（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第五篇 数列 理（课件+习题）（打包8套）.zip

1第五篇 数列第 1 节 数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法 题号观察法求通项公式 1,7递推公式的应用 2,3,5,6,11an与 Sn的关系 8,10数列的单调性、最值 4综合问题 9,12,13,14基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·宜春校级模拟)已知数列 , , , , ,…,则 5 是它的( C )5 11172329 5(A)第 19 项 (B)第 20 项 (C)第 21 项 (D)第 22 项解析:数列 , , , , ,…,中的各项可变形为:5 11172329, , , , ,…,5 5+6 5+2×6 5+3×6 5+4×6所以通项公式为 an= = ,5+6(𝑛‒1) 6𝑛‒1令 =5 ,得 n=21.6𝑛‒1 52.数列{a n}的前 n 项积为 n2,那么当 n≥2 时,a n等于( D )(A)2n-1 (B)n2(C) (D)(𝑛+1)2𝑛2 𝑛2(𝑛‒1)2解析:设数列{a n}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2,当 n≥2 时,a n= = .故选 D.𝑇𝑛𝑇𝑛‒1 𝑛2(𝑛‒1)23.(2016·河南许昌质检)若数列{a n}中,a 1=1,an+1= ,则数列{a n}的第 4 项是( C )𝑎𝑛3𝑎𝑛+1(A) (B) (C) (D)116 117 110 125解析:因为 a1=1,an+1= ,𝑎𝑛3𝑎𝑛+1所以 a2= = = ,𝑎13𝑎1+1 13+1142a3= = = ,𝑎23𝑎2+11434+117a4= = = .故选 C.𝑎33𝑎3+11737+11104.(2016·吉林模拟)已知数列{a n},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数 λ 的取值范围是( A )(A)(-∞,6) (B)(-∞,4](C)(-∞,5] (D)(-∞,3]解析:数列{a n}的通项公式是关于 n(n∈N *)的二次函数,若数列是递减数列,则- 0,且 an+1= an,则数列{a n}的最大项是( A )𝑛𝑛+1(A)a1 (B)a9(C)a10 (D)不存在解析:因为 a10 且 an+1= an,𝑛𝑛+1所以 an0, = 1 时,有 an=Sn-Sn-1= an- an-1,整理得𝑛+23 𝑛+13= .𝑎𝑛𝑎𝑛‒1𝑛+1𝑛‒1于是 = , = ,𝑎2𝑎131𝑎3𝑎2424…= , = ,𝑎𝑛‒1𝑎𝑛‒2 𝑛𝑛‒2𝑎𝑛𝑎𝑛‒1𝑛+1𝑛‒1又 a1=1,将以上 n 个等式两端分别相乘,整理得an= .𝑛(𝑛+1)2综上可知,数列{a n}的通项公式 an= .𝑛(𝑛+1)2能力提升练(时间:15 分钟)11.(2016·山东临沂模拟)已知数列{a n}满足 a1=0,an+1= (n∈N *),则 a2 016等于( 𝑎𝑛‒ 33𝑎𝑛+1C )(A)-3 (B)0(C) (D)33解析:由题意知 a1=0,a2= =- ,a3= = ,a4= =0,a5= =- ,…,由此‒ 31 3 ‒23‒3+1 3 3‒ 33+1 ‒ 31 3可知,a n+3=an.又 2 016=3×671+3,所以 a2 016=a3= .故选 C.312.(2016·邯郸一中模拟)已知数列{a n}满足 a1=60,an+1-an=2n(n∈N *),则 的最小值为 .𝑎𝑛𝑛解析:因为 an+1-an=2n,所以当 n≥2 时有 an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…a3-a2=2×2=4,a2-a1=2×1=2,又 a1=60,累加得 an=60+2+4+…+2(n-1)=n(n-1)+60=n2-n+60,所以 = =n+ -1,𝑎𝑛𝑛𝑛2‒𝑛+60𝑛 60𝑛令 f(x)=x+ (x0),60𝑥由函数性质可知,在区间(0,2 )上单调递减,15在区间(2 ,+∞)上单调递增,15又 n 为正整数,5当 n=7 时, =7+ -1= ,𝑎𝑛𝑛 607 1027当 n=8 时, =8+ -1= ,𝑎𝑛𝑛 608 292又 0;当 n=4 时,b n=8-2n=0;当 n≥5 时,b n=8-2n0.故 n=3 或 n=4 时,T n有最大值,且最大值为 T3=T4=12.好题天天练1.导学号 18702247 已知数列{a n}满足条件 a1+ a2+ a3+…+ an=2n+5,则数列{a n}的通12 122 123 12𝑛项公式为( B )(A)an=2n+1 (B)an={14,𝑛=12𝑛+1,𝑛≥2(C)an=2n (D)an=2n+2解析:由 a1+ a2+ a3+…+ an=2n+5,12 122 123 12𝑛得 a1+ a2+ a3+…+ an-1=2(n-1)+5(n≥2),12 122 123 12𝑛‒1两式相减得 =2n+5-2(n-1)-5=2,𝑎𝑛2𝑛所以 an=2n+1(n≥2,n∈N *),又当 n=1 时, =7,𝑎12所以 a1=14.