（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第四篇 平面向量 理（课件+习题）（打包6套）.zip

1第四篇 平面向量第 1 节 平面向量的概念及线性运算【选题明细表】知识点、方法 题号平面向量的基本概念 1,9平面向量的线性运算 3共线向量问题 4,10三点共线问题 2,5,7综合问题 6,8,11,12,13,14,15基础对点练(时间:30 分钟)1.给出下列命题:①向量 与向量 的长度相等,方向相反;→𝐴𝐵 →𝐵𝐴② + =0;→𝐴𝐵→𝐵𝐴③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;④ 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线.→𝐴𝐵→𝐶𝐷其中不正确的命题的个数是( A )(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:①正确;②中 + =0,而不等于 0;③正确;④中 与 所在直线还可能平行,综上可→𝐴𝐵→𝐵𝐴 →𝐴𝐵→𝐶𝐷知②④不正确.故选 A.2.已知 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则下列三点一定共线的是 ( B )→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐶𝐷(A)A,B,C (B)A,B,D(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为 = + =-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2 ,所以 A,B,D 三点共线.→𝐵𝐷→𝐵𝐶→𝐶𝐷 →𝐴𝐵3. 如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点, =a, =b,则 等→𝐴𝐵 →𝐴𝐶 →𝐴𝐷于( D )(A)a- b (B) a-b12 12(C)a+ b (D) a+b12 122解析:连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD∥AB 且 = = a,→𝐶𝐷12→𝐴𝐵12所以 = + =b+ a.→𝐴𝐷→𝐴𝐶→𝐶𝐷12故选 D.4.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且 =2 , =2 , =2 ,则 + +→𝐷𝐶→𝐵𝐷→𝐶𝐸→𝐸𝐴→𝐴𝐹→𝐹𝐵 →𝐴𝐷→𝐵𝐸与 ( A )→𝐶𝐹→𝐵𝐶(A)反向平行 (B)同向平行(C)互相垂直 (D)既不平行也不垂直解析:由题意得 = + = + ,→𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐵𝐷→𝐴𝐵13→𝐵𝐶= + = + ,→𝐵𝐸→𝐵𝐴→𝐴𝐸→𝐵𝐴13→𝐴𝐶= + = + ,→𝐶𝐹→𝐶𝐵→𝐵𝐹→𝐶𝐵13→𝐵𝐴因此 + + = + ( + - )→𝐴𝐷→𝐵𝐸→𝐶𝐹→𝐶𝐵13→𝐵𝐶→𝐴𝐶→𝐴𝐵= + =- ,→𝐶𝐵23→𝐵𝐶13→𝐵𝐶故 + + 与 反向平行.→𝐴𝐷→𝐵𝐸→𝐶𝐹→𝐵𝐶故选 A.5.(2016·温州八校检测)设 a,b 不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D 三点共线,→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐶𝐷则实数 p 的值为( B )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析:因为 =a+b, =a-2b,→𝐵𝐶 →𝐶𝐷所以 = + =2a-b.→𝐵𝐷→𝐵𝐶→𝐶𝐷又因为 A,B,D 三点共线,所以 , 共线.→𝐴𝐵→𝐵𝐷设 =λ ,所以 2a+pb=λ(2a-b),→𝐴𝐵 →𝐵𝐷所以 2=2λ,p=-λ,所以 λ=1,p=-1.故选 B.36.(2016·山东济南一模)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:= +λ( + ),λ∈[0,+∞), 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )→𝑂𝑃→𝑂𝐴→𝐴𝐵|→𝐴𝐵|→𝐴𝐶|→𝐴𝐶|(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心解析: 作∠BAC 的平分线 AD.因为 = +λ( + ),→𝑂𝑃→𝑂𝐴→𝐴𝐵|→𝐴𝐵|→𝐴𝐶|→𝐴𝐶|所以 =λ( + )=λ′· (λ′∈[0,+∞)),→𝐴𝑃→𝐴𝐵|→𝐴𝐵|→𝐴𝐶|→𝐴𝐶|→𝐴𝐷|→𝐴𝐷|所以 = · ,→𝐴𝑃𝜆'|→𝐴𝐷| →𝐴𝐷所以 ∥ .→𝐴𝑃→𝐴𝐷所以 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.