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- 【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算课件 文 北师大版.ppt--点击预览
- 【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示课件 文 北师大版.ppt--点击预览
- 【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积课件 文 北师大版.ppt--点击预览
- 【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的应用课件 文 北师大版.ppt--点击预览
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第五章 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算-3-考纲要求 :1.了解向量的实际背景 . 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 . 3.理解向量的几何表示 . 4.掌握向量加法、减法的运算 ,理解其几何意义 . 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 . 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 .-4-1.向量的有关概念(1)向量 :在数学中 ,我 们 把既有 大小 ,又有 方向 的量 统 称 为 向量 .(2)向量的几何表示 :以 A为 起点 ,B为终 点的向量 记 作 .(3)零向量 :长 度 为 零 的向量称 为 零向量 ,记 作 0.(4)单 位向量 :长 度 为单 位 1的向量叫作 单 位向量 .(5)相等向量 :我 们规 定 ,长 度 相等 且 方向 相同的向量 ,叫作相等向量 .(6)向量平行 (或共 线 ):如果表示两个向量的有向 线 段所在的直 线平行或重合 ,则 称 这 两个向量 平行 或 共线 .a与 b平行或共 线 ,记 作a∥ b.规 定 ,零向量与任一向量 平行 .(7)相反向量 :把与 a长 度相等、方向相反的向量 ,叫作 a的相反向量 .记 作 -a.规 定 ,零向量的相反向量仍是零向量 .-5-2.向量的线性运算 -6-3.向量共线的判定定理和性质定理(1)a是一个非零向量 ,若存在一个 实 数 λ,使得 b=λa,则 向量 b与非零向量 a共 线 .(2)向量 b与非零向量 a共 线 ,则 存在一个 实 数 λ,使得 b=λa.即 b=λa(a≠0,λ∈ R)⇔a∥ b.-7-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)向量与有向 线 段是一 样 的 ,因此可以用有向 线 段表示向量 . ()(3)若两个向量共 线 ,则 其方向必定相同或相反 . ( )(4)在平行四 边 形 ABCD中 ,一定有 ,若 ,则A,B,C,D四点构成平行四 边 形 . ( )(5)若 a∥ b,b∥ c,则 a∥ c. ( )× √ × × × -8-1 2 3 4 52.(2015东北四市联考 )在四 边 形 ABCD中 ,若 ,则四 边 形 ABCD一定是 ( )A.矩形 B.菱形C.正方形 D.平行四 边 形答案解析解析关闭答案解析关闭-9-1 2 3 4 53.已知 ,且四 边 形 ABCD为 平行四 边 形 ,则 ( )A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0答案解析解析关闭答案解析关闭-10-1 2 3 4 54.在 △ABC中 ,D是 BC的中点 ,则 表示 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-11-1 2 3 4 55.设 向量 a,b不平行 ,向量 λa+b与 a+2b平行 ,则实 数 λ= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-12-1 2 3 4 5自 测 点 评1.向量常用有向线段表示 ,但向量与有向线段是两个不同的概念 ,有向线段由起点、终点唯一确定 ,而向量是由大小和方向来确定的.向量不能比较大小 ,但它们的模可以比较大小 .2.零向量的方向是任意的 ,它与任何向量都平行 (共线 ).3.向量共线与线段共线不同 ,前者可以不在同一直线上 ,而后者必须在同一直线上 .同样 ,两个平行向量与两条平行直线也是不同的 ,因为两个平行向量可以移到同一直线上 .-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1辨析平面向量的有关概念 例 1(1)对 于非零向量 a,b,“a+b=0”是 “a∥ b”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭若 a+b=0,则 a=-b,所以 a∥ b.若 a∥ b,则 a+b=0不一定成立 ,故前者是后者的充分不必要条件 .答案解析关闭A-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)给 出下列命 题 :① 若 |a|=|b|,则 a=b或 a=-b;② 若 A,B,C,D是不共 线 的四点 ,则 是四 边 形 ABCD为 平行四 边 形的充要条件 ;③ 若两个向量相等 ,则 它 们 的起点相同 ,终 点相同 ;④ a=b的充要条件是 |a|=|b|,且a∥ b.其中真命 题 的序号是 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :学习了向量的概念后 ,你对向量有怎样的认识 ?解题心得 :对于向量的概念应注意以下几条 :(1)向量的两个特征 :大小和方向 .向量既可以用有向线段和字母表示 ,也可以用坐标表示 ;(2)相等向量不仅模相等 ,而且方向要相同 ,所以相等向量一定是平行向量 ,而平行向量则未必是相等向量 ;(3)向量与数量不同 ,数量可以比较大小 ,向量则不能 ,所以向量只有相等与不相等 ,不可以比较大小 .