（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明 理（课件+习题）（打包8套）.zip

1第十一篇 复数、算法、推理与证明第 1 节 数系的扩充与复数的引入【选题明细表】知识点、方法 题号复数的有关概念 2,10复数代数形式的运算 3,6,12,13,15,16复数的几何意义 4,8,9,14复数综合应用 1,5,7,11基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·安徽合肥第二次质检)若 i 是虚数单位,复数 z= 的虚部为( D )𝑖2+𝑖(A)- (B)- (C) (D)15 25 15 25解析:z= = = + i,故选 D.𝑖2+𝑖𝑖(2‒𝑖)5 15252.已知 z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1-z2=0,则 m 的值为( B )(A)4 (B)-1 (C)6 (D)0解析:因为 z1-z2=0,即 z1=z2,所以 {𝑚2‒3𝑚=4,𝑚2=5𝑚+6,解得 m=-1.选 B.3.(2016·山东卷)若复数 z 满足 2z+ =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( B )𝑧(A)1+2i (B)1-2i(C)-1+2i (D)-1-2i解析:设 z=x+yi,则 2x+2yi+x-yi=3-2i.则 z=1-2i.{3𝑥=3,𝑦=‒2.故选 B.4.(2016·河南焦作一模)若复数 z 满足 z(1+i)=|1+ i|,则在复平面内 z 的共轭复数对应3的点位于( A )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:复数 z 满足 z(1+i)=|1+ i|=2,所以 z= =1-i,复数 z 对应点为(1,-1),在复平面321+𝑖内 z 的共轭复数对应的点为(1,1),在第一象限.故选 A.5.复数 z= 的实部与虚部之和为( D )(2𝑖‒3)(𝑖‒2)𝑖(A)-3 (B)4 (C)3 (D)-112解析:z=(2𝑖‒3)(𝑖‒2)𝑖=(4‒7𝑖)·𝑖𝑖·𝑖=7+4𝑖𝑖·𝑖=-7-4i,所以复数 z= 的实部和虚部的和是-11.故选 D.(2𝑖‒3)(𝑖‒2)𝑖6.已知复数 z 满足(2+i)z=1+2i+3i 2+4i3(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数是( C )(A) + i (B) - i6525 6525(C)- + I (D)- - i6525 6525解析:由 1+2i+3i2+4i3=-2-2i,得 z=- =- =- =- - i,2+2𝑖2+𝑖 (2+2𝑖)(2‒𝑖)(2+𝑖)(2‒𝑖) 6+2𝑖5 6525则 z 的共轭复数是- + i,故选 C.65257.(2016·江西新余一中等校联考)已知 a 为实数,若复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数,则的值为( D )𝑎+𝑖2 0151+𝑖(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i解析:根据题意可求得 a=1,所以 = =-i,故选 D.𝑎+𝑖2 0151+𝑖 1‒𝑖1+𝑖8.(2016·北京卷)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= .解析:(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,由题意得 a+1=0,a=-1.答案:-19.若复数 z= 对应的点在直线 x+2y+5=0 上,则实数 a 的值为 . 1‒𝑎𝑖𝑖解析:因为 z= =(1-ai)(-i)=-a-i,所以 z 在复平面内对应点的坐标为(-a,-1),所以-1‒𝑎𝑖𝑖a+3=0,所以 a=3.答案:310.在复平面上,平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 对应复数分别为 i,2,4+2i,则点 D 对应的复数为 . 解析:设 D(x,y),因为 = ,→𝐴𝐵→𝐷𝐶所以 2-i=4+2i-(x+yi),化为(2-x)+(3-y)i=0,所以 2-x=0,3-y=0,解得 x=2,y=3.3所以第四个顶点 D 的坐标所对应的复数为 2+3i.答案:2+3i能力提升练(时间:15 分钟)11.导学号 18702611 如图,在复平面内,复数 z1和 z2对应的点分别是 A 和 B,则 等于( C )𝑧2𝑧1(A) + i1525(B) + i2515(C)- - i1525(D)- - i2515解析:由图形可得,z 1=-2-i,z2=i.所以 = = = =- - i,故选 C.𝑧2𝑧1 𝑖‒2‒𝑖 ‒𝑖(2‒𝑖)(2+𝑖)(2‒𝑖) ‒2𝑖‒15 152512.(2017·山西四校联考)已知复数 z 满足 ·z=3+4i,则|z|等于( D )1+𝑖1‒𝑖(A)2 (B) (C)5 (D)56 7 2解析:法一 因为 = = =i,1+𝑖1‒𝑖 ‒𝑖2+𝑖1‒𝑖 𝑖(1‒𝑖)1‒𝑖所以 ·z=3+4i 可转化为 iz=3+4i,1+𝑖1‒𝑖所以 z= =4-3i,3+4𝑖𝑖所以|z|=5.法二 因为 ·z=3+4i,1+𝑖1‒𝑖所以 z= ,(3+4𝑖)(1‒𝑖)1+𝑖所以|z|= =|3+4i|=5.选 D.|(3+4𝑖)(1‒𝑖)||1+𝑖|13.已知 z=( )2 016(i 是虚数单位),则 z 等于( B )1‒𝑖2(A)-1 (B)1 (C)0 (D)i4解析:( )2= =-i,1‒𝑖2 1‒2𝑖+𝑖22则( )4=-1,1‒𝑖2所以( )2 016=[( )4]504=1.