1、第1 章矢量 分析与 场论主要 内容1.矢量代数2.正交曲线坐标系3.标量场的梯度4.矢量场的通量和散度5.矢量场的环量与旋度6.无散场与无旋场 Helmholtz 定理重 点 内容 标量场的梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量与旋度一、矢 量 场 与 矢 量 线（力 线）1.4 矢量 场的通 量与散 度矢量线的疏密表征矢量场的大小。矢量线上任意点的切线方向代表该点矢量场的方向。若矢量A是分布于空间的量，则在该空域上存在一矢量场A。矢量场在空间中可用是矢量线描述。A.0,有净通量流出，说明S内有源；B.0,有净通量流入，说明S内有洞(负源);C.=0,则净通量为零，说明S内无源。二、矢 量
2、场 的 通 量如图所示，矢量A穿过曲面S的通量为 A s A n sSSdd讨论：(1)若S为开曲面，面元ds的方向为：它满足四指沿封闭曲线 l 绕行的右手螺旋关系。1.4 矢量 场的通 量与散 度通量的物理意义物理意义二、矢 量 场 的 通 量（2）S为封闭面，面元方向为封闭面的 外法线方向。Sd As 1.4 矢量 场的通 量与散 度通量表示穿入和穿出闭合面S 的 通量源的代数和。例如：=三、矢 量 场 的 散 度1.定 义：矢量场中某点的通量密度，称为该点的散度。2.表达式：物理意义散度表征了通量源的空间分布特性。散度是一个标量，是 空间坐标的函数；散度是空间某点通量源的密度；1.4 矢
3、量 场的通 量与散 度div=d x y zAA AAx zy hh h u u uAh h A hh A hh A 1()()()1 2 3 1 2 32 3 1 1 3 2 1 2 3 zAAAAz()11 r r r rA r A AArsin sin()(sin)1 1 1223.计算公式三、矢 量 场 的 散 度ds VAAAVSdiv lim01.4 矢量 场的通 量与散 度4.散度运算规则(A)A A 子 算 斯 拉 普 拉 x y z()2 2 222 2 2 x y z2222222三、矢 量 场 的 散 度 A B A B()1.4 矢量 场的通 量与散 度四、散 度 定 理可见，矢量散度的 体积分与矢量的闭合 面积分可以相互换算。矢量场的散度代表其通量源的体密度,因此散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量源:=1.4 矢量 场的通 量与散 度证明过程的细节详见电子教材，不再赘述。例1.4-1 已 知 球 面 上 任 意 点 的 位 置 矢 量 为试 利 用 散 度 定 理 计 算。r xx yy zz 然后利用散度定理计算面积分解:首先求散度1.4 矢量 场的通 量与散 度=+=
