（山东专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1-4讲课件 理（打包4套）新人教A版.zip

第 1讲 数列的概念及 简单 表示法最新考 纲 1.了解数列的概念和几种 简单 的表示方法 (列表、 图 象、通 项 公式 )； 2.了解数列是自 变 量 为 正整数的一 类 特殊函数 .知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定 义 ：按照 排列的一列数称 为数列，数列中的每一个数叫做 这 个数列的 ____.(2)数列与函数的关系：从函数 观 点看，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集 )为 的函数 an＝f(n).当自 变 量按照从小到大的 顺 序依次取 值时 所 对应的一列函数 值 .(3)数列有三种表示法，它 们 分 别 是 、 和.一定 顺 序定 义 域列表法 图 象法通 项 公式法项2.数列的分 类有限无限＞＜3.数列的两种常用的表示方法(1)通 项 公式：如果数列 {an}的第 n项 an与 之 间 的关系可以用一个式子 来表示，那么 这 个公式叫做 这 个数列的通 项 公式 .(2)递 推公式：如果已知数列 {an}的第 1项 (或前几 项 )，且从第二 项 (或某一 项 )开始的任一 项 an与它的前一 项 an－ 1(或前几 项 )间 的关系可以用一个公式来表示，那么 这 个公式就叫做 这 个数列的 递 推公式 .an＝ f(n)序号 nS1Sn－ Sn－ 1诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )(1)相同的一 组 数按不同 顺 序排列 时 都表示同一个数列 .( )(2)一个数列中的数是不可以重复的 .( )(3)所有数列的第 n项 都能使用公式表达 .( )(4)根据数列的前几 项归纳 出的数列的通 项 公式可能不止一个 .( )×××√2.(2016·保定 调 研 )在数列 {an}中，已知 a1＝ 1， an＋ 1＝ 2an＋ 1， 则其通 项 公式 为 an＝ ( )A.2n－ 1 B.2n－ 1＋ 1 C.2n－ 1 D.2(n－ 1)解析 法一 由 an＋ 1＝ 2an＋ 1， 可求 a2＝ 3， a3＝ 7， a4＝15， … ， 验证 可知 an＝ 2n－ 1.法二 由 题 意知 an＋ 1＋ 1＝ 2(an＋ 1)， ∴ 数列 {an＋ 1}是以 2为 首 项 ， 2为 公比的等比数列 ， ∴ an＋ 1＝ 2n， ∴ an＝ 2n－ 1.答案 A3.(2016·山西四校 联 考 )已知数列 {an}的前 n项 和 为 Sn， Sn＝2an－ n， 则 an＝ ( )A.2n－ 1－ 1 B.2n－ 1 C.2n－ 1 D.2n＋ 1解析 当 n≥2时 ， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 2an－ n－ 2an－ 1＋ (n－ 1)，即 an＝ 2an－ 1＋ 1， ∴ an＋ 1＝ 2(an－ 1＋ 1)，∴ 数列 {an＋ 1}是首 项为 a1＋ 1＝ 2， 公比 为 2的等比数列 ，∴ an＋ 1＝ 2·2n－ 1＝ 2n， ∴ an＝ 2n－ 1.答案 B5.(人教 A必修 5P33A5改 编 )根据下面的 图 形及相 应 的点数，写出点数构成的数列的一个通 项 公式 an＝ ________.答案 5n－ 4考点一 由数列的前几 项 求数列的通 项规 律方法 根据所 给 数列的前几 项 求其通 项时 ， 需仔细观 察分析 ， 抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相 邻项 的 联 系特征；拆 项 后的各部分特征；符号特征 .应 多 进 行 对 比、分析 ， 从整体到局部多角度 观 察、 归纳 、 联 想 .考点二 由 Sn与 an的关系求 an【例 2】 (2016·东营 模拟 )设 数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，数列{Sn}的前 n项 和 为 Tn， 满 足 Tn＝ 2Sn－ n2， n∈ N*.(1)求 a1的 值 ；(2)求数列 {an}的通 项 公式 .解 (1)令 n＝ 1时 ， T1＝ 2S1－ 1，∵ T1＝ S1＝ a1， ∴ a1＝ 2a1－ 1， ∴ a1＝ 1.(2)n≥ 2时 ， Tn－ 1＝ 2Sn－ 1－ (n－ 1)2，则 Sn＝ Tn－ Tn－ 1＝ 2Sn－ n2－ [2Sn－ 1－ (n－ 1)2]＝ 2(Sn－ Sn－ 1)－ 2n＋ 1＝ 2an－ 2n＋ 1.因 为 当 n＝ 1时 ， a1＝ S1＝ 1也 满 足上式，所以 Sn＝ 2an－ 2n＋ 1(n≥ 1)，当 n≥ 2时 ， Sn－ 1＝ 2an－ 1－ 2(n－ 1)＋ 1，两式相减得 an＝ 2an－ 2an－ 1－ 2，所以 an＝ 2an－ 1＋ 2(n≥ 2)，所以 an＋ 2＝ 2(an－ 1＋ 2)，因 为 a1＋ 2＝ 3≠ 0，所以数列 {an＋ 2}是以 3为 首 项 ，公比 为 2的等比数列 .