故选 B.1‒𝑖2 1‒𝑖214.(2016·宁德模拟)复数 z= (i 是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为 .1+𝑖𝑖解析:复数 z= =-i(1+i)=1-i.复数 z= (i 是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)1+𝑖𝑖 1+𝑖𝑖到原点的距离为 .2答案: 215.导学号 18702612 若复数 z=1+2i(i 是虚数单位),则(z+ )· = . 1𝑧 𝑧解析:因为(z+ )· =z· +1,1𝑧 𝑧 𝑧又 z=1+2i,所以 =1-2i,𝑧所以 z· =(1+2i)(1-2i)=5.𝑧所以(z+ )· =6.1𝑧 𝑧答案:616.若 1+2i 是方程 x2+px+q=0(p,q∈R)的根,则 p+2q= . 解析:因为 1+2i 是方程 x2+px+q=0 的根,所以(1+2i) 2+p(1+2i)+q=0,所以 4i-3+p+2pi+q=0,由 p,q∈R 及两复数相等条件知 {𝑝+𝑞=3,2𝑝=‒4,故 p=-2,q=5,所以 p+2q=8.答案:8好题天天练1.定义:z 2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( B )(A)1-2i 或-1+2i (B)1+2i 或-1-2i(C)-7-24i (D)7+24i解题关键:利用复数相等的充要条件求解.解析:设(x+yi) 2=-3+4i,则解得 或 故选 B.{𝑥2‒𝑦2=‒3,𝑥𝑦=2, {𝑥=1,𝑦=2 {𝑥=‒1,𝑦=‒2.2.导学号 18702613 “复数 (a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”𝑎+𝑖2+𝑖是“a0, 12 𝑎+𝑖2+𝑖数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a-1”的必要不充分条件.故选 B.3.若复数 z=(cos θ- )+(sin θ- )i 是纯虚数(i 为虚数单位),则 tan(θ- )的值为( A )45 35 𝜋4(A)-7 (B)-17(C)7 (D)-7 或-17解题关键:根据复数的概念求出 tan θ 的值,再利用两角差的正切公式求 tan(θ- ).𝜋4解析:因为复数 z=(cos θ- )+(sin θ- )i 是纯虚数,45 35所以{𝑐𝑜𝑠𝜃‒45=0,𝑠𝑖𝑛𝜃‒35≠0,解之得 cos θ= ,sin θ=- ,所以 tan θ=- ,45 35 34因此 tan(θ- )= = =-7,故选 A.𝜋4𝑡𝑎𝑛𝜃‒𝑡𝑎𝑛 𝜋41+𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛 𝜋4‒34‒11+(‒34)×1第十一篇 复数、算法、推理与证明 (必修 3、选修 2-2)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题 特点1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加减乘除四 则 运算 .运算是高考的 热 点 ,一般 为选择题 ,占 5分 .2.循 环结 构和条件 结 构是高考考 查 的 热点 ,题 型以 选择题 、填空 题为 主 ,属容易 题 ,占 5分 .3.高考 对归纳 推理、 类 比推理的考 查 常以填空 题 形式出 现 ,难 度中等 ,占 5分 .4.高考 对 演 绎 推理、直接 证 明与 间 接 证明以及数学 归纳 法的考 查 ,单 独命 题 的可能性不大 ,但其思想也会渗透到解 题之中 .第 1节 数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念 ,理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意 义 ,能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示 ,并能将复平面上的点或向量所 对应 的复数用代数形式表示 .3.能 进 行复数代数形式的四 则 运算 ,了解两个具体复数相加、相减的几何意 义 .考点专项突破知识链条完善经典考题研析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.复数的几何意义是什么 ?2.复数模的几何意义是什么 ?3.复数加减法的几何意义是什么 ?知识梳理1.复数的有关概念(1)复数的定义形如 a+bi(a,b∈ R)的数叫做复数 ,其中实部是 ,虚部是 (i是虚数单位 ).a b= ≠ = (3)复数相等a+bi=c+di⇔ (a,b,c,d∈ R).(4)共轭复数a+bi与 c+di互为共轭复数 ⇔ (a,b,c,d∈ R).a=c且 b=da=c且 b=-d(2)复数的分类(2)实轴、虚轴在复平面内 ,x轴叫做 ,y轴叫做 ,实轴上的点都表示 ;除原点以外 ,虚轴上的点都表示 .2.复数的几何意义(1)复平面的概念建立 来表示复数的平面叫做复平面 .|z| |a+bi| 直角坐标系实轴 虚轴 实数纯虚数Z(a,b) 3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈ R),则① 加法 :z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;② 减法 :z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;③ 乘法 :z1·z 2=(a+bi)(c+di)= ;(2)复数加法的运算定律复数的加法 满 足交 换 律、 结 合律 ,即 对 任何 z1,z2,z3∈ C,有 z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)iz2+z1 z1+(z2+z3)(3)复数乘法的运算定律复数的乘法 满 足交 换 律、 结 合律、分配律 ,即 对 于任意 z1,z2,z3∈ C,有z1·z 2=z2·z 1,(z1·z 2)·z 3=z1·(z 2·z 3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.2.