（全国通用）2016届高考数学三轮冲刺 专题提升训练 集合与函数（打包13套）.zip

1集合与函数（10）2、二次函数 的图象开口向下，对称轴 ，图象与 x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标 ，则有（ ）A． B． C． D．3、设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 6、函数 f（x）= 的零点所在的大致区间是A．（1, 2） B．（2，e） C．（e，3） D．（e，+∞） 7、已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表。的导函数 的图象如图所示。下列关于函数 的命题：① 函数 是周期函数；② 函数 在 是减函数；③ 如果当 时， 的最大值是 2，那么 的最大值为 4；④ 当 时，函数 有 4 个零点。其中真命题的个数是 ( )A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 8、方程 的正根个数为 （ ）A．0 B．1 C．2 D．3 210、函数 的零点的个数是 A． B． C． D． 11、已知函数 若实数 满足 ，则（ ）A． B． C． D． 12、根据表格中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（ ） －1 0 1 2 30．37 1 2．72 7．39 20．091 2 3 4 5A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 13、已知函数 ，且 没有实数根，那么 的实根根数个数为（）A.0 B.1 C.2 D.4 14、函数 在定义域内零点的个数 ( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 19、不等式 的解集为 ,则函数 的图象为（ ）20、设 P、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q=如果 ，则 P⊙Q= （ ）A B C [1，2] D （2，+ ）223、已知集合 M= ，N= ，那么 中（ ）3A.不可能有两个元素 B.至多有一个元素 C.不可能只有一个元素 D.必含无数个元素24、设 U 为全集，对集合 X， Y，定义运算“ ”， X Y＝ ( X∩ Y)．对于任意集合X， Y， Z，则( X Y ) Z＝(A) (X∪ Y)∩ Z (B) (X∩ Y)∪ Z (C) ( X∪ Y )∩ Z (D) ( X∩ Y )∪ Z27、已知 是定义在实数集 上的函数，且满足 ，则 ． 28、若 x0,则函数 的最小值是 29、设函数 ，给出下列命题：① 时，方程 只有一个实数根； ② 时， 是奇函数； ③方程 至多有两个实根．上述三个命题中，所有正确命题的序号为 ． 30、当 时，方程 的解的个数是 A．0 B．1 C．2 D．331、已知函数 ，有下列四个命题：① 是奇函数； ② 的值域是 ； ③ 在 上单调递减；④ 零点个数为 2个； ⑤方程 总有四个不同的解。其中正确的是 。（把所有正确命题的序号填上） 33、已知 A＝{ x｜ x2－4 x＋3＜0， x∈R}， B＝{ x｜2 1－ x＋ a≤0， x2－2( a＋7)＋5≤0， x∈R}，若 A B，则实数 a 的取值范围是___________________． 34、给定集合 A＝{ a1， a2， a3，…， an}(n∈N， n≥3)，定义 ai＋ aj(1≤ ij≤ n， i， j∈N)中所有不同值的个数为集合 A 两元素和的容量，用 L(A)表示，若A＝{2,4,6,8}，则 L(A)＝ ；若数列{ an}是等差数列，设集合 A＝{ a1， a2， a3，…， am}(其中 m∈N *， m 为常数)，则 L(A)关于 m 的表达式为 _______37、已知集合 ， ，， ，若，则下列关系中正确的序号为____________．① ②③ ④438、已知集合（1）求 时，求实数 a 的取值范围； （2）求使 的实数 a 的取值范围。2、C 3、D 6、B 7、D 8、A 10、C 11、.D 12、C 13、A 14、C 19、C 20A 23、C 24、B 27、 分析： 所以 ， ，故28、 4． 29、①② 30、D 31、 ⑴ ⑷ ⑸ 34、 L(A)＝5. L(A)＝2 m－3.37、．③38、解：（1）若 ∴当 的取值范围为 （2）∵①当 要使②当 ③当 要使 综上可知，使 的实数 a 的取值范围是[2，3] 1集合与函数（11）1、对于定义在区间 D 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意，都有 ，且对任意 ∈D，当 时， 恒成立，则称函数 为区间 D 上的“平底型”函数．