所以 an＋ 2＝ 3× 2n－ 1， ∴ an＝ 3× 2n－ 1－ 2，当 n＝ 1时 也成立，所以 an＝ 3× 2n－ 1－ 2.答案 (1)B (2)(－ 2)n－ 1考点三 由数列的 递 推关系求通 项 公式考点四 数列的 单调 性及 应 用【例 4】 (2016·曲师大附中 模拟 )已知数列 {an}的前 n项 和 Sn＝ 2n2＋ 2n，数列 {bn}的前 n项 和 Tn＝ 2－ bn.(1)求数列 {an}与 {bn}的通 项 公式；(2)设 cn＝ a·bn， 证 明：当且 仅 当 n≥ 3时 ， cn＋ 1＜ cn.第 2讲 等差数列及其前 n项 和最新考 纲 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通 项 公式与前 n项 和公式； 3.能在具体的问题 情境中 识别 数列的等差关系 ， 并能用等差数列的有关知 识 解决相 应 的 问题 ； 4.了解等差数列与一次函数的关系 .知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第 项 起，每一 项 与它的前一 项 的差等于 ，那么 这 个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d表示 .数学 语 言表达式： an＋ 1－ an＝ d(n∈ N*， d为 常数 )，或 an－ an－ 1＝ d(n≥ 2， d为 常数 ).(2)若 a， A， b成等差数列， 则 A叫做 a， b的等差中 项 ，且 A＝ .同一个常数公差22.等差数列的通 项 公式与前 n项 和公式a1＋ (n－ 1)d(n－ m)d3.等差数列的有关性 质递 增递 减常数列md大小诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )(1)若一个数列从第 2项 起每一 项 与它的前一 项 的差都是常数， 则这 个数列是等差数列 .( )(2)数列 {an}为 等差数列的充要条件是 对 任意 n∈ N*，都有2an＋ 1＝ an＋ an＋ 2. ( )(3)等差数列 {an}的 单调 性是由公差 d决定的 . ( )(4)数列 {an}为 等差数列的充要条件是其通 项 公式 为 n的一次函数 .( )(5)等差数列的前 n项 和公式是常数 项为 0的二次函数 .( )×√√××答案 A答案 B答案 C5.(2014·江西卷 )在等差数列 {an}中， a1＝ 7，公差 为 d，前 n项 和 为 Sn，当且 仅 当 n＝ 8时 Sn取得最大 值 ， 则 d的取 值范 围为 ________.考点一 等差数列基本量的运算【例 1】 (1)设 Sn为 等差数列 {an}的前 n项 和， S8＝ 4a3， a7＝－ 2， 则 a9＝ ( )A.－ 6 B.－ 4 C.－ 2 D.2(2)(2016·唐山模 拟 )设 等差数列 {an}的前 n项 和 为 Sn， S3＝ 6， S4＝ 12， 则 S6＝ ________.解析 (1)法一 (常 规 解法 )设 公差 为 d， 则 8a1＋ 28d＝4a1＋ 8d， 即 a1＝－ 5d， a7＝ a1＋ 6d＝－ 5d＋ 6d＝ d＝－ 2， 所以 a9＝ a7＋ 2d＝－ 6.答案 (1)A (2)30规 律方法 (1)等差数列的通 项 公式及前 n项 和公式共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn， 知其中三个就能求另外两个 ， 体 现 了用方程的思想来解决 问题 .(2)数列的通 项 公式和前 n项 和公式在解 题 中起到变 量代 换 作用 ， 而 a1和 d是等差数列的两个基本量， 用它 们 表示已知和未知是常用方法 .答案 (1)B (2)D考点二 等差数列的判定与 证 明规 律方法 等差数列的判断方法： (1)定 义 法： 对 于 n≥ 2的任意自然数 ， 验证 an－ an－ 1为 同一常数 .(2)等差中 项 法： 验证 2an－ 1＝ an＋ an－ 2(n≥ 3， n∈ N*)都成立 .(3)通 项 公式法： 验证 an＝ pn＋ q.(4)前 n项 和公式法： 验证 Sn＝ An2＋ Bn.后两种方法只能用来判断是否 为 等差数列 ， 而不能用来 证 明等差数列 ， 主要适合在 选择题 中 简单 判断 .考点三 等差数列的性 质 及 应 用答案 (1)B (2)A (3)2 016解析 (1)由 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝ 32，得 (a3＋ a13)＋ (a6＋ a10)＝ 32， 得 4a8＝ 32，∴ a8＝ 8， ∴ m＝ 8.故 选 A.(2)∵ S10， S20－ S10， S30－ S20成等差数列 ，∴ 2(S20－ S10)＝ S10＋ S30－ S20，∴ 40＝ 10＋ S30－ 30， ∴ S30＝ 60.