-b+ai=i(a+bi).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈ N*).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈ N*).【 拓展提升 】 对点自测1.(2015· 湖北卷 )i为虚数单位 ,i607的共轭复数为 ( )(A)i (B)-i (C)1 (D)-1A解析 :因为 i607=i4× 151+3=(i4)151· i3=-i,所以 i607的共轭复数为 i.A (A)-10+8i (B)10-8i(C)-8+10i (D)8-10i3.(2016· 山东临沂一模 )如果复数 z= ,则 ( )C(A)|z|=2 (B)z的实部为 1(C)z的虚部为 -1 (D)z的共轭复数为 1+i4.(2016· 辽宁省沈阳质量监测 )复数 z= (i为虚数单位 )在复平面内对应的点位于 ( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限A5.下面四个命 题 :①3+4i 比 2+4i大 ;② 复数 3-2i的 实 部 为 3,虚部 为 -2i;③z 1,z2为 复数 ,z1-z20,那么 z1z2;④z 1,z2为 复数 ,若 =0,则 z1=z2=0.其中不正确的命 题 有 (写出所有不正确命 题 的 编 号 ). 解析 :只有当两个复数都是实数时才能比较大小 ,① 错 ;复数 3-2i的虚部为 -2,② 错 ;答案 :①②③④考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 复数的基本概念考查角度 1:复数的基本概念【 例 1】 (1)(2017· 山东潍坊重点高中联考 )已知复数 z=m2-1+(m+1)i(其中 m∈ R,i是虚数单位 )是纯虚数 ,则复数 m+i的共轭复数是 ( )(A)1+i (B)1-i (C)-1-i (D)-i(2)(2016· 江苏卷 )复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i为虚数单位 ,则 z的实部是. 解析 : (1)由题意得 m2-1=0且 m+1≠0, 所以 m=1,故复数 m+i的共轭复数是 1-i,故选 B.(2)由复数乘法可得 z=5+5i,则 z的实部是 5.答案 : (1)B (2)5有关复数的概念问题 ,一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等 ,解决时 ,一定先看复数是否为a+bi(a,b∈ R)的形式 ,以确定其实部和虚部 .反思归纳 考查角度 2:复数相等及模的运算【例 2】 (1)(2016· 全国 Ⅰ 卷 )设 (1+i)x=1+yi,其中 x,y是实数 ,则|x+yi|等于 ( )答案 : (1)B (2)C (3)(2016· 天津卷 )已知 a,b∈ R,i是虚数单位 ,若 (1+i)(1-bi)=a,则 的值为 . 答案 : (3)2(1)两复数相等的充要条件是实部与实部、虚部与虚部分别相等 ,求解时首先要明确两复数应均为 z=a+bi(a,b∈ R)的形式 .反思归纳 (2)若复数 z=a+bi(a,b∈ R),则 |z|= .考点二 复数代数形式的运算【 例 3】 (1)(2016· 全国 Ⅲ 卷 )若 z=1+2i,则 等于 ( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i(2)(2015· 全国 Ⅱ 卷 )若 a为实数 ,且 (2+ai)(a-2i)=-4i,则 a等于 ( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算 ,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 ,注意要把 i的幂写成最简形式.反思归纳 考点三 复数的几何意义【 例 4】 (1)(2016· 全国 Ⅱ 卷 )已知 z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限 ,则实数 m的取值范围是 ( )(A)(-3,1) (B)(-1,3)(C)(1,+∞) (D)(-∞,-3)(2)(2014· 全国 Ⅱ 卷 )设复数 z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称 ,z1=2+i,则 z1z2等于 ( )(A)-5 (B)5 (C)-4+i (D)-4-i(2)z1=2+i,由题意 ,z2=-2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选 A.反思归纳 判断复数所在平面内的点的位置的方法 :首先将复数化成a+bi(a,b∈ R)的形式 ,其次根据实部 a和虚部 b的符号来确定点所在的象限及坐标 .复数运算的综合问题经典考题研析 在经典中学习方法【 教师备用 】审题突破关键信息 信息转化信息 ① 关于复数 z的等式信息 ② 求复数 z的模解题突破 :利用复数的运算求出 z① ②命题意图 :本题主要考查了复数的乘法和除法运算 ,考查了复数的模等基础知识 ,同时还考查了对算式变形、运算的能力 .1第 2 节 算法初步【选题明细表】知识点、方法 题号基本算法语句 1,13顺序、条件结构 2,8,14循环结构输出功能 3,4,5,7,9,10程序框图填充及综合 6,11,12基础对点练(时间:30 分钟)1.