高考复习方案（全国卷地区专用）2017届高考物理一轮复习 第5单元 机械能（课件+试题）（打包12套）新人教版.zip

1第 15 讲 能量守恒定律一、单选题1．假设某颗陨石进入地球大气层的速度约为 4 万英里每小时，随后与空气摩擦而发生剧烈燃烧，并在距离地面上空 12 至 15 英里处发生爆炸，产生大量碎片，假定某一碎片自爆炸后落至地面并陷入地下一定深度过程中其质量不变，则( )A．该碎片在空中下落过程中重力做的功等于动能的增加量B．该碎片在空中下落过程中重力做的功小于动能的增加量C．该碎片在陷入地下的过程中合力做的功等于动能的改变量D．该碎片在整个过程中克服阻力做的功等于动能的减少量2．[2015·淮安四模]在无风的环境中，将乒乓球从高处由静止释放，小明用摄像机研究乒乓球下落的运动，发现它在落地前已经做匀速运动，若空气阻力与速度成正比，则乒乓球( )A．在下落过程中，加速度先变大后变小B．在下落过程中，机械能先增大后不变C．从更高处由静止释放，在空中运动时间变长D．从更高处由静止释放，落地前瞬间的速度变大3．如图 K15­1 所示，劲度系数为 k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为 m 的小球从离弹簧上端高 h 处由静止释放，那么从小球压上弹簧后继续向下运动到最低点的过程中，以下说法正确的是( )图 K15­1A．弹簧的弹性势能先减小后增大B．球刚接触弹簧时动能最大C．小球克服弹力做的功等于小球减少的机械能D．弹力对小球做的功等于弹簧增加的弹性势能4．一个质量为 m 的铁块以初速度 v1沿粗糙斜面上滑，经过一段时间又返回出发点，整个过程铁块速度随时间变化的图像如图 K15­2 所示，则下列说法正确的是( )图 K15­2A．铁块上滑过程处于超重状态B．铁块上滑过程与下滑过程的加速度方向相反C．铁块上滑过程与下滑过程满足 v1t1＝ v2(t2－ t1)D．铁块上滑过程损失的机械能为 mv12 21二、多选题5．[2015·济南期末]图 K15­3 为某双线客运索道，其索线由静止不动的承载索和牵引2缆车运动的牵引索组成．运行过程中牵引索通过作用力 F 使缆车沿倾斜的承载索道斜向上加速移动，不计空气阻力，在缆车向上移动过程中，下列说法正确的是( )图 K15­3A． F 对缆车做的功等于缆车增加的动能和克服摩擦力所做的功之和B． F 对缆车做的功等于缆车克服摩擦力和克服重力所做的功之和C．缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能D． F 对缆车做的功等于缆车增加的机械能与缆车克服摩擦力做的功之和6．如图 K15­4 所示，质量为 M、长度为 L 的小车静止在光滑的水平面上，质量为 m 的小物块放在小车的最左端，现用一水平恒力 F 作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为 Ff，经过一段时间小车运动的位移为 x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是( )图 K15­4A．此时小车的动能为 FfxB．此时物块的动能为 F(x＋ L)C．这一过程中，因摩擦而产生的热量为 FLD．这一过程中，物块和小车增加的机械能为 Fx＋( F－ Ff)L7．[2015·成都石室中学二模]如图 K15­5 所示，光滑轨道 ABCD 是大型游乐设施过山车轨道的简化模型，最低点 B 处的入、出口靠近但相互错开， C 是半径为 R 的圆形轨道的最高点， BD 部分水平，末端 D 点与右端足够长的水平传送带无缝连接，传送带以恒定速度v 逆时针转动，现将一质量为 m 的小滑块从轨道 AB 上某一固定位置 A 由静止释放，滑块能通过 C 点后再经 D 点滑上传送带，则( )图 K15­5A. 固定位置 A 到 B 点的竖直高度可能为 2RB. 滑块在传送带上向右运动的最大距离与传送带速度 v 有关C. 滑块可能重新回到出发点 A 处D. 传送带速度 v 越大，滑块与传送带摩擦产生的热量越多三、计算题8．[2015·哈尔滨六中二模]某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图K15­6 所示．可视为质点的赛车从起点 A 出发，沿水平直线轨道运动 L 后，由 B 点进入半径为 R 的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点 C，才算完成比赛． B 是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于 B 点．已知赛车质量 m＝0.5 kg，通电后以额定功率 P＝2 W 工作，进入竖直半圆轨道前受到的阻力恒为 Ff＝0.4 N，随后在运动中受到的3阻力均可不计， L＝10.0 m， R＝0.32 m， g 取 10 m/s2.(1)要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的 B 点对轨道的压力至少为多大？(2)要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(3)若电动机工作时间为 t0＝5 s，当半圆轨道半径为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大？水平距离最大是多少？图 K15­649．[2015·扬州摸底]如图 K15­7 所示，半径 R＝0.5 m 的光滑圆弧面 CDM 分别与光滑斜面体 ABC 和斜面 MN 相切于 C、 M 点， O 为圆弧圆心， D 为圆弧最低点．斜面体 ABC 固定在地面上，顶端 B 安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮(不计滑轮摩擦)分别连接小物块P、 Q(两边细绳分别与对应斜面平行)，并保持 P、 Q 两物块静止．若 P、 C 间距为 L1＝0.25 m，斜面 MN 足够长，物块 P 质量 m1＝3 kg，与 MN 间的动摩擦因数 μ ＝ .求：(sin 37°13＝0.6，cos 37°＝0.8， g 取 10 m/s2)(1)烧断细绳后，物块 P 第一次到达 D 点时对轨道的压力大小；(2)物块 P 在 MN 斜面上滑行的总路程．图 K15­75课时作业(十五)1．