（新课标）2016高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 理（课时作业+单元检测）（打包10套）新人教A版.zip

1第三章单元质量检测时间：90 分钟 分值：100 分一、选择题(每小题 4分，共 40分)1．cos －sin 的值为( )(－17π4 ) (－ 17π4 )A. B．－2 2C．0 D.22解析：原式＝cos ＋sin17π4 17π4＝cos ＋sin ＝ ＋ ＝ .(4π ＋π4) (4π ＋ π4) 22 22 2答案：A2．已知点 P 落在角 θ 的终边上，且 θ ∈[0,2π)，则 θ 的值为( )(sin3π4， cos3π4)A. B.π4 3π4C. D.5π4 7π4解析：由 sin 0，cos 0，cos A0.又(sin A－cos A)342＝1－2sin AcosA＝ .∴sin A－cos A＝ .74 72答案：A5．如图所示为函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ ) 的部分图象，其中(ω 0， 0≤ φ ≤π2)A， B两点之间的距离为 5，那么 f(－1)＝( )A．－1 B．－ 3C. D．13解析：由 A， B两点之间的距离为 5知函数的半周期为 3，因此 T＝6， ω ＝ ＝ ，又2πT π3函数过点(0,1)，所以 sinφ ＝ ，因为 0≤ φ ≤ ，所以 φ ＝ ，所以函数解析式为 f(x)12 π2 π6＝2sin ，故 f(－1)＝2sin ＝2sin(π3x＋ π6) (－ π3＋ π6) (－ π6)＝－1.答案：A6．△ ABC的三个内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， asinBcosC＋ csinBcosA＝ b，12且 ab，则∠ B＝( )A. B.π6 π3C. D.2π3 5π63解析：由正弦定理知 ＝ ＝ ＝2 R，asinA bsinB csinC所以 2RsinAsinBcosC＋2 RsinCsinBcosA＝ 2RsinB.12因为 ab，所以∠ B1， |φ |0， －π2≤ φ π2) π3离为 π.(1)求 ω 和 φ 的值；(2)若 f ＝ ，求 cos 的值．(α2) 34(π6α 2π3) (α ＋ 3π2)解：(1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π，所以 f(x)的最小正周期 T＝π，从而 ω ＝ ＝2.2πT又因 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称，π3所以 2· ＋ φ ＝ kπ＋ ， k＝0，±1，±2，….π3 π2因－ ≤ φ 得 k＝0，所以 φ ＝ － ＝－ .π2 π2 π2 2π3 π6(2)由(1)得 f ＝ sin ＝ ，(α2) 3 (2·α2－ π6) 34所以 sin ＝ .(α －π6) 14由 α 得 0α － ，π6 2π3 π6π2所以 cos ＝(α －π6) 1－ sin2(α － π6)＝ ＝ .1－ (14)2 154因此 cos ＝sin α ＝sin(α ＋3π2) [(α － π6)＋ π6]＝sin cos ＋cos sin(α －π6) π6 (α － π6) π6＝ × ＋ × ＝ .14 32 154 12 3＋ 1581第三章 三角函数、解三角形课时作业 18 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( )A．－ π B．－ π43 53C．－ π D．－ π76 74解析：－300× ＝－ π.π180 53答案：B2．若角 α 与 β 终边相同，则一定有( )A． α ＋ β ＝180°B． α ＋ β ＝0°C． α － β ＝ k·360°， k∈ZD． α ＋ β ＝ k·360°， k∈Z解析： α ＝ β ＋ k·360°， α ， β 终边相同．答案：C3．下列三角函数值的符号判断错误的是( )A．sin165°0 B．cos280°0C．tan170°0 D．tan310°0 正确；280°是第四象限角，因此cos280°0 正确；170°是第二象限角，因此 tan170°0，cos ＝ OM0，则实数 a 的取值范围是( )A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]4解析：由 cosα ≤0，sin α 0 可知，角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有Error! 解得－ 2a≤3.答案：A2．函数 y＝ 的定义域为________．2cosx－ 1解析：∵2cos x－1≥0，∴cos x≥ .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴ x∈ (k∈Z)．[2kπ －π 3， 2kπ ＋ π 3]答案： (k∈Z)[2kπ －π 3， 2kπ ＋ π 3]3．若角 α 的终边落在直线 x＋ y＝0 上，则 ＋ ＝________.sinα1－ sin2α 1－ cos2αcosα解析：原式＝ ＋ ，由题意知角 α 的终边在第二、四象限，sin α 与sinα|cosα | |sinα |cosαcosα 的符号相反，所以原式＝0.答案：04．