（全国通用）2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 理（课件+习题）（打包25套）.zip

1热点专题突破六 概率与统计的综合问题1.(2016·江西九江一中月考) 某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组 .(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由 .1.【解析】(1) P= ,∴ 每个同学被抽到的概率为 ,课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 3,1.(2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b,则选取两名同学的基本事件有( a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b),(a2,b),(a3,b),共 6 种,其中有一名女同学的有 3 种, ∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P= .(3)∵ =71, =71,∴ [(68-71)2+(70-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=4,[(69-71)2+(70-71)2+(70-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=3.2.∴ 第二次做的实验更稳定 .2.(2016·哈尔滨六中月考) 甲乙两个学校高三年级分别有 1200 人,1000 人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:甲校:分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)频数 3 4 8 152分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数 15 x 3 2乙校:分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)频数 1 2 8 9分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数 10 10 y 3(1)计算 x,y 的值;(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两个学校数学成绩的优秀率;(3)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异 .甲校 乙校 总计优秀非优秀总计参考公式: K2=临界值表P(K2≥ k0)0.100.050.010k02.7063.8416.63532.【解析】(1)甲校抽取 110× =60 人,乙校抽取 110× =50 人,故 x=10,y=7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为 =25%,乙校数学成绩的优秀率为 =40%.(3)甲校 乙校 总计优秀 15 20 35非优秀 45 30 75总计 60 50 110K2= ≈2 .832.706,又因为 1-0.10=0.9,故有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异 .3.(2015·新课标全国卷 Ⅱ )某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);4(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” .假设两地区用户的评价结果相互独立 .根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率 .3.【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散 .(2)记 CA1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则 CA1与 CB1独立, CA2与 CB2独立, CB1与 CB2互斥, C=CB1CA1∪ CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪ CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得 CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为 ,故 P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= ,5P(C)= =0.48.4.(2016·广东实验中学模拟) 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人 .(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数;(2)若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分 .从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望 .4.