故选 B.7. (2016·广东佛山模拟)如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交于 E,F两点,且交其对角线于 K,其中, = , = ,→𝐴𝐸25→𝐴𝐵→𝐴𝐹12→𝐴𝐷=λ ,则 λ 的值为( A )→𝐴𝐾 →𝐴𝐶(A) (B) (C) (D)29 27 25 23解析:因为 = , = ,→𝐴𝐸25→𝐴𝐵→𝐴𝐹12→𝐴𝐷则 = , =2 ,→𝐴𝐵52→𝐴𝐸→𝐴𝐷→𝐴𝐹由向量加法的平行四边形法则可知 = + ,→𝐴𝐶→𝐴𝐵→𝐴𝐷所以 =λ =λ( + )=λ( +2 )= λ +2λ ,→𝐴𝐾 →𝐴𝐶 →𝐴𝐵→𝐴𝐷 52→𝐴𝐸→𝐴𝐹52 →𝐴𝐸 →𝐴𝐹4由 E,F,K 三点共线可得 λ+2λ=1,52所以 λ= .故选 A.298.(2016·三明一中月考)在△ABC 中,D 为 BC 的中点,O 为 AD 的中点,若 =λ +μ ,则→𝐴𝑂 →𝐴𝐵 →𝐵𝐶λ+μ 等于 . 解析:因为 D 为 BC 的中点,所以 = + = + ,→𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐵𝐷→𝐴𝐵12→𝐵𝐶又因为 O 为 AD 的中点,所以 = = + ,→𝐴𝑂12→𝐴𝐷12→𝐴𝐵14→𝐵𝐶所以 λ+μ= + = .121434答案:349.导学号 18702218 给出下列命题:①向量 的长度与向量 的长度相等;→𝐴𝐵 →𝐵𝐴②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是 . 解析:① 与 是相反向量,模相等,正确;②由 0 方向是任意的且与任意向量平行 ,不正确;③→𝐴𝐵→𝐵𝐴相等向量长度相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:②④10.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1,e2不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数 λ,μ,使向量 d=λa+μb 与 c 共线?解:d=λ(2e 1-3e2)+μ(2e 1+3e2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc,即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke1-9ke2,即 得 λ=-2μ.{2𝜆+2𝜇=2𝑘,‒3𝜆+3𝜇=‒9𝑘,故存在这样的实数 λ,μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线.能力提升练(时间:15 分钟)11.(2016·华中师大附中期中)M 是△ABC 所在平面内一点, + +→𝑀𝐵32→𝑀𝐴=0,D 为 AC 中点,则 的值为( A )32→𝑀𝐶 |→𝑀𝐷||→𝐵𝑀|5(A) (B) (C)1 (D)213 12解析: 如图所示,因为 D 是 AC 的中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD.所以四边形 MAEC 为平行四边形,所以 = = ( + ).→𝑀𝐷12→𝑀𝐸12 →𝑀𝐴→𝑀𝐶因为 + + =0,→𝑀𝐵32→𝑀𝐴32→𝑀𝐶所以 =- ( + )=-3 ,→𝑀𝐵32 →𝑀𝐴→𝑀𝐶 →𝑀𝐷所以 = = .|→𝑀𝐷||→𝑀𝐵||→𝑀𝐷||‒3→𝑀𝐷|13故选 A.12. 导学号 18702219 如图所示,在△ABC 中,AD=DB,点 F 在线段 CD 上,设=a, =b, =xa+yb,则 + 的最小值为( D )→𝐴𝐵 →𝐴𝐶 →𝐴𝐹 1𝑥 4𝑦+1(A)6+2 (B)62 3(C)6+4 (D)3+22 2解析:由题意知 =xa+yb=2x +y ,→𝐴𝐹 →𝐴𝐷→𝐴𝐶因为 C,F,D 三点共线,所以 2x+y=1,即 y=1-2x.由题图可知 x0 且 x≠1.所以 + = + = .1𝑥 4𝑦+11𝑥 21‒𝑥𝑥+1𝑥‒𝑥2令 f(x)= ,则 f′(x)= ,𝑥+1𝑥‒𝑥2 𝑥2+2𝑥‒1(𝑥‒𝑥2)2令 f′(x)=0,得 x= -1 或 x=- -1(舍).2 2当 0 -1 且 x≠1 时,f′(x)0.2 2所以当 x= -1 时,f(x)取得极小值 ,亦为最小值,最小值为 f( -1)2 2= =3+2 .2(2‒1)‒(2‒1)226故选 D.13.(2016·枣庄模拟)若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| - |=| + -2 |,→𝑂𝐵→𝑂𝐶 →𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝑂𝐴则△ABC 的形状为 . 