-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)设 a0为单位向量 ,① 若 a为 平面内的某个向量 ,则a=|a|a0;② 若 a与 a0平行 ,则 a=|a|a0;③ 若 a与 a0平行 ,且 |a|=1,则 a=a0.上述命 题 中 ,假命 题 的个数 为 . 答案解析解析关闭向量是既有大小又有方向的量 ,a与 |a|a0的模相等 ,但方向不一定相同 ,故 ①是假命题 ;若 a与 a0平行 ,则 a与 a0的方向有两种情况 :一是同向 ,二是反向 ,反向时 a=-|a|a0,故 ②③ 也是假命题 .综上所述 ,假命题的个数是 3.答案解析关闭3-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)给 出下列命 题 :① 两个具有公共 终 点的向量 ,一定是共 线 向量 ;② 两个向量不能比 较 大小 ,但它 们 的模能比 较 大小 ;③ 若 λa=0(λ为实 数 ),则 λ必 为 零 ;④ 已知 λ,μ为实 数 ,若 λa=μb,则 a与 b共 线 .其中 错误 命 题 的个数 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案解析解析关闭① 错误 .当方向不同时 ,不是共线向量 .② 正确 .因为向量有方向 ,故它们不能比较大小 ,但它们的模均为实数 ,故可以比较大小 .③ 错误 .当 a=0时 ,不论 λ为何值 ,λa=0.④ 错误 .当 λ=μ=0时 ,λa=μb,此时 ,a与 b可以是任意向量 .答案解析关闭C -18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2平面向量的 线 性运算 例 2(1)设 D为 △ABC所在平面内一点 , ,则 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)设 D,E,F分 别为 △ABC的三 边 BC,CA,AB的中点 ,则=( )答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :在几何图形中 ,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么 ?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系 ?解题心得 :1.进行向量运算时 ,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中 ,充分利用相等向量、相反向量 ,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质 ,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算 ,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 .-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点 ,O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点 ,则 等于 () 答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3向量共 线 定理及其 应 用 例 3设 两个非零向量 a与 b不共 线 .(1)若 求 证 :A,B,D三点共 线 ;(2)试 确定 实 数 k,使 ka+b和 a+kb共 线 .答案答案关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :如何用向量的方法证明三点共线 ?解题心得 :1.证明三点共线问题 ,可用向量共线解决 ,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 ,当两向量共线且有公共点时 ,才能得出三点共线 .2.向量 a,b共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0成立 ;若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0时成立 ,则向量 a,b不共线 .-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)已知向量 a,b不共线 ,且 c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若 c与 d同向 ,则实 数 λ的 值为 .答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)设 a,b是两个不共 线 向量 , .若A,B,D三点共 线 ,则实 数 p= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(3)已知 a,b是不共 线 的向量 , ,当A,B,C三点共 线时 ,λ,μ满 足的条件 为 .答案解析解析关闭答案解析关闭-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.平面向量的重要 结论 :(1)若存在非零 实 数 λ,使得 ,则A,B,C三点共 线 .(2)相等向量具有 传递 性 ,非零向量的平行具有 传递 性 ;(3)向量可以平移 ,平移后的向量与原向量是相等向量 ,平行向量与起点无关 .2.用已知向量表示另外一些向量是用向量解 题 的基本功 .要在所表达的 图 形上多思考 ,多 联 系相关的几何 图 形 ,比如平行四 边 形、菱形、三角形等 ,可多 记忆 一些有关的 结论 .3.向量共 线 的充要条件常用来 证 明平面几何中的三点共 线 和两条直 线 平行等 问题 .但向量平行与直 线 平行是有区 别 的 ,直 线 平行不包括重合的情形 .证 明三点共 线 或两直 线 平行 时 ,可先探索有关向量 满 足 b=λa(a≠0),再看两个向量有无公共点 ,有 则 共 线 ,无 则 平行 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.