C [解析] 根据动能定理，碎片下落过程中动能的增加量应等于重力与阻力做功之和，而阻力做负功，所以重力做的功大于动能的增加量，选项 A、B 错误；根据能量守恒定律可知，碎片下落过程中，克服阻力做的功应等于机械能的减少量，选项 D 错误；根据动能定理，碎片在陷入地下的过程中合力做的功等于动能的改变量，选项 C 正确．2．C [解析] 根据牛顿第二定律，有 mg－ kv＝ ma，解得加速度 a＝ g－ ，随着速度kvm的增大，空气阻力增大，乒乓球的加速度减小，当加速度 a＝0 时乒乓球做匀速运动，匀速运动的速度 v＝ .由于乒乓球在落地前已经做匀速运动，可知从更高处由静止释放，落地mgk前也做匀速运动，落地瞬间的速度不变，选项 A、D 错误；在下落过程中，空气阻力一直做负功，所以其机械能不断减小，选项 B 错误；从更高处由静止释放，变加速运动的时间相同，而匀速运动的时间变长，所以乒乓球在空中运动时间变长，选项 C 正确．3．C [解析] 小球一直向下运动，弹簧一直被压缩，所以弹性势能逐渐增大，选项 A错误；小球刚接触弹簧时，合力向下，小球向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，弹簧弹力等于重力，合力减小为零，加速度为零，速度达到最大，选项 B 错误；根据功能关系，除重力以外的力对小球做的功等于小球机械能的增量，所以该过程小球克服弹力做的功等于小球减少的机械能，选项 C 正确；根据功能关系，弹簧弹力对小球做的功总等于弹簧减少的弹性势能，而上述过程弹力对小球做负功，所以小球克服弹力做的功等于弹簧增加的弹性势能，选项 D 错误．4．C [解析] 上滑过程为匀减速，加速度方向沿斜面向下，下滑过程为匀加速，则加速度方向沿斜面向下，上滑和下滑过程加速度方向相同，铁块都处于失重状态，选项 A、B错误；速度—时间图像与坐标轴围成的面积表示位移，由图可知，上滑的位移为 v1t1，下12滑的位移为 v2(t2－ t1)，经过一段时间又返回出发点说明 v1t1＝ v2(t2－ t1)，故选项 C 正12确；根据能量守恒定律知上滑过程损失的机械能为 Δ E＝ Ek1－ mgh＝ mv － v1t1mg，故选12 21 12项 D 错误．5．CD [解析] 由动能定理可知， F 对缆车做的功等于缆车增加的动能、增加的重力势能与克服摩擦力所做的功之和，即等于缆车增加的机械能与缆车克服摩擦力做的功之和，故选项 A、B 错误，D 正确；缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能，故选项 C 正确．6．AD [解析] 小车受摩擦力作用，摩擦力作用下小车的位移为 x，故摩擦力对小车做功为 Ffx，对小车由动能定理可知，小车的动能改变量为 Ffx，故选项 A 正确；在拉力的作用下物块前进的位移为 L＋ x，拉力的功 W1＝ F(x＋ L)，摩擦力的功为－ Ff(x＋ L)，则对物块由动能定理可知，物块的动能为( F－ Ff)(x＋ L)，选项 B 错误；根据能量守恒定律，外力 F 做的功等于物块和小车增加的动能与摩擦产生内能之和，摩擦产生内能等于 FfL，所以机械能的增量为 F(x＋ L)－ FfL，故选项 C 错误，D 正确．7．CD [解析] 滑块恰能通过 C 点的条件是 mg＝ ，由 A 到 C 根据动能定理得mgh＝ mv ，解得 h＝ R，则 A、 B 间的最小高度为 2R＋ h＝2.5 R，选项 A 错误；设滑块在传12 2C 126送带上的最大位移为 x，由动能定理得 2mgR－ μmgx ＝0－ mv ，该式说明 x 与传送带的速12 2C度无关，选项 B 错误；如果滑块在传送带上能够减速为零且第一次滑到 D 点的速度小于或等于 v，则滑块返回到 D 点的速度大小不变，滑块能够回到 A 点，选项 C 正确；传送带的速度越大，滑块与传送带的相对路程 Δ x 越大，则滑块与传送带摩擦产生的热量Q＝ μmg Δ x 越多，选项 D 正确．8．(1)30 N (2)4 s (3)0.3 m 1.2 m[解析] (1)赛车恰通过 C 点的条件是 mg＝解得最小速度 vC＝ gR由 B 到 C 过程应用机械能守恒定律得mv ＝ mv ＋ mg·2R12 2B 12 2C在 B 点应用牛顿第二定律得FN－ mg＝ m联立解得 vB＝ ＝4 m/s5gRFN＝6 mg＝30 N由牛顿第三定律得，赛车对轨道的压力 F′ N＝ FN＝30 N.(2)由 A 到 B 过程克服摩擦力做功产生的热量 Q＝ FfL根据能量守恒定律得Pt＝ mv ＋ Q12 2B联立解得 t＝4 s.(3)由 A 到 C 过程根据能量守恒定律得Pt0＝ mv′ ＋ Q＋ mg·2R012 2C赛车过 C 点后做平抛运动，有2R0＝ gt x＝ v′ Ct012 20联立解得 x2＝－16 R ＋9.6 R020当 R0＝0.3 m 时 xmax＝1.2 m.9．(1)78 N (2)1.0 m[解析] (1)根据几何关系， P、 D 间的高度差h＝ L1sin 53°＋ R(1－cos 53°)＝0.4 m物块由 P 到 D 过程，由机械能守恒定律得m1gh＝ m1v12 2D在 D 点，支持力和重力的合力提供向心力FD－ m1g＝ m1联立解得 FD＝78 N由牛顿第三定律得，物块 P 对轨道的压力大小为 78 N.(2)物块 P 运动到 M 点过程，根据机械能守恒定律得7m1gL1sin 53°＝ m1v12 2M解得 vM＝2 m/s物块最终在圆弧轨道上往复滑动，且到达 M 点时速度为零全过程减少的机械能 Δ E＝ m1gL1sin 53°产生的内能 Q＝ μm 1gcos 53°·s根据能量守恒定律得 Δ E＝ Q，即m1gL1sin 53°＝ μm 1gcos 53°·s解得其在 MN 斜面上滑行的总路程 s＝1.0 m.1第 14 讲 机械能守恒定律及其应用一、单选题1．在如图 K14­1 所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角处释放后轻杆绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后直角架绕通过直角顶点的固定轴 O 无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的 A、 B 两小车， B 静止， A 获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动 B 车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )甲 乙 丙 丁图 K14­1A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球 A 的机械能守恒C．