【解析】(1)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 8 人,所以该班有 8÷0.2=40 人,所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.(2)设两人成绩之和为 ξ ,则 ξ 的值可以为 16,17,18,19,20,P(ξ= 16)= ,P(ξ= 17)= ,P(ξ= 18)= ,P(ξ= 19)= ,P(ξ= 20)= ,所以 ξ 的分布列为X 16 17 18 19 20P所以 Eξ= 16× +17× +18× +19× +20× .所以 ξ 的数学期望为 .65.(2016·江西余江一中二模) 现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》,若甲应聘成功的概率为 ,乙、丙应聘成功的概率均为 (00,P(ξ= 2)-P(ξ= 0)= 0,7P(ξ= 2)-P(ξ= 3)= 0,又因为 0t2,解得 t 的取值范围是 1t2,所以 Eξ .6.(2016·闽粤联合体联考) 某汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:A 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B 型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 14 20 20 16 15 10 5(1)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A型车的概率;(2)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率;(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由 .6.【解析】(1)这辆汽车是 A 型车的概率约为=0.6,所以这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6.(2)设“事件 Ai表示一辆 A 型车在一周内出租天数恰好为 i 天”,“事件 Bj表示一辆 B 型车在一周内出租天数恰好为 j 天”,其中 i,j=1,2,3,…,7.则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为8P(A1B3+A2B2+A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)= ,所以该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 .(3)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为X1 2 3 4 5 6 7P0.050.100.300.350.150.030.02设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为Y1 2 3 4 5 6 7P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62,E(Y)=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48.一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的均值为 3.62 天, B 类车型一个星期出租天数的均值为 3.48 天,从出租天数的数据来看, A 型车出租天数的方差大于 B 型车出租天数的方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 .1第一节 计数原理[基础达标] 一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.将 3封信投入 2个不同的邮筒,则不同的投法有 ( )A.5种 B.6种 C.8种 D.9种1.C 【解析】分三步完成这件事:第一步,投第 1封信,有 2种投法;第二步,投第 2封信,有 2种投法;第三步,投第 3封信,有 2种投法,故共有 2×2×2=8种投法 .2.5位来自不同省份参加数学竞赛辅导的同学和 3位辅导老师站成一排拍照留念,如果 5位同学的顺序先确定,那么这 8个人的站法总数为 ( )A.256 B.288 C.312 D.3362.D 【解析】将 3位老师分 3步插入队伍中,第一位老师有 6种插法,第二位老师有 7种插法,第三位老师有 8种插法,故共有 6×7×8=336种站法 .3.同室的 4个人各写了一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则 4张贺卡不同的分配方式有 ( )A.6种 B.9种 C.12种 D.16种3.B 【解析】按甲拿其他三人的情况可分三类:第一类,甲拿乙的,则有三种情况,分别为乙拿甲、丙拿丁、丁拿丙;乙拿丙、丙拿丁、丁拿甲;乙拿丁、丙拿甲、丁拿丙 .同理,其他两类情况甲拿丙和甲拿丁也分别有三种情况,由分类计数原理可知不同的分配方式共有3+3+3=9种 .4.