（新课标）2016高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 理（课时作业+单元检测）（打包15套）新人教A版.zip

1第二章单元质量检测时间：90 分钟 分值：100 分一、选择题(每小题 4分，共 40分)1．函数 y＝ 的定义域为( ) x＋ 1 02x＋ 1A. B. ∪(－1，＋∞)(－12， ＋ ∞ ) (－ 12， － 1)C. D. ∪(－1，＋∞)[12， ＋ ∞ ) [－ 12， － 1)解析：由Error!得 x∈ .(－12， ＋ ∞ )答案：A2．曲线 y＝ x3－2 x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．30° B．45°C．60° D．120°解析：由 y′＝3 x2－2 得 y′| x＝1 ＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为 1，所以切线的倾斜角为 45°.答案：B3．若已知函数 f(x)＝Error!则 f(f(1))＋ f(log312)的值是( )A．7 B．2C．5 D．3解析： f(1)＝log 21＝0，所以 f(f(1))＝ f(0)＝2.因为 log3 0，即 f(x)在 R上单调递增，因此函数 f(x)只有一个零点，故选 A.答案：A6．已知函数 f(x)＝ x－4＋ ， x∈(0,4)，当 x＝ a时， f(x)取得最小值 b，则函数9x＋ 1g(x)＝ |x＋ b|的图象为( )(1a)解析：由基本不等式得 f(x)＝ x＋1＋ －5≥2 －5＝1，当且仅当9x＋ 1  x＋ 1 ×9x＋ 1x＋1＝ ，9x＋ 1即 x＝2 时取得最小值 1，故 a＝2， b＝1，因此 g(x)＝ |x＋ b|＝ |x＋1| ，(1a) (12)只需将 y＝ |x|的图象向左平移 1个单位即可，(12)其中 y＝ |x|的图象可利用其为偶函数通过 y＝ x作出，故选 B.(12) (12)答案：B7．定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－ f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A． f(2)0时， f(x)的单调递减区间是(－3 m， m)，若 f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则Error!，解得 m≥3.当 m0， b0，且函数 f(x)＝4 x3－ ax2－2 bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab的最大值等于( )A．2 B．3C．6 D．9解析：∵ f′( x)＝12 x2－2 ax－2 b，Δ ＝4 a2＋96 b0，又 x＝1 是极值点，∴ f′(1)＝12－2 a－2 b＝0，即 a＋ b＝6，且 a0， b0，∴ ab≤ ＝9，当且仅当 a＝ b时“＝”成立，所以 ab的最大值为 9. a＋ b 24答案：D10．(2014·湖南卷)若 0lnx2－ln x1 B．e x2－e x1x1ex2 D． x2ex1g(x2)， x2ex1x1ex2，故选 C.4答案：C二、填空题(每小题 4分，共 16分)11．设 f(x)＝Error!则 f[f(－1)]＝________.解析： f(－1)＝(－1) 2＝1，所以 f[f(－1)]＝ f(1)＝2 1＝2.答案：212．不等式 x2－2 x0)有实根，1x所以 a＝－ 0时，方程 f(x)＝0 有且只有一个实数根；④方程 f(x)＝0 至多有两个实数根．其中正确命题的序号为________．解析：若 q＝0，则 f(x)＝ x|x|＋ px＝ x(|x|＋ p)为奇函数，所以①正确；由①知，当q＝0 时， f(x)为奇函数，图象关于原点对称， f(x)＝ x|x|＋ px＋ q的图象由函数 f(x)＝ x|x|＋ px向上或向下平移| q|个单位，所以图象关于(0， q)对称，所以②正确；当p＝0， q0时， f(x)＝ x|x|＋ q＝Error!当 f(x)＝0，得 x＝－ ，只有一解，所以③正确；q取 q＝0， p＝－1， f(x)＝ x|x|－ x＝Error!由 f(x)＝0，可得 x＝0， x＝±1 有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③.答案：①②③三、解答题(共 4小题，共 44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)515．(10 分)已知函数 f(x)＝ a－ .1|x|(1)求证：函数 y＝ f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)若 f(x)0， x2－ x10，f(x2)－ f(x1)＝ －(a－1x2) (a－ 1x1)＝ － ＝ 0，1x1 1x2 x2－ x1x1x2所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意 a－ 1，所以 2－ 0，所以 h(x1)0， f(x)单调递增；当 x∈ 时， f′( x)0)，∴ f′( x)＝2 x＋1－ ＝ ，1x  2x－ 1  x＋ 1x当 x∈ 时， f′( x)0.