如图，设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点， P、 Q 是单位圆上的两点， O 是坐标原点，∠ AOP＝ ，∠ AOQ＝ α ， α ∈[0，π)．π 65(1)若 Q( ， )，求 cos(α － )的值；35 45 π 6(2)设函数 f(α )＝ · ，求 f(α )的值域．OP→ OQ→ 解：(1)由已知可得 cosα ＝ ，sin α ＝ ，∴cos( α － )35 45 π 6＝cos α cos ＋sin α sin ＝ × ＋ × ＝ .π 6 π 6 35 32 45 12 33＋ 410(2)f(α )＝ · ＝(cos ，sin )·(cosα ，sin α )OP→ OQ→ π 6 π 6＝ cosα ＋ sinα ＝sin( α ＋ )．32 12 π 3∵ α ∈[0，π)，∴ α ＋ ∈[ ， )．π 3 π 3 4π3∴－ sin(α ＋ )≤1，∴ f(α )的值域为(－ ，1]．32 π 3 321课时作业 19 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题1．sin ＋cos －tan ＝( )29π6 (－ 29π3 ) 25π4A．0 B.12C．1 D．－12解析：原式＝sin(4π＋ )＋cos(－10π＋ )－tan(6π＋ )＝sin ＋cos －tan5π6 π 3 π 4 5π6 π 3＝ ＋ －1＝0.π 4 12 12答案：A2．若 sinα 是 5x2－7 x－6＝0 的根，则＝( )sin(－ α － 3π2)sin(3π2－ α )tan2 2π － α cos(π 2－ α )cos(π 2＋ α )sin π ＋ α A. B.35 53C. D.45 54解析：由 5x2－7 x－6＝0，得 x＝－ 或 2.∴sin α ＝－ .∴原式＝35 35＝ ＝ .cosα  － cosα  ·tan2αsinα · － sinα  · － sinα  1－ sinα 53答案：B3．已知 tanx＝2，则 sin2x＋1＝( )A．0 B.95C. D.43 53解析：sin 2x＋1＝ ＝ ＝ .2sin2x＋ cos2xsin2x＋ cos2x 2tan2x＋ 1tan2x＋ 1 95答案：B24．已知 α ∈ ，cos α ＝－ ，则 tan 等于( )(π ，32π ) 45 (π 4－ α )A．7 B.17C．－ D．－717解析：∵ α ∈ 且 cosα ＝－ ，∴sin α ＝－ ，∴tan α ＝ .tan ＝(π ，32π ) 45 35 34 (π 4－ α )＝ ＝ .tanπ 4－ tanα1＋ tanπ 4·tanα1－ 341＋ 34 17答案：B5．已知 ＝5，则 sin2α －sin α cosα 的值是( )sinα ＋ 3cosα3cosα － sinαA. B．－25 25C．－2 D．2解析：由 ＝5 得 ＝5sinα ＋ 3cosα3cosα － sinα tanα ＋ 33－ tanα即 tanα ＝2，所以 sin2α －sin α cosα ＝ ＝ ＝ .sin2α － sinα cosαsin2α ＋ cos2α tan2α － tanαtan2α ＋ 1 25答案：A6．已知 sinθ ＋cos θ ＝ ，则 sinθ －cos θ 的值为( )43(00，cos A0，∴sin A－cos A＝ ，②75∴由①，②可得 sinA＝ ，cos A＝－ ，45 35∴tan A＝ ＝ ＝－ .sinAcosA45－ 35 431．已知 sinθ ＝－ ， θ ∈(－ ， )，则 sin(θ －5π)sin( π－ θ )的值是( )13 π 2 π 2 32A. B．－229 2295C．－ D.19 19解析：∵sin θ ＝－ ， θ ∈(－ ， )，13 π 2 π 2∴cos θ ＝ ＝ .1－ sin2θ223∴原式＝－sin(π－ θ )·(－cos θ )＝sin θ cosθ＝－ × ＝－ .13 223 229答案：B2．当 0x 时，函数 f(x)＝ 的最小值是( )π 4 cos2xcosxsinx－ sin2xA. B.14 12C．2 D．4解析：当 0x 时，0tan x1，π 4f(x)＝ ＝ ，cos2xcosxsinx－ sin2x 1tanx－ tan2x设 t＝tan x，则 0t1， y＝1t－ t2＝ ≥ ＝4.1t 1－ t 1[t＋  1－ t2 ]2当且仅当 t＝1－ t，即 t＝ 时等号成立．12答案：D3．已知 cos ＝ a(|a|≤1)，则 cos ＋sin(π 6－ θ ) (5π6＋ θ ) (2π3－ θ )的值是________．解析：cos ＝cos(5π6＋ θ ) [π － (π 6－ θ )]＝－cos ＝－ a.(π 6－ θ )sin ＝sin ＝cos ＝ a，(2π3－ θ ) [π 2＋ (π 6－ θ )] (π 6－ θ )∴cos ＋sin ＝0.(5π6＋ θ ) (2π3－ θ )答案：064．在平面直角坐标系 xOy 中，钝角 α ＋ 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴π 4重合．若角 α ＋ 的终边与单位圆 x2＋ y2＝1 交于点 A .π 4 (－ 35， t)(1)求 sinα 的值；(2)设 f(x)＝cos ，求 f(1)＋ f(2)＋…＋ f(9)．