋ 1当 n为奇数时，Tn＝ － ＋…－ ＋ ＝1＋ ＝ .(1＋13) (13＋ 15) ( 12n－ 3＋ 12n－ 1) ( 12n－ 1＋ 12n＋ 1) 12n＋ 1 2n＋ 22n＋ 1所以 Tn＝Error!.(或 Tn＝2n＋ 1＋  － 1 n－ 12n＋ 1 )1．设等差数列{ an}的前 n项和是 Sn，若－ am0，且 Sm＋1 0C． Sm0，且 Sm＋1 0 D． Sm0， a1＋ am＋1 0，且 Sm＋1 Sn的最大值，可知 t的最小值为 .14答案：144．已知数列{ an}中， a1＝1， an＋1 ＝ (n∈N *)．anan＋ 3(1)求证： 是等比数列，并求{ an}的通项公式 an；{1an＋ 12}6(2)数列{ bn}满足 bn＝(3 n－1)· ·an，数列{ bn}的前 n项和为 Tn，若不等式(－1)n2nnλ －2.∴－2 λ 3.1课时作业 36 数列的综合应用一、选择题1．已知数列 1， a1， a2,9 是等差数列，数列 1， b1， b2， b3,9 是等比数列，则b2·(a1＋ a2)＝( )A．20 B．30C．35 D．40解析：∵1， a1， a2,9 是等差数列，所以 a1＋ a2＝1＋9＝10；1， b1， b2， b3,9 是等比数列，所以 b ＝1×9＝9，因为 b ＝ b20，所以 b2＝3，所以 b2·(a1＋ a2)＝30，故选 B.2 21答案：B2．已知等比数列{ an}中的各项都是正数，且 5a1， a3,4a2成等差数列，则12＝( )a2n＋ 1＋ a2n＋ 2a1＋ a2A．－1 B．1C．5 2n D．5 2n－1解析：设等比数列{ an}的公比为 q(q0)，则依题意有 a3＝5 a1＋4 a2，即a1q2＝5 a1＋4 a1q， q2－4 q－5＝0，解得 q＝－1 或 q＝5.又 q0，因此 q＝5，所以＝ ＝ q2n＝5 2n.a2n＋ 1＋ a2n＋ 2a1＋ a2 a1q2n＋ a2q2na1＋ a2答案：C3．在直角坐标系中， O 是坐标原点， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是第一象限的两个点，若1， x1， x2,4 依次成等差数列，而 1， y1， y2,8 依次成等比数列，则△ OP1P2的面积是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：根据等差、等比数列的性质，可知 x1＝2， x2＝3， y1＝2， y2＝4.∴ P1(2,2)，P2(3,4)．∴ S△ OP1P2＝1.答案：A4．已知函数 y＝log a(x－1)＋3( a0， a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{ an}的第二项与第三项，若 bn＝ ，数列{ bn}的前 n 项和为 Tn，则 T10等于( )1anan＋ 1A. B.911 10112C. D.811 1211解析：由 y＝log a(x－1)＋3 恒过定点(2,3)，即 a2＝2， a3＝3，又{ an}为等差数列，∴ an＝ n， n∈N *.∴ bn＝ ，∴ T10＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .1n n＋ 1 11 12 12 13 110 111 111 1011答案：B5．如图所示，矩形 AnBnCnDn的一边 AnBn在 x 轴上，另外两个顶点 Cn， Dn在函数 f(x)＝ x＋ (x0)的图象上．若点 Bn的坐标为( n,0)(n≥2， n∈N *)，记矩形 AnBnCnDn的周长为1xan，则 a2＋ a3＋…＋ a10＝( )A．208 B．216C．212 D．220解析：由 Bn(n,0)，得 Cn ，令 x＋ ＝ n＋ ，即 x2－ x＋1＝0，得 x＝ n(n， n＋1n) 1x 1n (n＋ 1n)或 x＝ ，所以 Dn ，所以矩形 AnBnCnDn的周长 an＝2 ＋2 ＝4 n，则1n (1n， n＋ 1n) (n－ 1n) (n＋ 1n)a2＋ a3＋…＋ a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216，故选 B.