1、1第二章单元质量检测时间：90 分钟 分值：100 分一、选择题(每小题 4分，共 40分)1函数 y 的定义域为( ) x 1 02x 1A. B. (1，)(12， ) ( 12， 1)C. D. (1，)12， ) 12， 1)解析：由Error!得 x .(12， )答案：A2曲线 y x32 x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A30 B45C60 D120解析：由 y3 x22 得 y| x1 1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为 1，所以切线的倾斜角为 45.答案：B3若已知函数 f(x)Error!则 f(f(1) f(log312)的值是( )A7 B2C5 D3解
2、析： f(1)log 210，所以 f(f(1) f(0)2.因为 log3 0，即 f(x)在 R上单调递增，因此函数 f(x)只有一个零点，故选 A.答案：A6已知函数 f(x) x4 ， x(0,4)，当 x a时， f(x)取得最小值 b，则函数9x 1g(x) |x b|的图象为( )(1a)解析：由基本不等式得 f(x) x1 52 51，当且仅当9x 1 x 1 9x 1x1 ，9x 1即 x2 时取得最小值 1，故 a2， b1，因此 g(x) |x b| |x1| ，(1a) (12)只需将 y |x|的图象向左平移 1个单位即可，(12)其中 y |x|的图象可利用其为偶函
3、数通过 y x作出，故选 B.(12) (12)答案：B7定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(2)0时， f(x)的单调递减区间是(3 m， m)，若 f(x)在区间(2,3)上是减函数，则Error!，解得 m3.当 m0， b0，且函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则 ab的最大值等于( )A2 B3C6 D9解析： f( x)12 x22 ax2 b， 4 a296 b0，又 x1 是极值点， f(1)122 a2 b0，即 a b6，且 a0， b0， ab 9，当且仅当 a b时“”成立，所以
4、 ab的最大值为 9. a b 24答案：D10(2014湖南卷)若 0lnx2ln x1 Be x2e x1x1ex2 D x2ex1g(x2)， x2ex1x1ex2，故选 C.4答案：C二、填空题(每小题 4分，共 16分)11设 f(x)Error!则 ff(1)_.解析： f(1)(1) 21，所以 ff(1) f(1)2 12.答案：212不等式 x22 x0)有实根，1x所以 a 0时，方程 f(x)0 有且只有一个实数根；方程 f(x)0 至多有两个实数根其中正确命题的序号为_解析：若 q0，则 f(x) x|x| px x(|x| p)为奇函数，所以正确；由知，当q0 时，
5、f(x)为奇函数，图象关于原点对称， f(x) x|x| px q的图象由函数 f(x) x|x| px向上或向下平移| q|个单位，所以图象关于(0， q)对称，所以正确；当p0， q0时， f(x) x|x| qError!当 f(x)0，得 x ，只有一解，所以正确；q取 q0， p1， f(x) x|x| xError!由 f(x)0，可得 x0， x1 有三个实根，所以不正确综上正确命题的序号为.答案：三、解答题(共 4小题，共 44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)515(10 分)已知函数 f(x) a .1|x|(1)求证：函数 y f(x)在(0，)上是增函数
6、(2)若 f(x)0， x2 x10，f(x2) f(x1) (a1x2) (a 1x1) 0，1x1 1x2 x2 x1x1x2所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意 a 1，所以 2 0，所以 h(x1)0， f(x)单调递增；当 x 时， f( x)0)， f( x)2 x1 ，1x 2x 1 x 1x当 x 时， f( x)0.(12， ) f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，12) (12， )(2)证明：设切点为 M(t， f(t)， f( x)2 x a ，1x切线的斜率 k2 t a ，又切线过原点，则 k ，1t f tt 2 t a ，即 t2 at
7、ln t2 t2 at1.f tt 1t t21ln t0，存在性： t1 满足方程 t21ln t0， t1 是方程 t21ln t0 的根再证唯一性：设 (t) t21ln t， ( t)2 t 0，1t (t)在(0，)单调递增，且 (1)0，方程 t21ln t0 有唯一解综上，切点的横坐标为 1.18(12 分)(2014新课标全国卷)已知函数 f(x) x33 x2 ax2，曲线 y f(x)在点(0,2)处的切线与 x轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k0.当 x0 时， g( x)3 x26 x1 k0， g(x)单调递增， g(1) k10时，令 h(x) x
8、33 x24，则 g(x) h(x)(1 k)xh(x)h( x)3 x26 x3 x(x2)， h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x) h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)没有实根综上， g(x)0 在 R有唯一实根，即曲线 y f(x)与直线 y kx2 只有一个交点1课时作业 10 函数的图象一、选择题1为了得到函数 ylg( x3)1 的图象，只需把函数 ylg x的图象上所有的点( )A向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度B向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度C向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度D向右平移 3个