解析: + -2 =( - )+( - )= + , - = = - ,→𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐴 →𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝐴𝐵→𝐴𝐶→𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝐶𝐵→𝐴𝐵→𝐴𝐶所以| - |=| + |.→𝐴𝐵→𝐴𝐶 →𝐴𝐵→𝐴𝐶故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形.答案:直角三角形14.(2016·广州一调)已知△ABC 和点 M 满足 + + =0,若存在实数 m 使得 + =m→𝑀𝐴→𝑀𝐵→𝑀𝐶 →𝐴𝐵→𝐴𝐶成立,则 m= . →𝐴𝑀解析: 由已知条件得 + =- ,如图,延长 AM 交 BC 于 D 点,→𝑀𝐵→𝑀𝐶→𝑀𝐴则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E,F 分别为 AC,AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心,所以 = = ( + ),→𝐴𝑀23→𝐴𝐷13 →𝐴𝐵→𝐴𝐶即 + =3 ,→𝐴𝐵→𝐴𝐶→𝐴𝑀则 m=3.答案:315. 如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, = , =a,→𝐴𝐸23→𝐴𝐷→𝐴𝐵=b.→𝐴𝐶(1)用 a,b 表示向量 , , , , ;→𝐴𝐷→𝐴𝐸→𝐴𝐹→𝐵𝐸→𝐵𝐹(2)求证:B,E,F 三点共线.(1)解: 延长 AD 到 G,使 = ,→𝐴𝐷12→𝐴𝐺7连接 BG,CG,得到▱ABGC,所以 =a+b,→𝐴𝐺= = (a+b),→𝐴𝐷12→𝐴𝐺12= = (a+b), = = b,→𝐴𝐸23→𝐴𝐷13 →𝐴𝐹12→𝐴𝐶12= - = (a+b)-a= (b-2a).→𝐵𝐸→𝐴𝐸→𝐴𝐵13 13= - = b-a= (b-2a).→𝐵𝐹→𝐴𝐹→𝐴𝐵12 12(2)证明:由(1)可知 = ,→𝐵𝐸23→𝐵𝐹又因为 , 有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线.→𝐵𝐸→𝐵𝐹好题天天练1.导学号 18702221 在△ABC 中,设三边 AB,BC,CA 的中点分别为 E,F,D,则 + 等于( A )→𝐸𝐶→𝐹𝐴(A) (B)→𝐵𝐷 12→𝐵𝐷(C) (D)→𝐴𝐶 12→𝐴𝐶解析: 如图, = ( + ),→𝐸𝐶12→𝐴𝐶→𝐵𝐶= ( + ),→𝐹𝐴12→𝐶𝐴→𝐵𝐴所以 + = ( + )= .→𝐸𝐶→𝐹𝐴12→𝐵𝐶→𝐵𝐴→𝐵𝐷故选 A.2.设 a,b 是不共线的两个非零向量,记 =ma, =nb, =αa+βb,其中 m,n,α,β 均为实→𝑂𝑀 →𝑂𝑁 →𝑂𝑃数,m≠0,n≠0,若 M,P,N 三点共线,则 + = 𝛼𝑚𝛽𝑛. 解析:若 M,N,P 三点共线,则存在实数 λ,使得 =λ ,→𝑀𝑃 →𝑃𝑁8所以 - =λ( - ),→𝑂𝑃→𝑂𝑀 →𝑂𝑁→𝑂𝑃所以(1+λ) = +λ ,→𝑂𝑃→𝑂𝑀 →𝑂𝑁即 = = a+ b,→𝑂𝑃→𝑂𝑀+𝜆→𝑂𝑁1+𝜆 𝑚1+𝜆 𝜆𝑛1+𝜆因为 a,b 不共线,所以{𝛼=𝑚1+𝜆,𝛽=𝜆𝑛1+𝜆,所以 + = + =1.𝛼𝑚𝛽𝑛 11+𝜆 𝜆1+𝜆答案:1第四篇 平面向量 (必修 4)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题 特点1.高考在本篇一般命制 1个小 题 ,分 值 占5分 .2.高考在本篇重点考 查 平面向量的 线 性运算、坐 标 运算、向量的平行与垂直、数量 积 等 .属容易 题 .第 1节 平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的 实际 背景 .2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含 义 .3.理解向量的几何表示 .4.掌握向量加法、减法的运算 ,理解其几何意 义 .5.掌握向量数乘的运算及其几何意 义 ,理解两个向量共 线 的含 义.6.了解向量 线 性运算的性 质 及其几何意 义 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.两个不同向量能比较大小吗 ?提示 :不能 .2.共线向量定理中为什么规定 a≠ 0?提示 :若不规定 a≠ 0,则 λ 可能不存在 ,也可能有无数个 .3.当 a∥ b,b∥ c时 ,一定有 a∥ c吗 ?提示 :不一定 .当 b≠ 0时 ,有 a∥ c.当 b=0时 ,a,c可以是任意向量 ,不一定共线 .知识梳理1.向量的有关概念(1)定义 :既有 又有 的量叫做向量 .(2)表示方法 :① 用字母表示 :如 a,b,c等 ;大小 方向大小 方向 大小 2.特殊向量名称 定义 备注零向量 长 度 为 的向量 记 作 0,0的方向是任意的单位向量 长 度等于 的向量非零向量 a的同向 单 位向量 为 平行(共线 )向量方向相同或 的非零向量相等向量 长 度 且方向 的向量两个向量只有相等或不相等 ,不能比 较 大小相反向量长 度 且方向 的向量零1个单位相反相等 相同相等 相反0与任一向量平行 (或共线 )0的相反向量为 03.