将两个数 a=2 016,b=2 017 交换使得 a=2 017,b=2 016,下面语句正确的一组是( B )(A) (B)abca(C) (D)abca解析:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=2 017,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=2 016,把 c的值赋给变量 a,这样 a=2 017.故选 B.2.若对任意非零实数 a,b,a*b 的运算规则如程序框图所示,则(3*2)*4 的值是( C )(A) (B) (C) (D)91312 12 32解析:由程序框图得,3*2= =2,所以(3*2)*4=2*4= = .故选 C.3+12 4‒12 323.若按如图的算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 的值为( B )672(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:进行循环前 k=1,S=0,进行循环后 S= ,不满足退出循环的条件 ;k=2,S= ,不满足退出12 23循环的条件;k=3,S= ,不满足退出循环的条件;k=4,S= ,不满足退出循环的条件;k=5,S= ,34 45 56不满足退出循环的条件;k=6,S= ,满足退出循环的条件.故输入 N 值为 6.674.如图是一个程序框图,则输出的 n 的值是( A )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由程序框图知,第一次循环 p=20,n=1,q=1,n=2,第二次循环 p=10,q=4,n=3,第三次循环p= ,q=9,n=4,符合 4p6,得到 S=2,n=3,S3,输出 4.故选 B.6.(2017·湖南岳阳一中入学检测)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的 S为 ,则判断框中填写的内容可以是( D )2524(A)n=6 (B)n115280,则当-x+4=3 时,解得 x=1,不满足题意;当 x2-1=3 时,解得 x=2,或-2(舍去),综上,x 的值为 2,故选 B.14.导学号 18702619 如图是判断“美数”的流程图,在[30,40]内的所有整数中,“美数”的个数是 . 解析:依题意可知,题中的“美数”包括 12 的倍数与能被 3 整除但不能被 6 整除的数,由此不难得知,在[30,40]内的“美数”有 3×11,3×12,3×13 三个数.答案:3好题天天练1.已知实数 x∈[1,10]执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 63 的概率为( D )(A) (B) (C) (D)310 49 25 137解析:设输入 x=a,第一次循环:x=2a+1,n=2;第二次循环:x=4a+3,n=3;第三次循环:x=8a+7,n=4;结束循环,输出 x=8a+7≥63⇒a≥7;概率为 = ,选 D.10‒710‒1132.导学号 18702620 运行如图所示的流程图,如果输入 b=2,经过四次循环后输出的 a=9,则输入正数 a 的值可能是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:依题意,执行程序框图,可知当 b=2 时不满足条件 a≥8,第一次执行循环,a=a+2;不满足条件 a≥8,第二次执行循环,a=a+4;不满足条件 a≥8,第三次执行循环,a=a+6;不满足条件a≥8,第四次执行循环,a=a+8;由题意得,此时应满足条件 a≥8,退出循环,输出 a=a+8 的值为 9,所以解得输入值a=1,故选 A.第 2节 算法初步最新考纲1.了解算法的含 义 ,了解算法的思想 .2.理解程序框 图 的三种基本 逻辑结 构:顺 序、条件分支、循 环 .3.了解几种基本算法 语 句 —— 输入 语 句、 输 出 语 句、 赋值语 句、条件 语 句、循 环语 句的含 义 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.常用的基本逻辑结构有哪些 ?提示 :顺序结构、条件结构和循环结构三种 .2.条件结构能否同时执行 “ 是 ” 分支和 “ 否 ” 分支 ?提示 :不能 .条件结构无论判断条件是否成立 ,只能执行 “ 是 ” 分支或 “否 ” 分支之一 ,不可能同时执行 ,也不可能都不执行 .知识梳理1.算法算法通常是指按照一定 解决某一类问题的 的步骤 .2.程序框图与三种基本逻辑结构(1)程序框图① 程序框图的定义 :程序框图又称 ,是一种用程序框、流程线及来表示算法的图形 .通常 ,程序框图由程序框和流程线组成 ,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤 ;流程线带有方向箭头 ,按照算法进行的顺序将程序框连接起来 .规则 明确和有限流程图文字说明② 程序框图中图形符号的意义起始 输入和输出 (2)三种基本逻辑结构名称内容 顺序结构 条件结构 循环结构定义 由 的步 骤组 成 ,这 是任何一个算法都离不开的、算法的流程根据有不同的流向 ,条件结 构就是 处 理 这种 过 程的 结 构从某 处 开始 ,按照一定的条件某些步 骤 的情况 ,反复 执 行的步 骤称 为 、程序框图若干个依次执行基本结构条件是否成立 反复执行循环体3.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能4.条件语句与循环语句(1)条件语句① 算法中的条件结构由条件语句来实现 .