（1）判断函数 和 是否为 R 上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式对一切 R 恒成立，求实数 的取值范围；（3）若函数 是区间 上的“平底型”函数，求 和的值．2、函数 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称．若实数 满足不等式 的取值范围是 A． B． C． D． 3、已知函数 ，过点 P（0，m）作曲线 的切线，斜率恒大于零，则 的取值范围为 7、 已知集合 ,有下列命题①若 则 ；②若 则 ；③若则 的图象关于原点对称；④若 则对于任意不等的实数 ，总有 成立.其中所有正确命题的序号是 8、对于两个正整数 ，定义某种运算“ ”如下，当 都为正偶数或正奇数时， ；当 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则在此定义下， 集合 N N 中元素的个数是 . 210、对于任意实数 表示不超过 的最大整数，例如： ， 。那么11、设 是连续的偶函数,且当 时 是单调函数,则满足的所有 之和为 12、已知函数 满足 ，且 是偶函数， 当 时，，若在区间 内，函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是 。 15、 若 ，则定义 为曲线 的 线．已知， ，则 的 线为 ．16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 的图象恰好通过 个整点，则称函数 为 阶整点函数.有下列函数：①； ② ③ ④ ，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④ 20、函数 恰有两个不同的零点，则 的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 26、已知函数 ，则 （ ） A．8 B．9 C．11 D．1028、已知集合 ={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数 .若点 A(1, (1))、B(2, )、C(3, )，ΔABC 的外接圆圆心为 ，且 ,则满足条件的函数 有( ) A.15 个 B.20 个 C. 25 个 D. 30 个329、.已知函数 ，在定义域 [-2，2]上表示的曲线过原点，且在 x＝±1 处的切线斜率均为 ．有以下命题：① 是奇函数；②若 在 内递减，则 的最大值为 4；③ 的最大值为 ，最小值为 ，则 ； ④若对 ， 恒成立，则 的最大值为 2．其中正确命题的个数为 A .1 个 B. 2 个 C .3 个 D. 4 个 32、若函数 满足 ,当 时, ,若在区间 上,有两个零点,则实数 的取值范围是（ ）A． B．C． D． 33、若函数 有两个零点 ，其中 ，那么在两个函数值中 （ ）A．只有一个小于 1 B．至少有一个小于 1 C．都小于 1 D．可能都大于 1 34、若实数 满足 ，则称 是函数 的一个次不动点．设函数 与函数（其中 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为 ，则 A． B． C． D． 35、方程 的解的个数为 （ ）A．0 B．1 C．2 D．3 37、(本大题满分 13 分)若存在常数 k 和 b (k、 b∈R)，使得函数 和 对其定义域上的任意实数 x 分别满足： 和 ，则称直线 l： 为和 的“隔离直线”．已知 ， (其中 e 为自然对数的底数)．(1)求 的极值；(2)函数 和 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．38、.(本小题满分 13 分)已知常数 a 为正实数，曲线 Cn： y＝ 在其上一点 Pn(xn， yn)的切线 ln总经过定点(－ a,0)(n∈N *).4(1)求证：点列： P1， P2，…， Pn在同一直线上；(2)求证： (n∈N *).39、（本小题满分 14 分）对于函数 和 ，若存在常数 ，对于任意 ，不等式 都成立，则称直线 是函数 的分界线. 已知函数 为自然对数的底， 为常数）.(Ⅰ)讨论函数 的单调性；(Ⅱ)设 ，试探究函数 与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.40、已知函数 和 ．其中 ．（1）若函数 与的图像的一个公共点恰好在 轴上，求 的值；（2）若 和 是方程的两根，且满足 ，证明：当 时，．1、解：（1）对于函数 ，当 时， ．当 或时， 恒成立，故 是“平底型”函数． 对于函数，当 时， ；当 时，．所以不存在闭区间 ，使当 时， 恒成立．故不是“平底型”函数． （Ⅱ）若 对一切 R 恒成立，则．所以 ．又 ，则 ． 则 ，解得 ．故实数 的范围是 ． （Ⅲ）因为函数 是区间 上的“平底型”函数，则存在区间 和常数 ，5使得 恒成立．