两向量起点相同 ,终 点相同 ,则 两向量相等 ;但两相等向量 ,不一定有相同的起点和 终 点 .2.零向量和 单 位向量是两个特殊的向量 .它 们 的模确定 ,但方向不确定 .3.注意区分向量共 线 与向量所在的直 线 平行 间 的关系 .向量 是共 线 向量 ,但 A,B,C,D四点不一定在一条直 线 上 .4.向量共 线 的充要条件中要注意 “a≠0”,否 则 λ可能不存在 ,也可能有无数个 .-30-易错警示 —— 都是零向量 “惹的祸 ”典例 (1)下列命 题 正确的是 . ① 向量 a,b共 线 的充要条件是有且 仅 有一个 实 数 λ,使 b=λa;② 在 △ABC中 ,③ 不等式 ||a|-|b||≤ |a+b|≤ |a|+|b|中两个等号不可能同 时 成立 ;④ 只有方向相同或相反的向量是平行向量 ;⑤ 若向量 a,b不共 线 ,则 向量 a+b与向量 a-b必不共 线 .(2)下列叙述 错误 的是 . ① 若非零向量 a与 b方向相同或相反 ,则 a+b与 a,b之一的方向相同;② |a|+|b|=|a+b|⇔a与 b方向相同 ;③④ 若 λa=λb,则 a=b.5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示-2-考纲要求 :1.了解平面向量的基本定理及其意义 . 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 . 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 . 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 .-3-1.平面向量基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量 ,那么 对 于 这 一平面内的任一向量 a,存在唯一一 对实 数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,把不共 线 的向量 e1,e2叫作表示 这 一平面内所有向量的一 组 基底 .2.平面向量的坐标表示(1)向量的坐 标 表示 :在平面直角坐 标 系中 ,分 别 取与 x轴 、 y轴 方向相同的两个 单位向量 i,j作 为 基底 ,对 于平面内的任意向量 a,有且只有一 对实 数 x,y使得 a=xi+yj,则 把 实 数 对 (x,y)叫作向量 a的坐 标,a=(x,y)叫作向量 a的坐 标 表示 .(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1).-4-3.平面向量线性运算的坐标表示(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2);(2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a-b=(x1-x2,y1-y2);(3)若 a=(x,y),λ∈ R,则 λa=(λx,λy).4.向量平行的坐标表示设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b⇔x1y2-x2y1=0.-5-2 3 41 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作 为 一 组 基底 . ( )(2)平面向量不 论经过 怎 样 的平移 变换 之后其坐 标 不 变 . ( )(3)若 a,b不共线 ,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2. ( )(3) 在同一 组 基底下 ,同一向量的表示形式是唯一的 . ( )(4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b的充要条件可表示成 ( )× √ √ √ × -6-2 3 41 52.(2015课标全国 Ⅰ ,文 2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则 向量 =( )A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案解析解析关闭答案解析关闭-7-2 3 41 53.(2015四川 ,文 2)设 向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共 线 ,则实 数 x=( )A.2 B.3 C.4 D.6答案解析解析关闭由 a=(2,4),b=(x,6)共线 ,可得 4x=12,即 x=3.答案解析关闭B-8-2 3 41 54.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若 A,B,C三点共 线 ,则 λ= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-9-2 3 41 55.(2015江苏 ,6)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈ R),则 m-n的 值为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-10-2 3 41 5自 测 点 评1.能作为基底的两个向量必须是不共线的 .2.向量的坐标与点的坐标不同 ,向量平移后 ,其起点和终点的坐标都变了 ,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标 ,故平移后坐标不变 .3. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥ b的充要条件不能表示成 ,因为 x2,y2有可能等于 0,应表示为 x1y2-x2y1=0.-11-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1平面向量基本定理的 应 用 例 1(1)如果 e1,e2是平面 α内一 组 不共 线 的向量 ,那么下列四 组 向量中 ,不能作 为 平面内所有向量的一 组 基底的是 ( )A.e1与 e1+e2 B.e1-2e2与 e1+2e2C.e1+e2与 e1-e2 D.e1+3e2与 2e1+6e2答案解析解析关闭答案解析关闭-12-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)在平行四 边 形 ABCD中 ,AC与 BD交于点 O,E是 线 段 OD的中点,AE的延 长线 与 CD交于点 F.