（全国通用）2017高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 理（课件+习题）（打包4套）选修4-4.zip

1选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系[基础达标] 一、选择题(每小题5分,共5分)1.(2015·江西六校联考) 在极坐标系中,圆 ρ= 2sin θ 的圆心的极坐标是 ( )A. B. C.(1,0) D.(1,π)A 【解析】由 ρ= 2sin θ ,得 ρ 2=2ρ sin θ ,则圆 ρ= 2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2=2y,所以圆心的直角坐标为(0,1),极坐标是 .二、填空题(每小题5分,共20分)2.(2015·揭阳二模) 在极坐标系( ρ ,θ )(0≤ θ 2π)中,曲线 ρ (2cos θ- sin θ )=3与 ρ (cos θ+ 2sin θ )=-1的交点的极坐标为 . 【解析】曲线的直角坐标方程分别为2 x-y=3和 x+2y=-1,交点的直角坐标为(1, -1),极坐标为 .3.在极坐标系中,曲线 ρ= 2上到直线 ρ cos =1的距离为1的点的个数是 . 3 【解析】极坐标方程 ρ= 2转化成直角坐标方程为 x2+y2=4,直线 ρ cos =1转化成直角坐标方程为 x+y-=0,则圆心到直线的距离 d= =1恰好平分圆的半径,所以圆上到直线的距离为1的点的个数为3 .4.(2015·上海十二校联考) 极坐标系内, O为极点,设点 A ,B ,则三角形 AOB的面积为 . 26 【解析】极坐标系内, O为极点,点 A ,B ,∠ AOB= ,则三角形 AOB为直角三角形,它的面积为 ×3×4=6.5.(2015·广东高考) 已知直线 l的极坐标方程为2 ρ sin θ- = ,点 A的极坐标为 A 2,则点 A到直线 l的距离为 . 【解析】由2 ρ sin 可得2 ρ sin θ cos -2ρ cos θ sin ,整理有 y-x=1,即 x-y+1=0,而点 A 2 的直角坐标为(2, -2),那么点 A到直线 l的距离为 d= .三、解答题(每小题10分,共20分)6.(2015·苏州调研) 在极坐标系中,已知圆 ρ= 3cos θ 与直线2 ρ cos θ+ 4ρ sin θ+a= 0相切,求实数 a的值 .【解析】由 ρ= 3cos θ 得 ρ 2=3ρ cos θ ,则圆 ρ= 3cos θ 的直角坐标方程为 x2+y2=3x,即 +y2= ,直线2 ρ cos θ+ 4ρ sin θ+a= 0的普通方程为2 x+4y+a=0,又圆与直线相切,所以 ,解得 a=-3±3 .37.在极坐标系中,已知圆 C的圆心 C ,半径 r=3.(1)求圆 C的极坐标方程;(2)若 Q点在圆 C上运动, P在 OQ的延长线上,且 |OQ|∶|QP|= 3∶ 2,求动点 P的轨迹方程 .【解析】(1)由已知得圆心 C的直角坐标是 C ,则圆 C的直角坐标方程为 =9,即为 x2+y2-3 x-3y=0,化为极坐标方程为 ρ 2=3 ρ cos θ+ 3ρ sin θ ,化简得 ρ= 6cos .(2)设点 P的极坐标为( ρ ,θ ),因为点 P在 OQ的延长线上,且 |OQ|∶|QP|= 3∶ 2,所以点 Q的坐标为 .由于点 Q在圆 C上,所以 ρ= 6cos ,即 ρ= 10cos ,故点 P的轨迹方程为 ρ= 10cos .[高考冲关] 41.(5分) (2015·安徽六校联考) 在极坐标方程中,曲线 C的方程是 ρ= 4sin θ ,过点 作曲线 C的切线,切线长为 ( )A.4 B. C.2 D.2C 【解析】曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2=4y,即为 x2+(y-2)2=4,点 的直角坐标为(2,2),该点到圆心的距离为2 ,所以切线长为 =2 .2.(5分) (2014·天津高考) 在以 O为极点的极坐标系中,圆 ρ= 4sin θ 和直线 ρ sin θ=a 相交于 A,B两点 .若△ AOB是等边三角形,则 a的值为 . 3 【解析】圆 ρ= 4sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2=4y,即为 x2+(y-2)2=4.直线 ρ sin θ=a 的直角坐标方程为 y=a.因为△ AOB是等边三角形,所以点 O到直线 y=a的距离是 r=3,即 a=3.3.(5分) (2015·梅州一模) 在极坐标系中,点 P 到直线 l:3ρ cos θ- 4ρ sin θ= 3的距离为 . 1 【解析】点 P 的直角坐标为(0, -2),直线 l:3ρ cos θ- 4ρ sin θ= 3的直角坐标方程为3 x-4y-3=0,利用点到直线的距离公式可得 d= =1.4.(5分) (2015·怀化三模) 在极坐标系中,直线 ρ sin =2被圆 ρ= 4截得的弦长为 . 4 【解析】将直线和圆的方程化为直角坐标方程为 x+y-2 =0和 x2+y2=16,则圆心(0,0)到直线的距离 d=2,则弦长为2 =2 =4 .55.(10分) (2015·唐山三模) 已知半圆 C:(x-2)2+y2=4(y≥0),直线 l:x-2y-2=0.以坐标原点 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系 .(1)写出半圆 C与直线 l的极坐标方程;(2)记 A为半圆 C直径的右端点,半圆 C与直线 l交于点 M,且 M为圆弧 AB的中点,求 |OB|.【解析】(1)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入已知,分别得半圆 C和直线 l的极坐标方程为半圆 C:ρ= 4cos θ ,直线 l:ρ cos θ- 2ρ sin θ- 2=0.(2)依题意, l经过半圆 C的圆心 C(2,0).设点 B的极角为 α ,且易知 lOB∥ l,则tan α= ,进而求得cos α= ,由 C的极坐标方程得 |OB|=4cos α= .1第二节 参数方程[基础达标] 一、填空题(每小题5分,共25分)1.