答案：B6．对于函数 y＝ f(x)，部分 x 与 y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{ xn}满足 x1＝1，且对任意 x∈N *，点( xn， xn＋1 )都在函数 y＝ f(x)的图象上，则x1＋ x2＋ x3＋ x4＋…＋ x2 013＋ x2 014的值为( )A．7 549 B．7 545C．7 539 D．7 535解析：由已知表格列出点( xn， xn＋1 )，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x1＝1， x2＝3， x3＝5， x4＝6， x5＝1，…，数列{ xn}是周期数列，周期为 4,2 014＝4×503＋2，所以 x1＋ x2＋…＋ x2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.答案：A3二、填空题7．数列{ an}是公差不为 0 的等差数列，且 a1， a3， a7为等比数列{ bn}的连续三项，则数列{ bn}的公比为________．解析：由题意知 a ＝ a1·a7，即( a1＋2 d)2＝ a1·(a1＋6 d)，∴ a1＝2 d，∴等比数列{ bn}23的公比 q＝ ＝ ＝2.a3a1 a1＋ 2da1答案：28．函数 y＝ x2(x0)的图象在点( ak， a )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak＋1 ， k 为正2k整数， a1＝16，则 a1＋ a3＋ a5＝________.解析：依题意得，函数 y＝ x2(x0)的图象在点( ak， a )处的切线方程是2ky－ a ＝2 ak(x－ ak)．令 y＝0，得 x＝ ak，即 ak＋1 ＝ ak，因此数列{ ak}是以 16 为首项， 为2k12 12 12公比的等比数列，所以 ak＝16· k－1 ＝2 5－ k， a1＋ a3＋ a5＝16＋4＋1＝21.(12)答案：219．在等差数列{ an}中， a2＝5， a6＝21，记数列{ }的前 n 项和为 Sn，若 S2n＋1 － Sn≤1an对 n∈N *恒成立，则正整数 m 的最小值为________．m15解析：由{ an}为等差数列， a2＝5， a6＝21 得， d＝ ＝4， an＝5＋4( n－2)a6－ a24＝4 n－3，而数列{ S2n＋1 － Sn}有( S2n＋3 － Sn＋1 )－( S2n＋1 － Sn)＝ S2n＋3 － S2n＋1 ＋ Sn－ Sn＋1 ＝ ＋ － 0，15×3n2 72所以{ bn}是单调递增数列．已知各项均为正数的数列{ an}满足： a ＝2 a ＋ anan＋1 ，且 a2＋ a4＝2 a3＋4，其中2n＋ 1 2nn∈N *.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设数列{ bn}满足： bn＝ ，是否存在正整数 m， n(10，所以 2an－ an＋1 ＝0，即 2an＝ an＋1 .所以数列{ an}是公比为 2 的等比数列．由 a2＋ a4＝2 a3＋4，得 2a1＋8 a1＝8 a1＋4，解得 a1＝2.故数列{ an}的通项公式为 an＝2 n(n∈N *)．(2)因为 bn＝ ＝ ，nan 2n＋ 1 2n n2n＋ 1所以 b1＝ ， bm＝ ， bn＝ .13 m2m＋ 1 n2n＋ 1若 b1， bm， bn成等比数列，则 2＝ ，(m2m＋ 1) 13( n2n＋ 1)即 ＝ .m24m2＋ 4m＋ 1 n6n＋ 3由 ＝ ，可得 ＝ ，m24m2＋ 4m＋ 1 n6n＋ 3 3n － 2m2＋ 4m＋ 1m2所以－2 m2＋4 m＋10，从而 1－ 1，所以 m＝2，此时 n＝12.故当且仅当 m＝2， n＝12 时， b1， bm， bn成等比数列．1课时作业 37 不等关系与不等式一、选择题1．