若 =( )答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(3)设 e1,e2是平面内一 组 基向量 ,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则 向量e1+e2可以表示 为 另一 组 基向量 a,b的 线 性 组 合 ,即 e1+e2= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么 ?解题心得 :1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 .2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是 :先选择一组基底 ,然后通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件 ,把相关向量用这一组基底表示出来 .-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)如图所示 ,在四边形 ABCD中 ,AC和 BD相交于点O,设 = (用向量 a和 b表示 ). 答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2平面向量的坐 标 运算 例 2已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 ,且(1)求 3a+b-3c;(2)求 满 足 a=mb+nc的 实 数 m,n;(3)求 M,N的坐 标 及向量 的坐 标 .答案答案关闭-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么 ?解题心得 :向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的 .解题过程中 ,常利用向量相等则其坐标相同这一原则 ,通过列方程 (组 )来进行求解 .-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)在平行四边形 ABCD中 ,AC为一条对角线 ,若 =( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)(2015昆明一中摸底 )已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若 =-3a,则 点 N的坐 标为 ( )A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)答案解析解析关闭答案解析关闭-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3平面向量共 线 的坐 标 表示 例 3平面内 给 定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请 解答下列问题 :(1)求 满 足 a=mb+nc的 实 数 m,n的 值 ;(2)若 (a+kc)∥ (2b-a),求 实 数 k的 值 ;(3)若 d满 足 (d-c)∥ (a+b),且 |d-c|= ,求 d.答案答案关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :向量共线有哪几种表示形式 ?两向量共线的充要条件有哪些作用 ?解题心得 :1.向量共线的两种表示形式设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),① a∥ b⇒a=λb(b≠0);② a∥ b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式 ,应视题目的具体条件而定 ,一般情况涉及坐标的应用 ② .2.两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线 (平行 ),可解决三点共线的问题 ;另外 ,利用两向量共线的充要条件可以列出方程 (组 ),求出未知数的值 .-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)(2015四川攀枝花模拟 )已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ为实 数 ,(a+λb)∥ c,则 λ= ( ) 答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)(2015郑州模拟 )已知向量 ,且A,B,C三点共 线 ,则 k的 值 是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.只要两个向量不共 线 ,就可以作 为 平面的一 组 基底 ,对 基底的选 取不唯一 ,平面内任意向量 a都可被 这 个平面的一 组 基底 e1,e2线性表示 ,且在基底确定后 ,这样 的表示是唯一的 .2.平面向量基本定理的本 质 是运用向量加法的平行四 边 形法 则 ,将向量 进 行分解 .3.向量的坐 标 表示的本 质 是向量的代数表示 ,其中坐 标 运算法 则是运算的关 键 ,通 过 坐 标 运算可将一些几何 问题转 化 为 代数 问题处 理 ,从而用向量可以解决平面解析几何中的 许 多相关 问题 .4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形 结 合思想的运用 .-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混5.三个 结论 —— 向量中必 须 掌握的三个 结论 :(1)若 a与 b不共 线 ,λa+μb=0,则 λ=μ=0;(2)已知 (λ,μ为 常数 ),则 A,B,C三点共 线 的充要条件是 λ+μ=1.