一花坛如图,现有 5种不同的花供选种,要求在每块地里种 1种花,且相邻的 2块种不同的花,则不同的种法为 ( )A.320 B.120 C.20 D.6254.A 【解析】分四步完成这件事:第一步,在 A中种花,有 5种种法;第二步,在 B中种花,有 4种种法;第三步,在 C中种花,有 4种种法;第四步,在 D中种花,有 4种种法,根据分步计数原理得共有 5×4×4×4=320种种法 .5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为 ( )A.16 B.12 C.8 D.625.C 【解析】(解法 1)根据分类加法计数原理分类讨论:第一类,一组 1人,一组 3人,有甲丙丁、乙和甲、乙丙丁两种情况,分到两个班级,有 4种分法;第二类,每组 2人,有甲丙、乙丁和甲丁、乙丙两种情况,分到两个班级,有 4种分法,所以不同的分法种数共有 4+4=8种 .(解法 2)由学生选班级:第一步,甲有 2种选法;第二步,乙有 1种选法;第三步,丙有 2种选法;第四步,丁有 2种选法,由分步计数原理可得不同的分法种数共有 2×2×2=8种 .二、填空题(每小题 5分,共 30分)6.设集合 A中有 3个元素,集合 B中有 2个元素,可建立 A→ B的映射个数为 . 6.8 【解析】分三步,每一步都有 2种方法,故可建立 A→ B的映射个数为 2×2×2=8.7.(2015·宣城调研) 甲、乙、丙三位同学彼此独立地从 A,B,C,D,E五所高校中,任选 2所高校参加自主招生考试(并且只能选 2所高校),同学甲特别喜欢 A高校,他除了选 A校外,在 B,C,D,E中再随机选一所,同学乙和丙对 5所高校没有偏爱,都在 5所高校中随机选 2所,则甲同学未选中 B高校且乙、丙都选中 B高校的种数为 . 7.48 【解析】甲同学有 3种选法,乙、丙同学都分别有 4种选法,由分步乘法计数原理可得共有 3×4×4=48种不同选法 .8.(2015·上海模拟) 由包含甲乙在内的 4名运动员组成接力队,参加 4×100米接力赛,那么甲乙两人都不跑中间两棒的种数为 . 8.4 【解析】分两步:第一步,安排中间 2个位置有 2种,第二步,安排首尾 2个位置有 2种,由分步乘法计数原理可得共有 2×2=4种不同方法 .9.在小语种自主招生考试中,某学校获得 5个推荐名额,其中韩语 2名,日语 2名,俄语 1名 .并且日语和韩语都要求必须有女生参加 .学校通过选拔定下 3女 2男共 5个推荐对象,则不同的推荐方法共有 种 . 9.24 【解析】分三类:第一类,参加韩语、日语的女生人数分别是 2,1,有 3×2=6种不同的推荐方法;第二类,参加韩语、日语的女生人数分别是 1,2,有 3×2=6种不同的推荐方法;第三类,参加韩语、日语的女生人数分别是 1,1,有 3×2×2=12种不同的推荐方法,由分类加法计数原理可得共有 6+6+12=24种不同的推荐方法 .10.(2015·郑州模拟) 用数字 2,3组成四位数,且数字 2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个 .(用数字作答) 10.14 【解析】若四位数中有 1个 2,3个 3时,有 4个这样的四位数;若四位数中有 2个 2,2个 3时,有 6个这样的四位数;若四位数中有 3个 2,1个 3时,有 4个这样的四位数,由分类加法计数原理可得这样的四位数共有 4+6+4=14个 .311.(2015·南昌十校二模) 某同学有同样的画册 2本,同样的集邮册 3本,从中取出 4本赠送给 4位朋友,每位朋友 1本,则不同的赠送方法共有 种 . 11.10 【解析】分两类:第一类,取出 2本画册,2 本集邮册,共 4本赠送给 4位朋友,每位朋友 1本,则不同的赠送方法有 6种;第二类,取出 1本画册,3 本集邮册,共 4本赠送给 4位朋友,每位朋友 1本,则不同的赠送方法有 4种,由分类加法计数原理可得不同的赠送方法共有 6+4=10种 .[高考冲关] 1.(5分) (2015·河南实验中学期中考试) 已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→ B为集合A到集合 B的一个函数,那么该函数的值域 C的不同情况有 ( )A.7种 B.4种 C.8种 D.12种1.A 【解析】分三类:第一类,值域 C只含有一个元素时,有{ a},{b},{c}3种情况;第二类,值域 C有两个元素时,有{ a,b},{a,c},{b,c}3种情况;第三类,值域 C有三个元素时,有{a,b,c}1种情况,由分类加法计数原理可得值域 C的不同情况有 3+3+1=7种 .2.(5分) (2015·天津南开中学模拟) 有 10件不同的电子产品,其中有 2件产品运行不稳定 .技术人员对它们进行一一测试,直到 2件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3次就结束测试的方法种数是 ( )A.16 B.24 C.32 D.482.C 【解析】分两类:第一类,第 1次测试的产品稳定,第 2,3次测试产品不稳定,有8×2×1=16种;第二类,第 2次测试的产品稳定,第 1,3次测试产品不稳定,有 2×8×1=16种,由分类加法计数原理得共有 16+16=32种种法 .3.(5分) (2015·赣州测试) 从某班成员分别为 3人,3 人和 4人的三个学习小组中选派 4人组成一个环保宣传小组,则每个学习小组都至少有 1人的选派方法种数是 ( )A.130 B.128 C.126 D.1243.C 【解析】分三类:第一类,选派人数分别为 2,1,1,有 3×3×4=36种;第二类,选派人数分别为 1,2,1,有 3×3×4=36种;第三类,选派人数分别为 1,1,2,有 3×3×6=54种,由分类加法计数原理可得共有 36+36+54=126种不同选派方法 .4.