(12， ＋ ∞ )∴ f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，12) (12， ＋ ∞ )(2)证明：设切点为 M(t， f(t))， f′( x)＝2 x＋ a－ ，1x切线的斜率 k＝2 t＋ a－ ，又切线过原点，则 k＝ ，1t f tt∴ ＝2 t＋ a－ ，即 t2＋ at－ln t＝2 t2＋ at－1.f tt 1t∴ t2－1＋ln t＝0，存在性： t＝1 满足方程 t2－1＋ln t＝0，∴ t＝1 是方程 t2－1＋ln t＝0 的根．再证唯一性：设 φ (t)＝ t2－1＋ln t， φ ′( t)＝2 t＋ 0，1tφ (t)在(0，＋∞)单调递增，且 φ (1)＝0，∴方程 t2－1＋ln t＝0 有唯一解．综上，切点的横坐标为 1.18．(12 分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ x3－3 x2＋ ax＋2，曲线 y＝ f(x)在点(0,2)处的切线与 x轴交点的横坐标为－2.(1)求 a；(2)证明：当 k0.当 x≤0 时， g′( x)＝3 x2－6 x＋1－ k0， g(x)单调递增， g(－1)＝ k－10时，令 h(x)＝ x3－3 x2＋4，则 g(x)＝ h(x)＋(1－ k)xh(x)．h′( x)＝3 x2－6 x＝3 x(x－2)， h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)h(x)≥ h(2)＝0.所以 g(x)＝0 在(0，＋∞)没有实根．综上， g(x)＝0 在 R有唯一实根，即曲线 y＝ f(x)与直线 y＝ kx－2 只有一个交点．1课时作业 10 函数的图象一、选择题1．为了得到函数 y＝lg( x＋3)－1 的图象，只需把函数 y＝lg x的图象上所有的点( )A．向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度B．向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度C．向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度D．向右平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度解析：由 y＝lg x图象向左平移 3个单位，得 y＝lg( x＋3)的图象，再向下平移一个单位得 y＝lg( x＋3)－1 的图象．答案：C2．函数 f(x)的图象向右平移 1个单位长度，所得图象与曲线 y＝e x关于 y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1C．e － x＋1 D．e － x－1解析：与曲线 y＝e x关于 y轴对称的曲线为 y＝e － x，函数 y＝e － x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x)＝e －( x＋1) ＝e － x－1 .答案：D3．当 01，故选 C.1a 1a答案：C4．在去年年初，某公司的一品牌电子产品，由于替代品的出现，产品销售量逐渐下降，五月份公司加大了宣传力度，销售量出现明显的回升，九月份，公司借大学生开学之机，采取了促销等手段，产品的销售量猛增，十一月份之后，销售量有所回落．下面大致能反映出2该公司去年该产品销售量的变化情况的图象是( )解析：由题意知销售量相对于月份的函数应该是先递减，然后递增(增加的幅度不太大)，然后急剧增大，接着递减，C 是符合的，故选 C.答案：C5．下列四个图中，函数 y＝ 的图象可能是( )10ln|x＋ 1|x＋ 1解析：函数 y＝ 的图象可以看作是由函数 y＝ 的图象向左移动 1个单10ln|x＋ 1|x＋ 1 10ln|x|x位得到的，而函数 y＝ 是奇函数，所以排除 A和 D；又因为当 x0时， x＋11，所以10ln|x|x0，所以选 C.ln|x＋ 1|x＋ 1答案：C6．已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，对任意的 x∈R，都有 f(2＋ x)＝－ f(x)，且当x∈[0,1]时， f(x)＝－ x2＋1，则方程 f(x)＝ k， k∈[0,1)在[－1,5]的所有实根之和为( )A．0 B．23C．4 D．8解析：画出函数 f(x)的图象如图，由图象知，所有实根之和为( x1＋ x2)＋( x3＋ x4)＝8.故选 D.答案：D二、填空题7．把函数 y＝log 3(x－1)的图象向右平移 个单位，再把横坐标缩小为原来的 ，所得12 12图象的函数解析式是________________．解析：y＝ log3(x－1)的图象向右平移 个单位得到 y＝ log3 ，再把横坐标缩小为12 (x－ 32)原来的 ，得到 y＝ log3 .