9、单位长度，再向下平移 1个单位长度解析：由 ylg x图象向左平移 3个单位，得 ylg( x3)的图象，再向下平移一个单位得 ylg( x3)1 的图象答案：C2函数 f(x)的图象向右平移 1个单位长度，所得图象与曲线 ye x关于 y轴对称，则f(x)( )Ae x1 Be x1Ce x1 De x1解析：与曲线 ye x关于 y轴对称的曲线为 ye x，函数 ye x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x)e ( x1) e x1 .答案：D3当 01，故选 C.1a 1a答案：C4在去年年初，某公司的一品牌电子产品，由于替代品的出现，产品销售量逐渐下降，五
10、月份公司加大了宣传力度，销售量出现明显的回升，九月份，公司借大学生开学之机，采取了促销等手段，产品的销售量猛增，十一月份之后，销售量有所回落下面大致能反映出2该公司去年该产品销售量的变化情况的图象是( )解析：由题意知销售量相对于月份的函数应该是先递减，然后递增(增加的幅度不太大)，然后急剧增大，接着递减，C 是符合的，故选 C.答案：C5下列四个图中，函数 y 的图象可能是( )10ln|x 1|x 1解析：函数 y 的图象可以看作是由函数 y 的图象向左移动 1个单10ln|x 1|x 1 10ln|x|x位得到的，而函数 y 是奇函数，所以排除 A和 D；又因为当 x0时， x11，所以
11、10ln|x|x0，所以选 C.ln|x 1|x 1答案：C6已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，对任意的 xR，都有 f(2 x) f(x)，且当x0,1时， f(x) x21，则方程 f(x) k， k0,1)在1,5的所有实根之和为( )A0 B23C4 D8解析：画出函数 f(x)的图象如图，由图象知，所有实根之和为( x1 x2)( x3 x4)8.故选 D.答案：D二、填空题7把函数 ylog 3(x1)的图象向右平移 个单位，再把横坐标缩小为原来的 ，所得12 12图象的函数解析式是_解析：y log3(x1)的图象向右平移 个单位得到 y log3 ，再把横坐标缩小为12 (
12、x 32)原来的 ，得到 y log3 .故应填 y log3 .12 (2x 32) (2x 32)答案：y log3(2x32)8已知函数 f(x)Error!且关于 x的方程 f(x)a0 有两个实根，则实数 a的范围是_解析：当 x0 时，00时，其函数值 y0；yx2 x在定义域上为非6奇非偶函数，且当 x0时，其函数值 y0，且当 x0)12令 h(x)g(x)，得 ln(xa) ex ，作函数 M(x) ex 的图象，显然当 a0 时，12 12函数 y ln(xa)的图象与 M(x)的图象一定有交点当 a0时，若函数 y ln(xa)的图象与 M(x)的图象有交点，则 lna
13、，则 0a .综12 e上 a .故选 B.e答案： B3函数 y(x1) 31 的图象的对称中心是_解析：yx 3的图象的对称中心是(0,0)，将 yx 3的图象向上平移 1个单位，再向右平移 1个单位，即得 y(x1) 31 的图象，所以对称中心为(1,1)答案：(1,1)4已知函数 f(x)|x 24x3|.若关于 x的方程 f(x)ax 至少有三个不相等的实数根，求实数 a的取值范围解：f(x)Error!作出图象如图所示7原方程变形为|x 24x3|xa.于是，设 yxa，在同一坐标系下再作出 yxa 的图象如图，则当直线 yxa过点(1,0)时 a1；当直线 yxa 与抛物线 yx
14、 24x3 相切时，由Error! x23xa30.由 94(3a)0，得 a .34由图象知当 a 时方程至少有三个不等实根 1， 341课时作业 11 函数与方程一、选择题1已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)的零点为( )A. ，0 B2,012C. D012解析：当 x1 时，由 f(x)2 x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1 log2x0，解得 x ，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数 f(x)的零点只有 0.12答案： D2设 f(x)x 3bxc 是1,1上的增函数，且 f f 0，f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，故 f(x)的零点所在区间是(
15、2,3)，故选 C.答案： C4(2014湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) x23 x.则函数 g(x) f(x) x3 的零点的集合为( )A1,3 B3，1,1,3C2 ，1,3 D2 ，1,37 7解析：当 x0.令 f( x)0 得 xln a，所以当 x(0，ln a)时， f(x)为减函数，当x(ln a，)时， f(x)为增函数，只需 f(lna)e lna alna a alnae.所以a(e，)答案：A6(2014山东卷)已知函数 f(x)| x2|1， g(x) kx.若方程 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范
16、围是( )A. B.(0，12) (12， 1)C(1,2) D(2，)解析：画出 f(x)| x2|1 的图象如图所示由数形结合知识，可知若方程 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则函数 g(x)与 f(x)的图象应有两个不同的交点所以函数 g(x) kx 的图象应介于直线 y x 和 y x 之间，所以 k 的取值范围是 .12 (12， 1)答案：B二、填空题7函数 f(x)Error!的零点个数为_解析：法 1：令 f(x)0，得Error!或Error!解得 x3 或 xe 2，所以函数 f(x)有两个零点法 2：画出函数 f(x)的图象(图略)可得，图象与 x 轴有两个交点，则