答案 (1)A (2)60考点四 等差数列前 n项 和的最 值问题【例 4】 (2016·即墨 一中模 拟 )已知等差数列 {an}的首 项 a1＞ 0， 设 其前 n项 和 为 Sn，且 S5＝ S12， 则 当 n为 何 值时 ， Sn有最大 值 ？第 3讲 等比数列及其前 n项 和最新考 纲 1.理解等比数列的概念 ， 掌握等比数列的通 项 公式与前 n项 和公式； 2.能在具体的 问题 情境中识别 数列的等比关系 ， 并能用有关知 识 解决相 应 的 问题 ； 3.了解等比数列与指数函数的关系 .知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 项 起，每一 项 与它的前一 项 的比等于 非零常数，那么 这 个数列叫做等比数列， 这 个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠ 0)表示 .2同一个公比q(2)如果三个数 a， G， b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的__________，其中 G＝ _______.等比中 项2. 等比数列的通 项 公式及前 n项 和公式a1qn－ 13.等比数列的性 质已知 {an}是等比数列， Sn是数列 {an}的前 n项 和 .(1)若 k＋ l＝ m＋ n(k， l， m， n∈ N*)， 则 有 ak·al＝ .(2)等比数列 {an}的 单调 性：当 q＞ 1， a1＞ 0或 0＜ q＜ 1， a1＜ 0时 ，数列 {an}是 数列； 当 q＞ 1， a1＜ 0或 0＜ q＜ 1， a1＞ 0时 ，数列 {an}是 数列；当 q＝ 1时 ，数列 {an}是 .(3)相隔等距离的 项组 成的数列仍是等比数列，即 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， …仍是等比数列，公比 为 .(4)若 {an}， {bn}(项 数相同 )是等比数列， 则 {λan}(λ≠ 0)，，{a}， {an·bn}，仍是等比数列 .(5)当 q≠ － 1，或 q＝－ 1且 n为 奇数 时 ， Sn， S2n－ Sn， S3n－S2n仍成等比数列，其公比 为 .am·an递 增递 减常数列qmqn诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×××××D答案 C4.(2015·安徽卷 )已知数列 {an}是 递 增的等比数列， a1＋ a4＝9， a2a3＝ 8， 则 数列 {an}的前 n项 和等于 ________.答案 2n－ 15.在各 项 均 为 正数的等比数列 {an}中，若 a2＝ 1， a8＝ a6＋2a4， 则 a6的 值 是 ________.解析 因 为 a8＝ a2q6， a6＝ a2q4， a4＝ a2q2， 所以由 a8＝ a6＋ 2a4得 a2q6＝ a2q4＋ 2a2q2， 消去 a2q2， 得到关于 q2的一元二次方程 (q2)2－ q2－ 2＝ 0， 解得 q2＝ 2， a6＝ a2q4＝ 1× 22＝ 4.答案 4考点一 等比数列基本量的运算答案 (1)B (2)B (3)28规 律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 基本 问题 ， 数列中有五个量 a1， n， q， an， Sn， 一般可以 “ 知三求二 ” ， 通 过 列方程 (组 )便可迎刃而解 .(2)设 等比数列 {an}的公比 为 q(q≠ 0)， 依 题 意得 a2＝a1q＝ q， a3＝ a1q2＝ q2， S1＝ a1＝ 1.S2＝ 1＋ q， S3＝ 1＋ q＋ q2.又 3S1， 2S2， S3成等差数列 ， 所以 4S2＝ 3S1＋ S3， 即 4(1＋ q)＝ 3＋ 1＋ q＋ q2， 所以 q＝ 3(q＝ 0舍去).所以 an＝ a1qn－ 1＝ 3n－ 1.答案 (1)B (2)3n－ 1考点二 等比数列的性 质 及 应 用答案 (1)B (2)B规 律方法 (1)在解决等比数列的有关 问题时 ， 要注意挖掘 隐 含条件 ， 利用性 质 ， 特 别 是性 质 “ 若 m＋ n＝p＋ q， 则 am· an＝ ap· aq” ， 可以减少运算量 ， 提高解 题 速度 .(2)在 应 用相 应 性 质 解 题时 ， 要注意性 质 成立的前提条件 ，有 时 需要 进 行适当 变 形 .此外 ， 解 题时 注意 设 而不求思想的运用 .考点三 等比数列的判定与 证 明【例 3】 (2016·莱芜 模拟 )已知数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，在数列 {bn}中， b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥ 2)，且 an＋ Sn＝ n.(1)设 cn＝ an－ 1，求 证 ： {cn}是等比数列；(2)求数列 {bn}的通 项 公式 .(1)证 明 ∵ an＋ Sn＝ n， ①∴ an＋ 1＋ Sn＋ 1＝ n＋ 1.