1、第一章 信号与系统,主讲人：史洪宇,复习,信号的移位、反转和尺度运算,本节主要内容,1、系统的描述方法2、系统的性质3、本门课研究的主要问题,什么是系统？系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。,1.2 系统,信号在系统中按照一定规律运动、变化；系统在输入信号的驱动下，对它进行加工处理，产生输出信号。,信号与系统的概念紧密相连的。,响应,数字通信系统,激励与响应均为连续信号的系统，为连续系统。,激励与响应均为离散信号的系统，为离散系统。,1.系统按激励与响应的信号形式,连续系统,离散系统,1.2.2 系统的分类,2.系统按响应与激励之间的关系分为：,记忆系统,无记忆系
2、统,无记忆系统：任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励， 而与它过去的历史无关。如 , 加法器，数乘器等。,对于连续或离散的动态系统，按基本特性可分为线性系统的与非线性系统，时变系统与非时变系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与非稳定系统等等。本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)系统。,3、线性,设系统的激励与响应之间的关系为:,线性性质包括两个内容：齐次性和可加性。,1.齐次性,设,为任意常数，若,，则称系统,是齐次的或均匀的。,若系统对,的响应等于各激励引起的响应,则称,之和即,该系统是可加的。,2.可加性,一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的。,设 为
3、任意常数，则对于线性系统应有,动态系统的响应取决于,输入信号:,初始状态:,这样，动态系统在任意时刻 （或 ）的响应 可以由初始状态 和 区间 或 上 的激励 完全的确定。,系统的完全响应可写为:,根据线性性质，线性系统的响应是 和 单独作用 所引起的响应之和,即:,零输入响应,零状态响应,分解特性,这样，动态系统是线性系统，应满足：,条件1、分解特性。,条件2、零输入线性：当有多个初始状态 时，对所 有的初始状态 呈线性。,条件3、零状态线性：当有多个激励 时，对所有 的 呈线性。,总之，一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。,例题（补充）
4、、判断下列系统是否为线性系统：,解：,由于无法区分 ，所以不是线性系统。,满足分解特性。,不满足零状态线性。,所以不是线性系统。,4、时不变性,对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导 致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统 为时不变系统，否则称为时变系统。,系统的时不变特性,例：,判断下列系统是否为时不变系统？,解：,所以，该系统为时不变系统。,所以，该系统为时变系统。,根据LTI系统的线性和时不变性，可得到LTI系 统的微分特性和积分特性,一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变 系统。简记为LTI系统.,利用这两个性质可简化计算。,例1.2-1 某连续系统和离散系统的全响
5、应分别为:,解：(1),系统的零输入响应和零状态响应分别为,符合分解特性,、 满足零输入线性和零状态线性，,因而该系统是线性的。,令 ，则 ，代入上式，相应的积分 限改写 为 到 ，得,由于 是在 时接入的，在 时 ， ，故上式可改写为：,故该系统是时不变的。,解：(2) 系统的零输入响应和零状态响应分别为：,而且零输入响应满足零输入线性。,但零状态响应不满足可加性，因为一般而言,故该系统是非线性的。,符合分解特性,故该系统是时不变的 。,5、因果性,任一时 刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值， 而与将来时刻的输入值无关（或零状态响应不出现于激励之前的系统） ，称为因果系统。,例如：,
6、都是因果系统。,而 的系统:,想一想： 的系统是不是因果系统？,是非因果的,设,可见在区间,即零状态响应出现于激励之前，因而该系统是非因果的。,则：,6、稳定性,对有界的输入 ，系统的零状态响应 也是有 界的，这称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。,更确切的说，若系统的激励 时，其零状 态响应 ， 就称该系统是稳定的，否则 称为不稳定的。,显然，无论激励是何种形式的序列，只要它是有界的，那么 也是有界的，因而该系统是稳定的。,例2：,是否稳定？,例1：,是否稳定？,它随时间t无限增长，故系统是不稳定的。,1.2.3 系统的描述,1、系统的数学模型,描述连续系统的数学模型：微分方程；,描述离散
7、系统的数学模型：差分方程；,描述系统的方法有多种形式：方程描述（输入输出 方程和状态方程两种）、框图描述、信号流图描述、 系统函数描述等。,*系统的各种描述方式之间可以相互转换。,*对于一个确定的系统，输入输出方程形式唯一，系统函数唯一，而状态方程、框图、信号流图均可有多种形式。,例1、如图所示电路，写出：,解：（1） 激励， 响应,代入（1）式得：,以 为响应，则,微分方程的一般形式：,一般：,例2、考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。 分析：k个月后储户的本
8、息总额y(k)应该包括如下三部分款项： (1) 前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)；(2) y(k-1)的月息y(k-1)； (3) 第k个月存入的款额f(k)。于是有 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+)y(k-1)=f(k) ,2、系统的框图表示,在用方框图描述时，常用的基本单元有：,积分器(抗干扰好),延时器,除了利用数学表达式描述系统模型外，也可以借助方框图表示系统模型。,倍(数)乘器,加法器,延迟单元,例1.2-2 已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。,解：,例1.2-3 某连续系统如图所示，写出该系统的微
9、分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器列方程，最后消去中间变量。,对两个加法器列式：,消去中间变量,用 乘 ：,用 乘 ：,又：,例1.2-4 某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。,解：,先设中间变量，再对两个加法器输出列方程，最后消去中间变量。,对两个加法器列式：,消去中间变量：,用 乘以,用 乘以,总之，已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤是：,连续系统，设积分器最右端的为 ；,2.逐个写出加法器输出信号的方程；,3.消去中间变量。,1.选中间变量：,离散系统，设最左端的迟延单元输入为 ；,1.3 信号与系统分析概述,系统分析简言之就是建立表征系统的数学方程式并求解。,输入输出法侧重于系统的外部特性，适合于单输入单输出系统。,状态变量法侧重于系统的内部特性，适用于多输入多输出系统，特别适合于计算机分析。,时域分析法计算较复杂,但物理概念清楚。,变换域分析法是应用数学的映射理论，将时间变量映射为某个变换域的变量，使系统的动态方程转换为代数方程，从而极大地简化了计算。两种方法各有侧重，在系统分析中都有广泛的应用。,时域法；,变换域法；,*系统分析的方法,*系统函数在分析LTI系统中起重要的作用。,*信号流图将系统方程、框图和系统函数联系在一起，并把系统的时域响应与频域响应联系起来。,