丙图中两车组成的系统机械能守恒D．丁图中小球的机械能守恒2．[2016·潍坊模拟]如图 K14­2 所示，将一质量为 m 的小球从 A 点以初速度 v 斜向上抛出，小球先后经过 B、 C 两点．已知 B、 C 之间的竖直高度和 C、 A 之间的竖直高度都为h，重力加速度为 g，取 A 点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力，则( )图 K14­2A．小球在 B 点的机械能是 C 点机械能的两倍B．小球在 B 点的动能是 C 点动能的两倍C．小球在 B 点的动能为 mv2＋2 mgh12D．小球在 C 点的动能为 mv2－ mgh123．[2015·南安一中模拟]一轻质弹簧固定于天花板上的 O 点处，原长为 L，如图K14­3 所示，一个质量为 m 的物块从 A 点竖直向上抛出，以速度 v 与弹簧在 B 点相接触，然后向上压缩弹簧，到 C 点时物块速度为零，在碰撞过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )图 K14­3A．由 A 到 C 的过程中，动能和重力势能之和不变B．由 B 到 C 的过程中，弹性势能和动能之和不变2C．由 A 到 C 的过程中，物块的机械能守恒D．由 B 到 C 的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒二、多选题4．蹦床比赛中运动员与床垫接触的过程可简化为以下模型：如图 K14­4 所示，运动员从高处落到处于自然状态的床垫( A 位置)上，随床垫一同向下运动到最低点( B 位置)．对于运动员从 A 位置运动到 B 位置的过程，下列说法正确的是( )图 K14­4A．运动员的机械能守恒B．蹦床的弹性势能一直在增加C．在这个过程中，运动员受到的合力做了正功D．运动员所受重力的瞬时功率先增大后减小5．[2015·玉溪模拟]如图 K14­5 所示，将倾角为 30°的斜面体置于水平地面上，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球 A 和物块 B，跨过固定于斜面体顶端的光滑支点 O.已知 A 的质量为 m， B 的质量为 4m.现用手托住 A，使 OA 段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)， OB 绳平行于斜面，此时物块 B 恰好静止不动，将 A 由静止释放，在其下摆过程中，斜面体与物块 B 始终保持静止，下列判断中正确的是( )图 K14­5A．物块 B 受到的摩擦力先减小后增大B．物块 B 受到的摩擦力不变C．小球 A 与地球组成的系统机械能守恒D．小球 A 与地球组成的系统机械能不守恒6．[2015·威海一模]如图 K14­6 所示， A、 B 两物体的质量皆为 m，用轻弹簧连接， B放在水平地面上．用竖直向下的大小为 F 的力作用在 A 上，待系统平衡后突然撤去力 F，忽略空气阻力．下列说法正确的是( )图 K14­6A．撤去力 F 的瞬间， A 物体处于超重状态B．撤去力 F 的瞬间， B 对地面的压力大小为 2mg3C．撤去力 F 的瞬间， B 物体的加速度大小为FmD．撤去力 F 后，若物体 B 不能离开地面，则 A、弹簧和地球组成的系统机械能守恒7．[2015·曲靖二模]如图 K14­7 所示，小球沿水平面以初速度 v0通过 O 点进入半径为 R 的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力，则( )图 K14­7A．小球进入竖直半圆弧轨道后做匀速圆周运动B．若小球能通过半圆弧最高点 P，则球在 P 点受力平衡C．若小球的初速度 v0＝3 ，则小球一定能通过 P 点gRD．若小球恰能通过半圆弧最高点 P，则小球落地点离 O 点的水平距离为 2R8．[2015·银川模拟]如图 K14­8 所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，圆环与一弹性橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的 A 点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 (橡皮绳始终处于弹性限度内)( )图 K14­8A．橡皮绳的弹性势能一直增大B．圆环的机械能先不变后减小C．橡皮绳的弹性势能最大增加了 mghD．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大三、计算题9．[2015·抚顺模拟]如图 K14­9 所示，两个半径为 R 的四分之一圆弧构成的光滑细管道 ABC 竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线 O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为 m 的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径)，长为 R 的薄板DE 置于水平面上，板的左端 D 到管道右端 C 的水平距离为 R.开始时弹簧处于锁定状态，具有的弹性势能为 3mgR，其中 g 为重力加速度．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从 C 点抛出．(1)求小球经 C 点时的动能；(2)求小球经 C 点时所受的弹力；(3)弹簧锁定时弹簧的弹性势能 Ep满足什么条件，从 C 点抛出的小球才能击中薄板 DE?图 K14­9410．[2016·温州十校联考]如图 K14­10 所示，“蜗牛”状轨道 OAB 竖直固定在水平地面上，与地面在 B 处平滑连接．其中“蜗牛”状轨道由内壁光滑的半圆轨道 OA 和 AB 平滑连接而成，半圆轨道 OA 的半径 R1＝0.6 m，半圆轨道 AB 的半径 R2＝1.2 m，水平地面 BC长为 xBC＝11 m， C 处是一个开口较大的深坑，一质量 m＝0.1 kg 的小球从 O 点沿切线方向以某一初速度进入轨道 OA 后，沿 OAB 轨道运动至水平地面，已知小球与水平地面间的动摩擦因数 μ ＝0.4， g 取 10 m/s2.