所以 恒成立，即 ．解得 或 ． 当 时， ．当时， ，当 时 恒成立．此时，是区间 上的“平底型”函数． 当 时，．当 时， ，当 时，．此时， 不是区间 上的“平底型”函数． 综上分析， m＝1， n＝1 为所求．2、B 3、 7、 ②③ 8、 10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、 D 28、B29、B 32、D33、 分析：因为 有两个零点 ，所以，，故 与 中至少有 1 个小于 1．34、B 35、C 37、(1)解：∵ ，∴当 时，∵当 时， ，此时函数 递减；当 时， ，此时函数递增；∴当 时， F(x)取极小值，其极小值为 0． (2)解：由(1)可知函数 和 的图象在 处有公共点，因此若存在 和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为 k，则直线方程为，即 由 ，可得当 时恒成立由 得 下面证明6当 时恒成立．令 ，则， 当 时， ．∵当 时，，此时函数 递增；当 时， ，此时函数 递减；∴当 时， 取极大值，其极大值为 0． 从而 ，即恒成立．∴函数 和 存在唯一的隔离直线 ． 38、.证法一：(1)∵ f(x)＝ ，∴ f′( x)＝ ·(nx)′＝ · .(1 分)Cn： y＝ 在点 Pn(xn， yn)处的切线 ln的斜率 kn＝ f′( xn)＝ · ，∴ ln的方程为y－ yn＝ · (x－ xn).(2 分)∵ ln经过点(－ a,0)，∴ yn＝－ · (－ a－ xn)＝ · (a＋ xn).又∵ Pn在曲线 Cn上，∴ yn＝ ＝ · (a＋ xn)，∴ xn＝ a，∴ yn＝ ，∴ Pn(a， )总在直线 x＝ a 上，即 P1， P2，…， Pn在同一直线x＝ a 上.(4 分)(2)由(1)可知 yn＝ ，∴ f(i)＝ ＝ ＝ .(5 分) ＝ 0(x∈(0,1))，∴ F(x)在[0,1]上为增函数，即当 0F(0)＝0，故当 0ln(x＋1)恒成立.(11 分)取 x＝ (i＝1,2,3，…， n)， f(i)＝ ln(1＋ )＝ln( i＋1)－ln i，即f(1)＝ ln2， f(2)＝ ln(1＋ )＝ln3－ln2，…， f(n)＝ ln(n＋1)－ln n，综上所述有 (n∈N *).(13 分)证法二：(1)设切线 ln的斜率为 kn，由切线过点(－ a,0)得切线方程为 y＝ kn(x＋ a)，则方程组 的解为 .(1 分)由方程组用代入法消去 y 化简得k x2＋(2 ak － n)x＋ k a2＝0，(*)有 Δ ＝(2 ak － n)2－4 k ·k a2＝－4 ank＋ n2＝0，∴ k ＝ .(2 分)代入方程(*)，得 x2＋(2 a· － n)x＋ ·a2＝0，即 x2－2 a·x＋ a2＝0，∴ x＝ a，即有 xn＝ a， yn＝ ＝ ，即 P1， P2，…， Pn在同一直线 x＝ a 上.(4 分)(2)先证：0xln(x＋1)，以下类似给分. 39、（本小题满分 14 分）解：（1） ， 当 时， ，即，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数8当 时， ，函数 是区间 上的增函数当 时，即 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.…7 分（2）若存在，则 恒成立，令 ，则 ，所以 ， 因此： 恒成立，即恒成立，由 得到： ，现在只要判断 是否恒成立，设，因为： ，当 时，， ，当 时， ， ，所以 ，即 恒成立，所以函数 与函数存在“分界线”.40、解：（1）设函数 图像与 轴的交点坐标为（ ，0），∵点（ ，0）也在函数的图像上，∴ ．而 ，∴ ．（2）由题意可知 当 时，,∴ , 即：当 时， 即 ．又,当 时，∴ 0, ∴ ,综上可知，． 1集合与函数（12）1、设定义域为 的函数 若关于 的方程有 7个不同的实数解，则 =（ ）A．6 B．4 或 6 C．2 D．6 或 22、定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度 . 用 表示不超过 的最大整数，记 ，其中 . 设 ， ，若用 分别表示不等式 ，方程 ，不等式 解集区间的长度，则当 时，有 （A） （B）（C） （D） 3、若 是定义在 R上的函数，对任意的实数 x，都有的值是（）A、2010B、2011C、2012D、2013 4、已知函数 ，若 ，则实数 取值范围是A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) )25、6、设 的定义域为 ，若 满足下面两个条件，则称 为闭函数.① 在内是单调函数；②存在 ，使 在 上的值域为 .如果为闭函数，那么 的取值范围是A. ≤ B. ≤ ＜1 C. D. ＜1 8、已知 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则 的取值范围是9、定义在 上的函数 满足 且 时，则 （ ）A． B． C． D． 