综上可知,a n={14,𝑛=1,2𝑛+1,𝑛≥2.72.若数列{a n}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{a n}的通项公式 an= . 23 13解题关键:证明{a n}为等比数列.解析:当 n=1 时,a 1=1;当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1= an- an-1,23 23故 =-2,𝑎𝑛𝑎𝑛‒1故 an=(-2)n-1,当 n=1 时,也符合 an=(-2)n-1,综上,a n=(-2)n-1.答案:(-2) n-1第五篇 数列 (必修 5)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题 特点1.高考在本篇一般命制 2道小 题 或者 1道解答 题 ,分 值 占 10～ 12分 .2.高考 对 小 题 的考 查 一般以等差、等比数列的基本量运算、等差、等比数列的性 质 、数列的 递 推式等 为 主 .3.解答 题 一般考 查 求数列的通 项 公式、等差等比数列的 证 明、 错 位相减法、裂 项 相消法、公式法求和等 ,其中裂 项相消法常与不等式相 结 合 .第 1节 数列的概念与简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种 简单的表示方法 (列表、 图 象、通 项公式 ).2.了解数列是自 变 量 为 正整数的一 类 特殊函数 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.数列的通项 an=3n+5与 y=3x+5有何区别与联系 ?提示 :an=3n+5是特殊的函数 ,其定义域为 N*,而函数 y=3x+5的定义域为R,an=3n+5的图象是离散的点 ,且排列在函数 y=3x+5的图象上 .2.数列的通项公式唯一吗 ?是否每个数列都有通项公式 ?提示 :不唯一 ,如数列 -1,1,-1,1,… 的通项公式可以为 an=(-1)n或 an=有的数列没有通项公式 .知识梳理1.数列的定义按照 排列的一列数称为数列 ,数列中的每一个数叫做这个数列的项 .2.数列的分类分类原则 类型 满足条件按 项 数分 类有 穷 数列 项 数 .无 穷 数列 项 数 .按 项 与 项间 的大小关系分 类递 增数列 an+1an 其中n∈ N*递 减数列 an+10或 an0)与 1的大小关系进行判断 .(3)结合相应函数的图象直观判断 .反思归纳 (2)判断数列 {cn}的单调性 .备选例题解析 :a3=2a1=2,a5=2a3=22,a7=2a5=23,a9=2a7=24;a4=a2+4=5,a6=a4+4=9,a8=a6+4=13,a10=a8+4=17.所以 a9a10.故选 C.1第 2节 等差数列【选题明细表】知识点、方法 题号等差数列的判定与证明 9,14等差数列的基本运算 1,8,10等差数列的性质 2,4,6,7等差数列的单调性、最值 3,5等差数列的综合应用 11,12,13,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·江西南昌十所省重点中学二模)设{a n}为等差数列,公差 d=-2,Sn为其前 n项和,若 S10=S11,则 a1等于( B )(A)18 (B)20(C)22 (D)24解析:由 S10=S11得 a11=0,即 a1+10d=0.由于 d=-2,所以 a1=20.故选 B.2.设等差数列{a n}的前 n项和为 Sn,若 a4=9,a6=11,则 S9等于( B )(A)180 (B)90(C)72 (D)100解析:S 9= = = =90.故选 B.9(𝑎1+𝑎9)2 9(𝑎4+𝑎6)2 9×(11+9)23.设等差数列的公差为 d,若数列{ }为递减数列,则( D )2𝑎1𝑎𝑛(A)d0 (B)d0 (D)a1d0且 = ,则当 Sn取最𝑎6𝑎5911大值时,n 的值为( B )(A)9 (B)10(C)11 (D)12解析:由题意,不妨设 a6=9t,a5=11t,则公差 d=-2t,其中 t0,因此 a10=t,a11=-t,即当 n=10时,S n取得最大值,故选 B.26.(2016·江西红色七校联考)等差数列{a n},{bn}的前 n项和分别为 Sn,Tn,若= (n∈N *),则 等于 ( A )𝑆𝑛𝑇𝑛38𝑛+142𝑛+1𝑎6𝑏7(A)16 (B)24215(C) (D)43223 49427解析:令 Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,所以 a6=S6-S5=38×62+14×6-(38×52+14×5)=38×11+14=432;b7=T7-T6=2×72+7-(2×62+6)=2×13+1=27,所以 = =16.故选 A.𝑎6𝑎7432277.(2016·福建四地六校联考)已知等差数列{a n}中,a 3= ,则 cos(a1+a2+a6)= . 𝜋4解析:因为 a1+a2+a6=3a3= π,34所以 cos(a1+a2+a6)=cos π=- .34 22答案:-228.(2016·宁波效实中学期中)数列{a n}的前 n项和为 Sn=n2-6n,则 a2= ;数列{|a n|}的前 10项和|a 1|+|a2|+…+|a10|= . 