向量的线性运算b+a a+(b+c) |λ|| a| 相同 相反 0 (λμ) a λ a+μ a λ a+λ b 4.共线向量定理向量 a(a≠0) 与 b共线 ,当且仅当有唯一一个实数 λ, 使得 .【 拓展提升 】 b=λ a1.设 a是非零向量 ,λ 是非零实数 ,下列结论中正确的是 ( )(A)a与 λ a的方向相反 (B)a与 λ 2a的方向相同(C)|-λ a|≥| a| (D)|-λ a|≥|λ| · a2. 如图 ,e1,e2为互相垂直的单位向量 ,则向量 a-b可表示为 ( )(A)3e2-e1 (B)-2e1-4e2(C)e1-3e2 (D)3e1-e2解析 :由题图可知 a=-4e2,b=-e1-e2,则 a-b=e1-3e2.故选 C.B C 对点自测C B (A)点 P在线段 AB上(B)点 P在线段 AB的反向延长线上(C)点 P在线段 AB的延长线上(D)点 P不在直线 AB上答案 :④考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 平面向量的基本概念【 例 1】 (1)设 a0为单位向量 ,① 若 a为平面内的某个向量 ,则 a=|a|a0;②若 a与 a0平行 ,则 a=|a|a0;③ 若 a与 a0平行且 |a|=1,则 a=a0.上述与单位向量有关的命题中 ,假命题的个数是 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析 :(1)向量是既有大小又有方向的量 ,a与 |a|a0的模相等 ,但方向不一定相同 ,故 ① 是假命题 ;若 a与 a0平行 ,则 a与 a0的方向有两种情况 :一是同向 ,二是反向 ,反向时 a=-|a|a0,故 ②③ 也是假命题 .综上所述 ,假命题的个数是 3.答案 :(1)D解析 :(2)① 不正确 .两个向量的长度相等 ,但它们的方向不一定相同 .③ 正确 .因为 a=b,所以 a,b的长度相等且方向相同 ;又 b=c,所以 b,c的长度相等且方向相同 ,所以 a,c的长度相等且方向相同 ,故 a=c.④ 不正确 .当 a∥ b且方向相反时 ,即使 |a|=|b|,也不能得到 a=b,故“ |a|=|b|且 a∥ b” 不是 “ a=b” 的充要条件 ,综上所述 ,正确命题的序号是 ②③ .答案 :(2)②③(1)相等向量具有传递性 ,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量 ,它们均与起点无关 .(3)向量可以平移 ,平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时 ,不要把它与函数图象的平移混为一谈 .(4)非零向量 a与 的关系 : 是与 a同方向的单位向量 .反思归纳 【 即时训练 】 给出下列命题 :① 两个具有公共终点的向量一定是共线向量 .② 两个向量不能比较大小 ,但它们的模能比较大小 .③ 若 λ a=0(λ 为实数 ),则 λ 必为零 .④λ,μ 为实数 ,若 λ a=μ b,则 a与 b共线 .其中假命题的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析 :① 错 ,具有公共终点的向量不一定共线 ;② 正确 ;③ 错 ,也可能 a=0;④ 错 ,若 λ=μ=0 时 ,λ a=μ b也成立 ,但 a与 b不一定共线 .故选 C.考点二 平面向量的线性运算 (高频考点 )考查角度 1:求平面向量的和解题的关键是搞清各向量间关系 ,找出图形中的相等向量、相反向量 ,熟练运用向量的加法法则求解 .反思归纳 考查角度 2:用已知向量表示未知向量用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 :(1)观察各向量的位置 ;(2)寻找相应的三角形或多边形 ;(3)运用法则找关系 ;(4)化简结果 .反思归纳 考查角度 3:求参数的值答案 : 求解参数问题 ,一般是利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示 ,然后对比向量等式求出参数 ,或建立方程 (组 )求解 .反思归纳 考点三 共线向量定理及其应用 (2)试确定实数 k,使 ka+b和 a+kb同向 .利用共线向量定理解题的方法(1)证明向量共线 ,对于向量 a,b(b≠0), 若存在实数 λ, 使 a=λ b,则 a与b共线 .反思归纳 (3)求参数的值 ,利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 (组 )求参数的值 .