故应填 y＝ log3 .12 (2x－ 32) (2x－ 32)答案：y＝ log3(2x－32)8．已知函数 f(x)＝Error!且关于 x的方程 f(x)－a＝0 有两个实根，则实数 a的范围是________．解析：当 x≤0 时，00时，其函数值 y≥0；④y＝x·2 x在定义域上为非6奇非偶函数，且当 x0时，其函数值 y0，且当 x0)．12令 h(x)＝g(x)，得 ln(x＋a)＝ e－x － ，作函数 M(x)＝ e－x － 的图象，显然当 a≤0 时，12 12函数 y＝ ln(x＋a)的图象与 M(x)的图象一定有交点．当 a0时，若函数 y＝ ln(x＋a)的图象与 M(x)的图象有交点，则 lna ，则 0a .综12 e上 a .故选 B.e答案： B3．函数 y＝(x－1) 3＋1 的图象的对称中心是________．解析：y＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将 y＝x 3的图象向上平移 1个单位，再向右平移 1个单位，即得 y＝(x－1) 3＋1 的图象，所以对称中心为(1,1)．答案：(1,1)4．已知函数 f(x)＝|x 2－4x＋3|.若关于 x的方程 f(x)－a＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数 a的取值范围．解：f(x)＝Error!作出图象如图所示．7原方程变形为|x 2－4x＋3|＝x＋a.于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图象．如图，则当直线 y＝x＋a过点(1,0)时 a＝－1；当直线 y＝x＋a 与抛物线 y＝－x 2＋4x－3 相切时，由Error! ⇒x2－3x＋a＋3＝0.由 Δ＝9－4(3＋a)＝0，得 a＝－ .34由图象知当 a∈ 时方程至少有三个不等实根．[－ 1， －34]1课时作业 11 函数与方程一、选择题1．已知函数 f(x)＝Error!则函数 f(x)的零点为( )A. ，0 B．－2,012C. D．012解析：当 x≤1 时，由 f(x)＝2 x－1＝0，解得 x＝0；当 x1 时，由 f(x)＝1＋ log2x＝0，解得 x＝ ，又因为 x1，所以此时方程无解．综上函数 f(x)的零点只有 0.12答案： D2．设 f(x)＝x 3＋bx＋c 是[－1,1]上的增函数，且 f ·f 0，f(1)·f(2)0，f(2)·f(3)0，故 f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选 C.答案： C4．(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x2－3 x.则函数 g(x)＝ f(x)－ x＋3 的零点的集合为( )A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－ ，1,3} D．{－2－ ，1,3}7 7解析：当 x0.令 f′( x)＝0 得 x＝ln a，所以当 x∈(0，ln a)时， f(x)为减函数，当x∈(ln a，＋∞)时， f(x)为增函数，只需 f(lna)＝e lna－ alna＝ a－ alnae.所以a∈(e，＋∞)．答案：A6．(2014·山东卷)已知函数 f(x)＝| x－2|＋1， g(x)＝ kx.若方程 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )A. B.(0，12) (12， 1)C．(1,2) D．(2，＋∞)解析：画出 f(x)＝| x－2|＋1 的图象如图所示．由数形结合知识，可知若方程 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则函数 g(x)与 f(x)的图象应有两个不同的交点．所以函数 g(x)＝ kx 的图象应介于直线 y＝ x 和 y＝ x 之间，所以 k 的取值范围是 .12 (12， 1)答案：B二、填空题7．函数 f(x)＝Error!的零点个数为________．解析：法 1：令 f(x)＝0，得Error!或Error!解得 x＝－3 或 x＝e 2，所以函数 f(x)有两个零点．法 2：画出函数 f(x)的图象(图略)可得，图象与 x 轴有两个交点，则函数 f(x)有两个3零点．答案：28．已知函数 f(x)＝ － m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为________．1x＋ 2解析：函数 f(x)有三个零点等价于方程 ＝ m|x|有且仅有三个实根．当 m＝0 时，不合题意，1x＋ 2舍去；当 m≠0 时，∵ ＝ m|x|⇔ ＝| x|(x＋2)，作函数 y＝| x|(x＋2)的图象，如图所示，1x＋ 2 1m由图象可知 m 应满足 01.1m答案： m19．若函数 y＝ f(x)(x∈R)满足 f(x＋2)＝ f(x)，且 x∈[－1，1]时， f(x)＝1－ x2，函数 g(x)＝Error!则函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为________．