(3)平面向量的基底中一定不含零向量 .-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.要注意点的坐 标 和向量的坐 标 之 间 的关系 ,向量的 终 点坐 标减去起点坐 标 就是向量坐 标 ,当向量的起点是原点 时 ,其 终 点坐 标就是向量坐 标 .2.若 a,b为 非零向量 ,当 a∥ b时 ,a,b的方向相同或相反 ,求解 时 容易忽 视 其中一种情形而 导 致出 错 .5.3 平面向量的数量积-2-考纲要求 :1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3.掌握数量积的坐标表达式 ,会进行平面向量数量积的运算 . 4.能运用数量积表示两个向量的夹角 ,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .-3-1.两向量的夹角与垂直(1)夹 角 :已知两个非零向量 a和 b,如 图 ,作 ,则∠ AOB=θ(0°≤ θ≤ 180° )叫作向量 a与 b的 夹 角 .① 范 围 :向量 a与 b的 夹 角的范 围 是 0°≤ θ≤ 180° .② 当 θ=0° 时 ,a与 b同向 .③ 当 θ=180° 时 ,a与 b反向 .(2)垂直 :如果 a与 b的 夹 角是 90° ,则 称 a与 b垂直 ,记 作 a⊥ b.规 定零向量可与任一向量垂直 .-4-2.投影的概念 :|b|cos θ叫作向量 b在 a方向上的投影 .3.向量的数量积(1)定 义 :已知两个向量 a和 b,它 们 的 夹 角 为 θ,则 数量 |a||b|cos θ叫作 a与 b的数量 积 (或内 积 ),记 作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ,由定 义 可知零向量与任一向量的数量 积为 0,即 0·a=0.(2)数量 积 的几何意 义 :数量 积 a·b等于 a的 长 度 |a|与 b在 a的方向上的射影 |b|cos θ的乘 积 ,或 b的 长 度 |b|与 a在 b方向上的射影 |a|cos θ的乘 积 .-5--6-5.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交 换 律 );(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结 合律 );(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律 ).-7-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)向量在另一个向量方向上的投影也是向量 . ( )(2)若 a·b0,则 a和 b的 夹 角 为锐 角 ;若 a·b0,所以 a·b0是两个向量 a,b夹角为锐角的必要而不充分条件 ;a·b=0也不能推出 a=0或 b=0,因为 a·b=0时 ,有可能 a⊥ b.3.在实数运算中 ,若 a,b∈ R,则 |ab|=|a|·|b|;若 a·b=a·c(a≠0),则 b=c.但对于向量 a,b却有 |a·b|≤ |a|·|b|;若 a·b=a·c(a≠0),则 b=c不一定成立 ,原因是 a·b=|a||b|cos θ,当 cos θ=0时 ,b与 c不一定相等 .4.向量数量积的运算不满足乘法结合律 ,即 (a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于 (a·b)·c表示一个与 c共线的向量 ,而 a·(b·c)表示一个与 a共线的向量 ,而 c与 a不一定共线 .-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1平面向量数量 积 的运算 例 1(1)(2015云南统一检测 )设 向量 a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与 2a-b平行 ,那么 a与 b的数量 积 等于 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)已知正方形 ABCD的 边长为 1,点 E是 AB边 上的 动 点 ,则 的 值为 ; 的最大 值为 .答案 :1 1 解析 : (方法一 )如图 , -15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :求向量数量积的运算有几种形式 ?解题心得 :1.求两个向量的数量积有三种方法 :(1)当易知向量的模和夹角时 ,利用定义求解 ,即a·b=|a||b|cos;(2)当已知向量的坐标时 ,可利用坐标法求解 ,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义 .数量积 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的投影 |b|cos θ的乘积 .2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 ,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算 .但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 .-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)设向量 a,b满足 |a+b|= ,|a-b|= ,则 a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a·b=( )A.2 B.3 C.4 D.5答案解析解析关闭∵ a=(1,2),2a-b=(3,1),∴ b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).∴ a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.