备选例题1第 2 节 平面向量基本定理及其坐标表示【选题明细表】知识点、方法 题号平面向量基本定理及其应用 3,7,11,12,15平面向量的坐标表示及运算 1,8共线向量的坐标表示 2,4,9综合问题 5,6,10,13,14,16基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·三明一中月考)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a+b 等于( D )(A)(5,7) (B)(5,9)(C)(3,7) (D)(3,9)解析:2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).故选 D.2.(2016·青岛质量检测)已知向量 a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( A )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得 a+b=(2,2+m),由 a∥(a+b)得-1×(2+m)=2×2,所以 m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.故选 A.3.(2016·河南八市质检)已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且 =2 ,则→𝐸𝐶→𝐴𝐸向量 等于( C )→𝐸𝑀(A) + (B) +12→𝐴𝐶13→𝐴𝐵 12→𝐴𝐶16→𝐴𝐵(C) + (D) +16→𝐴𝐶12→𝐴𝐵 16→𝐴𝐶32→𝐴𝐵解析: 如图,因为 =2 ,→𝐸𝐶→𝐴𝐸所以 = +→𝐸𝑀→𝐸𝐶→𝐶𝑀= +23→𝐴𝐶12→𝐶𝐵2= + ( - )23→𝐴𝐶12 →𝐴𝐵→𝐴𝐶= + .12→𝐴𝐵16→𝐴𝐶故选 C.4.(2016·广东揭阳模拟)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 a-λb 与向量 c=(-5,-6)共线,则 λ 的值为( A )(A) (B)43 413(C)- (D)449解析:由已知得 a-λb=(1-2λ,2-3λ),因为向量 a-λb 与向量 c=(-5,-6)共线,所以(1-2λ)×(-6)-(2-3λ)×(-5)=0,解得 λ= .43故选 A.5.(2016·南昌十校联考)已知 a=( ,1),若将向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向3量 b,则 b 的坐标为( B )(A)(0,4) (B)(2 ,-2)3(C)(-2 ,2) (D)(2,-2 )3 3解析: 因为 a=( ,1),3所以-2a=(-2 ,-2),3易知向量-2a 与 x 轴正半轴的夹角 α=150°(如图).向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b,在第四象限,与 x 轴正半轴的夹角β=30°,所以 b=(2 ,-2).3故选 B.6.(2016·安徽“江淮十校”联考)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1)满足 p∥q,则 tan 等于( D )𝐶2(A) (B) (C)2 (D)414 12解析:由 p∥q 得 S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b2-c2,即 absin C=2ab+2abcos C,12即 sin C=1+cos C,143sin ·cos =2cos2 ,12 𝐶2 𝐶2 𝐶所以 tan =4.故选 D.𝐶27.(2016·日照模拟)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F,若 =a, =b,则 等于( B )→𝐴𝐶 →𝐵𝐷 →𝐴𝐹(A) a+ b (B) a+ b14 12 23 13(C) a+ b (D) a+ b12 14 13 23解析: 如图,因为△DEF∽△BEA,所以 DF∶BA=DE∶BE=1∶3,过点 F 作 FG∥BD 交 AC 于点 G,所以 FG∶DO=2∶3,CG∶CO=2∶3,所以 = b,→𝐺𝐹13因为 = + = = a,→𝐴𝐺→𝐴𝑂→𝑂𝐺23→𝐴𝐶23所以 = + = a+ b.→𝐴𝐹→𝐴𝐺→𝐺𝐹23 13故选 B.8.(2016·烟台模拟)已知 a=(1,-2),a+b=(0,2),则|b|= . 解析:设 b=(x,y),则 a+b=(1,-2)+(x,y)=(x+1,y-2)=(0,2),所以 ⇒{𝑥+1=0,𝑦‒2=2 {𝑥=‒1,𝑦=4, 所以 b=(-1,4),|b|= = .(‒1)2+42 17答案: 179.(2016·德阳校级月考)已知向量 =(k,11), =(4,5), =(5,8),且 A,B,C 三点共线,→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝑂𝐶则 k= . 