高优指导2017版高考数学一轮复习 第1-13章 文（考点规范练+单元质检）（打包74套）北师大版.zip

1考点规范练 1 集合的概念与运算考点规范练 A 册第 2 页 基础巩固组1.(2015 河南洛阳统考)已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈ A,y∈ A}中元素的个数为( )A.3 B.6 C.8 D.9答案:D解析:集合 B 中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共 9 个 .2.数集{ x2+x,2x}中, x 的取值范围是( )A.(-∞ ,+∞ )B.(-∞ ,0)∪(0, +∞ )C.(-∞ ,1)∪(1, +∞ )D.(-∞ ,0)∪(0,1)∪(1, +∞ )答案:D解析:根据题意,由集合中元素的互异性,可得集合{ x2+x,2x}中, x2+x≠2 x,即 x≠0, x≠1,则 x 的取值范围是( -∞ ,0)∪(0,1)∪(1, +∞ ),故选 D.3.设集合 A={4,5,6,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪ B,则集合∁ U(A∩ B)中的元素共有( )A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个答案:B解析:由题意,得 U=A∪ B={3,4,5,6,7,8,9},A∩ B={4,7,9},所以∁ U(A∩ B)={3,5,6,8}.4.(2015 山东济宁二模)已知集合 A={x∈R ||x-1|≤2}, B={x∈R |x2≤4},则 A∩ B=( )A.(-1,2) B.[-1,2]C.(0,2] D.[-1,3]〚导学号 32470400〛答案:B解析:由已知,得 A={x|-1≤ x≤3}, B={x|-2≤ x≤2},则 A∩ B={x|-1≤ x≤2},故选 B.5.已知集合 A={0,1},B={y|y2=1-x2,x∈ A},则 A∪ B 的子集的个数为( )A.4 B.7 C.8 D.16〚导学号 32470401〛答案:C解析:由题知,当 x=0 时,可得 y=±1;当 x=1 时,可得 y=0,故 B={-1,0,1},所以 A∪ B={0,1,-1},其子集的个数是 23=8.6.(2015 北京,文 1)若集合 A={x|-50} B.{x|-3-1},则 M∩(∁ UN)={x|-10},则∁ UM=( )A.{x|01} D.{x|x≤0 或 x≥1}答案:B解析:由题意 M=(-∞ ,0)∪(1, +∞ ),故∁ UM=[0,1].10.已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩ B= . 答案:{3,5,13}解析:由已知条件,结合交集运算的定义,可得 A∩ B={3,5,13}.11.集合 A={x∈R ||x-2|≤5}中的最小整数为 . 答案: -3解析: ∵|x- 2|≤5, ∴- 5≤ x-2≤5,∴- 3≤ x≤7, ∴ 集合 A 中的最小整数为 -3.12.已知集合 A={x|01},P=,则∁ UP=( )A.B.C.(0,+∞ )D.(-∞ ,0]∪〚导学号 32470403〛答案:A解析:由于 x1,故 y0,即 U={y|y0},P=,所以∁ UP=.16.(2015 合肥一质检)已知集合 A={x|1≤ x≤2}, B={x|x2-1≤0},则 A∩ B=( )A.{x|-1x1} B.{x|-1x2}C.{1} D.⌀答案:C解析:由已知,得 A={x|1≤ x≤2}, B={x|-1≤ x≤1},则 A∩ B={x|x=1},故选 C.17.(2015 西安一模)设集合 A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足 M⊆(A∩ B)的集合 M 的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3〚导学号 32470404〛答案:C解析:由题中集合可知,集合 A 表示直线 x+y=1 上的点,集合 B 表示直线 x-y=3 上的点,联立可得A∩ B={(2,-1)},M 为 A∩ B 的子集,可知 M 可能为{(2, -1)},⌀,所以满足 M⊆(A∩ B)的集合 M 的个数是2,故选 C.318.已知集合 A={x|-2≤ x≤7}, B={x|m+1x2m-1},若 B⊆A,则实数 m 的取值范围是 .〚导学号 32470405〛 答案:( -∞ ,4]解析:当 B=⌀时,满足 B⊆A,此时有 m+1≥2 m-1,即 m≤2;当 B≠⌀时,要使 B⊆A,则有解得 2m≤4 .综上知 m≤4 .1考点规范练 2 命题及其关系、充要条件考点规范练 B 册第 2 页 基础巩固组1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2y,则 x|y|”的逆命题B.命题“若 x1,则 x21”的否命题C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题D.命题“若 x20,则 x1”的逆否命题答案:A解析:对于 A,其逆命题是:若 x|y|,则 xy,是真命题,这是因为 x|y|≥ y,必有 xy;对于 B,否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题,如 x=-5,x2=251;对于 C,其否命题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于x=-2 时, x2+x-2=0,所以是假命题;对于 D,若 x20,则 x≠0,不一定有 x1,因此原命题的逆否命题是假命题 .4.