解析：如图，当 x∈[0,5]时，结合图象知 f(x)与 g(x)的图象共有 5 个交点，故在区间[－5,0]上共有 5 个交点；当 x∈(0,10]时，结合图象知共有 9 个交点．故函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)在区间[－5,10]上共有 14 个零点．答案：14三、解答题10．已知函数 f(x)＝ x3－ x2＋ ＋ .x2 144证明：存在 x0∈ ，使 f(x0)＝ x0.(0，12)证明：令 g(x)＝ f(x)－ x.∵ g(0)＝ ， g ＝ f － ＝－ ，14 (12) (12) 12 18∴ g(0)·g 0，(a－89) 89∴若存在实数 a 满足条件，则只需 f(－1)· f(3)≤0 即可．f(－1)· f(3)＝(1－3 a＋2＋ a－1)·(9＋9 a－6＋ a－1)＝4(1－ a)(5a＋1)≤0，所以 a≤－ 或 a≥1.15检验：①当 f(－1)＝0 时， a＝1.所以 f(x)＝ x2＋ x.令 f(x)＝0，即 x2＋ x＝0，得 x＝0 或 x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1.②当 f(3)＝0 时， a＝－ ，15此时 f(x)＝ x2－ x－ .135 65令 f(x)＝0，即 x2－ x－ ＝0，135 65解得 x＝－ 或 x＝3.25方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠－ .15综上所述， a 的取值范围是 ∪(1，＋∞)．(－ ∞ ， －15)1．方程 log5x＝|sin x|的解的个数为( )A．1 B．3C．4 D．55解析：函数 y＝log 5x 和 y＝|sin x|的图象的交点的个数即为方程解的个数，作出这两个函数的图象(如图)，log 5 2π 时，log 5x1，而|sin x|≤1，3π2 |sin3π2|故两个函数图象有三个交点，即原方程有三个解．答案：B2．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：在[－1,1)上， f(x)＝Error!且 f(x＋2)＝ f(x)，g(x)＝ ，则方程 f(x)＝ g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )2x＋ 5x＋ 2A．－7 B．－6C．－8 D．0解析：∵ f(x)＝Error!，且 f(x＋2)＝ f(x)，又 g(x)＝ ＝2＋ ，∴ g(x－2)2x＋ 5x＋ 2 1x＋ 2－2＝ .可知当 x≠2 k－1， k∈Z 时，函数 f(x)， g(x)的图象都关于(－2,2)对称．1x由图象可得：方程 f(x)＝ g(x)在区间[－5,1]上的实根有 3 个，设分别为 x1， x2， x3，则可取 x1＝－3， x2满足－50.当 x0， a≥2 时，函数 y＝ f(x)与 y＝ a|x|有一个交点；当 x0,01 时，函数 y＝ f(x)与 y＝ a|x|有两个交点；当 x0.∴ f(x)min＝ f(1)＝－4 a＝－4， a＝1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x2－2 x－3.(2)∵ g(x)＝ －4ln x＝ x－ －4ln x－2( x0)，x2－ 2x－ 3x 3x∴ g′( x)＝1＋ － ＝ .3x2 4x  x－ 1  x－ 3x2当 x 变化时， g′( x)， g(x)的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g′( x) ＋ 0 － 0 ＋7g(x)  极大值  极小值 当 0x≤3 时， g(x)≤ g(1)＝－40.又因为 g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1 个零点，故 g(x)在(0，＋∞)只有 1 个零点．1课时作业 12 函数模型及其应用一、选择题1．下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析：由表中数据知 x， y 满足关系 y＝13＋2( x－3)．故为一次函数模型．答案：A2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价 20 元，羽毛球每个定价 5 元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的 92%付款．现某人计划购买 4 副球拍和 30 个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A．不能确定 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱解析：方法①用款为 4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)因为 210AB，点 P 是匀速前进，所以在 CD 上移动的时间比在 AB 上移动所用的时间多，所以排除选项 D，选 B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系： M(t)＝ M02 ，其中 M0为 t＝0 时铯 137 的含量．