17、函数 f(x)有两个3零点答案：28已知函数 f(x) m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为_1x 2解析：函数 f(x)有三个零点等价于方程 m|x|有且仅有三个实根当 m0 时，不合题意，1x 2舍去；当 m0 时， m|x| | x|(x2)，作函数 y| x|(x2)的图象，如图所示，1x 2 1m由图象可知 m 应满足 01.1m答案： m19若函数 y f(x)(xR)满足 f(x2) f(x)，且 x1，1时， f(x)1 x2，函数 g(x)Error!则函数 h(x) f(x) g(x)在区间5,10内零点的个数为_解析：如图，当 x0,5时，结合图象知 f(x)与
18、g(x)的图象共有 5 个交点，故在区间5,0上共有 5 个交点；当 x(0,10时，结合图象知共有 9 个交点故函数 h(x) f(x) g(x)在区间5,10上共有 14 个零点答案：14三、解答题10已知函数 f(x) x3 x2 .x2 144证明：存在 x0 ，使 f(x0) x0.(0，12)证明：令 g(x) f(x) x. g(0) ， g f ，14 (12) (12) 12 18 g(0)g 0，(a89) 89若存在实数 a 满足条件，则只需 f(1) f(3)0 即可f(1) f(3)(13 a2 a1)(99 a6 a1)4(1 a)(5a1)0，所以 a 或 a1.
19、15检验：当 f(1)0 时， a1.所以 f(x) x2 x.令 f(x)0，即 x2 x0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故 a1.当 f(3)0 时， a ，15此时 f(x) x2 x .135 65令 f(x)0，即 x2 x 0，135 65解得 x 或 x3.25方程在1,3上有两根，不合题意，故 a .15综上所述， a 的取值范围是 (1，)( ， 15)1方程 log5x|sin x|的解的个数为( )A1 B3C4 D55解析：函数 ylog 5x 和 y|sin x|的图象的交点的个数即为方程解的个数，作出这两个函数的图象(如图)，log 5 2
20、时，log 5x1，而|sin x|1，32 |sin32|故两个函数图象有三个交点，即原方程有三个解答案：B2已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：在1,1)上， f(x)Error!且 f(x2) f(x)，g(x) ，则方程 f(x) g(x)在区间5,1上的所有实根之和为( )2x 5x 2A7 B6C8 D0解析： f(x)Error!，且 f(x2) f(x)，又 g(x) 2 ， g(x2)2x 5x 2 1x 22 .可知当 x2 k1， kZ 时，函数 f(x)， g(x)的图象都关于(2,2)对称1x由图象可得：方程 f(x) g(x)在区间5,1上的实根有 3 个，设分
21、别为 x1， x2， x3，则可取 x13， x2满足50.当 x0， a2 时，函数 y f(x)与 y a|x|有一个交点；当 x0,01 时，函数 y f(x)与 y a|x|有两个交点；当 x0. f(x)min f(1)4 a4， a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x) x22 x3.(2) g(x) 4ln x x 4ln x2( x0)，x2 2x 3x 3x g( x)1 .3x2 4x x 1 x 3x2当 x 变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)g( x) 0 0 7g(x) 极大值 极小值 当 0x3 时，
22、g(x) g(1)40.又因为 g(x)在(3，)单调递增，因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点，故 g(x)在(0，)只有 1 个零点1课时作业 12 函数模型及其应用一、选择题1下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析：由表中数据知 x， y 满足关系 y132( x3)故为一次函数模型答案：A2某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价 20 元，羽毛球每个定价 5 元，该店制定了两种优惠方法：买
23、一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的 92%付款现某人计划购买 4 副球拍和 30 个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A不能确定 B同样省钱C省钱 D省钱解析：方法用款为 42026580130210(元)方法用款为(420305)92%211.6(元)因为 210AB，点 P 是匀速前进，所以在 CD 上移动的时间比在 AB 上移动所用的时间多，所以排除选项 D，选 B.答案：B6放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系： M(t) M02 ，
24、其中 M0为 t0 时铯 137 的含量已知 t30 时， 铯 137 含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则 M(60)( )A5 太贝克 B75ln 2 太贝克C150ln 2 太贝克 D150 太贝克解析：由题意 M( t) M02 ln2， M(30) (130)3 M021 ln210ln2， M0600， M(60)6002 2 150.故选 D.(130)答案：D二、填空题7某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元解析：设进货价为 a 元，由题意知 132(110%) a10% a，解得 a108.