② 条件语句的格式及对应框图a.IF—THEN 格式变量 =表达式语句 一般格式 功能输入语句 INPUT “ 提示内容 ” ;变 量 输 入信息输出语句 PRINT “ 提示内容 ” ;表达式 输 出信息赋值语句 、 将表达式所代表的 值赋给变 量b.IF—THEN—ELSE 格式(2)循环语句① 程序框图中的循环结构与循环语句对应 .② 循环语句的格式及对应框图a.UNTIL语句b.WHILE语句对点自测1.写出下列程序框图描述的算法的运行结果 ( )A解析 :根据判断框 ,如果 xn,输出 s=17.故选 C.(2)(2016· 全国 Ⅰ 卷 )执行下面的程序框图 ,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输出 x,y的值满足 ( )(A)y=2x (B)y=3x(C)y=4x (D)y=5x利用循环结构求解输出结果问题 ,应明确是先判断后执行还是先执行后判断 ,再根据程序框图的流程以及循环终止的条件决定输出的结果 .反思归纳 【即时训练】 (1)(2016· 四川卷 )秦九韶是我国南宋时期的数学家 ,普州 (现四川省安岳县 )人 ,他在所著的 《 数书九章 》 中提出的多项式求值的秦九韶算法 ,至今仍是比较先进的算法 .如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例 ,若输入 n,x的值分别为 3,2,则输出 v的值为 ( )(A)9 (B)18 (C)20 (D)35解析 : (1)输入 n=3,x=2,v=1,i=20,得 v=4,i=10,得 v=9,i=0,得 v=18,i=-1b.输出 i=3.答案 : (2)3考查角度 2:完善程序框图【 例 3】 (1)(2015· 重庆卷 )执行如图所示的程序框图 ,若输出 k的值为 8,则判断框内可填入的条件是 ( )(A)i≤4 030 (B)i≥4 030 (C)i≤4 032 (D)i≥4 032求解完善程序框图问题中判断框内条件问题可以按以下方法进行 :第一 ,假设判断框内的条件为 in0或 in0(n0∈ N*).第二 ,运行循环结构的框图 ,直到运行结果与题目条件中的结果相同 ,第三 ,根据运行结果的计算步骤中的式子 ,寻求 n0的值 .反思归纳 备选例题【例 1】 如图是由所输入的 x的值计算 y值的一个算法程序 ,若输入的 x值为 6,则所输出的 y值为 ( ) INPUT “ x”;xIF x5 THENy=x^2+1ELSEy=5*xEND IFPRINT “ y”;yEND(A)37 (B)30 (C)5 (D)6【例 2】 (2016· 山西晋城市高三下学期第二次模拟 )如果执行如图所示的程序框图 ,那么输出的 a等于 ( )(A)2 (B) (C)-1 (D)以上都不正确【 例 3】 (2016· 山西太原市高考二模 )执行如图所示的程序框图 ,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a的可能取值的集合是 ( )(A){1,2,3,4,5} (B){1,2,3,4,5,6}(C){2,3,4,5} (D){2,3,4,5,6}解析 :输入 a值 ,此时 i=0,执行循环体后 ,a=2a+3,i=1,不满足条件 ;再次执行循环体后 ,a=2(2a+3)+3=4a+9,i=2,应该退出 ;故 ,解得 1a≤5, 故输入的正整数 a的可能取值的集合是 {2,3,4,5},故选 C.1第 3节 合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法 题号归纳推理 3,4,5,9,10,11类比推理 2,6,7,8,12演绎推理 1基础对点练(时间:30 分钟)1.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a∈R,结论是:a 20,那么这个演绎推理出错在( A )(A)大前提 (B)小前提(C)推理过程 (D)没有出错解析:要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于 0,是不正确的,故选 A.2.(2016·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论( D )①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确.②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确.③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确.④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.3.按照图 1～图 3的规律,第 10个图中圆点的个数为( B )(A)36 (B)40 (C)44 (D)52解析:因为根据图形,第一个图有 4个点,第二个图有 8个点,第三个图有 12个点,…,所以第10个图有 10×4=40个点,故选 B.4.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD中,不等式 + + + ≥ 成立;在五边1𝐴1𝐵1𝐶 9𝜋 1𝐴1𝐵1𝐶1𝐷 162𝜋形 ABCDE中, + + + + ≥ 成立.猜想在 n边形中,成立的不等式为( C )1𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸 253𝜋(A) + +…+ ≥1𝐴11𝐴2 1𝐴𝑛𝑛𝜋2(B) + +…+ ≥1𝐴11𝐴2 1𝐴𝑛 𝑛2(𝑛+1)𝜋(C) + +…+ ≥1𝐴11𝐴2 1𝐴𝑛 𝑛2(𝑛‒2)𝜋(D) + +…+ ≥1𝐴11𝐴2 1𝐴𝑛 𝑛2(𝑛+2)𝜋解析:通过观察发现不等式左边为多边形的各个内角的倒数之和,右边的分子为边数的平方,分母为多边形的内角和,而 n边形的内角和为(n-2)π,故猜想在 n边形中成立的不等式为+ +…+ ≥ ,故1𝐴11𝐴2 1𝐴𝑛 𝑛2(𝑛‒2)𝜋选 C.5.