已知 t＝30 时， 铯 137 含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则 M(60)＝( )A．5 太贝克 B．75ln 2 太贝克C．150ln 2 太贝克 D．150 太贝克解析：由题意 M′( t)＝ M02 ln2， M′(30) (－130)3＝ M02－1 × ln2＝－10ln2，∴ M0＝600，∴ M(60)＝600×2 －2 ＝150.故选 D.(－130)答案：D二、填空题7．某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．解析：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－ a＝10%· a，解得 a＝108.答案：1088．已知某驾驶员喝了 m 升酒后，血液中酒精的含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)＝Error!《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过 0.02 毫克/毫升．则此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到 1 小时)解析：驾驶员醉酒 1 小时血液中酒精含量为 5－1 ＝0.2，要使酒精含量≤0.02 毫克/毫升，则 x≤0.02 ，∴ x≥log 330＝1＋log 3101＋log 39＝3，故至少要 4 个小时后才能开车．35(13)答案：49．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费)，设某种汽车的购车的总费用为 50 000 元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为 6 000 元；前 x 年的总维修费 y 满足 y＝ ax2＋ bx，已知第一年的总维修费为 1 000 元，前两年的总维修费为 3 000 元，则这种汽车的最佳使用年限为________年．解析：由题意得Error!，解得： a＝500， b＝500，∴ y＝500 x2＋500 x.设年均消耗费用为 S，则S＝ ＋6 00050 000＋ 500x2＋ 500xx＝ ＋500 x＋500＋6 000≥2×5 000＋500＋6 00050 000x＝16 500(元)，当且仅当 ＝500 x，50 000x即 x＝10 时取“＝” ．答案：10三、解答题10．某种出口产品的关税税率为 t，市场价格 x(单位：千元)与市场供应量 p(单位：万件)之间近似满足关系式： p＝2(1－ kt)(x－ b)2，其中 k， b 均为常数．当关税税率 t＝75%时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约4为 2 万件．(1)试确定 k， b 的值．(2)市场需求量 q(单位：万件)与市场价格 x 近似满足关系式： q＝2 － x，当 p＝ q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知 ，⇒Error!解得 b＝5， k＝1.(2)当 p＝ q 时，2 (1－ t)(x－5) 2＝2 － x，所以(1－ t)(x－5) 2＝－ x⇒t＝1＋x x－ 5 2＝1＋ .1x＋ 25x－ 10而 f(x)＝ x＋ 在(0,4]上单调递减，25x所以当 x＝4 时， f(x)有最小值 ，414故当 x＝4 时，关税税率的最大值为 500%.11．某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示为 y＝Error!且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当 x∈[200,300]时，设该项目获利为 S，则S＝200 x－ (12x2－ 200x＋ 80 000)＝－ x2＋400 x－80 000＝－ (x－400) 2，12 12∴当 x∈[200,300]时， S0， q≠1)；② f(x)＝log px＋ q(p0， p≠1)；③ f(x)＝ x2＋ px＋ q.能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足 f(1)＝10， f(3)＝2，则 f(x)＝________.解析：因为①②中函数要么单调递增，要么单调递减，不满足题意，③为二次函数且开口向上，即 f(x)先减后增，满足题意，所以选③.由 f(1)＝10， f(3)＝2，得 1＋ p＋ q＝10,9＋3 p＋ q＝2，解得 p＝－8， q＝17.所以 f(x)＝ x2－8 x＋17.答案：③ x2－8 x＋174．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元；超过 4 吨而不超过 6 吨的，超出 4 吨的部分每吨 4 元；超过 6 吨的，超出 6 吨的部分每吨 6 元．