25、答案：1088已知某驾驶员喝了 m 升酒后，血液中酒精的含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)Error!酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过 0.02 毫克/毫升则此驾驶员至少要过_小时后才能开车(精确到 1 小时)解析：驾驶员醉酒 1 小时血液中酒精含量为 51 0.2，要使酒精含量0.02 毫克/毫升，则 x0.02 ， xlog 3301log 3101log 393，故至少要 4 个小时后才能开车35(13)答案：49汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用年均成本费用年均维修费)，设某种汽
26、车的购车的总费用为 50 000 元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为 6 000 元；前 x 年的总维修费 y 满足 y ax2 bx，已知第一年的总维修费为 1 000 元，前两年的总维修费为 3 000 元，则这种汽车的最佳使用年限为_年解析：由题意得Error!，解得： a500， b500， y500 x2500 x.设年均消耗费用为 S，则S 6 00050 000 500x2 500xx 500 x5006 00025 0005006 00050 000x16 500(元)，当且仅当 500 x，50 000x即 x10 时取“” 答案：10三、解答题10某种出口产品的关
27、税税率为 t，市场价格 x(单位：千元)与市场供应量 p(单位：万件)之间近似满足关系式： p2(1 kt)(x b)2，其中 k， b 均为常数当关税税率 t75%时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约4为 2 万件(1)试确定 k， b 的值(2)市场需求量 q(单位：万件)与市场价格 x 近似满足关系式： q2 x，当 p q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值解：(1)由已知 ，Error!解得 b5， k1.(2)当 p q 时，2 (1 t)(x5) 22 x，所以(1 t)(
28、x5) 2 xt1x x 5 21 .1x 25x 10而 f(x) x 在(0,4上单调递减，25x所以当 x4 时， f(x)有最小值 ，414故当 x4 时，关税税率的最大值为 500%.11某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示为 yError!且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数
29、额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当 x200,300时，设该项目获利为 S，则S200 x (12x2 200x 80 000) x2400 x80 000 (x400) 2，12 12当 x200,300时， S0， q1)； f(x)log px q(p0， p1)； f(x) x2 px q.能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足 f(1)10， f(3)2，则 f(x)_.解析：因为中函数要么单调递增，要么单调递减，不满足题意，为二次函数且开口向上，即 f(x)先减
30、后增，满足题意，所以选.由 f(1)10， f(3)2，得 1 p q10,93 p q2，解得 p8， q17.所以 f(x) x28 x17.答案： x28 x174某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元；超过 4 吨而不超过 6 吨的，超出 4 吨的部分每吨 4 元；超过 6 吨的，超出 6 吨的部分每吨 6 元7(1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了过去 12 个月的月用水量( xN *)如下表：月用水量 x(吨) 3 4 5 6 7频数 1 3 3 3
31、2请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过 12 元的家庭称为“节约用水家庭” ，随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表：月用水量 x(吨) 1 2 3 4 5 6 7频数 10 20 16 16 15 13 10据此估计该地“节约用水家庭”的比例解：(1) y 关于 x 的函数关系式为 yError!(2)由(1)知：当 x3 时， y6；当 x4 时， y8；当 x5 时， y12；当 x6 时， y16；当 x7 时， y22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6183123163
32、222)13(元)112(3)由(1)和题意知：当 y12 时， x5，所以“节约用水家庭”的频率为 77%，77100据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%.1课时作业 13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数 y x2cosx 在 x1 处的导数是( )A0 B2cos1sin1Ccos1sin1 D1解析： y( x2cosx)( x2)cos x x2(cosx)2 xcosx x2sinx， y| x1 2cos1sin1.答案：B2(2014大纲卷)曲线 y xex1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e BeC2 D1解析： ye x1 xex1 ， y| x1