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是 1个点(算第 1层),第 2层每边有 2个点,第 3层每边有 3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有 169个点,那么它的层数为( C ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:由题意知,第 1层的点数为 1,第 2层的点数为 6,第 3层的点数为 2×6,第 4层的点数为 3×6,第 5层的点数为 4×6,…,第 n(n≥2,n∈N +)层的点数为 6(n-1).设一个点阵有 n(n≥2,n∈N +)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n-1)=1+ ×(n-1)=3n2-3n+1,由题意得 3n2-3n+1=169,即6+6(𝑛‒1)2(n+7)·(n-8)=0,所以 n=8,故共有 8层.6.函数 y=x+ 在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 函数 y=x+ 在(0, ]上是减函数,1𝑥 2𝑥 2在[ ,+∞)上是增函数,函数 y=x+ 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数,……利23𝑥 3 3用上述所提供的信息解决下列问题:若函数 y=x+ (x0)的值域是[6,+∞),则实数 m的值为3𝑚𝑥( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由归纳和类比推理知,函数 y=x+ (x0)在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上为增3𝑚𝑥 3𝑚 3𝑚函数,所以当 x= 时,y 有最小值,即 + =6,解得 m=2,故选 B.3𝑚 3𝑚3𝑚3𝑚37.若数列{a n}是等差数列,则数列{b n}(bn= )也为等差数列.类比这一性质𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛可知,若正项数列{c n}是等比数列,且{d n}也是等比数列,则 dn的表达式应为( D )(A)dn= (B)dn=𝑐1+𝑐2+…+𝑐𝑛𝑛 𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛(C)dn= (D)dn=𝑛𝑐𝑛1+𝑐𝑛2+…+𝑐𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛解析:法一 从商类比开方,从和类比积,则算术平均数可以类比几何平均数,故 dn的表达式为 dn= .𝑛𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛法二 若{a n}是等差数列,则 a1+a2+…+an=na1+ d,𝑛(𝑛‒1)2所以 bn=a1+ d= n+a1- ,(𝑛‒1)2 𝑑2 𝑑2即{b n}为等差数列;若{c n}是等比数列,则 c1·c2·…·cn= ·q1+2+…+(n-1)= · ,𝑐𝑛1 𝑐𝑛1 𝑞𝑛(𝑛‒1)2所以 dn= =c1· ,𝑛𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛 𝑞𝑛‒12即{d n}为等比数列,故选 D.8.已知点 A(x1, ),B(x2, )是函数 y=ax(a1)的图象上任意不同两点 ,依据图象可知,线𝑎𝑥1 𝑎𝑥2段 AB总是位于 A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立.运用类𝑎𝑥1+𝑎𝑥22 𝑎𝑥1+𝑥22比思想方法可知,若点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x∈(0,π))的图象上任意不同两点,则类似地有 成立. 解析:对于函数 y=ax(a1)的图象上任意不同两点 A,B,依据图象可知,线段 AB总是位于 A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立;对于函数 y=sin x(x∈(0,π))𝑎𝑥1+𝑎𝑥22 𝑎𝑥1+𝑥22的图象上任意不同的两点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),线段 AB总是位于 A,B两点之间函数图象的下方,类比可知应有 b0),△ABC 的顶点 B在椭圆上,顶𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2点 A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为 e,则 = ,现将该命题类比到𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵 1𝑒双曲线中,△ABC 的顶点 B在双曲线上,顶点 A,C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为 - =1(a0,b0).双曲线的离心率为 e,则有 . 𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2解析:根据题意,由类比推理知,命题的前提已经给出,需要计算研究命题的结论,在双曲线中 = = = ,1𝑒𝑎𝑐2𝑎2𝑐|𝐵𝐴‒𝐵𝐶|𝐴𝐶在△ABC 中,由正弦定理得 = ,|𝐵𝐴‒𝐵𝐶|𝐴𝐶 |𝑠𝑖𝑛𝐶‒𝑠𝑖𝑛𝐴|𝑠𝑖𝑛𝐵所以 = .1𝑒|𝑠𝑖𝑛𝐴‒𝑠𝑖𝑛𝐶|𝑠𝑖𝑛𝐵答案: =|𝑠𝑖𝑛𝐴‒𝑠𝑖𝑛𝐶|𝑠𝑖𝑛𝐵 1𝑒好题天天练1.