(1)为使小球不脱离 OAB 轨道，小球在 O 点的初速度 v0至少为多大？(2)若小球在 O 点的初速度 v0＝6 m/s，求小球在 B 点对半圆轨道的压力大小；(3)若使小球能落入深坑 C，则小球在 O 点的初速度 v0至少为多大？图 K14­105课时作业(十四)1．A [解析] 甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中 A、 B 两球通过杆相互影响，轻杆对 A 的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但以两个小球为系统，该过程中不存在机械能与其他形式的能的转化，所以两个小球组成的系统的机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变时有机械能转化为内能，机械能不守恒；丁图中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．2．D [解析] 不计空气阻力，小球在斜上抛运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在 B 点的机械能等于 C 点机械能，选项 A 错误；小球在 B 点的重力势能大于 C 点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在 B 点的动能小于 C 点动能，选项 B 错误；小球由 A 到 B 过程中，根据机械能守恒定律有 mg·2h＋ EkB＝ mv2，解得小球在12B 点的动能为 EkB＝ mv2－2 mgh，选项 C 错误；小球由 B 到 C 过程中，根据机械能守恒定律12有 mg·2h＋ EkB＝ mgh＋ EkC，解得小球在 C 点的动能为 EkC＝ EkB＋ mgh＝ mv2－ mgh，选项 D 正12确．3．D [解析] 物块由 A 到 C 的过程中，只有重力、弹簧弹力做功，因此物块与弹簧组成的系统机械能守恒，由 A 到 B 的过程中，弹簧弹性势能不变，物块动能与重力势能之和不变，但物块由 B 到 C 的过程中，弹簧弹性势能增大，物块的机械能减小，重力势能增大，弹性势能与动能之和减小，只有选项 D 正确．4．BD [解析] 人和蹦床接触后要受到蹦床的弹力作用，人的机械能转化成了蹦床的弹性势能，所以人的机械能不守恒，选项 A 错误；运动员从 A 位置运动到 B 位置的过程中，蹦床的形变量逐渐增大，其弹性势能一直增加，所以 B 正确；运动员从 A 位置运动到 B 位置的过程，速度由某一数值先增大后减小，到达 B 点时速度为零，所以重力的瞬时功率先增大后减小，动能的增量为负值，根据动能定理知，运动员受到的合力做负功，选项 C 错误，D 正确．5．AC [解析] 小球下摆过程中，拉力 F 由零逐渐增大，当 F＜4 mgsin 30°时，物块B 受到的静摩擦力沿斜面向上，大小逐渐减小；当 F＝4 mgsin 30°时，物块 B 受到的静摩擦力为零；当 F＞4 mgsin 30°时，物块 B 受到的静摩擦力沿斜面向下，大小逐渐变大，选项 A 正确，B 错误；对小球 A 受力分析，小球受重力和拉力，拉力不做功，故小球 A 与地球组成的系统机械能守恒，选项 C 正确，选项 D 错误．6．AD [解析] 以物体 A 为研究对象受力分析，有 F＋ mg＝ kx，撤去力 F 后，物体 A所受弹力大于重力，有向上的加速度，处于超重状态，所以选项 A 正确；以 B 为研究对象受力分析，有 kx＋ mg＝ FN，则 FN＝ F＋2 mg，在撤去力 F 的瞬间，弹簧弹力来不及发生变化，故此时 B 对地面的压力大于 2mg，所以选项 B 错误；撤去 F 的瞬间， B 物体受力情况不变，故瞬时加速度为零，所以选项 C 错误；撤去 F 后，以 A、地球、弹簧系统为研究对象，在B 不离开地面的情况下，只有重力和弹簧弹力做功，故系统机械能守恒，所以选项 D 正确．7．CD [解析] 小球进入竖直半圆弧轨道后，随着高度的上升，重力势能增加，根据机械能守恒定律可知，其动能减小，速率减小，小球做变速圆周运动，故选项 A 错误；若小球能通过半圆弧最高点 P，小球在最高点所受的合力不为零，合力提供向心力，则小球在 P 点受力不平衡，故选项 B 错误；小球恰好通过 P 点时，有 mg＝ ，解得通过 P 点的6最小速度 vP＝ ，设小球的最小初速度为 v，由机械能守恒定律得 mg·2R＋ mv ＝ mv2，gR12 2P 12联立解得 v＝ v0，所以小球一定能通过 P 点，故选项 C 正确；若小球恰能通过半圆弧5gR最高点 P，之后做平抛运动，则有 t＝ ＝2 ，而 vP＝ ， x＝ vP·t＝2 R，故选2×2Rg Rg gR项 D 正确．8．BC [解析] 橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，初始位置橡皮绳长度等于原长，由图知橡皮绳先缩短后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，选项A 错误；圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中，环的重力和橡皮绳的拉力对圆环做功，所以圆环和橡皮绳组成的系统的机械能守恒，圆环的机械能不守恒，因为橡皮绳的弹性势能先不变再增大，所以圆环的机械能先不变后减小，选项 B 正确；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少 mgh，则圆环的机械能的减小量等于橡皮绳弹性势能增加量( mgh)，所以橡皮绳的弹性势能最大增加了 mgh，选项 C 正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的速度最大，选项 D 错误．9．(1) mgR (2) mg，方向竖直向下 (3) mgR≤ Ep≤ mgR178 52[解析] (1)解除锁定后，小球运动到 C 点的过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒由机械能守恒定律得3mgR＝2 mgR＋ Ek解得 Ek＝ mgR.(2)小球过 C 点时的动能 Ek＝ mv212设小球经过 C 点时轨道对小球的作用力为 F由牛顿第二定律得：mg＋ F＝mv2R解得 F＝ mg，方向竖直向下．