(π 2x＋ α )解：(1)由三角函数的定义，得cos ＝－ ，sin ＝ .(α ＋π 4) 35 (α ＋ π 4) 45sinα ＝sin [(α ＋π 4)－ π 4]＝sin cos －cos sin(α ＋π 4) π 4 (α ＋ π 4) π 4＝ × － × ＝ .45 22 (－ 35) 22 7210(2)f(1)＝cos ＝－sin α ，(π 2＋ α )f(2)＝cos ＝－cos α ，(2×π 2＋ α )f(3)＝cos ＝sin α ，(3π2＋ α )f(4)＝cos ＝cos α ，(4×π 2＋ α )f(5)＝cos ＝－sin α .(π 2×5＋ α )∴ f(x)＝cos 的最小正周期 T＝4.(π 2x＋ α )∴ f(1)＋ f(2)＋…＋ f(9)＝2×[ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)]＋ f(1)．从而 f(1)＋ f(2)＋…＋ f(9)＝2×0－sin α ＝－ .72101课时作业 20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知 α ∈ ，sin α ＝ ，则 tan2α ＝( )(π 2， π ) 35A. B.247 2425C．－ D．－2425 247解析：∵ α ∈ ，sin α ＝ ，∴cos α ＝－ ，∴tan α ＝－ .∴tan2 α ＝(π 2， π ) 35 45 34＝ ＝－ .2tanα1－ tan2α2×(－ 34)1－ (－ 34)2 247答案：D2．已知 sin(π－ α )＝－ ，则 ＝( )1010 2sin2α ＋ sin2αcos(α － π 4)A. B．－12 255C. D．2255解析：∵sin(π－ α )＝－ ，∴sin α ＝－ .1010 1010∴ ＝2sin2α ＋ sin2αcos(α － π 4)2sinα  sinα ＋ cosα 22 sinα ＋ cosα ＝2 sinα ＝－ .2255答案：B3．已知 cosα ＝ ，cos( α ＋ β )＝－ ， α ， β 都是锐角，则 cosβ ＝( )35 513A．－ B．－6365 3365C. D.3365 63652解析：∵ α ， β 是锐角，∴00，cos( α ＋ β )sinα ＋sin βB．cos( α ＋ β )cosα cosβC．sin( α ＋ β )sin(α － β )D．cos( α ＋ β )cos(α － β )解析：∵sin( α ＋ β )＝sin α cosβ ＋cos α sinβ ，sin(α － β )＝sin α cosβ －cos α sinβ ，又∵ α 、 β 都是锐角，∴cos α sinβ 0，故 sin(α ＋ β )sin(α － β )．答案：C2．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连接 EC， ED，则sin∠ CED＝( )A. B.31010 1010C. D.510 515解析：因为四边形 ABCD 是正方形，且 AE＝ AD＝1，所以∠ AED＝ .π 4又因为在 Rt△ EBC 中， EB＝2， BC＝1，所以 sin∠ BEC＝ ，cos∠ BEC＝ .55 2556于是 sin∠ CED＝sin (π 4－ ∠ BEC)＝sin cos∠ BEC－cos sin∠ BECπ 4 π 4＝ × － × ＝ .故选 B.22 255 22 55 1010答案：B3．已知角 α ， β 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合， α ，β ∈(0，π)，角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是－ ，角 α ＋ β 的终边与单位圆交13点的纵坐标是 ，则 cosα ＝________.45解析：依题设及三角函数的定义得：cosβ ＝－ ，sin( α ＋ β )＝ .13 45又∵0 β π，∴ β π， α ＋ β π，sin β ＝ ，cos( α ＋ β )＝－ .π 2 π 2 223 35∴cos α ＝cos[( α ＋ β )－ β ]＝cos( α ＋ β )cosβ ＋sin( α ＋ β )sinβ＝－ × ＋ × ＝ .35 (－ 13) 45 223 3＋ 8215答案：3＋ 82154．(2014·江西卷)已知函数 f(x)＝( a＋2cos 2x)cos(2x＋ θ )为奇函数，且 f ＝0，(π 4)其中 a∈R， θ ∈(0，π)．(1)求 a， θ 的值；(2)若 f ＝－ ， α ∈ ，求 sin 的值．(α 4) 25 (π 2， π ) (α ＋ π 3)解：(1)因为 f(x)＝( a＋2cos 2x)cos(2x＋ θ )是奇函数，而 y1＝ a＋2cos 2x 为偶函数，所以 y2＝cos(2 x＋ θ )为奇函数，又 θ ∈(0，π)，则 θ ＝ ，所以 f(x)π 2＝－sin2 x·(a＋2cos 2x)，由 f ＝0 得－( a＋1)＝0，即 a＝－1.(π 4)(2)由(1)得， f(x)＝－ sin4x，因为 f ＝－ sinα ＝－ ，即 sinα ＝ ，又 α ∈12 (α 4) 12 25 45，从而 cosα ＝－ ，所以有 sin ＝sin α cos ＋cos α sin ＝ .(π 2， π ) 35 (α ＋ π 3) π 3 π 3 4－ 33101课时作业 21 简单的三角恒等变换一、选择题1．