(2015 安徽,文 3)设 p:x1”是“ x31”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由 x1 能推得 x31,充分性成立 .由 x31 得( x-1)(x2+x+1)0,∵x 2+x+10 恒成立,∴x 1,∴ “x1”是“ x31”的充要条件 .故选 C.8.命题“若 x21 或 x1D.若 x≥1 或 x≤ -1,则 x2≥1答案:D解析:“若 p,则 q”的逆否命题是“若￿ q,则￿ p”.从而 D 项正确 .9.(2015 四川,文 4)设 a,b 为正实数,则“ ab1”是“log 2alog2b0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为函数 y=log2x 在(0, +∞ )上是增函数,故 ab1⇒log2alog2blog21=0,且 log2alog2b0⇒ab1.故“ ab1”是“log 2alog2b0”的充要条件 .10.“直线 x-y-k=0 与圆( x-1)2+y2=2 有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A.-13答案:C解析:“直线 x-y-k=0 与圆( x-1)2+y2=2 有两个不同交点”等价于,解得 k∈( -1,3).四个选项中只有(0,3)是( -1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是 0b,则 a2b2”的否命题;② “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;③ “若 x20,则 x20”的否命题是( )A.若 x0,则 x2≤0B.若 x20,则 x0C.若 x≤0,则 x2≤0D.若 x2≤0,则 x≤0答案:C解析:命题的条件的否定为 x≤0,结论的否定为 x2≤0,则该命题的否命题是“若 x≤0,则 x2≤0”,故选 C.15.下列命题中是真命题的是( )① “若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题;② “正多边形都相似”的逆命题;③ “若 m0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题;④ “若 x-是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 .A.①②③④ B.①③④C.②③④ D.①④ 〚导学号 32470702〛答案:B解析:对于 ① ,其否命题是“若 x2+y2=0,则 x,y 全为零”,这显然是正确的,故 ① 为真命题;对于 ② ,其逆命题是“若两多边形相似,它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故 ② 为假命题;对于③ ,Δ =1+4m,当 m0 时,Δ 0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即 ③ 为真命题;对于 ④ ,原命题为真,故逆否命题也为真 .因此是真命题的是 ①③④.16.设 U 为全集, A,B 是集合,则“存在集合 C,使得 A⊆C,B⊆∁UC”是“ A∩ B=⌀”的( )A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件〚导学号 32470703〛答案:C解析:依题意,若 A⊆C,则∁ UC⊆∁UA,当 B⊆∁UC,可得 A∩ B=⌀;若 A∩ B=⌀,不妨令 C=A,显然满足A⊆C,B⊆∁UC,故满足条件的集合 C 是存在的 .17.(2014 课标全国 Ⅱ ,文 3)函数 f(x)在 x=x0处导数存在 .若 p:f'(x0)=0;q:x=x0是 f(x)的极值点,则( )A.p 是 q 的充分必要条件B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件〚导学号 32470704〛答案:C解析:由于 q⇒p,则 p 是 q 的必要条件;而 p q,如 f(x)=x3在 x=0 处 f'(0)=0,而 x=0 不是极值点,故选 C.18.已知条件 p:x∈ A,且 A={x|a-1xa+1},条件 q:x∈ B,且 B={x|y=}.若 p 是 q 的充分条件,则实数a 的取值范围是 .〚导学号 32470705〛 答案:{ a|a≤0,或 a≥3}解析:易得 B={x|x≤1 或 x≥2},且 A={x|a-1xa+1},∵p 是 q 的充分条件, ∴A ⊆B,∴a+ 1≤1 或 a-1≥2, ∴a ≤0 或 a≥3 .即所求实数 a 的取值范围是{ a|a≤0,或 a≥3} .1考点规范练 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点规范练 A 册第 3 页 基础巩固组1.(2015 山东潍坊模拟)下列命题中的假命题是( )A.任意 x∈R, 0 B.任意 x∈N, x20C.存在 x∈R,ln x0 有解”等价于( )A.存在 x0∈R,使得 f(x0)0 成立B.存在 x0∈R,使得 f(x0)≤0 成立C.任意 x∈R, f(x)0 成立D.