导学号 18702627 运用合情推理知识可以得到:当 n≥2 时,(1- )(1- )(1- )…(1- )= . 122 132 142 1𝑛2解题关键:根据 n=2,3时的关系式寻找规律,利用归纳推理求解.解析:n=2 时,1- = = ,122342+12×2n=3时, (1- )(1- )= × = = ,122 132 34 89463+12×3…从而可得当 n≥2 时, (1- )(1- )(1- )…(1- )= .122 132 142 1𝑛2 𝑛+12𝑛答案:𝑛+12𝑛2.导学号 18702628 在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k项:k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得131×2= (1×2×3-0×1×2),132×3= (2×3×4-1×2×3),13…6n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],13相加,得 1×2+2×3+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2),13类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为 . 解题关键:根据已知条件及类比推理将 n(n+1)(n+2)表示为某相邻两式的差.解析:因为 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]13= k(k+1)[(k+2)-(k-1)],13所以 k(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]14= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)].14因为 n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],14所以 1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3),142×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4),14…n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)].14所以 1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= [(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-141)×n×(n+1)×(n+2)]= n(n+1)(n+2)(n+3).14答案: n(n+1)(n+2)(n+3)14第 3节 合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含 义 ,能 进 行简单 的 归纳 推理和 类 比推理 ,体会并 认识 合情推理在数学 发现 中的作用 .2.了解演 绎 推理的含 义 ,掌握演绎 推理的 “ 三段 论 ” ,并能运用 “三段 论 ” 进 行一些 简单 的演 绎 推理 .3.了解合情推理和演 绎 推理的 联系和差异 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.归纳推理与类比推理的主要特点是什么 ?提示 :归纳推理是由部分到整体 ,由个别到一般的推理 ;而类比推理是特殊到特殊的推理 .2.演绎推理的主要形式是什么 ?提示 :三段论 ,即大前提、小前提和结论 .3.演绎推理所获得的结论一定可靠吗 ?提示 :不一定 ,只有前提是正确的 ,推理形式是正确的 ,结论才一定是真实的 ,错误的前提则可能导致错误的结论 .知识梳理1.合情推理归纳推理 类比推理定义 由某 类 事物的部分 对 象具有某些特征 ,推出 该类 事物的 、的推理 ,或者由个 别 事实 概括出 的推理由两 类对 象具有某些 类 似特征和其中一 类对 象的 、,推出另一 类对象也具有 这 些特征的推理特点 由 到 、由 到 的推理 由 到 的推理一般步骤(1)通 过观 察个 别 情况 发现 某些相同性 质 ;(2)从已知的相同性 质 中推出一个明确的一般性命 题 (猜想 )(1)找出两 类 事物之 间 的相似性或一致性 ;(2)用一 类 事物的性 质 去推测 另一 类 事物的性 质 ,得出一个明确的命 题 (猜想 )共性 归纳 推理和 类 比推理都是根据已有的事 实 ,经过观 察、分析、比较 、 联 想 ,再 进 行 、 ,然后提出猜想的推理 ,它 们 得到的 结论 不一定成立需要 进 一步 证 明全部对象都具有这些特征一般结论某些已知特征部分 整体 个别 一般 特殊 特殊归纳 类比2.演绎推理从 出发 ,推出某个特殊情况下的结论 ,我们把这种推理称为演绎推理 ,简言之 ,演绎推理是由 到 的推理 .“ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式 ,包括(1)大前提 —— ;(2)小前提 —— ;(3)结论 —— .【 拓展提升 】 1.在演绎推理中 ,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的 ,所得的结论就是错误的 .2.在演绎推理中 ,若大前提不明确 ,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 .