(5分) (2015·潍坊二模) 某公司新招聘 5名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一部门;另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门,则不同的分配方案种数是 ( )4A.6 B.12 C.24 D.364.B 【解析】分两步:第一步,将两名英语翻译人员分给甲、乙两个部门,每个部门 1个,有 2种方法;第二步,将三名电脑编程人员分给甲、乙两个部门,有两类,一是甲部门 1名,乙部门 2名,有 3种方法,二是甲部门 2名,乙部门 1名,有 3种方法,则这一步有 6种方法,由分步乘法计数原理得共有 2×6=12种不同的分配方案 .5.(5分) (2015·西安八校联考) 现有 12件商品摆放在货架上,摆成上层 4件下层 8件,现要从下层 8件中取 2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )A.420 B.560 C.840 D.20 1605.C 【解析】分三步:第一步,从 8件商品中取 2件,有 8×7÷2=28种取法;第二步,将取出的第一件商品放入上层,有 5种放法;第三步,将取出的第二件商品放入上层,有 6种放法,由分步乘法计数原理可得共有28×5×6=840种不同的调整方法 .6.(5分)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” .在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ( )A.60 B.48 C.36 D.246.B 【解析】长方体的 6个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36个;另含 4个顶点的 6个对角面构成的“平行线面组”有 6×2=12个,故共有 36+12=48个 .7.(5分) (2015·黄山二模) 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD(边长为 3个单位)的顶点 A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走 i个单位,一直循环下去 .则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A处的所有不同走法共有( )A.22种 B.24种 C.25种 D.36种7.C 【解析】由题意知正方形 ABCD(边长为 3个单位)的周长是 12,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A处表示三次骰子的点数之和是 12,列举出在点数中三个数字能够使得和为 12的有 1,5,6;2,4,6;3,4,5;3,3,6;5,5,2;4,4,4;共有 6种组合,前三种组合又分别有 6种结果,第四、五种组合分别有 3种结果,最后一种有 1种结果 .根据分类计数原理知共有3×6+2×3+1=25种结果 .58.(5分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃,要求同一区域用同一种颜色鲜花,相邻区域使用不同颜色鲜花,且恰有两个区域用红色鲜花,问共有 种不同的摆放方案 . 8.72 【解析】如图,当区域 A,D同为红色时,共有 4×3×3=36种;当区域 B,E同为红色时,共有 4×3×3=36种;因此,适合题意的摆放方案有 36+36=72种 .1第七节 随机事件的概率[基础达标] 一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.设事件 A,B,已知 P(A)= ,P(B)= ,P(A∪ B)= ,则 A,B之间的关系一定为 ( )A.两个任意事件 B.互斥事件C.非互斥事件 D.对立事件1.B 【解析】因为 P(A)+P(B)= =P(A∪ B),所以 A,B一定是互斥事件 .3.某小组有 5名男生和 4名女生,从中任选 4名同学参加“教师节”演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是( )A.恰有 2名男生与恰有 4名男生B.至少有 3名男生与全是男生C.至少有 1名男生与全是女生D.至少有 1名男生与至少有 1名女生3.C 【解析】“恰有 2名男生”与“恰有 4名男生”是互斥事件,但不是对立事件,排除A;“至少有 3名男生”与“全是男生”可以同时发生,不是互斥事件,排除 B;“至少有 1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,C 正确;“至少有 1名男生”与“至少有 1名女生”可以同时发生,不互斥,排除 D,故选择 C.3.(2015·湖南雅礼中学月考) 从一堆苹果中任取 10只,称得它们的质量如下(单位:克):125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114 .5,124.5]内的概率为 ( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.53.C 【解析】落在[114 .5,124.5]内的样本数据有 4个,则概率为 0.4.4.一个骰子连续投 2次,则两次投出点数之和为 5或 6的概率是 ( )A. B. C. D.24.A 【解析】该试验中所有的基本事件有 6×6=36个,其中两次点数之和为 5的事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共 4个,由随机事件的概率计算得所求概率为 .