任意 x∈R, f(x)≤0 成立答案:A解析:对 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)0 有解,即不等式 f(x)0 在实数范围内有解,所以与命题“存在 x0∈R,使得 f(x0)0 成立”等价 .4.下列命题中,正确的是( )A.命题“任意 x∈R, x2-x≤0”的否定是“存在 x0∈R, -x0≥0”B.命题“ p 且 q 为真”是命题“ p 或 q 为真”的必要不充分条件C.“若 am2≤ bm2,则 a≤ b”的否命题为真D.若实数 x,y∈[ -1,1],则满足 x2+y2≥1 的概率为〚导学号 32470406〛答案:C解析:A 中否定不能有等号;B 中命题“ p 且 q 为真”是命题“ p 或 q 为真”的充分不必要条件;D 中概率计算错误,故选 C.5.如果命题“非 p 或非 q”是假命题,给出下列结论:① 命题“ p 且 q”是真命题; ② 命题“ p 且 q”是假命题; ③ 命题“ p 或 q”是真命题; ④ 命题“ p 或q”是假命题 .其中正确的结论是( )A.①③ B.②④ C.②③ D.①④答案:A解析:“非 p 或非 q”是假命题,则“ p 且 q”为真命题,“ p 或 q”为真命题,从而 ①③ 正确 .6.若命题“存在 x0∈R, +(a-1)x0+10,即 a2-2a-30,解得 a3,故选 D.7.(2015 湖北,文 3)命题“存在 x0∈(0, +∞ ),ln x0=x0-1”的否定是( )A.存在 x0∈(0, +∞ ),ln x0≠ x0-1B.存在 x0∉(0,+∞ ),ln x0=x0-1C.任意 x∈(0, +∞ ),ln x≠ x-12D.任意 x∉(0,+∞ ),ln x=x-1答案:C解析:“存在 x0∈ M,p(x)”的否定是“任意 x∈ M,￿ p(x)”.故选 C.8.下列命题的否定为假命题的是( )A.存在 x0∈R, +2x0+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被 3 整除的整数都是奇数D.任意 x∈R,sin 2x+cos2x=1答案:D解析:选项 A 中,命题的否定是“任意 x∈R, x2+2x+20”.由于 x2+2x+2=(x+1)2+10 恒成立,故为真命题;选项 B,C 中的命题都是假命题,故其否定为真命题;而选项 D 中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选 D.9.(2015 河北唐山统考)已知命题 p:任意 x∈R, x31,∴ 命题 p 为假命题;若 sin x-cos x=sin=-,则 x-+2kπ( k∈Z),即x=+2kπ( k∈Z), ∴ 命题 q 为真命题, ∴ (￿ p)且 q 为真命题 .10.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b0 的解集是,命题 q:关于 x 的不等式( x-a)(x-b)0,且 Δ =16-4(a+2)(a-1)≤0,解得 a≥2 .12.下列结论:① 若命题 p:存在 x0∈R,tan x0=2;命题 q:任意 x∈R, x2-x+0.则命题“ p 且(￿ q)”是假命题;② 已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥ l2的充要条件是 =-3;③ “设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a2+b24”的否命题为:“设 a,b∈R,若 ab4”的否命题为:“设a,b∈R,若 ab03B.任意 x0,有 ln2x+ln x+10C.存在 x0∈R,当 xx0时,恒有 1.1x0,∴x 3-1+x2=0 在(0,1)内有解 .∴ 存在 x∈R, x3=1-x2,即命题 q 为真命题 .由此可知只有(￿ p)且 q 为真命题 .故选 B.16.不等式组的解集记为 D,有下面四个命题:p1:任意( x,y)∈ D,x+2y≥ -2,p2:存在( x,y)∈ D,x+2y≥2,p3:任意( x,y)∈ D,x+2y≤3, p4:存在( x,y)∈ D,x+2y≤ -1,其中的真命题是( )A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3答案:B解析:画出可行域如图阴影部分所示 .作直线 l0:y=-x,平移 l0,当直线经过 A(2,-1)时, x+2y 取最小值,此时( x+2y)min=0.故 p1:任意(x,y)∈ D,x+2y≥ -2 为真 .p2:存在( x,y)∈ D,x+2y≥2 为真 .故选 B.17.(2015 山东淄博实验中学模拟)设命题 p:任意 a0,a≠1,函数 f(x)=ax-x-a 有零点,则￿ p: .答案:存在 a0,a≠1,函数 f(x)=ax-x-a 没有零点解析:全称命题的否定,把全称量词写成存在量词,同时把结论否定 .故￿ p:存在 a0,a≠1,函数 f(x)=ax-x-a 没有零点 .18.已知命题 p:方程 x2-mx+1=0 有实数解,命题 q:x2-2x+m0 对任意 x 恒成立 .若命题 q 或( p 且 q)为真,￿ p 为真,则实数 m 的取值范围是 .〚导学号 32470411〛 答案:(1,2)解析:由于￿ p 真,所以 p 假,则 p 且 q 假 .又 q 或( p 且 q)真,故 q 真,即命题 p 假、 q 真 .命题 p 假,即方程 x2-mx+1=0 无实数解,此时 m2-41.