实数 x， y， z 满足 x2－2 x＋ y＝ z－1 且 x＋ y2＋1＝0，则 x， y， z 满足的下列关系式为( )A． z≥ yx B． z≥ xyC． xz≥ y D． zx≥ y解析：由 x2－2 x＋ y＝ z－1⇒ z－ y＝( x－1) 2≥0⇒ z≥ y；又由x＋ y2＋1＝0⇒ y－ x＝ y2＋ y＋1＝( y＋ )2＋ 0⇒yx，故 z≥ yx.12 34答案：A2．(2014·山东卷)已知实数 x， y 满足 ax B．ln( x2＋1)ln( y2＋1)1x2＋ 1 1y2＋ 1C．sin xsiny D． x3y3解析：由 axy.又因为函数 f(x)＝ x3在 R 上递增，所以 f(x)f(y)，即 x3y3.答案：D3．设 a＝lge， b＝(lge) 2， c＝lg ，则( )eA． abc B． acbC． cab D． cba解析：∵0 lge(lge)2.∴ acb.1012 12答案：B4．已知 0N B． M0,1＋ b0,1－ ab0，∴ M－ N＝ ＋ ＝ 0，故选 A.1b 1－ a1＋ a 1－ b1＋ b 2－ 2ab 1＋ a  1＋ b答案：A25．已知 a， b， c∈R，给出下列命题：①若 ab，则 ac2bc2；②若 ab≠0，则 ＋ ≥2；③若 ab0， n∈N *，则 anbn；④若ab balogab0， a≠1)，则( a－1)( b－1)0， a≠1)，则有可能 a1,01,00 B．2 a－ b2ab ba＝ 2,2 22＝4，D 错误；由 a＋ b＝12 ，即 abab(a≠ b)．12答案： (a2＋ b2)ab(a≠ b)12三、解答题10．设 abc，求证： ＋ ＋ 0.1a－ b 1b－ c 1c－ a证明：∵ abc，∴－ c－ b.∴ a－ ca－ b0.∴ 0.1a－ b 1a－ c∴ ＋ 0.又 b－ c0，∴ 0.1a－ b 1c－ a 1b－ c∴ ＋ ＋ 0.1a－ b 1b－ c 1c－ a11．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为 s，甲、乙两人的步行速度为 v1，跑步速度为 v2，且v1 ＝1.v21＋ v2＋ 2v1v24v1v2 4v1v24v1v2∵ t 甲 0， t 乙 0，∴ t 甲 t 乙 ，即乙先到教室．41．设 a0， b0，则以下不等式中不恒成立的是( )A．( a＋ b) ≥4 B． a3＋ b3≥2 ab2(1a＋ 1b)C． a2＋ b2＋2≥2 a＋2 b D. ≥ －|a－ b| a b解析：∵ a0， b0，∴( a＋ b) ≥2 ·2 ＝4，故 A 恒成立；(1a＋ 1b) ab 1a·1b∵ a3＋ b3－2 ab2＝ a3－ ab2＋ b3－ ab2＝( a－ b)(a2＋ ab－ b2)，无法确定正负，故 B 不恒成立；a2＋ b2＋2－(2 a＋2 b)＝( a－1) 2＋( b－1) 2≥0，故 C 恒成立；若 a 成立，则实数 m 的取值范围为( )x－ mex xA. B.(－ ∞ ， －1e) (－ 1e， e)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：由 得：－ mex× － x，x－ mex x x令 f(x)＝e x× － x，则－ mf(x)min.xf′( x)＝e x× ＋e x× －1≥ ×ex－10，x12x 2所以 f(x)≥ f(0)＝0，－ m0， maab，则实数 b 的取值范围是________．解析：∵ ab2aab，∴ a≠0，当 a0 时， b21b，即Error!解得 b3，解得 x 10.2 000＋ 60x800＋ 10x 403所以，10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元．(2)设 1≤ x10， 60×800－ 2 000a  x2－ x1 800＋ ax2  800＋ ax1所以 60×800－2 000 a0，得 a24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过 23 人．