答案解析关闭D-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(3)已知两个 单 位向量 e1,e2的 夹 角 为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2平面向量的模及 应 用 答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)(2015湖南 ,文 8)已知点 A,B,C在 圆 x2+y2=1上运 动 ,且 AB⊥ BC,若点 P的坐 标为 (2,0),则 的最大 值为 ( )A.6 B.7 C.8 D.9答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :求向量的模及求向量模的最值有哪些方法 ?解题心得 :1.求向量的模的方法 :(1)公式法 ,利用 |a|= 及 (a± b)2=|a|2± 2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算 ;(2)几何法 ,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 ,再利用余弦定理等方法求解 .2.求向量模的最值 (或范围 )的方法 :(1)求函数最值法 ,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求 ;(2)数形结合法 ,弄清所求的模表示的几何意义 ,结合动点表示的图形求解 .-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)已知向量 a,b均为单位向量 ,它们的夹角为 ,则|a+b|=( ) 答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3平面向量的 夹 角与平面向量的垂直 答案解析解析关闭答案解析关闭例 3(1)(2015重庆 ,文 7)已知非零向量 a,b满 足 |b|=4|a|,且a⊥ (2a+b),则 a与 b的 夹 角 为 ( )-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈ R),且 c与 a的 夹 角等于 c与 b的 夹 角 ,则 m= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系 ?两向量的垂直与其数量积有何关系 ?解题心得 :1.若 a,b为非零向量 , (夹角公式),a⊥ b⇔a·b=0.2.数量积大于 0说明不共线的两向量的夹角为锐角 ,数量积等于 0说明不共线的两向量的夹角为直角 ,数量积小于 0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)若平面向量 a与平面向量 b的夹角等于 ,|a|=2,|b|=3,则 2a-b与 a+2b的夹角的余弦值等于 ( ) 答案解析解析关闭答案解析关闭-30-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭5.4 平面向量的应用-2-考纲要求 :1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 . 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 .-3-1.向量在平面几何中的应用(1)证 明 线 段平行或点共 线问题 ,常用共 线 向量定理:a∥ b(b≠0)⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0 . (2)证 明垂直 问题 ,常用数量 积 的运算性 质a⊥ b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0 (a,b均 为 非零向量 ). (3)求 夹 角 问题 ,利用 夹 角公式 (θ为 a与 b的 夹 角 ).2.向量在三角函数中的应用对 于向量与三角函数 结 合的 题 目 ,其解 题 思路是用向量运算 进行 转 化 ,化 归为 三角函数 问题 或三角恒等 变 形等 问题 或解三角形问题 .-4-3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的 应 用 ,主要是以向量的数量 积给 出一种条件 ,通 过 向量 转 化 ,进 而利用直 线 和 圆锥 曲 线 的位置关系等相关知识 来解答 .4.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量 ,它 们 的分解、合成与向量的加减法相似 ,因此可以用向量的知 识 来解决某些物理 问题 ;物理学中的功是一个 标 量 ,是力 F与位移 s的数量 积 ,即 W=|F||s|cos θ (θ为 F与 s的 夹 角 ). -5-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(3)在四 边 形 ABCD中 , ,则 四 边 形 ABCD是矩形 . ( )(4)解析几何中的坐 标 、直 线 平行、垂直、 长 度等 问题 都可以用向量解决 . ( )(5)实现 平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之 间 的 转化的主要手段是向量的坐 标 运算 . ( )√ × × √ √ -6-1 2 3 4 52.若 ,则 △ABC必定是 ( )A.锐 角三角形 B.直角三角形C.钝 角三角形 D.等腰直角三角形答案解析解析关闭答案解析关闭-7-1 2 3 4 53.设 x,y∈ R,i,j是直角坐 标 平面内 x,y轴 正方向上的 单 位向量 ,若a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j,且 |a|+|b|=6,则 点 M(x,y)的 轨 迹是 ( )A.椭圆 B.双曲 线 C.线 段 D.射 线答案解析解析关闭答案解析关闭-8-1 2 3 4 54.平面上三个力 F1,F2,F3作用于一点且 处 于平衡状 态 .已知 |F1|=1 N,|F2|=2 N,F1,F2成 120° 角 ,则 F1与 F3所成的角 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-9-1 2 3 4 55.