已知 tanα ＝2，那么 sin2α 的值是( )A．－ B.45 45C．－ D.35 35解析：sin2 α ＝2sin α cosα ＝2sinα cosαsin2α ＋ cos2α＝ ＝ .2tanα1＋ tan2α 45答案：B2．已知 a∈(0， )，cos α ＝ ，则 cos(α ＋ )等于( )π 2 33 π 6A. － B．1－12 66 66C．－ ＋ D．－1＋12 66 66解析：∵ α ∈(0， )，cos α ＝ ，∴sin α ＝ ，π 2 33 63∴cos( α ＋ )＝cos α cos －sin α sinπ 6 π 6 π 6＝ × － × ＝ － .33 32 63 12 12 66答案：A3．若 α ∈( ，π)，则 3cos2α ＝sin( － α )，则 sin2α 的值为( )π 2 π 4A. B．－118 118C. D．－1718 1718解析：由 3cos2α ＝sin( － α )得 3(cos2α －sin 2α )＝ (cosα －sin α )，从而π 4 223(cosα ＋sin α )＝ ，即 cosα ＋sin α ＝ 平方得22 2621＋2sin α cosα ＝ ，∴2sin α cosα ＝－ ，即 sin2α ＝－ .118 1718 1718答案：D4. 的值是( )2cos10°－ sin20°sin70°A. B.12 32C. D.3 2解析：原式＝2cos 30°－ 20° － sin20°sin70°＝2 cos30°·cos20°＋ sin30°·sin20° － sin20°sin70°＝ ＝ .3cos20°cos20° 3答案：C5．已知 sin ＋sin α ＝－ ，则 cos 等于 ( )(α ＋π 3) 435 (α ＋ 2π3)A．－ B．－45 35C. D.35 45解析：由 sin ＋sin α ＝－ ，(α ＋π 3) 435得 sinα ＋ cosα ＋sin α ＝－ ，12 32 435所以 sinα ＋ cosα ＝－ ，32 32 435故 sin ＝－ ，于是 sin ＝－ ，3 (α ＋π 6) 435 (α ＋ π 6) 45所以 cos ＝cos(α ＋2π3) [π 2＋ (α ＋ π 6)]＝－sin ＝ .(α ＋π 6) 45答案：D6．函数 f(x)＝sin x－cos 的值域为( )(x＋π 6)A．[－2,2] B．[－ ， ]3 3C．[－1,1] D.[－32， 32]3解析： f(x)＝sin x－ cosx＋ sinx32 12＝ ＝ sin .3(32sinx－ 12cosx) 3 (x－ π 6)x∈R，所以 x－ ∈R，所以 f(x)∈[－ ， ]，故选 B.π 6 3 3答案：B二、填空题7．已知 tan ＝2，则 的值为________．(x＋π 4) tanxtan2x解析：由 tan ＝2，得 ＝2，∴tan x＝ ，(x＋π 4) tanx＋ 11－ tanx 13∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .tanxtan2x tanx2tanx1－ tan2x 1－ tan2x2 12(1－ 19) 49答案：498．已知 sin ＝ ，则 cos ＝________.(π 6－ α ) 13 (2π3＋ 2α )解析：cos ＝2cos 2 －1，(2π3＋ 2α ) (π 3＋ α )又 cos ＝sin ＝ ，(π 3＋ α ) (π 6－ α ) 13所以 cos ＝－ .(2π3＋ 2α ) 79答案：－799．设当 x＝ θ 时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则 cosθ ＝________.解析： f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝ sin(x－ φ )，其中5(55sinx－ 255cosx) 5sinφ ＝ ，cos φ ＝ ，当 x－ φ ＝2 kπ＋ (k∈Z)时函数 f(x)取到最大值，即255 55 π 2θ ＝2 kπ＋ ＋ φ 时函数 f(x)取到最大值，所以 cosθ ＝－sin φ ＝－ .π 2 255答案：－255三、解答题10．(2014·江西卷)已知函数 f(x)＝sin( x＋ θ )＋ acos(x＋2 θ )，其中 a∈R， θ ∈(－4， )．π 2 π 2(1)当 a＝ ， θ ＝ 时，求 f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；2π 4(2)若 f( )＝0， f(π)＝1，求 a， θ 的值．π 2解：(1) f(x)＝sin( x＋ )＋ cos(x＋ )π 4 2 π 2＝ (sinx＋cos x)－ sinx22 2＝ cosx－ sinx＝sin( － x)，22 22 π 4因为 x∈[0，π]，从而 － x∈[－ ， ]π 4 3π4 π 4故 f(x)在[0，π]上的最大值为 ，最小值为－1.22(2)由Error! 得Error!又 θ ∈(－ ， )知 cosθ ≠0，解得Error!π 2 π 211．已知 f(x)＝2cos －1， x∈R.x2(3sinx2＋ cosx2)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)设 α ， β ∈ ， f(α )＝2， f(β )＝ ，求 f(α ＋ β )的值．