②②－ ① 得 an＋ 1－ an＋ an＋ 1＝ 1，∴ 2an＋ 1＝ an＋ 1， ∴ 2(an＋ 1－ 1)＝ an－ 1，【 训练 3】 (2016·青岛 模拟 )设 数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，已知 a1＝ 1， Sn＋ 1＝ 4an＋ 2.(1)设 bn＝ an＋ 1－ 2an， 证 明：数列 {bn}是等比数列；(2)求数列 {an}的通 项 公式 .3.在运用等比数列的前 n项 和公式 时 ，必 须 注意 对 q＝1与 q≠ 1分 类讨论 ，防止因忽略 q＝ 1这 一特殊情形而 导 致解 题 失 误 .4.Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n未必成等比数列 (例如：当公比 q＝－ 1且 n为 偶数 时 ， Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n不成等比数列；当 q≠ － 1或 q＝－ 1且 n为 奇数 时 ， Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n成等比数列 )，但等式 (S2n－Sn)2＝ Sn·(S3n－ S2n)总 成立 .第 4讲 数列求和最新考 纲 1.熟 练 掌握等差、等比数列的前 n项 和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常 见方法 .知 识 梳 理1.求数列的前 n项和的方法na1(2)分 组转 化法把数列的每一 项 分成两 项 或几 项 ，使其 转 化 为 几个等差、等比数列，再求解 .(3)裂 项 相消法把数列的通 项 拆成两 项 之差求和，正 负 相消剩下首尾若干项 .(4)倒序相加法把数列分 别 正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推 导过 程的推广 .(5)错 位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列 对应项 相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推 导过 程的推广 .(6)并 项 求和法一个数列的前 n项 和中，可两两 结 合求解， 则 称之 为 并 项求和 .形如 an＝ (－ 1)nf(n)类 型，可采用两 项 合并求解 .例如， Sn＝ 1002－ 992＋ 982－ 972＋ … ＋ 22－ 12＝ (100＋99)＋ (98＋ 97)＋ … ＋ (2＋ 1)＝ 5 050.2.常 见 的裂 项 公式诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√”或 “×”)√√√×√2.若数列 {an}的通 项 公式 为 an＝ 2n＋ 2n－ 1， 则 数列 {an}的前n项 和 为 ( )A.2n＋ n2－ 1 B.2n＋ 1＋ n2－ 1C.2n＋ 1＋ n2－ 2 D.2n＋ n－ 2答案 C3.数列 {an}的前 n项 和 为 Sn，已知 Sn＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ … ＋ (－ 1)n－1·n， 则 S17＝ ( )A.9 B.8 C.17 D.16解析 S17＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ 5－ 6＋ … ＋ 15－ 16＋ 17＝ 1＋ (－ 2＋ 3)＋ (－ 4＋ 5)＋ (－ 6＋ 7)＋ … ＋ (－ 14＋ 15)＋ (－ 16＋ 17)＝1＋ 1＋ 1＋ … ＋ 1＝ 9.答案 A答案 A5.(人教 A必修 5P61A4(3)改 编 )1＋ 2x＋ 3x2＋ … ＋ nxn－ 1＝________(x≠ 0且 x≠ 1).考点一 分 组转 化法求和答案 (1)A (2)B考点二 裂 项 相消法求和规 律方法 利用裂 项 相消法求和 时 ， 应 注意抵消后并不一定只剩下第一 项 和最后一 项 ， 也有可能前面剩两 项 ， 后面也剩两 项 ， 再就是将通 项 公式裂 项 后 ， 有 时 候需要 调 整前面的系数 ， 使裂开的两 项 之差和系数之 积 与原通 项 公式 相等 .当 证 明数列型的不等式 时 ， 应 注意放 缩 法的 应 用 .考点三 错 位相减法求和规 律方法 (1)一般地 ， 如果数列 {an}是等差数列 ， {bn}是等比数列 ， 求数列 {an· bn}的前 n项 和 时 ， 可采用 错位相减法求和 ， 一般是和式两 边 同乘以等比数列 {bn}的公比 ， 然后作差求解； (2)在写出 “Sn”与 “qSn”的表达式 时应 特 别 注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ Sn－ qSn” 的表达式 .解 (1)由已知，有 (a3＋ a4)－ (a2＋ a3)＝ (a4＋ a5)－ (a3＋ a4)，即 a4－ a2＝ a5－ a3，所以 a2(q－ 1)＝ a3(q－ 1)，又因 为 q≠ 1，故 a3＝ a2＝ 2，由 a3＝ a1q，得 q＝ 2.