10、已知函数 f（x）＝ +m+1对 x∈（0， ）的图象恒在 x轴上方，则 m的取值范围是 （ ）A．2－2 ＜m＜2+2 B．m＜2C． m＜2+2 D．m≥2+2311、对 ，运算“ ”、“ ”定义为：，则下列各式中恒成立的是 （ ）① ②③ ④A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 12、设 S是至少含有两个元素的集合. 在 S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在 S中有唯一确定的元素 a*b与之对应）. 若对于任意的a,b∈S,有 a*( b * a)=b，则对任意的 a,b∈S,下列等式中不能成立的是( )A． ( a * b) * a =a B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=aC. b*( b * b)=b D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b 13、若关于 的方程 只有一个实数根，则 的取值范围为（ ）A、 =0 B、 =0或 1 C、 1或 1或 -1 14、若定义在 R上的函数 满足：对任意 ，则下列说法一定正确的是 （ ）A． 为奇函数 B． 为偶函数 C． 为奇函数 D． 为偶函数 15、设 是 R上的任意实值函数．如下定义两个函数 和；对任意 , ； ．则下列等式恒成立的是（ ）A． B．C． D． 16、已知函数 若有 则 的取值范围为A． B． C． D． 417、设 , ， , .记 为平行四边形 ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为 A． B． C． D． 18、设函数 在其定义域 上的取值恒不为 ，且 时，恒有．若 且 成等差数列，则 与 的大小关系为（ ） A． B． C．D．不确定 19、给出定义：若 （其中 m为整数），则 m 叫做离实数 x最近的整数，记作 = m. 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题： ①函数 y=的定义域为 R，值域为 ；②函数 y= 的图像关于直线 （ ）对称；③函数 y= 是周期函数，最小正周期为 1；④函数 y= 在 上是增函数。其中正确的命题的序号是 ( ）A. ① B. ②③ C ①②③ D ①④20、设函数 的定义域为 D，如果存在正实数 k，使对任意 ，都有 ，且 恒成立，则称函数 在 D上的“k 阶增函数”。已知 是定义在R上的奇函数，且当 ，其中 a为正常数，若 为 R上的“2阶增函数”，则实数 a的取值范围是 （ ）A．（0，2） B．（0，1） C． D．21、设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， （ ， ），都有5（ 表示两个数 中的较小者），则 的最大值是（ ）A．10 B．11 C．12 D．13 22、．已知函数 集合只含有一个元素，则实数 的取值范围是（ ）A． B．C． D． 23、定义在 R上的偶函数 满足 ＝ ，当 时， ＝x－2，则有A． B．C． D． 24、已知定义在[－1，1]上的奇函数 ，当 时， ．（1）求函数 在[－1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明:f(x)在(0，1］上是减函数。（3）要使方程 在[－1，1]上恒有实数解，求实数 b的取值范围．25、设定义在区间[ x1， x2]上的函数 y=f(x)的图象为 C， M是 C上的任意一点， O为坐标原点，设向量 = ， ， =(x， y)，当实数 λ 满足 x=λ x1+(1－ λ ) x2时，记向量 =λ +(1－ λ ) ．定义“函数 y=f(x)在区间[ x1， x2]上可在标准 k下线性近似”是指“ k恒成立”，其中 k是一个确定的正数．（1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准 k下线性近似，求 k的取值范围；（2）求证：函数 在区间 上可在标准 k= 下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e－1)= 0.541） 26、设函数 ．（Ⅰ）证明：当 时， ；（Ⅱ）设当时， ，求 a的取值范围． 627、若 满足 满足 ，则 + ＝ ． 30、如图是函数 的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为 ，则．32、．已知定义在 R上的奇函数 ，若 ，则实数 a的取值范围是 。 