(0，π 2) 85解：(1) f(x)＝ sinx＋cos x＝2sin ， f(x)的最小正周期 T＝2π.3 (x＋π 6)(2)因为 2sin ＝2，sin ＝1， α ＋ ，所以 α ＋ ＝ ， α ＝(α ＋π 6) (α ＋ π 6) π 6 π 62π3 π 6 π 2.π 32sin ＝ ，sin ＝ ， β ＋ ，因为 ，所以(β ＋π 6) 85 (β ＋ π 6) 45 π 6 π 62π3 45 32β ＋ ，cos ＝ ，所以π 6 π 6 π 2 (β ＋ π 6) 35f(α ＋ β )＝2sin ＝2sin ＝2cos β(α ＋ β ＋π 6) (π 2＋ β )＝2cos [(β ＋π 6)－ π 6]＝2cos cos ＋2sin sin ＝ .(β ＋π 6) π 6 (β ＋ π 6) π 6 33＋ 4551．已知 sin2α ＝ ，则 cos2 ＝( )13 (α － π 4)A. B．－ C. D．－13 13 23 23解析：cos 2 ＝ ＝(α －π 4) 1＋ cos(2α － π 2)2 1＋ sin2α2＝ ＝ ，故选 C.1＋ 132 23答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 α ∈(0， )， β ∈(0， )，且 tanα ＝ ，则( )π 2 π 2 1＋ sinβcosβA．3 α － β ＝ B．2 α － β ＝π 2 π 2C．3 α ＋ β ＝ D．2 α ＋ β ＝π 2 π 2解析：∵tan α ＝ ＝1＋ sinβcosβ cosβ 2＋ sinβ 2 2cos2β 2－ sin2β 2＝ ＝ ＝tan( ＋ )，cosβ 2＋ sinβ 2cosβ 2－ sinβ 21＋ tanβ 21－ tanβ 2 π 4 β 2且 0α ， ＋ ，π 2 π 4 π 4 β 2 π 2∴ α ＝ ＋ 即 2α － β ＝ ，选 B.π 4 β 2 π 2答案：B63．如图所示，点 B 在以 PA 为直径的圆周上，点 C 在线段 AB 上，已知PA＝5， PB＝3， PC＝ ，设 ∠ APB＝ α ，∠ APC＝ β ， α ， β 均为锐角，则角 β 的值为1527________．解析：因为点 B 在以 PA 为直径的圆周上，所以∠ ABP＝90°，所以 cosα ＝ ＝ ，sin α ＝ ，PBPA 35 45所以 tanα ＝ .43因为 cos∠ CPB＝cos( α － β )＝ ＝ ＝ ，PBPC 31527 7210所以 sin(α － β )＝ ，210所以 tan(α － β )＝ ，tan β ＝tan[ α －( α － β )]17＝ ＝1.tanα － tan α － β 1＋ tanα tan α － β 又 β ∈ ，所以 β ＝ .(0，π 2) π 4答案：π 44．已知函数 f(x)＝2sin 2(x＋ )－2 cos(x－ )－5 a＋2.π 4 2 π 4(1)设 t＝sin x＋cos x，将函数 f(x)表示为关于 t 的函数 g(t)，求 g(t)的解析式；(2)对任意 x∈[0， ]，不等式 f(x)≥6－2 a 恒成立，求 a 的取值范围．π 2解：(1) f(x)＝1－cos(2 x＋ )－2(cos x＋sin x)－5 a＋2＝sin2 x－2(cos x＋sin x)π 2－5 a＋3.因为 t＝sin x＋cos x，所以 sin2x＝ t2－1，其中 t∈[－ ， ]，即 g(t)2 2＝ t2－2 t－5 a＋2， t∈[－ ， ]．2 2(2)由(1)知，当 x∈[0， ]时，π 2t＝sin x＋cos x＝ sin(x＋ )∈[1， ]，2π 4 2又 g(t)＝ t2－2 t－5 a＋2＝( t－1) 2－5 a＋1 在区间[1， ]上单调递增，27所以 g(t)min＝ g(1)＝1－5 a，从而 f(x)min＝1－5 a，要使不等式 f(x)≥6－2 a 在区间[0， ]上恒成立，π 2只要 1－5 a≥6－2 a，解得 a≤－ .531课时作业 22 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·陕西卷)函数 f(x)＝cos(2 x－ )的最小正周期是( )π6A. B．ππ2C．2π D．4π解析：由周期公式 T＝ ，得 T＝ ＝π，故选 B.2πω 2π2答案：B2．(2014·大纲卷)设 a＝sin33°， b＝cos55°， c＝tan35°，则( )A． abc B． bcaC． cba D． cab解析： b＝cos55°＝sin35°，由正弦函数在[0,90°]上递增知， ba，排除 A、D，又当 x∈[0,90°]时总有 tanxsinx，∴ cb，从而 cba.答案：C3．已知函数 f(x)＝2sin ωx (ω 0)在区间 上的最小值是－2，则 ω 的最小值[－π3， π4]等于( )A. B.23 32C．2 D．3解析：∵ ω 0，－ ≤ x≤ ，∴－ ≤ ωx ≤ .π3 π4 ω π3 ω π4由已知条件知－ ≤－ ，∴ ω ≥ .ω π3 π2 32答案：B4．