所以所求的 m 的取值范围是 1m2.1单元质检一 集合与常用逻辑用语(时间:45 分钟 满分:100 分)单元质检卷第 2页 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 6分,共 72分)1.设全集 U=R,集合 M={x|x1},P={x|x21},则下列关系中正确的是( )A.M=P B.P⊆MC.M⊆P D.(∁UM)∩ P=⌀答案:C解析: ∵x 21,∴x 1或 x1 B.任意 x∈R,cos x1C.存在 x0∈R,cos x0≥1 D.任意 x∈R,cos x≥1答案:A解析:由全称命题的否定得,￿ p:存在 x0∈R,cos x01,故选 A.7.命题“若 α= ,则 sin α= ”的逆否命题是( )A.若 α ≠,则 sin α ≠ B.若 α= ,则 sin α ≠C.若 sin α ≠,则 α ≠ D.若 sin α ≠,则 α=答案:C解析:根据互为逆否命题的特征,即“若 p,则 q”的逆否命题为“若￿ q,则￿ p”,知 C正确 .8.(2015杭州质量检测)设直线 l1:2x-my=1,l2:(m-1)x-y=1,则“ m=2”是“ l1∥ l2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2答案:A解析:因为当 l1∥ l2时, -2+m(m-1)=0,解得 m=2或 m=-1,所以“ m=2”是“ l1∥ l2”的充分不必要条件,故选 A.9.下列命题中的真命题是( )A.存在 x∈R,sin x+cos x=B.任意 x∈(0, +∞ ),exx+1C.存在 x∈( -∞ ,0),2xcos x答案:B解析:任意 x∈R,sin x+cos x≤,任意 x∈( -∞ ,0),2x3x,sin=cos,故 A,C,D都是假命题 .令 f(x)=ex-x-1,则 f'(x)=ex-10对于 x∈(0, +∞ )恒成立,故 f(x)在(0, +∞ )上递增,则 f(x)f(0)=0,故 exx+1,B是真命题 .10.(2015贵阳一模)下列命题中正确的是( )A.存在 x0∈R, +2x0+3=0B.任意 x∈N, x3x2C.x1是 x21的充分不必要条件D.若 ab,则 a2b2答案:C解析:因为 +2x0+3=(x0+1)2+20,则选项 A错;因为 x3-x2=x2(x-1)不一定大于 0,则选项 B不正确;若x1,则 x21成立,反之,不成立,选项 C正确;取 a=1,b=-2,满足 ab,但 a2b2不成立,选项 D错,故选C.11.(2015广东汕头一模)已知命题 p:存在 x∈R, x-2lg x,命题 q:任意 x∈R,e x1,则( )A.命题 p或 q是假命题B.命题 p且 q是真命题C.命题 p且(￿ q)是真命题D.命题 p或(￿ q)是假命题答案:C解析:因为命题 p:存在 x∈R, x-2lg x是真命题,而命题 q:任意 x∈R,e x1是假命题,由复合命题的真值表可知命题 p且(￿ q)是真命题,选 C.12.(2015成都一诊)下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1”B.“x=-1”是“ x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“存在 x∈R 使得 x2+x+10”的否定￿ p为 . 答案:任意 x∈R, x2-x+1≤0解析:特称命题的否定是全称命题 .命题 p:“存在 x0∈R, -x0+10”的否定￿ p为“任意 x∈R, x2-x+1≤0” .14.已知集合 A=,集合 B={x∈R |(x-m)(x-2)0,f(x0)0,f(x0)0,所以⇒ m-2,即 m的取值范围是( -∞ ,-2).16.设命题 p:方程 x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题 q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根 .则使p或 q为真, p且 q为假的实数 m的取值范围是 .〚导学号 32470563〛 答案:( -∞ ,-2]∪[ -1,3)解析:设方程 x2+2mx+1=0的两根分别为 x1,x2,由得 m-1,所以命题 p为真时, m-1.由方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知 Δ 2=4(m-2)2-4(-3m+10)0,得 -2m3,所以命题 q为真时, -2m3.由 p或 q为真, p且 q为假,可知命题 p,q一真一假,当 p真 q假时,此时 m≤ -2;当 p假 q真时,此时 -1≤ m3,所以所求实数 m的取值范围是 m≤ -2或 -1≤ m3.1考点规范练 31 不等关系与一元二次不等式考点规范练 A册第 24页 基础巩固组1.(2015南昌模拟)如果 ab,则下列各式正确的是( )A.alg xblg x B.ax2bx2C.a2b2 D.a·2xb·2x答案:D解析:A 项当 lg x=0时不满足;B 项当 x2=0时不满足;C 项当 a=1,b=-2时不满足;D 项,因为 2x0,所以 a·2xb·2x.故选 D.2.设 a,b∈[0, +∞ ),A=,B=,则 A,B的大小关系是( )A.A≤ B B.A≥ B C.AB答案:B解析:由题意得, B2-A2=-2≤0,且 A≥0, B≥0,可得 A≥ B,故选 B.3.(2015西安检测)设 α ∈, β ∈,那么 2α- 的取值范围是( )A. B. C.