解析:因为向量 =(k,11), =(4,5), =(5,8),→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝑂𝐶所以 =(4-k,-6), =(1,3),→𝐴𝐵 →𝐵𝐶因为 A,B,C 三点共线,不妨设 =λ ,→𝐴𝐵 →𝐵𝐶所以(4-k,-6)=λ(1,3),所以 {4‒𝑘=𝜆,‒6=3𝜆,4解得 k=6.答案:610.导学号 18702225 已知 A(-3,0),B(0, ),O 为坐标原点 ,C 在第二象限,且∠AOC=30°,3=λ + ,则实数 λ 的值为 . →𝑂𝐶 →𝑂𝐴→𝑂𝐵解析:由题意知 =(-3,0), =(0, ),→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 3则 =(-3λ, ),→𝑂𝐶 3由∠AOC=30°知,以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150°,所以 tan 150°= ,3‒3𝜆即- =- ,所以 λ=1.33 33𝜆答案:111. 如图,在▱OADB 中, = , = ,设 =a, =b,试用 a,b 表示 , , .→𝐵𝑀13→𝐵𝐶→𝐶𝑁13→𝐶𝐷 →𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝑂𝑀→𝑂𝑁→𝑀𝑁解:因为 = - =a-b,→𝐵𝐴→𝑂𝐴→𝑂𝐵所以 = = a- b,→𝐵𝑀16→𝐵𝐴16 16所以 = + = a+ b.→𝑂𝑀→𝑂𝐵→𝐵𝑀16 56又因为 =a+b,→𝑂𝐷所以 = + = + = = a+ b,→𝑂𝑁→𝑂𝐶→𝐶𝑁12→𝑂𝐷16→𝑂𝐷23→𝑂𝐷23 23所以 = - = a+ b- a- b= a- b.→𝑀𝑁→𝑂𝑁→𝑂𝑀23 23 16 56 12 16能力提升练(时间:15 分钟)12. 如图,在△ABC 中, = , = ,若 =λ +μ ,则 λ+μ 的值为( A )→𝐴𝐷23→𝐴𝐶→𝐵𝑃13→𝐵𝐷 →𝐴𝑃 →𝐴𝐵 →𝐴𝐶(A) (B) (C) (D)89 49 83 43解析:因为 = + , = ,→𝐴𝑃→𝐴𝐵→𝐵𝑃→𝐵𝑃13→𝐵𝐷5所以 = + ,→𝐴𝑃→𝐴𝐵13→𝐵𝐷因为 = - , = ,→𝐵𝐷→𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐴𝐷23→𝐴𝐶所以 = - ,→𝐵𝐷23→𝐴𝐶→𝐴𝐵所以 = +→𝐴𝑃→𝐴𝐵13→𝐵𝐷= + ( - )→𝐴𝐵1323→𝐴𝐶→𝐴𝐵= + ,23→𝐴𝐵29→𝐴𝐶因为 =λ +μ ,→𝐴𝑃 →𝐴𝐵 →𝐴𝐶所以 λ= ,μ= ,23 29则 λ+μ= + = .23298913. (2016·广东江门质检) 给定两个长度为 1 的平面向量 和 ,它们的夹角为 90°,如→𝑂𝐴→𝑂𝐵图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上运动,若 =x +y ,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值⏜𝐴𝐵 →𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝑂𝐵是( B )(A)1 (B) 2(C) (D)23解析:因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上,⏜𝐴𝐵所以| |2=|x +y |2=x2+y2+2xy · =x2+y2=1≥ ,→𝑂𝐶 →𝑂𝐴→𝑂𝐵 →𝑂𝐴→𝑂𝐵 (𝑥+𝑦)22所以 x+y≤ .2当且仅当 x=y= 时等号成立.22故选 B.14.设 O 在△ABC 的内部,且有 +2 +3 =0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为 .→𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐶解析:设 AC,BC 的中点分别为 M,N,则已知条件可化为( + )+→𝑂𝐴→𝑂𝐶2( + )=0,即 2 +4 =0,→𝑂𝐵→𝑂𝐶 →𝑂𝑀→𝑂𝑁6所以 =-2 ,说明 M,O,N 三点共线,→𝑂𝑀 →𝑂𝑁即 O 为中位线 MN 上的一个三等分点,S△AOC = S△ANC = × S△ABC = S△ABC ,23 23 12 13所以 =3.𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴𝑂𝐶答案:315.导学号 18702226 若点 M 是△ABC 所在平面内一点,且满足 = + .→𝐴𝑀34→𝐴𝐵14→𝐴𝐶(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比.(2)若 N 为 AB 中点,AM 与 CN 交于点 O,设 =x +y ,求 x,y 的值.→𝐵𝑂→𝐵𝑀→𝐵𝑁解: (1)由 = + ,可知 M,B,C 三点共线.→𝐴𝑀34→𝐴𝐵14→𝐴𝐶如图令 =λ 得 = + = +λ = +λ( - )=(1-λ) +λ ,→𝐵𝑀 →𝐵𝐶→𝐴𝑀→𝐴𝐵→𝐵𝑀→𝐴𝐵 →𝐵𝐶→𝐴𝐵 →𝐴𝐶→𝐴𝐵 →𝐴𝐵 →𝐴𝐶所以 λ= ,14所以 = ,即面积之比为 1∶4.