解析:当 n=1时,a 1=S1=-5;当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7,所以 a2=2×2-7=-3,所以|a 1|+|a2|+…+|a10|=5+3+1+1+3+…+13=9+ ×7=9+49=58.1+132答案:-3 589.(2016·广东 3月测试)已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前 n项和,且对任意 n∈N *,均有 an,Sn, 成等差数列,则 an= . 𝑎2𝑛解析:因为 an,Sn, 成等差数列,𝑎2𝑛所以 2Sn=an+ ,𝑎2𝑛当 n=1时,2a 1=2S1=a1+ ,𝑎21又 a10,所以 a1=1.当 n≥2 时,2a n=2(Sn-Sn-1)=an+ -an-1- ,𝑎2𝑛 𝑎2𝑛‒1所以( - )-(an+an-1)=0,𝑎2𝑛𝑎2𝑛‒13所以(a n+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0,又 an+an-10,所以 an-an-1=1,所以{a n}是以 1为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n(n∈N *).答案:n10.导学号 18702250 若等差数列{a n}的公差 d0,an+1-an=2,所以数列{a n}是首项为 1,公差为 2的等差数列.所以 an=2n-1.能力提升练(时间:15 分钟)12.(2016·银川二模)等差数列{a n}中的 a1,a4 031是函数 f(x)= x3-4x2+136x-1的极值点, 则 log2a2 016等于( A )(A)2 (B)3 (C)4 (D)54解析:因为 f′(x)=x 2-8x+6,所以 a1+a4 031=8,即 2a2 016=8,所以 a2 016=4,所以 log2a2 016=log24=2.故选 A.13.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵:根据以上排列规律,数阵的第 n(n≥3)行中从左到右的第 3个数是 . 解析:由题意知该数阵的第 1行有 1个数,第 2行有 2个数,…,第 n行有 n个数,则第(n-1)行的最后一个数为 = ,所以第 n行的第 3个数为 +3.(𝑛‒1)(1+𝑛‒1)2 𝑛2‒𝑛2 𝑛2‒𝑛2答案: +3𝑛2‒𝑛214.导学号 18702251 数列{a n}满足 an=3an-1+3n-1(n∈N *,n≥2),已知 a3=95.(1)求 a1,a2;(2)是否存在一个实数 t,使得 bn= (an+t)(n∈N *),且{b n}为等差数列?若存在,则求出 t的13𝑛值;若不存在,请说明理由.解:(1)n=2 时,a 2=3a1+32-1.n=3时,a 3=3a2+33-1=95,所以 a2=23,所以 23=3a1+8,所以 a1=5.(2)当 n≥2 时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)13𝑛 13𝑛‒1= (an+t-3an-1-3t)13𝑛= (3n-1-2t)13𝑛=1- ,1+2𝑡3𝑛要使{b n}为等差数列,则必须使 1+2t=0,5所以 t=- ,12即存在 t=- ,使{b n}为等差数列.1215.(2016·全国Ⅰ卷)已知{a n}是公差为 3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.13(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前 n项和.解:(1)由已知 a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得 a1=2.13所以数列{a n}是首项为 2,公差为 3的等差数列,通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1= ,𝑏𝑛3因此{b n}是首项为 1,公比为 的等比数列.13记{b n}的前 n项和为 Sn,则Sn= = - .1‒(13) 𝑛1‒13 32 12×3𝑛‒1好题天天练在数列{a n}中,a 1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).(1)证明数列{ }是等差数列 ;1𝑎𝑛(2)求数列{a n}的通项;(3)若 λa n+ ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围.1𝑎𝑛+1(1)证明:由 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)得,- =3(n≥2),1𝑎𝑛 1𝑎𝑛‒1所以数列{ }是以 1为首项,3 为公差的等差数列.1𝑎𝑛解:(2)由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2.1𝑎𝑛所以 an= .13𝑛‒26(3)λa n+ ≥λ 对 n≥2 的整数恒成立,1𝑎𝑛+1即 +3n+1≥λ 对 n≥2(n∈N *)恒成立.