(0,π) D.答案:D解析:由题设得 0ln(y2+1)C.sin xsin y D.x3y3答案:D解析:由 axy.又因为函数 f(x)=x3在 R上递增,所以 f(x)f(y),即 x3y3.7.(2015福建泉州实验中学模拟)若不等式 f(x)=ax2-x-c0的解集为{ x|-20)的解集为( x1,x2),且 x2-x1=15,则 a等于( )A. B. C. D.〚导学号 32470488〛答案:A解析:(方法一) ∵ 不等式 x2-2ax-8a2 0,∴a=. 故选 A.(方法二)由 x2-2ax-8a2 0,∴ 不等式 x2-2ax-8a26时, f(x)的值恒大于零等价于 f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k0,解得 k0,即 k21,即 k0,即 k0在区间[1,5]上有解,则 a的取值范围是( )A. B.C.(1,+∞ ) D.〚导学号 32470489〛答案:A3解析:由 Δ =a2+80,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根 .于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)0,解得 a-,故a的取值范围为 .15.(2015山东淄博模拟)若不等式( a-a2)(x2+1)+x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立,则 a的取值范围是 .〚导学号 32470490〛 答案:解析: ∵x ∈(0,2], ∴a 2-a≥,要使 a2-a≥在 x∈(0,2]时恒成立,则 a2-a≥,由基本不等式得 x+≥2,当且仅当 x=1时,等号成立,即,故 a2-a≥,解得 a≤或 a≥ .16.已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|.(1)若不等式 f(x)≤ a在[ -3,1]上恒成立,求实数 a的取值范围;(2)解不等式 f(x)3x.解:(1)当 x∈[ -3,1]时,f(x)=(x+2)|x-2|=(x+2)(2-x)=-x2+4.∵- 3≤ x≤1, ∴ 0≤ x2≤9 .于是 -5≤ -x2+4≤4 .即函数 f(x)在[ -3,1]上的最大值等于 4.∴ 要使不等式 f(x)≤ a在[ -3,1]上恒成立,实数 a的取值范围是[4, +∞ ).(2)不等式 f(x)3x,即( x+2)|x-2|-3x0.当 x≥2 时,原不等式等价于 x2-4-3x0,解得 x4或 x 4.当 x0,即 x2+3x-44,或 -4x1}.1考点规范练 32 基本不等式及其应用考点规范练 B册第 22页 基础巩固组1.已知 f(x)=x+-2(x0,b0.若 a+b=1,则的最小值是( )A.2 B. C.4 D.8答案:C解析:由题意 =2+≥2 +2=4,当且仅当,即 a=b=时,取等号,所以最小值为 4.3.(2015浙江金华十校模拟)已知 a0,b0,a,b的等比中项是 1,且 m=b+,n=a+,则 m+n的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案:B解析:由题意知 ab=1,则 m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n= 2(a+b)≥4 =4(当且仅当 a=b=1时,等号成立) .4.若正数 x,y满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy的最大值是( )A. B. C.2 D.答案:C解析:由 x0,y0,得 4x2+9y2+3xy≥2 ×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y时,等号成立),则 12xy+3xy≤30,即 xy≤2,故 xy的最大值为 2.5.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米 20元,侧面造价是每平方米 10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元 B.120元 C.160元 D.240元答案:C解析:设底面矩形的长和宽分别为 a m,b m,则 ab=4(m2).容器的总造价为 20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80 +40=160(元)(当且仅当 a=b=2时等号成立) .故选 C.6.(2015西安一中模拟)设 x,y∈R, a1,b1,若 ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( )A.2 B. C.1 D.答案:C解析:由 ax=by=3,.又 a1,b1,所以 ab≤ =3,所以 lg(ab)≤lg 3,从而 =1,当且仅当 a=b=时等号成立 .7.已知 x,y满足约束条件当目标函数 z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值 2时, a2+b2的最小值为( )A.5 B.4 C. D.2〚导学号 32470492〛答案:B解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示 .