7(1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了过去 12 个月的月用水量( x∈N *)如下表：月用水量 x(吨) 3 4 5 6 7频数 1 3 3 3 2请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过 12 元的家庭称为“节约用水家庭” ，随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表：月用水量 x(吨) 1 2 3 4 5 6 7频数 10 20 16 16 15 13 10据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1) y 关于 x 的函数关系式为 y＝Error!(2)由(1)知：当 x＝3 时， y＝6；当 x＝4 时， y＝8；当 x＝5 时， y＝12；当 x＝6 时， y＝16；当 x＝7 时， y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．112(3)由(1)和题意知：当 y≤12 时， x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为 ＝77%，77100据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%.1课时作业 13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数 y＝ x2cosx 在 x＝1 处的导数是( )A．0 B．2cos1－sin1C．cos1－sin1 D．1解析：∵ y′＝( x2cosx)′＝( x2)′cos x＋ x2(cosx)′＝2 xcosx－ x2sinx，∴ y′| x＝1 ＝2cos1－sin1.答案：B2．(2014·大纲卷)曲线 y＝ xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1解析： y′＝e x－1 ＋ x·ex－1 ，∴ y′| x＝1 ＝e 0＋1×e 0＝2.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y＝ ax－ln( x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2 x，则 a＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：因为 y′＝ a－ ，所以在点(0,0)处切线的斜率为 a－1＝2，解得 a＝3，故选1x＋ 1D.答案：D4．设 a 为实数，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a－3) x 的导函数为 f′( x)，且 f′( x)是偶函数，则曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为( )A．9 x－ y－16＝0 B．9 x＋ y－16＝0C．6 x－ y－12＝0 D．6 x＋ y－12＝0解析： f′( x)＝3 x2＋2 ax＋ a－3，由于 f′( x)是偶函数，所以 a＝0，此时 f′( x)＝3 x2－3， f′(2)＝9， f(2)＝2，所以曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为y－2＝9( x－2)，即 9x－ y－16＝0.答案：A5．等比数列{ an}中， a1＝2， a8＝4，函数 f(x)＝ x(x－ a1)·(x－ a2)…(x－ a8)，则f′(0)＝( )2A．2 12 B．2 9C．2 8 D．2 6解析： f′( x)＝( x－ a1)(x－ a2)…(x－ a8)＋ x[(x－ a1)(x－ a2)…(x－ a8)]′，故 f′(0)＝ a1a2…a8＝( a1a8)4＝2 12.答案：A6．函数 f(x)＝－ eax(a0， b0)的图象在 x＝0 处的切线与圆 x2＋ y2＝1 相切，则1ba＋ b 的最大值是( )A．4 B．2 2C. D．22解析： f′( x)＝－ eax，所以 x＝0 处的切线斜率 k＝ f′(0)＝－ ，又 f(0)＝－ ，所ab ab 1b以切线方程为 y＋ ＝－ (x－0)即 ax＋ by＋1＝0，由题意该直线与圆 x2＋ y2＝1 相切，故1b ab＝1 即 a2＋ b2＝1，由 a2＋ b2≥ 得 a＋ b≤ ，故最大值为 .1a2＋ b2  a＋ b 22 2 2答案：C二、填空题7．函数 y＝ f(x)的图象在点 P(3， f(3))处的切线方程为 y＝ x＋2， f′( x)为 f(x)的导函数，则 f(3)＋ f′(3)＝________.解析：(3， f(3))在切线 y＝ x＋2 上，∴ f(3)＝5，又 f′(3)＝1，∴ f(3)＋ f′(3)＝6.答案：68．