𝜆3𝑛‒2整理得 λ≤ (n≥2,n∈N *),(3𝑛+1)(3𝑛‒2)3(𝑛‒1)令 Cn= ,(3𝑛+1)(3𝑛‒2)3(𝑛‒1)Cn+1-Cn= -(3𝑛+4)(3𝑛+1)3𝑛 (3𝑛+1)(3𝑛‒2)3(𝑛‒1)= .(3𝑛+1)(3𝑛‒4)3𝑛(𝑛‒1)因为 n≥2,所以 Cn+1-Cn0,所以{C n}为单调递增数列,C 2最小,且 C2= ,283故 λ 的取值范围为(-∞, ].283第 2节 等差数列最新考纲1.理解等差数列的概念 .2.掌握等差数列的通 项 公式与前n项 和公式 .3.能在具体的 问题 情境中 识别 数列的等差关系 ,并能用等差数列的有关知 识 解决相 应 的 问题 .4.了解等差数列与一次函数的关系 .考点专项突破知识链条完善解题规范夯实知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.“a,A,b 是等差数列 ” 是 “ A= ” 的什么条件 ?提示 :充分必要条件 .2.如何推导等差数列的通项公式 ?提示 :可用累加法 .3.如何推导等差数列的前 n项和公式 ?提示 :利用倒序相加法推导 .知识梳理1.等差数列的相关概念(1)定义 :如果一个数列从第 2项起 ,每一项与它的前一项的 都等于常数 ,那么这个数列就叫做等差数列 .符号表示为(n≥2,n∈ N*,d为常数 ).(2)等差中项 :若 a,A,b成等差数列 ,则 A叫做 a与 b的等差中项 ,且 A= .2.等差数列的通项公式(1)若等差数列 {an}的首项是 a1,公差为 d,则其通项公式为 an= .(2)通项的推广 :an=am+( )d.差同一个 an-an-1=da1+(n-1)dn-m3.等差数列的前 n项和公式(1)已知等差数列 {an}的首项 a1和第 n项 an,则其前 n项和公式 Sn= .(2)已知等差数列 {an}的首项 a1与公差 d,则其前 n项和公式 Sn= .4.等差数列 {an}的性质(1)若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(其中 m,n,p,q∈ N*),特别地 ,若 p+q=2m,则ap+aq= (p,q,m∈ N*).(2)若等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 成等差数列 .(3)若下标成等差数列 ,则相应的项也成等差数列 ,即 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈ N*)成等差数列 .(4)若等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.5.等差数列的增减性与最值公差 d0时为递 数列 ,且当 a10时 ,前 n项和 Sn有最 值 .2am小减 大增6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d可得 an=dn+(a1-d),如果设 p=d,q=a1-d,那么 an=pn+q,其中 p,q是常数 .当 p≠0 时 ,(n,an)在一次函数 y=px+q的图象上 ,即公差不为零的等差数列的图象是直线 y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点 .当 p=0时 ,an=q,等差数列为常数列 ,此时数列的图象是平行于 x轴的直线 (或 x轴 )上的均匀排开的一群孤立的点 .【 拓展提升 】 1.等差数列 {an}中 ,若 am=n,an=m,则 am+n=0.2.等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 Sm=Sn(m≠n), 则 Sm+n=0.3.等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 Sm=n,Sn=m,则 Sm+n=-(m+n).对点自测1.等差数列 {an}中 ,a2=3,a3+a4=9,则 a1a6的值为 ( )(A)14 (B)18 (C)21 (D)27A 2.(2016· 临川一中期中 )设 Sn是等差数列 {an}的前 n项和 ,若 a1+a3+a5=3,则S5等于 ( )(A)5 (B)7 (C)9 (D)11A D 答案 :13考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 等差数列的基本量运算 【 例 1】 (1)(2016· 全国 Ⅰ 卷 )已知等差数列 {an}前 9项的和为 27,a10=8,则 a100等于 ( )(A)100 (B)99(C)98 (D)97答案 :(1)C答案 :(2)C (3)(2016· 衡水中学调研 )已知 Sn是等差数列 {an}的前 n项和 ,且 S6S7S5,给出下列五个命题 :①d0;③S 12|a7|.其中正确命题的个数是 . 解析 : (3)因为等差数列 {an}中 ,S6最大 ,且 S6S7S5,所以 a10,dS7S5,所以 a60,a70,S6最大 ,所以 ④ 不正确 ;S11=11a1+55d=11(a1+5d)0,S12=12a1+66d=6(a1+a12)=6(a6+a7)0,所以 ②⑤ 正确 ,③ 错误 .