33、已知函数 是偶函数，则 的值为 35、已知函数 = 当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数 的零点 . 38、已知函数 是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， . 若，则实数 m的取值范围是 . 39、定义在 R上的函数 满足： ，当 时，．下列四个不等关系： ； ；； ．其中正确的个数是 ▲ ． 40、设定义在 R上的函数 满足对 ，且 ，都有 ，则 的元素个数为 ． 1、C 2、B 3、 C 4、B 5、B 6、 A 为 上的增函数，又 在 上的值域为 ，∴ ，即 在 上有7两个不等实根，即 在 上有两个不等实根.(方法一)问题可化为和 在 上有两个不同交点. 对于临界直线 ，应有 ≥，即 ≤ .对于临界直线 ， ，令 ＝1，得切点横坐标为 0，∴ ，∴ ，令 ，得 ，∴ ＜1，即 .综上， ≤ .(方法二)化简方程 ，得 .令，则由根的分布可得 ,即 ，解得.又 ，∴ ≥ ，∴ ≤ .综上， ≤ . 8、C 9、C 10、解：法 1：令 t＝ ，则问题转化为函数 f（t）＝t2－mt+m+1 对t∈（1， ）的图象恒在 x轴的上方，即△＝（－m）2－4（m+1）＜0 或 解得 m＜2+2 ．法 2：问题转化为 m＜ ，t∈（1， ），即m比函数 y＝ ，t∈（1， ）的最小值还小，又 y＝ ＝t－1+ +2≥2+2＝2+2 ，所以 m＜2+2 ，选 C． 11、C 12、选Ａ.提示:此题为信息题，认真反复阅读理解题意，依样画葫芦. 13、作直线 的图象和半圆 ,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.814、A 15、【解析】B.由 得选择支 B左边=由 得;由 得选择支 B右边=，由 得选择支 B右边=所以选 B. 16、答案：B 解析：由题可知 ， ，若有则 ，即 ，解得 。 17、C 18、C 19、C 20、C 21、含 2个元素的子集有 15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有 11个.选 B 22、D 23、C 24、（1） （2）证：任设 ，则． ，．，即 ∴ 在 上是减函数.． （3）记，则 为 上的单调递减函数．∴．∵ 在[－1，1]上为奇函数，∴当时 ．又 ，∴ ，即 ． 925、【解】（1）由 =λ +(1－λ) 得到 =λ ，所以 B， N， A三点共线，又由 x=λ x1+(1－λ) x2与向量 =λ +(1－λ) ，得 N与 M的横坐标相同．对于 [0，1]上的函数 y=x2， A(0，0)， B(1，1)，则有 ，故 ；所以 k的取值范围是 ．（2）对于 上的函数 ，A( )， B( )， 则直线 AB的方程 ， 令，其中 ，于是 ，列表如下：x em (em，e m+1－e m) em+1－e m (em+1－e m，e m+1) em+1+ 0 －0 增 减 0[则 ，且在 处取得最大值，又 0.123，从而命题成立． 26、1027、 30、 32、.解析：因为 在 上是增函数，又因为是 上的奇函数，所以函数 是 上的增函数，要使 ，只需.解得 33、 ， 35、【答案】5【解析】方程=0的根为 ,即函数 的图象与函数的交点横坐标为 ,且 ,结合图象,因为当时, ,此时对应直线上 的点的横坐标 ;当11时, 对数函数 的图象上点的横坐标 ,直线的图象上点的横坐标 ,故所求的 . 38、 39、1 40、０或１ 1集合与函数（13）1、已知集合 ，若集合 ，且对任意的 ，存在 ，使得 （其中），则称集合 为集合 的一个 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合 的一个二元基底，并说明理由；① ， ；② ， .（Ⅱ）若集合 是集合 的一个 元基底，证明： ；（Ⅲ）若集合 为集合 的一个 元基底，求出 的最小可能值，并写出当 取最小值时 的一个基底 .2、若集合 具有以下性质：① ， ；②若 ，则 ，且 时，.则称集合 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合 是“好集”，求证：若 ，则 ；（Ⅲ）对任意的一个“好集” ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题 ：若 ，则必有；命题 ：若 ，且 ，则必有 ；3、若 为集合 且 的子集，且满足两个条件：① ；②对任意的 ，至少存在一个 ，使或 .……… … … ……2则称集合组 具有性质 .如图，作 行 列数表，定义数表中的第 行第列的数为 .（Ⅰ）当 时，判断下列两个集合组是否具有性质 ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1： ；集合组 2：.（Ⅱ）当 时，若集合组 具有性质 ，请先画出所对应的 行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合 ；（Ⅲ）当 时，集合组 是具有性质 且所含集合个数最小的集合组，求 的值及 的最小值.