一般性的原理已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理 ,对特殊情况做出的判断一般 特殊对点自测1.下列表述正确的是 ( )① 归纳推理是由部分到整体的推理 ;② 归纳推理是由一般到一般的推理 ;③ 演绎推理是由一般到特殊的推理 ;④ 类比推理是由特殊到一般的推理 ;⑤ 类比推理是由特殊到特殊的推理 .(A)②③④ (B)①③⑤ (C)②④⑤ (D)①⑤B解析 :归纳推理是由部分到整体的推理 ,演绎推理是由一般到特殊的推理 ,类比推理是由特殊到特殊的推理 .故 ①③⑤ 是正确的 .故选 B.2.下面几种推理是合情推理的是 ( )① 由圆的性质类比出球的有关性质 ;② 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°, 归纳出所有三角形的内角和都是 180°;③ 李锋某次考试成绩是 100分 ,由此推出全班同学的成绩都是 100分 ;④ 三角形内角和是 180°, 四边形内角和是 360°, 五边形内角和是 540°,由此得凸 n边形内角和是 (n-2)·180°.(A)①② (B)①③ (C)①②④ (D)②④解析 :① 是类比推理 ,② 是归纳推理 ,④ 是归纳推理 ,所以 ①②④ 为合情推理 .故选 C.C3.下面给出了四个类比推理 :(1)由 “ 若 a,b,c∈ R则 (ab)c=a(bc)” 类比推出 “ 若 a,b,c为三个向量 ,则(a· b)· c=a·( b· c)”;(2)“a,b 为实数 ,若 a2+b2=0,则 a=b=0” 类比推出 “ z1,z2为复数 ,若 =0,则 z1=z2=0”;(3)“ 在平面内 ,三角形的两边之和大于第三边 ” 类比推出 “ 在空间中 ,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 ” ;(4)“ 在平面内 ,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆 ” 类比推出 “ 在空间中 ,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球 ” .上述四个推理中 ,结论正确的个数有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析 :容易验证结论 (1)是错误的 .事实上 ,若三个向量都是单位向量 ,其夹角不同 ,则 (1)不成立 ;若取 z1=1,z2=i,显然满足题设 ,即 (2)不成立.(3)(4)是正确的 (证明过程略 ).故选 B.B4.已知 x∈(0,+∞), 观察下列各式 :解析 :由已知三个式子知 n=1时 ,a=1;n=2时 ,a=22=4;n=3时 ,a=33=27,由此归纳可得 a=nn.答案 :nn考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 归纳推理 (高频考点 )考查角度 1:与数式有关的归纳推理答案 : (1)A 答案 : (2) n(n+1) 考查角度 2:与数表有关的推理【 例 2】 (1) 导学号 18702622 观察如图 :12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第 行的各数之和等于 2 0172( ) (A)2 017 (B)2 006 (C)1 009 (D)1 008(2)(2016· 河北石家庄一模 )如图所示的数阵中 ,用 A(m,n)表示第 m行的第 n个数 ,则依此规律 A(15,2)表示为 ( )数表推理问题 ,应根据数表特征 ,观察数表的构成 ,找出数表每一行的数与行数之间的关系 ,提炼数表的本质 ,结合已有的知识(尤其是数列知识 )求解 .反思归纳 考查角度 3:与图形有关的推理【例 3】 如图 ,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4个小三角形 ,称为第一次操作 ;然后 ,将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4个小三角形 ,共得到 7个小三角形 ,称为第二次操作 ;再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4个小三角形 ,共得到 10个小三角形 ,称为第三次操作 ;…… 根据以上操作 ,若要得到 100个小三角形 ,则需要操作的次数是 ( ) (A)25 (B)33 (C)34 (D)50解析 :由题意可知 ,第一次操作后 ,三角形共有 4个 ;第二次操作后 ,三角形共有 4+3=7个 ;第三次操作后 ,三角形共有 4+3+3=10个 ;…… 由此可得第 n次操作后 ,三角形共有 4+3(n-1)=3n+1个 ;当 3n+1=100时 ,解得 n=33,故选 B.与图形变化相关的归纳推理 ,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系 ,合理利用特殊图形 ,找到其中的变化规律 ,得出结论 ,可用赋值检验法验证其真伪性 .反思归纳 考点二 类比推理答案 :(1)C 答案 :(2) (1)在推导空间中的结论时 ,要利用类似平面结论的推导方法 ,如等体积法类比等面积法 ,平面类比直线 ,空间的四面体类比三角形 ,球类比圆以及体积类比面积 ,表面积类比周长等 .(2)等差数列是以和与差的形式展现数列的性质 ,而等比数列是以积与商的形式展现数列的性质 ,因此在进行两类数列的类比时 ,等差数列的和与差可以类比等比数列的积与商 ,反之亦然 .反思归纳 考点三 演绎推理【 例 5】 导学号 18702624 若 f(x)=a+ 是奇函数 ,则 a= . 答案 : 反思归纳 演绎推理是从一般性的原理推出某个特殊情况下结论的方法 ,其实质是由一般到特殊的推理 ,使用演绎推理时要注意其一般模式 “三段论 ” .