故正确命题的个数为 3.答案 :(3)3差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含 a1,d,n,an,Sn五个量 ,可知三求二 .解决这些问题一般设基本量 a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程 (组 )求解,体现方程思想 .(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题 ,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式 Sn= 结合使用 ,体现整体代入的思想 .反思归纳 【 即时训练 】 (1)(2016· 湖南衡阳八中一模 )已知等差数列 {an}中,a2=7,a4=15,则 {an}前 10项的和 S10等于 ( )(A)100 (B)210 (C)380 (D)400(2)(2016· 嘉兴一中期中 )已知等差数列 {an},Sn是数列 {an}的前 n项和 ,且满足 a4=10,S6=S3+39,则数列 {an}的首项 a1= ,通项 an= . (2)设等差数列 {an}的公差为 d,因为 a4=10,S6=S3+39,所以 a4+a5+a6=39,所以 3a4+3d=39,所以 d=3,所以 a1=a4-3d=1,所以 an=a1+(n-1)×3=3n-2.答案 :(1)B (2)1 3n-2答案 :(3)20考点二 等差数列的判断与证明 判定数列 {an}是等差数列的常用方法(1)定义法 :对任意 n∈ N*,an+1-an是同一个常数 ;(2)等差中项法 :对任意 n≥2,n∈ N*,满足 2an=an+1+an-1;(3)通项公式法 :数列的通项公式 an是 n的一次函数 ;(4)前 n项和公式法 :数列的前 n项和公式 Sn是 n的二次函数 ,且常数项为 0.反思归纳 (2)求数列 {an}的通项公式 .考点三 等差数列的性质答案 :(1) C 一般地 ,运用等差数列性质可以优化解题过程 ,但要注意性质运用的条件 ,如 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,m,p,q∈ N*).数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列 ; 也是等差数列 .等差数列的性质是解题的重要工具 .反思归纳 【 即时训练 】 (1) 导学号 18702249 在等差数列 {an}中 ,有 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前 13项和为 ( )(A)24 (B)39 (C)52 (D)104答案 :(1)C (2)设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,已知前 6项和为 36,最后 6项的和为180,Sn=324(n6),则数列 {an}的项数 n= . 答案 :(2)18考点四 等差数列的最值问题【 例 4】 已知等差数列 {an}的首项 a10,设其前 n项和为 Sn,且 S5=S12,则当n为何值时 ,Sn有最大值 ?1第 3节 等比数列【选题明细表】知识点、方法 题号等比数列的判定与证明 1,10,12,15等比数列的基本运算 5,7,14等比数列的性质 2,4,8等差、等比数列的综合 3,6,9,11等比数列与其他知识的综合 13,16基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2an-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为 2的等比数列”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当 an=0时,满足 an=2an-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为 2的等比数列时,有 =2,n=2,3,4,…,即 an=2an-1,n=2,3,4,…,𝑎𝑛𝑎𝑛‒1所以必要性成立,故选 B.2.(2016·湖北华师一附中 3月联考)在等比数列{a n} 中,a 2a3a4=8,a7=8,则 a1等于( A )(A)1 (B)±1(C)2 (D)±2解析:因为数列{a n}是等比数列,所以 a2a3a4= =8,所以 a3=2,所以 a7=a3q4=2q4=8,所以𝑎33q2=2,a1= =1,故选 A.𝑎3𝑞23.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比 q=2,且 2a4,a6,48成等差数列,则{a n}的前 8项和为( B )(A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023解析:因为 2a4,a6,48成等差数列,所以 2a6=2a4+48,所以 2a1q5=2a1q3+48,又因为 q=2,所以 a1=1,所以 S8= =255.故选 B.1×(1‒28)1‒24.