（其中表示集合 所含元素的个数）4、已知函数 在区间 上为增函数，且 。（1）当 时，求 的值；（2）当 最小时，①求 的值； ②若是 图象上的两点，且存在实数 使得，证明： 。 5、（本小题满分 14 分）对于函数 和 ，若存在常数 ，对于任意 ，不等式 都成立，则称直线 是函数 的分界线. 已知函数 为自然对数的底， 为常数）.(Ⅰ)讨论函数 的单调性；(Ⅱ)设 ，试探究函数 与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.36、设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a） ．记集合 S= 若 ， 分别为集合元素 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是A． =1 且 =0 B． C． =2 且 =2 D． =2 且 =3 7、设 ，已知函数 的定义域是 ，值域是 ，若函数 g(x)=2︱x-1︱ +m+1 有唯一的零点，则 （ ）A．2 B． C．1 D．0 8、已知函数 ，在定义域 [-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1 处的切线斜率均为 ．有以下命题：① 是奇函数；②若 在 内递减，则 的最大值为 4；③ 的最大值为 ，最小值为 ，则 ； ④若对 ， 恒成立，则 的最大值为 2．其中正确命题的个数为 A .1 个 B. 2 个 C .3 个 D. 4 个 11、设函数 的最大值为 ，最小值为 ，那么 . 12、（本小题满分 14 分）已知函数 （Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围；（Ⅲ）当 时，试比较 与 的大小关系．13、对于实数 ， 称为取整函数或高斯函数，亦即 是不超过 的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若 满足 ，则 的取值范围1、解：（Ⅰ）① 不是 的一个二元基底.理由是 ；4② 是 的一个二元基底. 理由是 ，. （Ⅱ）不妨设 ，则形如 的正整数共有 个；形如 的正整数共有 个；形如 的正整数至多有 个；形如 的正整数至多有 个.又集合 含个不同的正整数， 为集合 的一个 元基底.故 ，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 ，所以 .当 时， ，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设 为 的一个 4 元基底，不妨设 ，则 .当 时，有 ，这时 或 .如果 ，则由，与结论*矛盾.如果 ，则 或 .易知 和 都不是 的 4 元基底，矛盾.当时，有 ，这时 ， ，易知 不是的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ，这时 ，，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ， ， ，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ， ， ，易知 不是的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ， ， ，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ，5， ，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当时， 均不可能是 的 4 元基底.当 时， 的一个基底 ；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上， 的最小可能值为 5. 2、解：（Ⅰ）集合 不是“好集”. 理由是：假设集合 是“好集”. 因为 ，，所以 . 这与 矛盾. 有理数集 是“好集”. 因为 ，,对任意的 ，有 ，且 时， .所以有理数集 是“好集”.（Ⅱ）因为集合 是“好集”，所以 .若 ，则 ，即 .所以 ，即 . （Ⅲ）命题 均为真命题. 理由如下： 对任意一个“好集” ，任取 ， 若 中有 0 或 1 时，显然 .下设 均不为 0，1. 由定义可知：.所以 ，即 .所以 . 由（Ⅱ）可得：，即 . 同理可得 .若 或 ，则显然.若 且 ，则 .所以 .所以 由（Ⅱ）可得：.所以 .综上可知， ，即命题 为真命题.若 ，且 ，则 .所以 ，即命题 为真命题. 63、（Ⅰ）解：集合组 1 具有性质 . 所对应的数表为：集合组 2 不具有性质 . 