(2015·重庆测试) 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 ρ= 4cos θ ,直线 l的参数方程为 (t为参数),若直线 l将曲线 C的周长分为1 ∶ 5,则实数 a= . -1或5 【解析】曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2=4x,标准方程为( x-2)2+y2=4,直线 l的普通方程为 x+ y-a=0,直线 l将曲线 C的周长分为1 ∶ 5,则弦所对的圆心角是60°,则圆心(2,0)到直线 l的距离为 ,即 ,解得 a=-1或5 .2.(2015·湘潭三模) 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 ρ= 2cos θ ,直线 l的参数方程为 (t为参数),则直线 l与曲线 C的交点的直角坐标为 . (0,0)和 【解析】由曲线 C的极坐标方程为 ρ= 2cos θ ,可化为 ρ 2=2ρ cos θ ,转化为直角坐标方程可得 x2+y2-2x=0,把 代入可得 t=0或 t= ,故直线 l与曲线 C的交点坐标为(0,0)和 .3.(2015·马鞍山质检) 以平面直角坐标系的原点为极点,以 x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 (φ 为参数, φ ∈R)上的点到曲线 ρ (cos θ+ sin θ )=4(ρ ,θ ∈R)的最短距离是 . 22 【解析】曲线 的普通方程为 x2+y2=7,曲线 ρ (cos θ+ sin θ )=4的直角坐标方程为 x+y=4,圆心(0,0)到直线 x+y=4的距离 d=2 ,所以圆 x2+y2=7上的点到直线 x+y=4的最短距离为 d-r=2 .4.(2015·重庆高考) 已知直线 l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 ρ 2cos 2θ= 4 ρ 0, 0,解得 -1 0,∴ 实数 m=1± ,1.7.在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 (k为参数),以原点 O为极点,以 x轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xOy取相同的长度单位,建立极坐标系 .圆 C的极坐标方程为 ρ= 2sin θ.(1)求圆 C的直角坐标方程;(2)设圆 C与直线 l交于点 A,B,若点 M的坐标为(2,3),求 |MA|·|MB|的值 .【解析】(1)由 ρ =2sin θ 得 ρ 2=2ρ sin θ ,即 x2+y2-2y=0,标准方程为 x2+(y-1)2=1.故圆 C的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1.(2)直线 l的参数方程为 (k为参数),4可化为 ,代入圆 C的直角坐标方程,得 =1,即 t2- t+7=0.由于 Δ= -4×7= 0,故可设 t1,t2是上述方程的两实根,所以又直线 l过点 P(2,3),故由上式及 t的几何意义,得 |MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.8.(2015·太原模拟) 已知在直角坐标系 xOy中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:x2+(y-2)2=4.(1)以 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C1,C2的极坐标方程及其交点的极坐标;(2)求圆 C1与 C2公共弦的参数方程 .【解析】(1)由题意得圆 C1,C2的极坐标方程分别为 ρ= 2,ρ= 4sin θ ,∵∴ 圆 C1与 C2交点的极坐标为 .(2)由(1)得圆 C1与 C2交点的极坐标为 ,5化为直角坐标为( ,1),(- ,1),∴ 圆 C1与 C2公共弦的参数方程为 (t是参数) .9.(2015·新课标全国卷 Ⅱ )在直角坐标系 xOy中,曲线 C1: (t为参数, t≠0),其中0≤ α1,因为 M,N分别为曲线 C与直线 l上的动点,所以 |MN|的最小值为3 -1.3.(5分)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1,C2的参数方程分别为 (θ 为参数)和 (t为参数),以原点 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C1,C2的交点的极坐标为 . 8【解析】曲线 C1: (θ 为参数)的普通方程为 x2+y2=2,曲线 C2:(t为参数)的普通方程为 x=2-y.由 所以曲线 C1与 C2的交点的直角坐标为(1,1),即曲线 C1与 C2的交点的极坐标为 .4.(10分) (2014·新课标全国卷 Ⅰ )已知曲线 C: =1,直线 l: (t为参数) .(1)写出曲线 C的参数方程,直线 l的普通方程;(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为30°的直线,交 l于点 A,求 |PA|的最大值与最小值 .【解析】(1)曲线 C的参数方程为 (θ 为参数),直线 l的普通方程为2 x+y-6=0.(2)曲线 C上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l的距离为d= |4cos θ+ 3sin θ- 6|.则 |PA|= |5sin(θ+α )-6|,其中 α 为锐角,且tan α= ,当sin( θ+α )=-1时, |PA|取得最大值,最大值为 ;当sin( θ+α )=1时, |PA|取得最小值,最小值为 .95.(10分) (2015·湖南高考) 已知直线 l: (t为参数),以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 ρ=2cos θ.(1)将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点 M的直角坐标为(5, ),直线 l与曲线 C的交点为 A,B,求 |MA|·|MB|的值 .【解析】(1) ρ= 2cos θ 等价于 ρ 2=2ρ cos θ. ①将 ρ 2=x2+y2,ρ cos θ=x 代入 ① 即得曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. ②(2)将 代入 ② ,得 t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t的几何意义即知 |MA|·|MB|=|t1t2|=18.