设函数 f(x)＝ cos(2x＋ φ )＋sin(2 x＋ φ ) ，且其图象关于直线 x＝03 (|φ |0)的最大值与最小正周期相同，则函数 f(x)在π4[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题意可知，函数 f(x)＝2sin(π x－ )，令π4－ ＋2 kπ≤π x－ ≤ ＋2 kπ，解得－ ＋2 k≤ x≤ ＋2 k， k∈Z，又 x∈[－1,1]，所以π2 π4 π2 14 34－ ≤ x≤ ，所以函数 f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为[－ ， ]．14 34 14 34答案：[－ ， ]14 349．(2014·北京卷)设函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ， φ 是常数， A0， ω 0)．若f(x)在区间[ ， ]上具有单调性，且 f( )＝ f( )＝－ f( )，则 f(x)的最小正周期为π6 π2 π2 2π3 π6________．解析：由 f(x)在区间[ ， ]上具有单调性，且 f( )＝－ f( )知， f(x)有对称中心(π6 π2 π2 π6，0)π34由 f( )＝ f( π)知 f(x)有对称轴 x＝ ( ＋ π)＝ π，记 T为最小正周期，则 T≥π2 23 12π2 23 712 12－ ⇒T≥ π ，从而 π－ ＝ ，故 T＝π.π2 π6 23 712 π3 T4答案：π三、解答题10．已知函数 f(x)＝4cos xsin(x＋ )－1.π6(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值．[－π6， π4]解：(1)因为 f(x)＝4cos xsin(x＋ )－1π6＝4cos x( sinx＋ cosx)－132 12＝ sin2x＋2cos 2x－1＝ sin2x＋cos2 x3 3＝2sin(2 x＋ )π6所以 f(x)的最小正周期为 π.(2)因为－ ≤ x≤ ，所以－ ≤2 x＋ ≤π6 π4 π6 π6 2π3于是，当 2x＋ ＝ 即 x＝ 时， f(x)取得最大值 2；π6 π2 π6当 2x＋ ＝－ 即 x＝－ ， f(x)取得最小值－1.π6 π6 π611．设函数 f(x)＝sin －2cos 2 .(π x3－ π6) π x6(1)求 y＝ f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，求当 x∈[0,1]时，函数y＝ g(x)的最大值．解：(1)由题意知 f(x)＝ sin － cos －1＝ ·sin －1，所以 y＝ f(x)32 π x3 32 π x3 3 (π x3－ π3)的最小正周期 T＝ ＝6.2ππ3由 2kπ－ ≤ x－ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π2 π3 π3 π2得 6k－ ≤ x≤6 k＋ ， k∈Z，12 525所以 y＝ f(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[6k－12， 6k＋ 52](2)因为函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，所以当 x∈[0,1]时，y＝ g(x)的最大值即为 x∈[3,4]时， y＝ f(x)的最大值，当 x∈[3,4]时， x－ ∈π3 π3.此时 f(x)max＝ × －1＝ ，即 y＝ g(x)的最大值为 .[23π ， π ] 3 32 12 121．函数 f(x)＝sin(2 x＋ θ )＋ cos(2x＋ θ )为奇函数，且在 上为减函数的 θ3 [0，π4]值可以是( )A．－ B．－π3 π6C. D.5π6 2π3解析：函数 f(x)＝sin(2 x＋ θ )＋ cos(2x＋ θ )＝2sin(2 x＋ θ ＋ )，若为奇函数，3π3则应有 θ ＋ ＝ kπ，即 θ ＝ kπ－ .故排除 B、C，当 θ ＝－ 时． f(x)＝2sin2 x它在π3 π3 π3上是增函数，不符合题意，故选 D.[0，π4]答案：D2．已知 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )(ω 0，| φ | )满足 f(x)＝－ f(x＋π)， f(0)＝ ，则π2 12g(x)＝2cos( ωx ＋ φ )在区间[0， ]上的最大值为( )π2A．1 B.32C. D．23 3解析：由 f(x)＝－ f(x＋π)可得 f(x＋2π)＝ f(x)，显然函数 f(x)的周期为 2π，所以ω ＝ ＝1，由 f(0)＝ 得 sinφ ＝ ，又| φ | ，所以 φ ＝ ，因此 g(x)2π2π 12 12 π2 π6＝2cos( x＋ )．因为 0≤ x≤ ，所以 ≤ x＋ ≤ ，－ ≤cos( x＋ )≤ ，因此 g(x)π6 π2 π6 π6 2π3 12 π6 32max＝ .3答案：C63．已知函数 f(x)＝ sin2x＋2cos 2x＋ m在区间 上的最大值为 3，则3 [0，π2](1)m＝________；(2)对任意 a∈R， f(x)在[ a， a＋20π]上的零点个数为________．解析：(1) f(x)＝ sin2x＋2cos 2x＋ m＝ sin2x＋1＋cos2 x＋ m＝2sin ＋ m＋1，3 3 (2x＋π6)因为 0≤ x≤ ，所以 ≤2 x＋ ≤ .π2 π6 π6 7π6所以－ ≤sin ≤1， f(x)max＝2＋ m＋1＝3＋ m＝3，所以 m＝0.12 (2x＋ π6)(2)由(1)知 f(x)＝2sin ＋1， T＝ ＝π，在区间[ a， a＋20π]上有 20个周期，(2x＋π6) 2π2故零点个数为 40或 41.