因为存在 ，有，与对任意的 ，都至少存在一个 ，有 或 矛盾，所以集合组不具有性质 . （Ⅱ 注：表格中的 7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设 所对应的数表为数表 ，因为集合组 为具有性质 的集合组，所以集合组 满足条件①和②，由条件①： ，可得对任意 ，都存在 有 ，所以 ，即第 行不全为 0，所以由条件①可知数表 中任意一行不全为 0. 由条件②知，对任意的 ，都至少存在一个 ，使 或 ，所以 一定是一个 1 一个0，即第 行与第 行的第 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表 中任意两行不完全相同. 因为由 所构成的 元有序数组共有个，去掉全是 的 元有序数组，共有 个，又因数表 中任意两行都不完全相同，所以 ，所以 .又 时，由 所构成的 元有序数组共有 个，去掉全是 的数组，共 个，选择其中的 个数组构造 行 列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质 .所以 . 因为 等于表格中数字 1 的个数，7所以，要使 取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，而 时，在数表 中，的个数为 的行最多 行； 的个数为 的行最多 行； 的个数为 的行最多行；的个数为 的行最多 行；因为上述共有 行，所以还有 行各有 个 ，所以此时表格中最少有 个 .所以的最小值为 . 4、解： 。（1）当 时，由 ，得 或 ，所以 在 上为增函数，在 ， 上为减函数，由题意知，且 。因为 ，所以 ，可知 。 （2）① 因为， 当且仅当 时等号成立。由 ，有 ，得 ；由 ，有 ，得 ；故 取得最小值时， ， 。②此时， ，8， 由 知，，欲证 ，先比较 与 的大小。因为 ，所以 ，有，于是 ，即 ，另一方面，，因为 ，所以，从而 ，即 。…14 分同理可证 ，因此。 5、（本小题满分 14 分）解：（1） ， 当 时，，即 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数；当时， ，函数 是区间 上的增函数 当 时，即 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.（2）若存在，则 恒成立，令 ，则 ，所以， 因此： 恒成立，即 恒成立，由得到： ，9现在只要判断 是否恒成立，设 ，因为：，当 时， ， ，当 时， ，，所以 ，即 恒成立，所以函数 与函数存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、 4021 12、解：（Ⅰ）由 ，解得 或 ，∴ 函数的定义域为当 时，∴ 在定义域上是奇函数。 （Ⅱ）由 时，恒成立，∴ ∴ 在 成立 令， ，由二次函数的性质可知 时函数单调递增， 时函数单调递减， 时，∴ （Ⅲ） =证法一：设函数 , 则 时，，即 在 上递减，所以 ，故在 成立，10则当 时, 成立.证法二：构造函数， 当 时，，∴ 在 单调递减，当 （ ）时， 13、（1,5）∪[10,20） 1集合与函数（1）1、已知定义在 R 上的函数 满足：① ②当 时， ；③对于任意的实数 均有 。则 ． 2、定义域为 R 的函数 的值域为 ，则 m+n=__________． 3、已知定义在 R 上的函数 =__________． 4、已知定义在 R 上的奇函数 ，且在区间 上是增函数，若方程=________． 5、若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为_______. 6、设函数 ，则实数 a 的取值范围为 。 7、设定义在 上的函数 同时满足以下条件：① ；② ；③当 时， 。则 ___________. 8、已知集合 ,且 若 则集合 最多会有_ __个子集. 9、设 、 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)．(1)解关于 x 的不等式 f(x)0；(2)若 f(x)＋2 x≥0 在(0，＋∞)上恒成立，求 a 的取值范围． 36、（1）求 的解析式(2) 证明 为 上的增函数（3） 若当 时，有 ，求 的集合 37、已知函数 f(x)=x|x-a|+2x-3(1)当 a=4，2≤x≤5 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)当 xÎ[1,2]时，f(x)≤2x-2恒成立，求实数 a 的取值范围． 638、已知 , 若 在区间 上的最大值为 , 最小值为, 令 ．（I） 求 的函数表达式；（II） 判断 的单调性, 并求出 的最小值． 39、设函数 是定义在 上的减函数，并且满足 ，（1）求 , , 的值， （2）如果 ，求 x 的取值范围。 40、已知 是奇函数（Ⅰ）求 的值，并求该函数的定义域； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断 在上的单调性，并给出证明. 