两次点数之和为 6的事件有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共 5个,由随机事件的概率计算得所求概率为 ,由互斥事件的概率公式可得两次投出点数之和为 5或 6的概率是 .5.有 3个相识的人某天各自乘同一火车外出,假设火车有 10节车厢,则至少有 2人在同一车厢内相遇的概率为 ( )A. B. C. D.5.B 【解析】设事件 A是“至少有 2人在同一车厢内相遇”,则事件 是“3 人分别在 3节不同的车厢”, P( )= ,所以 P(A)=1-P( )=1- .二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.洞庭湖地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示:年降水量 (mm) [100,150) [150,200) [200,250) [250,300]概率 0.21 0.16 0.13 0.12则年降水量在[150,250)(mm)范围内的概率是 . 6.0.29 【解析】年降水量在[150,250)(mm)范围内包含年降水量在[150,200)和[200,250)(mm)范围内两个互斥事件,所以其概率为 0.16+0.13=0.29.7.若将一枚硬币连续抛掷三次,则出现“至少一次正面向上”的概率为 . 7. 【解析】事件“三次都是反面向上”的概率为 ,由对立事件的概率公式得事件“至少一次正面向上”的概率为 1- .38.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ,则该队员每次罚球的命中率为 . 8. 【解析】设该队员每次罚球的命中率为 p,利用对立事件的概率公式得 1-p2= ,解得p= .[高考冲关] 1.(5分)已知集合 A={2,5},在 A中可以重复地、随机地依次取出三个数 a,b,c,则“以a,b,c为边恰好构成三角形”的概率是 ( )A. B. C. D.1.A 【解析】从集合 A中可重复的依次取出三个数 a,b,c共有 23=8种情况,即 n=8,事件“以 a,b,c可以构成三角形”的有 2,2,2;2,5,5;5,2,5;5,5,2;5,5,5,共 5个基本事件,即m=5,由概率计算公式得可以构成三角形的概率为 P= .2.(5分)盒中装有分别标着 1到 80号的大小相同的小球 80个,从中随机摸出一个球 .则摸出的球既不是 3的倍数又不是 4的倍数的概率为 ( )A. B. C. D.2.C 【解析】设事件 A为“摸出的球是 3的倍数”,事件 B为“摸出的球是 4的倍数”,则 A+B表示摸出的球是 3或 4的倍数, 表示摸出的球既不是 3的倍数又不是 4的倍数 .试验的总事件数为 80,A所包含的试验分别有摸出的球号为 3,6,9,…,78,共有 26种; B所包含的试验分别有摸出的球号为 4,8,12,…,80,共有 20种,但 12,24,36,48,60,72重复了,所以 A+B所包含的试验总数为 26+20-6=40种,则 所包含的试验总数为 80-40=40种,故 P( )= .43.(5分)如果事件 A和 B是互斥事件,且 A∪ B发生的概率是 0.64,事件 B发生的概率是事件A发生的概率的 3倍,则事件 A发生的概率为 . 3.0.16 【解析】设事件 A发生的概率为 P,则事件 B发生的概率为 3P,又事件 A和 B是互斥事件,且 A∪ B发生的概率是 0.64,则 P+3P=0.64,P=0.16.4.(5分) (2015·德阳三诊) 已知甲盒内有外形和质地相同的 1个红球和 2个黑球,乙盒内有外形和质地相同的 2个红球和 2个黑球 .现从甲、乙两个盒内各取 1个球,则取出的 2个球中恰有 1个红球的概率是 . 4. 【解析】从甲乙两个盒中各取 1个球,共有 3×4=12种不同取法,其中从甲盒取出红球、乙盒取出黑球的结果有 2种;从乙盒取出红球、甲盒取出黑球的结果有 4种,故所求概率为 .5.(12分)袋中有 12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到绿球或黄球的概率也是 ,求得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少?5.【解析】从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为 A,B,C,D,则事件 A,B,C,D彼此互斥,∴P (B+C)=P(B)+P(C)= ,P(D+C)=P(D)+P(C)= ,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- ,解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= .∴ 得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 .56.(13分)某人抛掷一枚硬币,出现正反面的概率都是 ,构造数列{ an},使得 an=记 Sn=a1+a2+a3+…+an(n∈N *).(1)若抛掷 4次,求 S4=2的概率;(2)已知抛掷 6次的基本事件总数是 N=64,求前两次均出现正面且 2≤ S6≤4 的概率 .6.【解析】(1) S4=2,需 4次中有 3次正面 1次反面 .设其概率为 P1,再设正面向上为 a,反面向上为 b.