(3)小球离开 C 点后做平抛运动竖直方向：2 R＝ gt212水平方向： x1＝ v1t若要小球击中薄板，应满足 R≤ x1≤2 R弹簧的弹性势能 Ep＝2 mgR＋ mv12 21所以 Ep满足 mgR≤ Ep≤ mgR 时，小球才能击中薄板．178 5210．(1) m/s (2)6 N (3)8 m/s30[解析] (1)小球通过最高点 A 的临界条件是 mg＝解得小球经 A 点的最小速度为vA＝ ＝ m/sgR1 6小球由 O 到 A 过程由机械能守恒定律得7mg·2R1＋ mv ＝ mv12 2A 12 20解得 v0＝ m/s.30(2)小球由 O 到 B 过程机械能守恒，则mgR2＋ mv ＝ mv12 20 12 2B解得 vB＝2 m/s15在 B 点由牛顿第二定律得FN－ mg＝解得 FN＝6 N由牛顿第三定律得轨道受到的压力 F′ N＝ FN＝6 N.(3)小球由 O 到 C 过程由动能定理得mgR2－ μmgx BC＝0－ mv12 20解得 v0＝8 m/s.1第 14 讲 机械能守恒定律及其应用核心填空 一、重力势能1．定义：物体的重力势能等于它所受的________与所处位置的________的乘积，Ep＝________．2．标矢性：重力势能是__________量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在零势能参考平面大还是小．3．系统性：重力势能是物体和地球所共有的．4．相对性：重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取____________关．5．重力做功的特点：重力做功与物体运动的________无关，只与重力及其初、末位置的高度差有关， WG＝ mgh.6．重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能________；重力做负功时，重力势能________；重力做多少正功(或负功)，重力势能就________(或________)多少，即 WG＝－Δ Ep.二、弹性势能1．定义：物体由于发生________而具有的能．2．大小：以弹簧为例，弹性势能的大小与________及弹簧的________有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，则弹簧的弹性势能________．3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________．三、机械能守恒定律1．内容：在只有________或________做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式： 角度 表达式 意义守恒角度 E1＝ E2 机械能时刻相等转化角度 Δ Ek＝－Δ Ep 系统动能的增加量(或减少量)等于势能的减少量(或增加量)转移角度 Δ EA＝－Δ EB A 物体机械能的增加量(或减少量)等于 B 物体机械能的减少量(或增加量)3.条件：只有重力或系统内弹簧弹力做功．易错判断 (1) 重力势能的大小及变化与零势能面的选取有关．( )(2)重力做的功与路径有关．( )(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( )(4)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒．( )(5)做曲线运动的物体机械能可能守恒．( )2考点一 机械能守恒的判断题组1.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒2．(多选)如图 14­1 所示，一质量为 m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于 O 点处，将小球拉至 A 处，弹簧恰好无形变．现由静止释放小球，它运动到 O 点正下方 B 点时速度大小为 v， A、 B 间的竖直高度差为 h.则( )图 14­1A．小球由 A 运动到 B 重力势能减小 mghB．小球由 A 运动到 B 过程中，小球的机械能守恒C．小球和弹簧系统的机械能守恒，小球由 A 运动到 B 克服弹力做功为 mgh－ mv212D．小球到达位置 B 时弹簧的弹性势能为 mgh－ mv2123．(多选)如图 14­2 所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 连接，另一端与物体 A相连，物体 A 置于光滑水平桌面上， A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体 B相连．开始时托住 B，让 A 处于静止且细线恰好伸直，然且由静止释放 B，直至 B 获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是( )图 14­2A． A 物体与 B 物体组成的系统机械能守恒B． A 物体与 B 物体组成的系统机械能不守恒C． B 物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D．当弹簧的拉力等于 B 物体的重力时， A 物体的动能最大■ 规律总结机械能是否守恒的判断方法有：(1)利用机械能的定义判断：如果物体动能、势能之和不变，则机械能守恒；(2)利用机械能守恒条件判断：只有重力对单一物体做功则机械能守恒；只有重力和(弹簧、橡皮筋)弹力对系统做功，或重力和弹力以外的其他力对系统做的总功为零，则系3统的机械能守恒；(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，或系统内没有机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒，注意弹簧弹力对物体做功时，弹簧和物体系统的机械能守恒，物体的机械能并不守恒．考点二 单物体机械能守恒的应用1 如图 14­3 所示，斜面轨道 AB 与水平面之间的夹角 θ ＝53°， BD 为半径 R＝4 m的圆弧形轨道，且 B 点与 D 点在同一水平面上，在 B 点，斜面轨道 AB 与圆弧形轨道 BD 相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在 A 点处有一质量 m＝1 kg 的小球由静止滑下，经过 B、 C 两点后从 D 点斜抛出去，最后落在地面上的 S 点时的速度大小 vS＝8 m/s，已知A 点距地面的高度 H＝10 m， B 点距地面的高度 h＝5 m，设以 MDN 为分界线，其左侧为一阻力场区域，右侧为无阻力区域， g 取 10 m/s2，cos 53°＝0.6.