1、 2、10 3、 4、 5、 [-1,0] 6、 7、 -1 8、8 9、 10、A 11、A 12、C 13、 A 14、D 15、B 16、B 17、D 18、C 19、C 20、D 21、A 22、D 23、B 24、B【解析】因为当 时, ,又因为 是 上最小正周期为 2 的周期函数，且 ,所以 ,又因为 ,所以 , ,故函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为 7 个,选B． 25、C 26、C 27、A 28、C 29、解：(1)由①，a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x),∴（2x-6)(-2a+b)=0,b=2a 2 分由②，ax^2+(2a-1)x=0 的两根相等，∴a=1/2,b=1. f(x)=(1/2)x^2+x. 4 分所以 g(x)＝x2－16x＋q＋3. (2)∵0≤t＜10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且其图象的对称轴是 x＝8.①当 0≤t≤6 时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－15t＋52＝0，解得 t＝ ，∴t＝ ；②当6＜t≤8 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当 8＜t＜10 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)7＝12－t，即 t2－17t＋72＝0，解得 t＝8(舍去)或 t＝9.综上可知，存在常数 t 为 ，8,9 满足题意． 30、20． 31、解：（1）因为 为偶函数，所以（2）依题意知：*令 则*变为 只需其有一正根。（1） 不合题意（2）*式有一正一负根 经验证满足 （3）两相等 经验证 综上所述 或 32、解：⑴由题意， ， 又 ，所以 。⑵当 时， ，它在 上单调递增；当 时，，它在 上单调递增。 33、解：⑴由题设有 ，∴∵ a≠1，∴lo g2a≠0，由②得 log2a－1＝0，∴ a=2，代入①解得 k＝2。⑵∵k=2，∴ f(x)=x2－ x+2=(x－ )2+ 0。8∴ ＝ f(x)+ ≥ ＝6。当且仅当 f(x)＝ ，即[ f(x)]2=9时取等号。∵ f(x)0，∴ f(x)＝3 时取等号。即 x2－ x+2＝3，解得 x＝ 。当 x＝时， 取最小值。 34、解：⑴当 时， 又 为奇函数，，当 时，由 有最小正周期 4，综上，⑵设 则在 上为减函数。⑶即求函数 在 上的值域。当时由⑵知， 在 上为减函数， ，当时， ， ，当 时， 的值域为时方程方程 在 上有实数解。 935、解：(1)不等式 f(x)0，即－ ＋ 0，即 0.整理成( x－2 a)·ax0时，不等式 x(x－2 a)0，不等式的解为 x0 或 x0 时，不等式解集为{ x|00}．(2)若 f(x)＋2 x≥0 在(0，＋∞)上恒成立，即－ ＋ ＋2 x≥0，∴ ≤2 .∵2的最小值为 4，故 ≤4，解得 a0 或 a≥ . 36、（2）37、19、(1)当 a=4 时，f(x)=x|x-4|+2x-3；①当 2≤x＜4 时，f(x)=x(4-x)+2x-3=-x 2+6x-3，当 x=2 时，f(x) min=5；当 x=3 时，f(x) max=6 2 分②当 4≤x≤5 时，f(x)=x(x-4)+2x-3=x2-2x-3＝(x-1) 2-4，当 x=4 时，f(x) min=5；当 x=5 时，f(x)max=12 4 分综上可知，函数 f(x)的最大值为 12，最小值为 5． 6 分(2)若 x≥a,原不等式化为 f(x)= x2-ax≤1，即 a≥x- 在 xÎ[1,2]上恒成立，∴a≥(x- )max，即 a≥ ． 8 分10若 x＜a,原不等式化为 f(x)=-x2+ax≤1，即 a≤x+ 在 xÎ[1,2]上恒成立，∴a≤(x- )min，即 a≤2． 10 分综上可知，a 的取值范围为 ≤a≤2． 12 分 38、解：（1） 函数 的对称轴为直线 , 而∴ 在 上 ……2 分①当 时，即 时， ………4 分②当 2 时，即 时， ………6 分……8 分（2） ． ……12 分 39、解：（1）令 ，则 ，∴ ……1 分令 , 则 , ∴ ………2 分∴…………4 分∴…………… 6 分11（2）∵ ，又由 是定义在 R＋ 上的减函数，得： ……… 8 分解之得： ………… 12 分 40、解:（Ⅰ） 是奇函数, ,即则 ，即 ， --------3 分当 时， ，所以---------------4 分定义域为： --------6 分（Ⅱ）在 上任取 ，并且 ，则 ---------8 分又 ，又 ，-----10 分所以 ，所以 在 上是单调递减函数-----12 分