则基本事件空间为Ω= {aaaa,aaab,aaba,abaa,baaa,bbbb,bbba,bbab,babb,abbb,aabb,bbaa,baab,abba,abab,baba},则 n=16,n1=4,所以 P1= .(2)6次中前两次均出现正面,且要使 2≤ S6≤4,则后 4次中有 2次正面 2次反面或 3次正面1次反面,设概率为 P2,则 n=64,由(1)知 n2=10,所以 P2= .1第三节 二项式定理[基础达标] 一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.(2015·抚顺模拟) 在 的展开式中,含 x9的项的系数是 ( )A. B.- C. D.-1.D 【解析】 展开式的第 r+1项为 Tr+1= (x2)9-r x18-3r,当 18-3r=9,r=3时为含有 x9的项,其系数为 =- .2.(2015·黄山二模) 设二项式 (n∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an,bn,则 =( )A.2n-1+3 B.2(2n-1+1) C.2n+1 D.12.C 【解析】由于二项式 (n∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an,bn,则 an=2n,bn=2-n,所以 =2n+1.3.(2015·天水一模) 若 x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则 a8= ( )A.45 B.9 C.-45 D.-93.A 【解析】 a8是 x10=[-1+(x+1)]10的展开式中第九项( x+1)8的系数,故 a8= (-1)2=45.4. +2 +4 +…+29 = ( )A. B. C. D.24.A 【解析】因为 +2 +22 +23 +…+210 =(1+2)10,所以+2 +4 +…+29 .5. 展开式的二项式系数和为 64,则其常数项为( )A.-20 B.-15 C.15 D.205.C 【解析】由二项式系数和为 64,得 2n=64,n=6,则 展开式的第 r+1项为 Tr+1=(x2)6-r (-1)rx12-3r,当 12-3r=0,即 r=4时是常数项,所以常数项为 (-1)4=15.6.(2016·济宁模拟) 22 015被 9除所得的余数是 ( )A.4 B.5 C.7 D.86.B 【解析】2 2 015=4×22 013=4×8671=4×(9-1)671=4(9671- ·9670+…+ ·9-1),故22015被 9除所得的余数是 5.7.(2015·河南实验中学质检) 二项式 的展开式的第二项的系数为 - ,则x2dx的值为 ( )A.3 B. C.3或 D.3或 -7.B 【解析】由于二项式 的展开式的第二项的系数为 a5× =- ,解得a=-1,则 x2dx= x2dx= x3 (-1+8)= .二、填空题(每小题 5分,共 10分)8.(2015·南充月考) 若(1 +mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且 a1+a2+a3+…+a6=63,m-1,则a0+a3+a6= .38.22 【解析】令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 a0+a1+…+a6=(1+m)6=64,m-1,则 m=1,则a0+a3+a6=1+ =1+20+1=22.9.(2015·河北百校联盟质检) 在(1 +x)5(1+y)4的展开式中,记 xmyn项的系数为 f(m,n),则f(2,3)= . 9.40 【解析】设展开式中通项为 xm yn= xmyn,则 f(m,n)= ,所以 f(2,3)==40.[高考冲关] 1.(5分)若(1 -3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= ( )A.49 B.49-1 C.29 D.29-11.A 【解析】因为 x的奇数次方的系数都是负数, x的偶数次方的系数都是正数,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,在已知条件中只要令 x=-1即可,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=(1+3)9=49.2.(5分)已知(2 x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则( a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.22.A 【解析】在等式中令 x=1,得(2 + )4=a0+a1+a2+a3+a4;令 x=-1,得( -2+ )4=a0-a1+a2-a3+a4,所以( a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+ )4(-2+ )4=[(2+ )(-2+ )]4=(-1)4=1.3.(5分)(1 +x+x2) 的展开式中的常数项为( )A.5 B.-5 C.15 D.-203.B 【解析】 的展开式的通项为 Tr+1= (-1)rx6-2r.当 r=3时, T4=- =-20;当r=4时,常数项为 =15,因此常数项为 -20+15=-5.44.(5分) (2015·成都七中三诊) 已知(1 +2x)4的展开式中的二次项系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,则 的值为 . 4. 