33、 e 01e 02.答案：C3(2014新课标全国卷)设曲线 y axln( x1)在点(0,0)处的切线方程为y2 x，则 a( )A0 B1C2 D3解析：因为 y a ，所以在点(0,0)处切线的斜率为 a12，解得 a3，故选1x 1D.答案：D4设 a 为实数，函数 f(x) x3 ax2( a3) x 的导函数为 f( x)，且 f( x)是偶函数，则曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为( )A9 x y160 B9 x y160C6 x y120 D6 x y120解析： f( x)3 x22 ax a3，由于 f( x)是偶函数，所以 a0，此时 f( x)3
34、x23， f(2)9， f(2)2，所以曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为y29( x2)，即 9x y160.答案：A5等比数列 an中， a12， a84，函数 f(x) x(x a1)(x a2)(x a8)，则f(0)( )2A2 12 B2 9C2 8 D2 6解析： f( x)( x a1)(x a2)(x a8) x(x a1)(x a2)(x a8)，故 f(0) a1a2a8( a1a8)42 12.答案：A6函数 f(x) eax(a0， b0)的图象在 x0 处的切线与圆 x2 y21 相切，则1ba b 的最大值是( )A4 B2 2C. D22解析：
35、 f( x) eax，所以 x0 处的切线斜率 k f(0) ，又 f(0) ，所ab ab 1b以切线方程为 y (x0)即 ax by10，由题意该直线与圆 x2 y21 相切，故1b ab1 即 a2 b21，由 a2 b2 得 a b ，故最大值为 .1a2 b2 a b 22 2 2答案：C二、填空题7函数 y f(x)的图象在点 P(3， f(3)处的切线方程为 y x2， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(3) f(3)_.解析：(3， f(3)在切线 y x2 上， f(3)5，又 f(3)1， f(3) f(3)6.答案：68(2014江西卷)若曲线 ye x上点 P
36、处的切线平行于直线 2x y10，则点 P 的坐标是_解析：设 P(x0， y0)， ye x，答案：(ln2,2)9若以曲线 y x3 bx24 x c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负13数，则实数 b 的取值范围是_解析： y x22 bx4， y0 恒成立， 4 b2160，2 b2.答案：2,23三、解答题10已知函数 f(x) x3(1 a)x2 a(a2) x b(a， bR)(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a， b 的值；(2)若曲线 y f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围解： f( x)3 x22(1 a
37、)x a(a2)(1)由题意得Error!解得 b0， a3 或 1.(2)曲线 y f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，关于 x 的方程 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)0 有两个不相等的实数根， 4(1 a)212 a(a2)0，即 4a24 a10， a .12 a 的取值范围是 .( ， 12) ( 12， )11已知函数 f(x) ， g(x) alnx， aR.若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)相交，且x在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程解： f( x) ， g( x) (x0)，由已知得：12x axError!，解得 a e， xe 2.12两
38、条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为 k f(e 2) ，12e所以切线的方程为 ye (xe 2)，即 x2e ye 20.12e1已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae BeC. D1e 1e解析： yln x 的定义域为(0，)，设切点为( x0， y0)，则有 k f( x0) ，切1x0线方程为 y y0 (x x0)，又切线过点(0,0)，则 x0e， y01， k f( x0) ，1x0 1x0 1e故选 C.4答案：C2下列四个图象中，有一个是函数 f(x) x3 ax2( a24) x1( aR， a0)的导函13数 y f( x)的图象，则
39、 f(1)( )A. B.103 43C D123解析： f(x) x3 ax2( a24) x1( aR， a0)，则 f( x) x22 ax( a24)，13由 a0，结合导函数 y f( x)的图象知导函数图象为，从而可知 a240，解得a2 或 a2，再结合 a0 知 a2，代入可得函数 f(x) x3(2) x21， f(1)13 ，故选 C.23答案：C3若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：()直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；()曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是_(写出所有正确命
