1、向量,既有大小, 又有方向的量称为向量，向量的大小称作向量的模.,向量的表示,1.向量的概念,2 向量代数,向量的模 向量大小叫做向量的模. 即所有有向线段的长称为其模。,（2）模为1的向量称为单位向量。,（3）模为0的向量称为零向量，记做0，零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。,【注】（1）|不是绝对值。,在实际问题中，有的向量与始点无关（比如 指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速 度）。而我们现在只考虑前一种，即与始点无 关的向量，并称为自由向量，简称向量。,定义1,由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定,定义2,定义3,定义4,模为零的向量称为零向量，记作 0.,定义5
2、,模为1的向量称为单位向量,(I)向量的加法,2.向量的线性运算,上述向量加法定义称为三角形法则,同样，有平行四边形法则如下图,若两个向量在同一直线上（或者平行），则 它们的和的规则为： (1)若a,b同向，其和的方向就是a,b的共同方向，其模为a的模和b的模之和； (2)若a,b反向，其和的方向就是a,b中较长的向量方向，其模为a,b中较大的模与较小的模之差；,（1）交换律：a+b=b+a （2）结合律: (a+b)+c=a+(b+c) （3）a+0=0+a=a （4）a+(a)0,向量的加法满足下列运算律：,(II)向量的减法, ,(II)向量与数量的乘法,是一个数,与a 的乘积 规定为：
3、,特别的：当,=1时，(-1) 与互为负向量 ，故有(-1) = (-1) ,数量和向量的乘积满足下列运算规则：,（2）分配律： + = + ；, + = + ；,（1）结合律： = = ；,定义6,平行与同一直线（或平面）的向量组称为共线的 (共面的)向量组.,定理1,证明：必要性.,注：当b0时，,定理2,例1 已知平行四边形两邻边向量,其对角线交点为M，求,解：,在空间直角坐标系下,设点 P,则,的坐标为,3.向量的坐标表示,对于始点不在原点的向量 ，,由此可见:空间向量的坐标等于其终点坐标减起点坐标。,有了向量的坐标表示形式后，向量之间的运算 就可转化成向量的坐标的代数运算了。,设,，
4、则,此外也可以得到： （1）两个向量共线的充要条件是它们的坐标对应成比例； （2）三个向量共面的充要条件是它们的坐标构成的行列式为零。,方向角与方向余弦,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以,方向余弦有如下两个基本性质：,（1）任一向量的方向余弦的平方和等于1，即,（2）一个单位向量,的坐标就是其方向余弦，即,解:,例2 已知两点,和,计算向量,的模、方向余弦和方向角.,解:,例3 设点P把有向线段,分成定比,，即,已知,设,解:,练习 已知,的两个方向角,，且,由方向角的性质可知：,与z轴相交为钝角，,因为该角为
5、钝角，所以,设,的终点B的坐标为,则有,得,则B的坐标为,4 向量的数量积,在物理学者能够我们知道，当作用在物体上的力F与物体的位移s有夹角为,时，则力F所做的功为：,两个向量位移确定的，所以称它为这两个向量的数量积,，功是一个数量，它是由力F和位移s,定义 设两个向量,注,数量积的坐标表示,数量积满足的运算定律,解:,例4 已知,例5 求单位向量,解: 设,，使得,与向量,5 向量的向量积,注：两向量的向量积的模的几何意义：,等于以a，b为邻边的平行四边形的面积,向量积又称为外积或者是叉积,由向量积的定义，很容易得到：,不加证明地给出向量积的性质和运算规律:,定义 设,，由A，B分别向直线l(或者平面),作垂线，垂足分别为A，B ,则称 为a在 直线l(或者平面)上的投影。 显然，相等的向量有相等的投影，向量和的投影等于向量投影的和。,向量积的坐标表示：,例6 已知三角形的顶点,解:,6 向量的混合积,向量混合积的几何意义：,的绝对值等于以a，b和c为相邻的平行,混合积有下列性质：,六面体的体积,混合积的坐标表示：,例7 证明：空间四个点,解:,例8 已知四面体的顶点是,解:,