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若 a1,a49是 2x2-7x+6=0的两个根,则 a1·a2·a25·a48·a49的值为( B )2(A) (B)9215 3(C)±9 (D)353解析:因为{a n}是等比数列,且 a1,a49是方程 2x2-7x+6=0的两根,所以 a1·a49= =3.而 an0,𝑎225所以 a25= .3所以 a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9 .故选 B.35.(2016·河南开封一模)设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn,若 Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则 m等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由已知得,S m-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比 q= =-2,又 Sm= =-11,𝑎𝑚+1𝑎𝑚 𝑎1‒𝑎𝑚𝑞1‒𝑞故 a1=-1,又 am=a1·qm-1=-16,故(-1)×(-2) m-1=-16,求得 m=5.故选 C.6.(2016·山西吕梁一模)已知 Sn是公差不为 0的等差数列{a n}的前 n项和,且 S1,S2,S4成等比数列,则 等于( C )𝑎2+𝑎3𝑎1(A)4 (B)6 (C)8 (D)10解析:设公差为 d,则 S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为 S1,S2,S4成等比数列,所以 =S1S4,即(2a 1+d)2=a1(4a1+6d),解得 d=0(舍去)或 d=2a1,𝑆22所以 = = =8.故选 C.𝑎2+𝑎3𝑎1𝑎1+𝑑+𝑎1+2𝑑𝑎18𝑎1𝑎17.(2016·河南商丘一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6= . 解析:设公比为 q,因为 a2=1,则由 a8=a6+2a4得 q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得 q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:48.等比数列{a n}的首项 a1=-1,前 n项和为 Sn,若 = ,则{a n}的通项公式 an= . 𝑆10𝑆53132解析:因为 = ,𝑆10𝑆53132所以 =- ,𝑆10‒𝑆5𝑆5 132因为 S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为 q5,所以 q5=- ,q=- ,132 123则 an=-1×(- )n-1=-(- )n-1.12 12答案:-(- )n-1129.导学号 18702256 数列{a n}是公差不为零的等差数列,并且 a5,a8,a13是等比数列{b n}的相邻三项.若 b2=5,则 bn= . 解析:因为{a n}是公差不为零的等差数列,并且 a5,a8,a13是等比数列的相邻三项,所以(a 5+3d)2=a5(a5+8d),所以 a5= d,92所以 q= = = ,𝑎5+3𝑑𝑎5152𝑑92𝑑53因为 b2=5,q= ,53所以 b1= =3,𝑏2𝑞所以 bn=b1qn-1=3×( )n-1.53答案:3×( )n-15310.导学号 18702257 已知数列{a n}的前 n项和为 Sn,满足 Sn=4an-p,其中 p为非零常数.(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)若 a2= ,求{a n}的通项公式.43(1)证明:当 n=1时,S 1=4a1-p,得 a1= ≠0,𝑝3当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=(4an-p)-(4an-1-p)=4an-4an-1,得 3an=4an-1,即 = ,𝑎𝑛𝑎𝑛‒143因而数列{a n}为公比为 的等比数列.43(2)解:由(1)知,数列{a n}的通项公式为an= ×( )n-1,𝑝3 43又 a2= ,可知 p=3,于是 an=( )n-1.43 4311.导学号 18702258 Sn是无穷等比数列{a n}的前 n项和,且公比 q≠1,已知 1是 S2和 S3的12 13等差中项,6 是 2S2和 3S3的等比中项.4(1)求 S2和 S3;(2)求此数列{a n}的前 n项和.解:(1)根据已知条件 {12𝑆2+13𝑆3=2,(2𝑆2)(3𝑆3)=36.整理得 {3𝑆2+2𝑆3=12,(3𝑆2)(2𝑆3)=36.解得 3S2=2S3=6,即 {𝑆2=2,𝑆3=3.(2)因为 q≠1,则 {𝑎1(1+𝑞)=2,𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=3.可解得 q=- ,a1=4.12所以 Sn= = - (- )n.4[1‒(‒12) 𝑛]1+12 8383 12能力提升练(时间:15 分钟)12.