求：(1)小球经过 B 点时的速度的大小；(2)小球经过圆弧轨道最低处 C 点时对轨道的压力的大小；(3)小球从 D 点到 S 点的过程中阻力所做的功．图 14­3式题 1 (抛体运动)[2014·新课标全国卷Ⅱ] 取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A. B. C. D.π 6 π 4 π 3 5π12式题 2 (竖直平面内物体的圆周运动)光滑水平面与一半径为 R＝2.5 m 的竖直光滑圆轨道平滑连接，如图 14­4 所示，物体可以由圆轨道底端阀门(图中未画出)进入圆轨道，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为 m＝0.5 kg 的小球 A 接触但不相连，今向左推小球 A 压缩弹簧至某一位置后，由静止释放小球 A，测得小球 A 到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小为 FN＝10 N， g 取 10 m/s2.(1)求释放小球 A 时弹簧的弹性势能 Ep；(2)若释放小球 A 时弹簧的弹性势能 Ep＝25 J，小球进入圆轨道后阀门关闭，通过计算说明小球会不会脱离圆轨道．图 14­44■ 规律总结机械能守恒定律是解答能量问题的基本方法之一，分析运动过程物体的机械能是否守恒是解题的关键，在解决物体的运动问题时应优先考虑用能量方法，如曲线运动、含弹簧类运动问题等．应用时首先要对研究对象进行受力分析和运动分析，以确定在所研究的过程中机械能是否守恒，再选合适的表达式求解．应用机械能守恒定律求解多过程问题时可对全过程应用机械能守恒定律列式求解．考点三 多物体的机械能守恒问题 物理题根2 (多选)[2015·全国卷Ⅱ] 如图 14­5 所示，滑块 a、 b 的质量均为 m， a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h， b 放在地面上， a、 b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦， a、 b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则( )图 14­5A． a 落地前，轻杆对 b 一直做正功B． a 落地时速度大小为 2ghC． a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gD． a 落地前，当 a 的机械能最小时， b 对地面的压力大小为 mg■ 题根分析系统机械能守恒时，内部的相互作用力分为两类：(1)刚体产生的弹力：如轻绳产生的弹力，斜面产生的弹力，轻杆产生的弹力等．(2)弹簧产生的弹力：系统中有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换．在前两种情况中，轻绳的拉力、斜面的弹力、轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能守恒．虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒．对系统应用机械能守恒定律列方程的角度：(1)系统初态的机械能等于末态的机械能；(2)系统中某些物体减少的机械能等于其他物体增加的机械能．■ 变式网络图 14­6式题 1 (多选)(轻绳连接模型)[2015·南昌十校二模] 如图 14­7 所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为 d，杆上的 A 点与定滑轮等高，杆上的 B 点在 A5点下方距离为 d 处．现将环从 A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )图 14­7A．环到达 B 处时，重物上升的高度 H＝d2B．环到达 B 处时，环与重物的速度大小相等C．环从 A 到 B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D．环能下降的最大高度为 d43式题 2 (轻弹簧连接)[2015·辽宁五校协作体联考] 如图 14­8 所示， A、 B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连， A 放在固定的光滑斜面上， B、 C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连， C 球放在水平地面上．现用手控制住 A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知 A 的质量为4m， B、 C 的质量均为 m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放 A 后， A 沿斜面下滑至速度最大时 C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )图 14­8A．斜面倾角 α ＝60°B． A 获得的最大速度为 2gm5kC． C 刚离开地面时， B 的加速度最大D．从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中， A、 B 两小球组成的系统机械能守恒6第 14 讲 机械能守恒定律及其应用【教材知识梳理】核心填空一、1.重力 高度 mgh 2.标 4.无 5.路径6．减少 增加 减少 增加二、1.弹性形变 2.劲度系数 形变量 越大3．减少 增加三、1.重力 (弹簧)弹力易错判断(1)(×)重力势能具有相对性，物体重力势能大小是相对于零势能位置而言的，但运动过程中物体重力势能的变化与零势能位置无关．(2)(×)重力对物体做的功与路径无关，只与初、末位置高度差有关．(3)(×)物体所受合力为零时，物体速度不变，动能不变，但机械能可能变化．(4)(×)做匀速直线运动的物体，动能不变，但重力势能可能改变，物体机械能不一定守恒，如匀速上升的物体机械能不断增大．(5)(√)做曲线运动的物体，若只有重力做功，其机械能守恒．