𝑆△𝐴𝐵𝑀𝑆△𝐴𝐵𝐶14(2)由 =x +y 得 =x + ,→𝐵𝑂→𝐵𝑀→𝐵𝑁→𝐵𝑂→𝐵𝑀𝑦2→𝐵𝐴= +y ,→𝐵𝑂𝑥4→𝐵𝐶→𝐵𝑁由 O,M,A 三点共线及 O,N,C 三点共线⇒ ⇒{𝑥+𝑦2=1,𝑥4+𝑦=1 {𝑥=47,𝑦=67.16.导学号 18702227 已知三点 A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中 a0,b0.(1)若 O 是坐标原点,且四边形 OACB 是平行四边形,试求 a,b 的值;(2)若 A,B,C 三点共线,试求 a+b 的最小值.解:(1)因为四边形 OACB 是平行四边形,所以 = ,即(a,0)=(2,2-b),→𝑂𝐴→𝐵𝐶解得{𝑎=2,2‒𝑏=0, {𝑎=2,𝑏=2.7(2)因为 =(-a,b), =(2,2-b),→𝐴𝐵 →𝐵𝐶由 A,B,C 三点共线,得 ∥ ,→𝐴𝐵→𝐵𝐶所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab,因为 a0,b0,所以 2(a+b)=ab≤( )2,𝑎+𝑏2即(a+b) 2-8(a+b)≥0,解得 a+b≥8 或 a+b≤0.因为 a0,b0,所以 a+b≥8,即 a+b 的最小值是 8.好题天天练1.已知 O,A,B,C 为同一平面内的四个点,若 2 + =0,则向量 等于( C )→𝐴𝐶→𝐶𝐵 →𝑂𝐶(A) - (B)- +23→𝑂𝐴13→𝑂𝐵 13→𝑂𝐴23→𝑂𝐵(C)2 - (D)- +2→𝑂𝐴→𝑂𝐵 →𝑂𝐴→𝑂𝐵解析:因为 = - , = - ,→𝐴𝐶→𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝐶𝐵→𝑂𝐵→𝑂𝐶所以 2 + =2( - )+( - )= -2 + =0,→𝐴𝐶→𝐶𝐵 →𝑂𝐶→𝑂𝐴 →𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝑂𝐵所以 =2 - .→𝑂𝐶→𝑂𝐴→𝑂𝐵故选 C.2.在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC=1, =x +y 且 x+y=1,函数 f(m)=| -m |的最小→𝐶𝑂→𝐶𝐴→𝐶𝐵 →𝐶𝐴→𝐶𝐵值为 ,则| |的最小值为 . 32 →𝐶𝑂解析: 如图,△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC=BC=1,记 = -m ,→𝑁𝐴→𝐶𝐴→𝐶𝐵则当 N 在 D 处,即 AD⊥BC 时,f(m)取得最小值 ,32因此| |= ,容易得到∠ACB=120°.→𝐴𝐷 32因为 =x +y 且 x+y=1,→𝐶𝑂→𝐶𝐴→𝐶𝐵所以 O 在边 AB 上,所以当 CO⊥AB 时,| |最小,→𝐶𝑂8| |min= .→𝐶𝑂 12答案:12第 2节 平面向量基本定理及其坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义 .2.掌握平面向量的正交分解及其坐标 表示 .3.会用坐 标 表示平面向量的加法、减法与数乘运算 .4.理解用坐 标 表示的平面向量共 线的条件 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.平面内任何两个向量都可以作为一组基底吗 ?提示 :不能 ,共线的两个向量不可以 .2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置是否有关 ?提示 :无关 .表示向量的有向线段可以自由平移 ,它的起点 ,终点随之变化,但此向量的坐标不变 .3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b的充要条件能否表示为 ?提示 :不能 ,因 x2,y2有可能为 0.知识梳理1.平面向量基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个 向量 ,那么对于这个平面内任意向量 a,有且只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a= .其中 ,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量 ,叫做把向量正交分解 .3.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中 ,分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个 i,j作为基底 ,对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理知 ,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj,这样 ,平面内的任一向量 a都可由 x,y唯一确定 ,我们把 叫做向量 a的坐标 ,记作 ,其中 x叫做 a在 x轴上的坐标 ,y叫做 a在 y轴上的坐标 .