导学号 18702259 数列{a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N *,λ∈R 且 λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则 λ 的值等于( D )(A)1 (B)-1(C) (D)212解析:由 an+1=λa n-1,得 an+1-1=λa n-2=λ(a n- ).由于数列 {an-1}是等比数列,所以 =1,得2𝜆 2𝜆λ=2.故选 D.13.(2016·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{a n}的前 n项和,则 的最小值为( A )2𝑆𝑛+16𝑎𝑛+3(A)4 (B)3 (C)2 -2 (D)392解析:由 a1,a3,a13成等比数列得=a1a13⇒(a1+2d)2=a1(a1+12d)⇒4d2=8a1d,𝑎23因为 d≠0,因此 d=2a1=2,Sn=n2,an=2n-1,从而 =2𝑆𝑛+16𝑎𝑛+3 𝑛2+8𝑛+1=(n+1)+ -2≥2 -2=4,9𝑛+1 (𝑛+1)× 9𝑛+1当且仅当 n=2时取等号,故选 A.514.(2016·山西四校联考)已知数列{a n}满足 a1=1,an+1·an=2n(n∈N *),则 S2 016= . 解析:由题意得 an·an+1=2n,an+2·an+1=2n+1⇒ =2,𝑎𝑛+2𝑎𝑛因此 a1,a3,a5,…构成一个以 1为首项,2 为公比的等比数列;a2,a4,a6,…构成一个以 2为首项,2 为公比的等比数列;从而 S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)= +2× =3(21 008-1).1‒21 0081‒2 1‒21 0081‒2答案:3(2 1 008-1)15.已知数列{a n}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2an}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为 an+1=an+6an-1(n≥2),所以 an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).又 a1=5,a2=5,所以 a2+2a1=15,所以 an+2an-1≠0(n≥2),所以 =3(n≥2),𝑎𝑛+1+2𝑎𝑛𝑎𝑛+2𝑎𝑛‒1所以数列{a n+1+2an}是以 15为首项,3 为公比的等比数列.(2)解:由(1)得 an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则 an+1=-2an+5×3n,所以 an+1-3n+1=-2(an-3n).又因为 a1-3=2,所以 an-3n≠0,所以{a n-3n}是以 2首项,-2 为公比的等比数列.所以 an-3n=2×(-2)n-1,即 an=2×(-2)n-1+3n(n∈N *).16.导学号 18702260 已知等差数列{a n}的前 n项的和为 Sn,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是 q,且满足:a 1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求 an与 bn;(2)设 cn=3bn-λ· ,若数列{c n}是递增数列,求 λ 的取值范围.2𝑎𝑛3解:(1)由已知可得 {𝑞+3+𝑎2=12,3+𝑎2=𝑞2, 所以 q2+q-12=0,解得 q=3或 q=-4(舍),从而 a2=6,所以 an=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知,c n=3bn-λ· =3n-λ·2 n.2𝑎𝑛36由题意,c n+1cn对任意的 n∈N *恒成立,即 3n+1-λ·2 n+13n-λ·2 n恒成立,亦即 λ·2 n2·3n恒成立,即 λ2·( )n恒成立.32由于函数 y=( )n是增函数,32所以[2·( )n]min=2× =3,32 32故 λ3,即 λ 的取值范围为(-∞,3).好题天天练导学号 18702261 已知等比数列{a n}的前 n项和为 Sn,若 S1,2S2,3S3成等差数列,且 S4= .4027(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:S n .32(1)解:设等比数列{a n}的公比为 q.因为 S1,2S2,3S3成等差数列,所以 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以 a2=3a3,所以 q= = .𝑎3𝑎213又 S4= ,4027即 = ,𝑎1(1‒𝑞4)1‒𝑞 4027解得 a1=1,所以 an=( )n-1.13(2)证明:由(1)得 Sn= =𝑎1(1‒𝑞𝑛)1‒𝑞1‒(13) 𝑛1‒13= [1-( )n] .32 13 32第 3节 等比数列最新考纲1.理解等比数列的概念 .2.掌握等比数列的通 项 公式与前 n项 和公式 .3.能在具体的 问题 情境中 识别 数列的等比关系 ,并能用有关知 识 解决相应 的 问题 .4.