(2014·江西卷)若曲线 y＝e － x上点 P 处的切线平行于直线 2x＋ y＋1＝0，则点 P 的坐标是________．解析：设 P(x0， y0)，∵ y＝e － x，答案：(－ln2,2)9．若以曲线 y＝ x3＋ bx2＋4 x＋ c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负13数，则实数 b 的取值范围是________．解析： y′＝ x2＋2 bx＋4，∵ y′≥0 恒成立，∴ Δ ＝4 b2－16≤0，∴－2≤ b≤2.答案：[－2,2]3三、解答题10．已知函数 f(x)＝ x3＋(1－ a)x2－ a(a＋2) x＋ b(a， b∈R)．(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a， b 的值；(2)若曲线 y＝ f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围．解： f′( x)＝3 x2＋2(1－ a)x－ a(a＋2)．(1)由题意得Error!解得 b＝0， a＝－3 或 1.(2)∵曲线 y＝ f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，∴关于 x 的方程 f′( x)＝3 x2＋2(1－ a)x－ a(a＋2)＝0 有两个不相等的实数根，∴ Δ ＝4(1－ a)2＋12 a(a＋2)0，即 4a2＋4 a＋10，∴ a≠－ .12∴ a 的取值范围是 ∪ .(－ ∞ ， －12) (－ 12， ＋ ∞ )11．已知函数 f(x)＝ ， g(x)＝ alnx， a∈R.若曲线 y＝ f(x)与曲线 y＝ g(x)相交，且x在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程．解： f′( x)＝ ， g′( x)＝ (x0)，由已知得：12x axError!，解得 a＝ e， x＝e 2.12∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为 k＝ f′(e 2)＝ ，12e所以切线的方程为 y－e＝ (x－e 2)，即 x－2e y＋e 2＝0.12e1．已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－eC. D．－1e 1e解析： y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为( x0， y0)，则有 k＝ f′( x0)＝ ，∴切1x0线方程为 y－ y0＝ (x－ x0)，又切线过点(0,0)，则 x0＝e， y0＝1，∴ k＝ f′( x0)＝ ＝ ，1x0 1x0 1e故选 C.4答案：C2．下列四个图象中，有一个是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a2－4) x＋1( a∈R， a≠0)的导函13数 y＝ f′( x)的图象，则 f(1)＝( )A. B.103 43C．－ D．123解析：∵ f(x)＝ x3＋ ax2＋( a2－4) x＋1( a∈R， a≠0)，则 f′( x)＝ x2＋2 ax＋( a2－4)，13由 a≠0，结合导函数 y＝ f′( x)的图象知导函数图象为③，从而可知 a2－4＝0，解得a＝－2 或 a＝2，再结合－ a0 知 a＝－2，代入可得函数 f(x)＝ x3＋(－2) x2＋1，∴ f(1)13＝－ ，故选 C.23答案：C3．若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x解析：对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；②中， y′＝2( x＋1)， x＝－1， y′＝0， x＝－1 不是切线；③中， y′＝cos x， x＝0， y′＝1，切线方程为 y＝ x，又 x0 时，xsinx，符合；5④中， y′＝ ′＝ ＝ ， x＝0， y′＝1，切线为 y＝ x.当 x0 时，(sinxcosx) cos2x＋ sin2xcos2x 1cos2xxtanx；当 xln x；当 x1 时，1xx－1ln x，不满足(ⅱ)．综述，①③④正确．答案：①③④4．已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k 的值，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是 y＝ g(x)的切线；如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)因为 f′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，所以 f′(－1)＝0，即 3a－6－6 a＝0，所以a＝－2.(2)因为直线 m 恒过点(0,9)．