由图可知,目标函数 z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1) .2所以 2a+b=2,则 b=2-2a,所以 a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5+4,即当 a=,b=时, a2+b2有最小值 4.8.已知函数 f(x)=4x+(x0,a0)在 x=3时取得最小值,则 a= . 答案:36解析:由基本不等式可得 4x+≥2 =4,当且仅当 4x=即 x=时等号成立, ∴= 3,即 a=36.9.函数 y=(x1)的最小值为 . 答案:2 +2解析: ∵x 1,∴x- 10.∴y====x-1++2≥2 +2=2+2.当且仅当 x-1=,即 x=1+时,取等号 .10.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提价%,若 pq0,则提价多的方案是 .〚导学号 32470493〛 答案:乙解析:设原价为 a,则方案甲提价后为 a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为 a.由于(1 +p%)(1+q%)0,则的最小值为( )A.4 B.8 C.9 D.12答案:C解析:不等式 0,∴= (2m+n)=5+≥5 +2×2×=9,当且仅当 m=n=时取等号 .∴ 的最小值为 9.13.(2015安徽宿州模拟)已知 a0,b0,若不等式恒成立,则 m的最大值为( )A.9 B.12C.18 D.24〚导学号 32470494〛答案:B解析:因为 a0,b0,不等式恒成立,所以 m≤ .因为( a+3b)=6+≥6 +2=12,3当且仅当 a=3b时取等号 .所以 m的最大值为 12.故选 B.14.(2015沈阳四校联考模拟)设 x,y满足约束条件若目标函数 z=ax+by(a0,b0)的最大值为 6,则的最小值为 .〚导学号 32470495〛 答案:解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示 .由 z=ax+by(a0,b0)得 y=-x+,则直线的斜率 k=-0,y0,x+3y+xy=9,则 x+3y的最小值为 . 答案:6解析:由已知,得 xy=9-(x+3y),即 27-3(x+3y)=3xy≤(当且仅当 x=3y时等号成立),令 x+3y=t,则 t2+12t-108≥0,解得 t≥6,即 x+3y≥6 .16.某工厂某种产品的年固定成本为 250万元,每生产 x千件,需另投入成本为 C(x)(单位:万元),当年产量不足 80千件时, C(x)=x2+10x(单位:万元) .当年产量不小于 80千件时, C(x)=51x+-1 450(单元:万元) .每件商品售价为 0.05万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完 .(1)写出年利润 L(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为 0.05万元,则 x千件商品销售额为 0.05×1 000x万元,依题意得:当 0x80时, L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.当 x≥80 时, L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-.则 L(x)=(2)当 0x80时,L(x)=-(x-60)2+950.此时,当 x=60时, L(x)取得最大值 L(60)=950.当 x≥80 时, L(x)=1 200-≤1 200 -2=1 200-200=1 000.当且仅当 x=时,即 x=100时, L(x)取得最大值 1 000.因为 9501 000,所以当年产量为 100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为 1 000万元 .〚导学号 32470496〛1考点规范练 33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点规范练 A 册第 25 页 基础巩固组1.如果点(1, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为( )A.2 B.1 C.3 D.0答案:B解析:由题意知(6 -8b+1)(3-4b+5)0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值是( )A. B.C.2 D.〚导学号 32470782〛答案:B解析:直线 y=-ax+z(a0)的斜率为 -azC或 zA=zCzB或zB=zCzA,解得 a=-1 或 a=2.(方法二)目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0∥ AB 或 l0∥ AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2.7.若 x,y 满足且 z=y-x 的最小值为 -4,则 k 的值为( )A.2 B.-2 C. D.-答案:D解析:如图,作出所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值 -4 时对应的直线 y-x=-4,即 x-y-4=0.