答案：(1)0 (2)40 或 414．已知 m＝( asinx，cos x)， n＝(sin x， bsinx)，其中 a， b， x∈R.若 f(x)＝ m·n满足f( )＝2，且 f(x)的导函数 f′( x)的图象关于直线 x＝ 对称．π6 π12(1)求 a， b的值；(2)若关于 x的方程 f(x)＋log 2k＝0 在区间[0， ]上总有实数解，求实数 k的取值范π2围．解：(1) f(x)＝ m·n＝ asin2x＋ bsinxcosx＝ (1－cos2 x)＋ sin2x.a2 b2由 f( )＝2，得 a＋ b＝8.①π6 3∵ f′( x)＝ asin2x＋ bcos2x，且 f′( x)的图象关于直线 x＝ 对称，∴ f′(0)＝ f′( )，π12 π6∴ b＝ a＋ b，即 b＝ a.②32 12 3由①②得， a＝2， b＝2 .3(2)由(1)得f(x)＝1－cos2 x＋ sin2x＝2sin(2 x－ )＋1.3π6∵ x∈[0， ]，∴－ ≤2 x－ ≤ ，π2 π6 π6 5π67∴0≤2sin(2 x－ )＋1≤3，即 f(x)∈[0,3]．π6又 f(x)＋log 2k＝0 在[0， ]上有解，π2即 f(x)＝－log 2k在[0， ]上有解，π2∴－3≤log 2k≤0，解得 ≤ k≤1，即 k∈[ ，1]．18 181课时作业 23 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用一、选择题1．(2014·四川卷)为了得到函数 y＝sin( x＋1)的图象，只需把函数 y＝sin x 的图象上所有的点( )A．向左平行移动 1 个单位长度B．向右平行移动 1 个单位长度C．向左平行移动 π 个单位长度D．向右平行移动 π 个单位长度解析：由 y＝sin x 得 y＝sin( x＋1)只需向左平移 1 个单位即可．答案：A2．函数 f(x)＝ Asin(2x＋ φ )(A， φ ∈R)的部分图象如上图所示，那么 f(0)＝( )A．－ B．－112C．－ D．－32 3解析：由图象知 A＝2，图象过点( ，2)，π 3∴2sin( ×2＋ φ )＝2，π 3∴ ＋ φ ＝ ＋2 kπ， k∈Z，2π3 π 2∴ φ ＝－ ＋2 kπ， k∈Z，π 62∴ φ ＝－ ，∴ f(0)＝2sin(－ )＝－1.π 6 π 6答案：B3．(2014·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin2 x＋cos2 x 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是( )A. B.π 8 π 4C. D.3π8 3π4解析： f(x)＝sin2 x＋cos2 x＝ sin(2x＋ )，向右平移 φ 个单位，得2π 4y＝ sin(2x－2 φ ＋ )关于 y 轴对称，则2π 4－2 φ ＋ ＝ ＋ kπ， k∈Z， φ ＝－ － ， k∈Z， φ 的最小正值为 π.π 4 π 2 π 8 kπ2 38答案：C4．(2014·辽宁卷)将函数 y＝3sin(2 x＋ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象π 3 π 2对应的函数( )A．在区间[ ， ]上单调递减π12 7π12B．在区间[ ， ]上单调递增π12 7π12C．在区间[－ ， ]上单调递减π 6 π 3D．在区间[－ ， ]上单调递增π 6 π 3解析：平移后的函数为 y＝3sin[2( x－ )＋ ]＝3sin(2 x＋ －π)＝3sin(2 x－ π)，π 2 π 3 π 3 23增区间：－ ＋2 kπ≤2 x－ π≤ ＋2 kπ， k∈Z，即π 2 23 π 2＋ kπ≤ x≤ π＋ kπ， k∈Z， k＝0 时， ≤ x≤ π，故选 B.π12 712 π12 712答案：B35．函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0)的图象如图所示，则 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2 015)＝( )A．0 B. 2C. ＋1 D．12解析：由图象知 φ ＝0， ω ＝ ＝ ，∴ f(x)＝2sin ，其图象关于(4,0)，2πT π 4 π x4x＝2， x＝6 对称，∴ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(8)＝0，∵ T＝8,2 015＝251×8＋7，∴ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2 015)＝ f(0)＋ f(1)＋…＋ f(2 015)－ f(0)＝－ f(0)＝0.答案：A6．函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ ) 的最小正周期是 π，若其图象向右(ω 0， |φ |0， ω 0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则 ω ＝________.解析：由图象可以看出 T＝π，32∴ T＝ π＝ ，因此 ω ＝3.23 2πω答案：38．