【考点互动探究】考点一 机械能守恒的判断题组1．C [解析] 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体的重力势能可能变化，所以机械能可能不守恒，如物体在竖直平面内运动，选项 A、B 错误；物体做变速运动时，受到的合力不为零，但如果运动过程中只有重力做功，则机械能守恒，选项 C 正确；合外力做功不为零，物体的动能改变，但如果运动过程中只有重力做功，则物体的机械能守恒，选项 D 错误．2．ACD [解析] 小球从 A 到 B 的过程中下降的高度为 h，重力做功为 mgh，则小球的重力势能减小 mgh，选项 A 正确；小球从 A 到 B 的过程中，重力做功，弹簧弹力做功，所以小球和弹簧系统的机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故选项 B 错误，C 正确；根据机械能守恒定律， mgh＝ Ep＋ mv2，所以小球到达 B 点时弹簧的弹性势能为12Ep＝ mgh－ mv2，选项 D 正确．123．BD [解析] A 物体、弹簧与 B 物体组成的系统机械能守恒，但 A 物体与 B 物体组成的系统机械能不守恒，选项 A 错误，选项 B 正确； B 物体机械能的减少量等于 A 物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故 B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，选项 C 错误；当弹簧的拉力等于 B 物体的重力时， B 物体速度最大， A 物体的动能最大，选项 D 正确．考点二 单物体机械能守恒的应用例 1 (1)10 m/s (2)43 N (3)－68 J[解析] (1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB由机械能守恒定律得mg(H－ h)＝ mv12 2B解得 vB＝10 m/s.(2)设小球经过 C 点时的速度为 vC，轨道对小球的支持力为 FN根据牛顿第二定律得：7FN－ mg＝ m由机械能守恒定律得mgR(1－cos 53°)＋ mv ＝ mv12 2B 12 2C解得 FN＝43 N根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力 F′ N＝ FN＝43 N.(3)小球由 B 点到 D 点过程，由机械能守恒定律知vD＝ vB设小球从 D 到 S 的过程中阻力所做的功为 W由动能定理得mgh＋ W＝ mv － mv12 2S 12 2D解得 W＝－68 J.变式题 1 B [解析] 由题意可知， mgh＝ mv ，又由动能定理得 mgh＝ mv2－ mv ，12 20 12 12 20根据平抛运动可知 v0是 v 的水平分速度，那么 cos α ＝ ＝ ，其中 α 为物块落地时速v0v 22度方向与水平方向的夹角，解得 α ＝45˚，B 正确．变式题 2 (1)43.75 J (2)会[解析] (1)小球到达最高点，由牛顿第二定律得F′ N＋ mg＝mv2R由牛顿第三定律得， F′ N＝ FN以弹簧和小球为系统，由机械能守恒定律得Ep＝ mv2＋ mg·2R12联立解得 Ep＝43.75 J.(2)若小球恰能做完整圆周运动，在最高点由牛顿第二定律得mg＝由机械能守恒定律得Ep1＝ mv ＋ mg·2R12 21联立解得 Ep1＝31.25 J若速度较小，小球在圆心以下做往复运动不脱离轨道Ep2＝ mgR＝12.5 J综上所述，小球不脱离圆轨道的条件是：Ep≥31.25 J 或 0＜ Ep≤12.5 J故 Ep＝25 J 时，小球一定脱离圆轨道．考点三 多物体的机械能守恒问题例 2 BD [解析] 首先，把 a、 b 看成一个系统，运动中机械能守恒， b 先加速后减速，a 到达地面时 b 速度为 0，故杆对 b 先做正功后做负功，A 错误；根据系统机械能守恒， a8的重力势能的减少量等于 a 动能的增加量，即 mgh＝ mv2，得 v＝ ，B 正确； a 下落时，12 2gh后来受杆的沿杆向下的拉力，故 a 的加速度大于 g，C 错误； a 刚开始的一段下落过程中杆对 a 做负功， a 的机械能减少， a 的机械能最小时杆对 a 的作用力为 0，此时杆对 b 也没有力的作用，故 b 对地面的压力大小为 mg，D 正确．变式题 1 CD [解析] 环到达 B 处时，重物上升的高度 H＝( －1) d，选项 A 错误；2将环 B 的速度 vB沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，环沿绳子方向上的分速度等于重物的速度 v′，有 vBcos 45°＝ v′，选项 B 错误；环和重物组成的系统在运动过程中，只有重力做功，所以系统机械能守恒，环减少的机械能等于重物增加的机械能，选项 C 正确；设环下降的最大高度为 h，则此时环和重物的速度均为零，重物上升的高度为h′＝ － d，由机械能守恒定律得， mgh－2 mgh′＝0，解得 h＝ d，选项 D 正确．h2＋ d243[点评] 解答本题的关键是根据运动分解确定重物与环的速度关系，环在 B 点时 vBcos 45°＝ v′，环在 A 点时环和重物的速度均为零．变式题 2 B [解析] 释放 A 后， A 沿斜面下滑至速度最大时，拉力等于 A 的重力沿斜面的分力 4mgsin α ， C 恰好离开地面，轻质弹簧弹力等于 C 球重力， kx＝ mg.对 B，由平衡条件，4 mgsin α ＝2 mg，解得斜面倾角 α ＝30° ，A 项错误；初状态，弹簧压缩，kx＝ mg，末状态，弹簧拉伸， kx＝ mg，初、末状态弹簧弹性势能相等，由机械能守恒定律，4mg·2xsin α － mg·2x＝ (m＋4 m)v2，解得 v＝2 g ， B 项正确； C 刚离开地面时， B 的12 m5k加速度为零，C 项错误；从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中， A、 B、 C 和弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误．【教师备用习题】1．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去力 F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )A．