显然 z 的几何意义为目标函数对应直线 x-y+z=0 在 x 轴上的截距的相反数,故该直线与 x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又 kx-y+2=0 恒过点(0,2),故 k==-.故选 D.8.已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域 Ω :若圆心 C∈ Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2的最大值为( )A.5 B.29 C.37 D.49〚导学号 32470784〛答案:C解析:由题意,画出可行域 Ω ,圆心 C∈ Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,所以 b=1.所以圆心在直线 y=1 上,求得与直线 x-y+3=0,x+y-7=0 的两交点坐标分别为 A(-2,1),B(6,1),所以 a∈[ -2,6].所以 a2+b2=a2+1∈[1,37],所以 a2+b2的最大值为 37.故选 C.9.设 x,y 满足约束条件则 z=2x-y 的最大值为 . 答案:3解析:画出可行域如图所示 .3画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时, z 取最大值,且最大值为 z=2×3-3=3.10.在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组所表示的区域上一动点,则 |OM|的最小值是 .〚导学号 32470785〛 答案:解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示 .由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin=.11.某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 kg、B 原料 2 kg;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 kg,B 原料 1 kg.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元 .公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 kg.求通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润 .解:设每天分别生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,相应的利润为 z 元,则 z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点 A(4,4)时,相应直线在 y 轴上的截距达到最大,此时 z=300x+400y 取得最大值,最大值是 z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是 2 800 元 .能力提升组12.(2015 重庆,文 10)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则 m 的值为( )A.-3 B.1 C. D.3〚导学号 32470786〛答案:B解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式 x-y+2m≥0 表示的平面区域为直线 x-y+2m=0 下方的区域,且 -2m-1.这时平面区域为三角形 ABC.由解得则 A(2,0).由解得4则 B(1-m,1+m).同理 C,M(-2m,0).因为 S△ ABC=S△ ABM-S△ ACM=·(2+2m)·,由已知得,解得 m=1(m=-30,∴ 可作出可行域,由题意知的最小值是,即⇒ a=1.14.当实数 x,y 满足时,1≤ ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 答案:解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令 z=ax+y,即 y=-ax+z.作直线 l0:y=-ax,平移 l0,最优解可在 A(1,0),B(2,1),C 处取得 .故由 1≤ z≤4 恒成立,可得解得 1≤ a≤ .15.设 x,y 满足约束条件若目标函数 z=ax+by(a0,b0)的最大值为 8,则 ab 的最大值为 .答案:2解析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为 l:y=-x+.由已知,得 -0,b0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即 ab≤2(当且仅当 2a=4b=4,即 a=2,b=1 时取“ =”),故 ab 的最大值为 2.1单元质检七 不等式(时间:45 分钟 满分:100 分)单元质检卷第 13 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分)1.(2015 深圳调研)若实数 a,b 满足 ab,则下列不等式成立的是( )A.|a||b| B.a3b3 C. abb3 D.ab2b3答案:B解析:在选项 A,C 中,当 a=2,b=-3 时,不等式不成立;在选项 D 中,当 a=2,b=0 时,不等式不成立,故选 B.2.“|x|bc 恒成立,则 λ 的取值范围是( )A.