(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1).不共线λ 1e1+λ 2e2互相垂直单位向量(x,y) a=(x,y)4.平面向量的坐标运算(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a± b= ;(2)若 a=(x,y),则 λ a=(λx,λy).5.向量共线的充要条件的坐标表示若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b⇔ .(x1± x2,y1± y2)x1y2-x2y1=01.在下列向量组中 ,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是 ( )(A)e1=(0,0),e2=(1,2) (B)e1=(-1,2),e2=(5,-2)(C)e1=(3,5),e2=(6,10) (D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析 :选项 A中 λ e1+μ e2=(μ,2μ)(λ,μ∈ R),不存在 μ 使 (μ,2μ)=(3,2),可排除选项 A.选项 C,D中 e1∥ e2,但与 a不共线 ,则 a不能由 e1,e2表示 ,设 (3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,y∈ R),可得 x=2,y=1,所以选项 B中的 e1,e2可把 a表示出来 .故选 B.B 对点自测A 3.若三点 A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线 ,则实数 a的值为 . 解析 :① 中 ,由于 a,b共线 ,不能作平面向量的基底 ,错误 ;② 正确 ;③ 向量平移后不变 ,错误 ;④ 当 x2=0或 y2=0时 ,不成立 .答案 :②考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 平面向量基本定理的应用(1)用基底表示平面上的其他向量 ,其方法是 :先选择一组不共线的基底 ,通过向量的加、减、数乘运算 ,把其他相关的向量用这一组基底表示出来 ,有时还要利用向量相等建立方程组 ,解出某些相关的值 .(2)要熟练运用平面几何的一些性质定理 .反思归纳 【 即时训练 】 如果 e1,e2是平面 α 内一组不共线的向量 ,那么下列四组向量中 ,不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )(A)e1与 e1+e2 (B)e1-2e2与 e1+2e2(C)e1+e2与 e1-e2 (D)e1+3e2与 6e2+2e1考点二 平面向量的坐标运算答案 :(1)A答案 :(2)(3,1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行 .若已知有向线段两端点的坐标 ,则应先求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 .反思归纳 考点三 平面向量共线的坐标表示【 例 3】 导学号 18702224 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若 (a+kc)∥(2 b-a),求实数 k;(2)若 d满足 (d-c)∥( a+b),且 |d-c|= ,求 d的坐标 .(1)向量共线的两种表示形式 :① a∥ b⇔ a=λ b(b≠0);② 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥ b⇔ x1y2-x2y1=0.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线 (平行 ),可解决三点共线问题 ;另外 ,利用两向量共线的充要条件可以列出方程 (组 ),求出未知数的值 .反思归纳 【 即时训练 】 (1)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD, 且 DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D的坐标为 . 答案 :(1)(2,4) (2)在 △ ABC中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且 p∥ q,则角 C= . 答案 : (2)60° 备选例题答案 :16忽视平面向量基本定理的条件致误易混易错辨析 用心练就一双慧眼 易错提醒 :在平面向量基本定理中 ,一定要注意两个基向量不共线这一条件 .本题在利用向量共线的充要条件列出等式后 ,易漏掉当 a,b共线时 ,t可为任意实数这个解 .