弹簧的弹性势能逐渐减少B．物体的机械能不变C．弹簧的弹性势能先增加后减少D．弹簧的弹性势能先减少后增加[解析] D 撤去力 F 后物体向右运动的过程中，物体和弹簧系统的机械能守恒，弹簧的压缩量减小，达到弹簧原长后被拉伸，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，物体的机械能先增大后减小，选项 D 正确．2．如图所示，将一质量为 m 的小球从 A 点以初速度 v 斜向上抛出，先后经过 B、 C 两点．已知 B、 C 之间的竖直高度和 C、 A 之间的竖直高度都为 h，重力加速度为 g，取 A 点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力．则( )A．小球在 B 点的机械能是 C 点机械能的两倍B．小球在 B 点的动能是 C 点动能的两倍9C．小球在 B 点的动能为 mv2＋2 mgh12D．小球在 C 点的动能为 mv2－ mgh12[解析] D 不计空气阻力，小球在斜上抛运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在 B 点的机械能等于 C 点机械能，选项 A 错误；小球在 B 点的重力势能大于 C 点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在 B 点的动能小于 C 点动能，选项B 错误；小球由 A 到 B 过程中，根据机械能守恒定律有 mg·2h＋ EkB＝ mv2，解得小球在 B12点的动能为 EkB＝ mv2－2 mgh，选项 C 错误；小球由 B 到 C 过程中，根据机械能守恒定律有12mgh＋ EkB＝ EkC，解得小球在 C 点的动能为 EkC＝ EkB＋ mgh＝ mv2－ mgh，选项 D 正确．123．如图所示，物体 A、 B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、 B 的质量都为 m.现用手托着物体 A 使弹簧处于原长，细绳刚好竖直伸直， A 与地面的距离为 h，物体B 静止在地面上．放手后物体 A 下落，与地面即将接触时速度大小为 v，此时物体 B 对地面恰好无压力．若物体 A 落地后不反弹，则下列说法中正确的是( )A．弹簧的劲度系数为mghB． A 落地时，弹簧的弹性势能等于 mgh＋ mv212C．与地面即将接触时 A 的加速度大小为 g，方向竖直向上D．物体 A 落地后 B 能上升到的最大高度为 h[解析] A 由题意可知， A 与地面即将接触时弹簧所受的拉力等于 B 的重力，即F＝ mg，弹簧伸长的长度为 x＝ h，由 F＝ kx 得 k＝ ，故 A 正确． A 与弹簧组成的系统机械mgh能守恒，则有 mgh＝ mv2＋ Ep，则弹簧的弹性势能 Ep＝ mgh－ mv2，故 B 错误．根据牛顿第12 12二定律，对 A 有 F－ mg＝ ma，得 a＝0，故 C 错误．物体 A 落地后，物体 B 对地面恰好无压力，此时 B 的速度恰好为零，即 B 静止不动，故 D 错误．4．(多选)[2015·甘肃一诊]内壁光滑的环形凹槽半径为 R，固定在竖直平面内，一根长度为 R 的轻杆，一端固定有质量为 m 的小球甲，另一端固定有质量为 2m 的小球乙，将2两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示．由静止释放后( )10A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C．杆从左向右滑时，甲球无法下滑到凹槽的最低点D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点[解析] ACD 甲与乙两个小球构成的系统只有重力做功，机械能守恒，所以甲减少的机械能一定等于乙增加的机械能，选项 A 正确；甲与乙两个小球系统机械能守恒，甲球减小的重力势能转化为乙的势能和动能以及甲的动能，选项 B 错误；设甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，乙则到达与圆心等高处，但由于乙的质量比甲的大，则系统的机械能增加，不符合机械能守恒定律，说明甲球不可能到达凹槽的最低点，选项 C 正确；由于机械能守恒，故动能减为零时，势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，选项 D 正确．5．[2013·山东卷]如图所示，楔形木块 abc 固定在水平面上，粗糙斜面 ab 和光滑斜面 bc 与水平面的夹角相同，顶角 b 处安装一定滑轮．质量分别为 M、 m(M＞ m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )A．两滑块组成系统的机械能守恒B．重力对 M 做的功等于 M 动能的增加C．轻绳对 m 做的功等于 m 机械能的增加D．两滑块组成系统的机械能损失等于 M 克服摩擦力做的功[解析] CD 因为 Mm，斜面倾角相同，所以 M 沿斜面下降， m 沿斜面上升．斜面 ab 粗糙，所以对 M 有沿斜面向上的摩擦力，两滑块组成的系统机械能不守恒，A 错误；对于 M，重力、摩擦力、绳子的拉力做的总功等于其动能的增加，B 错误；对于 m，绳子拉力做的功是除了重力以外其他力的功，故等于其机械能的增加，C 正确；对于两滑块组成的系统， M受到的沿斜面向上的摩擦力做的功是除了重力和弹力以外其他力的功，等于系统机械能的减少量，D 正确．6．质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离 P球 处有一个光滑固定轴 O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针L3摆动到最低位置时，求：(1)小球 P 的速度大小；(2)在此过程中，杆对小球 P 做的功．[答案] (1) (2) mgL2gL3 49[解析] (1)设小球 Q 摆到最低位置时 P 球的速度为 v，由于 P、 Q 两球的角速度相等，11Q 球运动半径是 P 球运动半径的两倍，故 Q 球的速度为 2v两球和杆组成的系统机械能守恒2mg· L－ mg· L＝ mv2＋ ·2m·(2v)223 13 12 12解得 v＝ .2gL3(2)杆对 P 球做的功等于小球 P 机械能的增加量 Δ E，则Δ E＝ mg· L＋ mv2＝ mgL.13 12 49