(-∞ ,0] B.(-∞ ,1)C.(-∞ ,4] D.(4,+∞ )〚导学号 32470617〛答案:D2解析:变形得 λ (a-c)=[(a-b)+(b-c)]·=1++1≥4(当且仅当( a-b)2=(b-c)2时,等号成立),则 λ 4.故选 D.7.(2015 福建,文 5)若直线 =1(a0,b0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案:C解析: ∵ 直线 =1 过点(1,1), ∴= 1.又 a,b 均大于 0,∴a+b= (a+b)=1+1+≥2 +2=2+2=4,故选 C.8.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元 .若每批生产 x 件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元 .为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件答案:B解析:设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 y=≥2 =20,当且仅当( x0),即 x=80 时“ =”成立,故选 B.9.(2015 江西重点中学协作体二模)若实数 x,y 满足则 z=的最小值为( )A.-2 B.-3 C.-4 D.-5〚导学号 32470618〛答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域如图:z==1+,设 k=,则 k 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,-2)的斜率,由图像知 AD 的斜率最小,由即 A(1,2),此时 AD 的斜率 k==-4,则 z=1+k=1-4=-3,即 z=的最小值为 -3.10.已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤ λ (x2+y2)恒成立,则实数 λ 的最小值为( )A.4 B.5 C. D.〚导学号 32470619〛答案:A解析:依题意,得 3x2+4xy≤3 x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(当且仅当 x=2y 时,等号成立) .因此有≤4,当且仅当 x=2y 时,等号成立,即的最大值是 4,结合题意得 λ ≥,故 λ ≥4,即 λ 的最小值是 4.11.(2015 银川质量检测)设 x,y 满足约束条件若目标函数 z=2x+3y 取得最小值 1,则 c 的值为( )A.10 B.7C.5 D.3〚导学号 32470620〛答案:C解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+3y=1,结合图形可知,要满足题意,直线 2x-y-c=0 需经过直线 2x+3y=1 与直线 x=2 的交点,即点(2, -1),于是有 2×2+1-c=0,c=5(经检验,符合题意),故选 C.12.已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+的最小值为( )A. B.4 C. D.答案:D3解析:因为 1=a+2b≥2,所以 ab≤,当且仅当 a=2b=时,等号成立 .又 a2+4b2+≥2 =4ab+.令 t=ab,则 f(t)=4t+单调递减,所以 f(t)min=f.此时 a=2b=.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)13.不等式 0,化为( x+4)(3x-1)0,∴x.14.设 a,b∈(0, +∞ ),a≠ b,x,y∈(0, +∞ ),则,当且仅当时,上式取等号,利用以上结论,可以得到函数 f(x)=的最小值为 .〚导学号 32470621〛 答案:25解析:根据已知结论, f(x)==25,当且仅当,即 x=时, f(x)取最小值为 25.15.已知函数 f(x)=若对任意的 x∈R,不等式 f(x)≤ m2-m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 .〚导学号 32470622〛 答案:∪[1, +∞ )解析: f(x)=-x2+x=-(x≤1),故当 x=时, f(x)在( -∞ ,1)上的最大值为;函数 f(x)=lox,x∈(1, +∞ )为单调递减函数,故 x∈(1, +∞ )时, f(x)f(1)=0.综上, f(x)在 R 上的最大值为 .由 m2-m≥,解得 m≤ -或 m≥1 .16.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆 /时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米 /秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F=.(1)如果不限定车型, l=6.05,则最大车流量为 辆 /时; (2)如果限定车型, l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆 /时 .〚导学号32470623〛 答案:(1)1 900 (2)100解析:(1) F==1 900,当且仅当 v=11 时等号成立 .(2)F==2 000,当且仅当 v=10 时等号成立,2 000 -1 900=100.