某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y＝ a＋ Acos(x＝1,2,3，…，12， A0)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28℃，[π 6 x－ 6 ]12 月份的月平均气温最低，为 18℃，则 10 月份的平均气温值为________℃.解析：由题意得Error!∴Error!∴ y＝23＋5cos ，[π 6 x－ 6 ]x＝10 时， y＝23＋5× ＝20.5.(－12)答案：20.59．若将函数 y＝tan (ω 0)的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝tan(ω x＋π 4) π 6的图象重合，则 ω 的最小值为________．(ω x＋π 6)解析： y＝tan 向右平移 个单位长度后得到函数解析式为 y＝tan[ ω (x－ )(ω x＋π 4) π 6 π 6＋ ]＝tan ，显然当 － ＝ ＋ kπ， k∈Z 时，两图象重合，此时π 4 (ω x－ ω π6 ＋ π 4) π 4 π ω6 π 6ω ＝ －6 k， k∈Z.∵ ω 0，∴ k＝0 时， ω 的最小值为 .12 12答案：12三、解答题510．已知函数 f(x)＝ sin ＋1.2 (2x－π 4)(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数 y＝ f(x)在 上的图象．[－π 2， π 2]解：(1)振幅为 ，最小正周期 T＝π，初相为－ .2π 4(2)图象如图所示．11．设函数 f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω 0)的最小正周期为 .2π3(1)求 ω 的值；6(2)若函数 y＝ g(x)的图象是由 y＝ f(x)的图象向右平移 个单位长度得到．求 y＝ g(x)π 2的单调增区间．解：(1) f(x)＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cosωx ＋1＋cos2 ωx ＝sin2 ωx ＋cos2 ωx ＋2＝ sin2＋2 ，(2ω x＋π 4)依题意得 ＝ ，故 ω ＝ .2π2ω 2π3 32(2)依题意得g(x)＝ sin ＋2＝ sin ＋2.2 [3(x－π 2)＋ π 4] 2 (3x－ 5π4)由 2kπ－ ≤3 x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)解得π 2 5π4 π 2kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．23 π 4 23 7π12故 g(x)的单调增区间为 (k∈Z)．[23kπ ＋ π 4， 23kπ ＋ 7π12]1．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝ Asin(ωt ＋ φ )(A0， ω 0,00， －π 2 ≤ φ ≤ π 2)最高点和最低点的距离为 2 ，且过点 ，则函数解析式 f(x)＝________.2 (2， －12)解析：据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 ，可得 ＝2 ，解得2 (T2)2＋  1＋ 1 2 2T＝4，故 ω ＝ ＝ ，即 f(x)＝sin ，又函数图象过点 ，故 f(2)＝sin2πT π 2 (π x2＋ φ ) (2， － 12)＝－sin φ ＝－ ，又－ ≤ φ ≤ ，解得 φ ＝ ，故 f(x)＝sin .(π 2×2＋ φ ) 12 π 2 π 2 π 6 (π x2＋ π 6)答案：sin (π x2＋ π 6)84．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(x∈R， A0， ω 0,0φ )的部分图象如图所示，π 2P 是图象的最高点， Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点．若 OQ＝4， OP＝ ， PQ＝ .5 13(1)求函数 y＝ f(x)的解析式；(2)将函数 y＝ f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y＝ g(x)的图象，当 x∈[0,3]时，求函数 h(x)＝ f(x)·g(x)的值域．解：(1)由条件，cos∠ POQ＝ ＝ ，所以 P(1,2)．42＋  5 2－  13 22×4×5 55因为 A＝2，周期 T＝4×(4－1)＝12，又 ＝12，则 ω ＝ .2πω π 6将点 P(1,2)代入 f(x)＝2sin( x＋ φ )，得 sin( ＋ φ )＝1，因为 0φ ，所以π 6 π 6 π 2φ ＝ ，所以 f(x)＝2sin( x＋ )．π 3 π 6 π 3(2)由题意，可得 g(x)＝2sin x.π 6所以 h(x)＝ f(x)·g(x)＝4sin( x＋ )·sin x＝2sin 2 x＋2 sin x·cos x＝1－cos x＋ sin x＝1＋2sπ 6 π 3 π 6 π 6 3 π 6 π 6 π 3 3 π 3in( x－ )．π 3 π 6当 x∈[0,3]时， x－ ∈[－ ， ]，所以 sin( x－ )∈[－ ，1]，π 3 π 6 π 6 5π6 π 3 π 6 12所以函数 h(x)的值域为[0,3]．