40、题的编号)直线 l： y0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y x3直线 l： x1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y( x1) 2直线 l： y x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： ysin x直线 l： y x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： ytan x直线 l： y x1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： yln x解析：对于， y3 x2， y| x0 0，所以 l： y0 是曲线 C： y x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，正确；中， y2( x1)， x1， y0， x1
41、 不是切线；中， ycos x， x0， y1，切线方程为 y x，又 x0 时，xsinx，符合；5中， y ， x0， y1，切线为 y x.当 x0 时，(sinxcosx) cos2x sin2xcos2x 1cos2xxtanx；当 xln x；当 x1 时，1xx1ln x，不满足()综述，正确答案：4已知函数 f(x) ax33 x26 ax11， g(x)3 x26 x12 和直线 m： y kx9，又f(1)0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k 的值，使直线 m 既是曲线 y f(x)的切线，又是 y g(x)的切线；如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由解：(
42、1)因为 f( x)3 ax26 x6 a，所以 f(1)0，即 3a66 a0，所以a2.(2)因为直线 m 恒过点(0,9)设切点为( x0,3x 6 x012)，因为 g( x0)6 x06.20所以切线方程为 y(3 x 6 x012)(6 x06)( x x0)，将点(0,9)代入得 x01.20当 x01 时，切线方程为 y9，当 x01 时，切线方程为 y12 x9.由 f( x)0 得6 x26 x120，即有 x1， x2.经检验，当 x2 时， y f(x)的切线方程为 y9， y9 是公切线，又由 f( x)12 得6 x26 x1212， x0 或 x1，经检验， x0
43、 或 x1 不是公切线， k0 时 y9 是两曲线的公切线1课时作业 14 导数与函数单调性一、选择题1下面为函数 y xsinxcos x的递增区间的是( )A( ， ) B(，2)2 32C( ， ) D(2，3)32 52解析： y( xsinxcos x)sin x xcosxsin x xcosx，当 x( ， )时，恒32 52有 xcosx0.故选 C.答案：C2已知定义在 R上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A f(b)f(c)f(d)B f(b)f(a)f(e)C f(c)f(b)f(a)D f(c)f(e)f(d)解析：依题
44、意得，当 x(， c)时， f( x)0；当 x( c， e)时， f( x)0.因此，函数 f(x)在(， c)上是增函数，在( c， e)上是减函数，在( e，)上是增函数，又 af(b)f(a)答案：C3 x1， x2(0， )， x2x1， y1 ， y2 ，则 ( )2 sinx1x1 sinx2x2A y1 y2B y1y22C y1y2.答案：B4设函数 f(x) x29ln x在区间 a1， a1上单调递减，则实数 a的取值范围是( )12A10)，12 9x当 x 0 时，有 00 且 a13，解得9x1f(b) B f(a) f(b)C f(a)1解析： f( x) ，当
45、xe时， f( x)1 lnxx2f(b)3答案：A二、填空题7函数 f(x)1 xsin x在(0,2)上的单调情况是_解析：在(0,2)上有 f( x)1cos x0，所以 f(x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增8若函数 f(x) x3 x2 ax4 恰在1,4上单调递减，则实数 a的值为13 32_解析： f(x) x3 x2 ax4， f( x) x23 x a，又函数 f(x)恰在1,4上13 32单调递减，1,4 是 f( x)0 的两根， a(1)44.答案：49若函数 f(x) (a0)为 R上的单调函数，则 a的取值范围为_ex1 ax2解析：若 f(x)为 R上的单调
46、函数，则 f( x)在 R上不变号，结合 f( x)e x与条件 a0，知 ax22 ax10 在 R上恒成立，因此 4 a24 a4 a(a1)1 ax2 2ax 1 ax2 20，由此并结合 a0，知 00)，则 h( x) 0，从而 f( x)0；当 x1时， h(x)0，所以 g(x)在f xx ax ax2(1，)上为增函数答案：D52已知 f(x)为 R上的可导函数，且 xR，均有 f(x)f( x)，则以下判断正确的是( )A f(2 013)e2 013f(0)B f(2 013)f( x)， g( x)f xex f x f xex0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，当 a0，12设 x1， x2(x10，a 1 2a 1 a a2 2a 1 2a 1 a所以 x(0， x1)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递增，x( x2，)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a 时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；12当 a0时， f(x)在 ，12 (0， a 1 2a 1a )上单调递减，( a 1 2a 1a ， )在 上单调递增( a 1 2a 1a ， a 1 2a 1a )