了解等比数列与指数函数的关系 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】 1.如何推导等比数列的通项公式 ?提示 :可采用累积法推导 .2.b2=ac是 a,b,c成等比数列的什么条件 ?提示 :必要而不充分条件 ,因为 b2=ac时 ,不一定有 a,b,c成等比数列 (如a=0,b=0,c=1),而 a,b,c成等比数列 ,则必有 b2=ac.3.如何推导等比数列的前 n项和公式 ?提示 :可用错位相减法推导 .知识梳理1.等比数列的相关概念(1)定义 :如果一个数列从第 2项起 ,每一项与它的前一项的比等于常数 ,那么这个数列叫做等比数列 ,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 q(q≠0) 表示 .符号表示为 ,q为常数 .(2)等比中项 :如果三个数 a,G,b成等比数列 ,则 G叫做 a和 b的等比中项 ,那么 ,即 G2= .2.等比数列的通项公式(1)设等比数列 {an}的首项为 a1,公比为 q,q≠0, 则它的通项公式 an= .(2)通项公式的推广an=am· .同一个公比aba1qn-1qn-m3.等比数列的前 n项和公式Sn=4.等比数列的常见性质(3)在等比数列 {an}中 ,等距离取出若干项也构成一个等比数列 ,即an,an+k,an+2k,an+3k,… 为等比数列 ,公比为 qk.(4)公比不为 -1的等比数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列 ,其公比为 qn,当公比为 -1时 ,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列 .5.等比数列的单调性当 q1,a10或 01,a10时 ,{an}是递减数列 ;当 q=1时 ,{an}是常数列 .6.等比数列与指数函数的关系当 q≠1 时 ,an= · qn,可以看成函数 y=cqx,是一个不为 0的常数与指数函数的乘积 ,因此数列 {an}各项所对应的点都在函数 y=cqx的图象上 .对点自测解析 :① 正确 ;等差数列 2,2,2,2,… 也是等比数列 ,故 ② 错误 ;常数列0,0,0,0,… 不是等比数列 ,故 ③ 错误 ;等比数列 -1,-2,-4,… ,-2n的公比是 21,但此数列是递减数列 ,故 ④ 错误 ;⑤ 正确 .故选 D.1.下列说法正确的是 ( )① 等比数列中没有一项为 0;② 等差数列不可能是等比数列 ;③ 常数列是等比数列 ;④ 公比 q1的等比数列是递增数列 ;⑤ 公比 q1的 n的最小值为 ( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7考点二 等比数列的判定与证明【 例 2】 导学号 18702252 已知数列 {an}的前 n项和为 Sn,满足 Sn+1=2Sn+2n+1(n∈ N*),且 a1=1.(1)求证 {an+2}是等比数列 ;(2)求 Sn.等比数列的判定方法反思归纳 (3)通项公式法 :若数列通项公式写成 an=c·q n(c,q均是不为 0的常数,n∈ N*),则数列 {an}是等比数列 .(4)前 n项和公式法 :若数列 {an}的前 n项和 Sn=k·q n-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列 {an}是等比数列 .如果判定某数列不是等比数列 ,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可 .【 即时训练 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 )已知数列 {an}的前 n项和 Sn=1+λa n,其中 λ≠0.(1)证明 {an}是等比数列 ,并求其通项公式 ;考点三 等比数列的性质及应用【 例 3】 (1) 导学号 18702254 已知数列 {an}为等比数列 ,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ( )(A)10 (B)20 (C)100 (D)200在等比数列的基本运算问题中 ,一般是利用通项公式与前n项和公式 ,建立方程 (组 )求解 ,但如果灵活运用等比数列的性质 ,可减少运算量 ,提高解题速度 .反思归纳 (2)(2016· 河北正定中学期末 )等比数列 {an}中 ,a1+a2=40,a3+a4=60,a7+a8等于 ( )(A)135 (B)100 (C)95 (D)80备选例题【 例 1】 已知 Sn为数列 {an}的前 n项和 ,an0,(an+1-Sn)2=Sn+1· Sn且 a1=2,则 an= . (2)求 log2a1+log2a2+log2a3+…+log 2a25的值 .【 例 3】 已知等比数列 {an}的所有项均为正数 ,首项 a1=1,且 a4,3a3,a5成等差数列 .(1)求数列 {an}的通项公式 ;解 : (1)设数列 {an}的公比为 q,由条件得 q3,3q2,q4成等差数列 ,所以 6q2=q3+q4,解得 q=-3,若 q=2.由数列 {an}的所有项均为正数 ,则 q=2,数列 {an}的通项公式为 an=2n-1(n∈ N*).