平面上有三个点 A(-2,y),B ,C(x,y),若 ,则动 点 C的 轨 迹方程 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-10-1 2 3 4 5自 测 点 评1.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观 ,向量本身是一个数形结合的产物 .在利用向量解决问题时 ,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合 .2.要注意变换思维方式 ,能从不同角度看问题 ,要善于应用向量的有关性质解题 .-11-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1向量在平面几何中的 应 用 例 1(1)在 △ABC中 , ,则 AB边 的 长 度 为 ( )A.1 B.3 C.5 D.9答案解析解析关闭答案解析关闭-12-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :用平面向量解决平面几何问题一般有哪些方法 ?解题心得 :用平面向量解决平面几何问题时 ,有两种方法 :基向量法和坐标系法 ,建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系 ,或使较多的点落在坐标轴上 ,这样便于迅速解题 .-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)(2015安徽六安模拟 )已知非零向量 满足 ,则 △ABC为 ( ) A.等 边 三角形B.直角三角形C.等腰非等 边 三角形D.三 边 均不相等的三角形答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)在平行四 边 形 ABCD中 ,AD=1,∠ BAD=60° ,E为 CD的中点 .若 ,则 AB的 长为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2向量在三角函数中的 应 用 -18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么 ?解题心得 :利用向量求解三角函数问题的一般思路 :(1)求三角函数值 ,一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式 .利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解 .(2)求三角函数性质问题 ,通常是利用向量转化后化归为二次函数或一个角的一个三角函数 ,利用角的范围求解 .(3)求角时通常由向量转化为三角函数问题 ,先求值再求角 .(4)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想 ,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 .-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3向量在解析几何中的 应 用 例 3(2015课标全国 Ⅰ ,文 20)已知 过 点 A(0,1)且斜率 为 k的直 线 l与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点 .(1)求 k的取 值 范 围 ;(2)若 ,其中 O为 坐 标 原点 ,求 |MN|.-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :在向量与解析几何相结合的题目中 ,向量起到怎样的作用 ?解题心得 :向量在解析几何中的作用 :(1)载体作用 :向量在解析几何问题中出现 ,多用于 “包装 ”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 “向量外衣 ”,导出曲线上点的坐标之间的关系 ,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 .(2)工具作用 :利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题 .特别地 ,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法 .-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P为该平面上一动点 ,作 PQ⊥ l,垂足 为 Q,且 (1)求 动 点 P的 轨 迹方程 ;(2)若 EF为圆 N:x2+(y-1)2=1的任一条直径 ,求 的最 值 .-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.证 明直 线 平行、垂直、 线 段相等等 问题 的基本方法有 :2.解决平面向量与三角函数的交 汇问题 ,关 键 是准确利用向量的坐 标 运算化 简 已知条件 ,将其 转 化 为 三角函数中的有关 问题 解决 .3.解决向量与解析几何的 综 合 问题 ,可将向量用点的坐 标 表示 ,利用向量运算及性 质转 化 为 解析几何 问题 .4.向量中有关最 值问题 的求解思路 :一是 “形化 ”,利用向量的几何意 义 将 问题转 化 为 平面几何中的最 值 或范 围问题 ;二是 “数化 ”,利用平面向量的坐 标 运算 ,把 问题转 化 为 代数中的函数最 值 、不等式的解集、方程有解等 问题 .-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.注意向量 夹 角和三角形内角的关系 ,两者并不等价 .2.注意向量共 线 和两直 线 平行的关系 .-29--30-答题模板 :利用向量解三角形问题的一般步骤为 :第一步 :分析题中条件 ,观察题中向量和三角形的联系 ;第二步 :脱去 “向量外衣 ”,利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系 ;第三步 :利用正弦定理或余弦定理解三角形 ;第四步 :反思回顾 ,检查所得结果是否符合题意 .
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