【解析】(1 +2x)4的展开式中的二次项系数的最大值为 a= =6.展开式中各项系数分别为 1,2 =8,22 =24,23 =32,24 =16,则系数的最大值为 b=32,所以 .5.(5分) (2015·河南六市联考) 已知 a= (sin t+cos t)dt,则 的展开式中的常数项为 . 5.- 【解析】由已知可得 a=(sin t-cos t) =1-(-1)=2,则 展开式的第r+1项为 Tr+1= x6-r x6-2r,当 6-2r=0,即 r=3时,其常数项为=- .1第九节 几何概型[基础达标] 一、选择题(每小题 5分,共 40分)1.(2015·北京海淀区期末考试) 已知函数 f(x)的部分图象如图所示 .向图中的矩形区域随机投入 100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数 .通过 10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 33,由此可估计 f(x)dx的值约为 ( )A. B.C. D.1.A 【解析】豆子落入阴影部分的概率应为 ,由题可知 f(x)dx=S 阴影 =S 矩形 ×.2.(2016·珠海摸底) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是 ( )A. B.C. D.2.B 【解析】因为矩形的面积为 2,半径为 1的半圆的面积为 ,所求概率为 .23.(2015·安庆三模) 某高二学生练习篮球,每次投篮命中率约 30%,现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率;先用计算器产生 0到 9之间的整数值的随机数,指定 0,1,2表示命中,3,4,5,6,7,8,9 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表 3次投篮的结果 .经随机模拟产生了如下随机数:807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989据此估计该生 3次投篮恰有 2次命中的概率约为( )A.0.15 B.0.25 C.0.2 D.0.183.C 【解析】随机数共有 20组,其中表示 3次投篮恰有 2次命中的有 191,271,027,113,共 4组,所以估计概率为 =0.2.4.(2015·天津红桥区模拟) 在区间[ -1,1]上随机取一个数 x,使 cos 的值介于 0到 之间的概率为 ( )A. B. C. D.4.A 【解析】当 0≤cos x≤ 时, - x≤ - x≤ ,解得 -1≤ x≤ -≤ x≤1,所以所求概率为 .5.(2015·山东实验中学诊断) 某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 ( )A. B. C. D.以上全错5.B 【解析】设正三角形的边长为 1,则其外接圆的半径 R= ,则所求概率为 .36.(2015·黄山二模) 已知 Ω= {(x,y)|0≤ x≤1,0≤ y≤1}, A是由直线 y=0,x=a(02(1-x)或 1-x2x,解得 x1或 0x ,故 d的测度为 ,所以所求概率为 .12.假设某公共汽车站每隔 15分钟发一班车,并且发出前在车站停靠 3分钟,则随机到达的乘客等车时间不超过 10分钟的概率是 . 12. 【解析】因为公共汽车站每隔 15分钟有一辆汽车到达,所以事件总数包含的时间为 15分钟,又因为乘客到达车站的时刻是任意的,且出发前在车站停靠 3分钟,所以满足一个乘客候车时间大于 10分钟的事件包含的时间为 15-13=2分钟,故所求概率为 .[高考冲关] 1.(5分) (2015·武汉调研) 如图,矩形 OABC的四个顶点坐标依次为 O(0,0),A ,0 ,B,C(0,1),记线段 OC,CB以及 y=sin x 0≤ x≤ 的图象围成的区域(图中阴影部分)为 Ω. 若向矩形 OABC内任意投一点 M,则点 M落在区域 Ω 内的概率为 ( )A. B.1-C.1- D. -11.C 【解析】阴影部分的面积为 (1-sin x)dx=(x+cos x) -1,又矩形 OABC的面积为 ,所以所求概率为 =1- .62.(5分) (2016·邯郸摸底) 把半径为 2的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为 ( )A. -1 B.C. D.2.A 【解析】半径为 2的圆的面积为 4π,且星形面积为 4π -2[4π -(2 )2]=16-4π,所以此点落在星形内的概率为 -1.3.(5分) (2015·福建高考) 如图,点 A的坐标为(1,0),点 C的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2,若在矩形 ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 3. 【解析】由定积分的几何意义可得矩形 ABCD内的空白部分的面积为 S=x3 ,而矩形 ABCD的面积为 1×4=4,根据几何概型的概率公式可得所求的概率为 P= .4.(5分) (2014·重庆高考) 某校早上 8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答) 74. 【解析】设小张到校的时刻为 y,小王到校的时刻为 x,则两位同学到校的时刻构成一个平面区域,由不等式组 其平面区域如图所示 .又小张比小王早 5分钟须满足 x-y≥5,由图易知,所求概率 P= .