设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)，因为 g′( x0)＝6 x0＋6.20所以切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，将点(0,9)代入得 x0＝±1.20当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9，当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由 f′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，即有 x＝－1， x＝2.经检验，当 x＝2 时， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝9 是公切线，又由 f′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，∴ x＝0 或 x＝1，经检验， x＝0 或 x＝1 不是公切线，∴ k＝0 时 y＝9 是两曲线的公切线．1课时作业 14 导数与函数单调性一、选择题1．下面为函数 y＝ xsinx＋cos x的递增区间的是( )A．( ， ) B．(π，2π)π2 3π2C．( ， ) D．(2π，3π)3π2 5π2解析： y′＝( xsinx＋cos x)′＝sin x＋ xcosx－sin x＝ xcosx，当 x∈( ， )时，恒3π2 5π2有 xcosx0.故选 C.答案：C2．已知定义在 R上的函数 f(x)，其导函数 f′( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A． f(b)f(c)f(d)B． f(b)f(a)f(e)C． f(c)f(b)f(a)D． f(c)f(e)f(d)解析：依题意得，当 x∈(－∞， c)时， f′( x)0；当 x∈( c， e)时， f′( x)0.因此，函数 f(x)在(－∞， c)上是增函数，在( c， e)上是减函数，在( e，＋∞)上是增函数，又 af(b)f(a)．答案：C3．∀ x1， x2∈(0， )， x2x1， y1＝ ， y2＝ ，则 ( )π2 sinx1x1 sinx2x2A． y1＝ y2B． y1y22C． y1y2.答案：B4．设函数 f(x)＝ x2－9ln x在区间[ a－1， a＋1]上单调递减，则实数 a的取值范围是( )12A．10)，12 9x当 x－ ≤0 时，有 00 且 a＋1≤3，解得9x1f(b) B． f(a)＝ f(b)C． f(a)1解析： f′( x)＝ ，当 xe时， f′( x)1－ lnxx2f(b)．3答案：A二、填空题7．函数 f(x)＝1＋ x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有 f′( x)＝1－cos x0，所以 f(x)在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增8．若函数 f(x)＝ x3－ x2＋ ax＋4 恰在[－1,4]上单调递减，则实数 a的值为13 32________．解析：∵ f(x)＝ x3－ x2＋ ax＋4，∴ f′( x)＝ x2－3 x＋ a，又函数 f(x)恰在[－1,4]上13 32单调递减，∴－1,4 是 f′( x)＝0 的两根，∴ a＝(－1)×4＝－4.答案：－49．若函数 f(x)＝ (a0)为 R上的单调函数，则 a的取值范围为________．ex1＋ ax2解析：若 f(x)为 R上的单调函数，则 f′( x)在 R上不变号，结合 f′( x)＝e x与条件 a0，知 ax2－2 ax＋1≥0 在 R上恒成立，因此 Δ ＝4 a2－4 a＝4 a(a－1)1＋ ax2－ 2ax 1＋ ax2 2≤0，由此并结合 a0，知 00)，则 h′( x)＝－ － 0，从而 f′( x)0；当 x1时， h(x)0，所以 g(x)在f xx ax ax2(1，＋∞)上为增函数．答案：D52．已知 f(x)为 R上的可导函数，且∀ x∈R，均有 f(x)f′( x)，则以下判断正确的是( )A． f(2 013)e2 013f(0)B． f(2 013)f′( x)，∴ g′( x)f xex f′  x － f xex0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当 a0，12设 x1， x2(x10，a＋ 1－ 2a＋ 1－ a a2＋ 2a＋ 1－ 2a＋ 1－ a所以 x∈(0， x1)时， g(x)0， f′( x)0，函数 f(x)单调递增，x∈( x2，＋∞)时， g(x)0， f′( x)0，函数 f(x)单调递减．综上可得：当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a≤－ 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；12当－ a0时， f(x)在 ，12 (0， －  a＋ 1 ＋ 2a＋ 1a )上单调递减，(－  a＋ 1 － 2a＋ 1a ， ＋ ∞ )在 上单调递增．(－  a＋ 1 ＋ 2a＋ 1a ， －  a＋ 1 － 2a＋ 1a )