1、1冀教版小学五年级数学上册教案多边形的面积教材内容说明（一）单元教育目标1、利用平移、割补等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，会用公式计算图形面积，能计算组合图形的面积。2、在探索、操作、讨论、推导等探索图形面积公式的活动中，发展合情推理能力，能比较清楚地表达自己操作和推导的过程，体会转化的数学思想，进一步发展学生的空间观念。3、能探索解决面积问题的有效方法，表达解决问题的过程，在解决问题的过程中学会倾听他人的意见和想法。4、主动参与面积公式的探索活动，体验公式推导过程的条理性和数学结论的确定性，获得面积公式推导的活动经验。（二）单元教材说明本单元教材是在学生掌握了平行四边形
2、、三角形和梯形的特征，能把组合图形分割成简单图形，会计算长方形、正方形面积等基础上安排的。主要内容包括：平行四边形面积、三角形面积以及解决和三角形面积有关的问题、梯形面积、组合图形面积等。单元最后安排了“铺甬路”的综合与实践活动。本单元教材在建构思想和内容编排上，有以下两个特点：1、以“转化”思想为活动主线，注重积累数学活动经验。由于平行四边形可以通过割补变成长方形，两个完全一样的三角形或梯形又可以拼成平行四边形。根据平行四边形、三角形和梯形的这种内在联系，多边形面积公式的推导活动都以“转化”为基本方法进行。考虑到学生已经掌握长方形的面积公式，2而三角形、梯形面积都要转化为平行四边形面积进行推
3、导，所以，教材先安排平行四边形面积，再安排三角形、梯形面积。在探索平行四边形面积时，教材设计了“把平行四边形纸片剪一刀，然后拼成一个长方形”的活动，当平行四边形转化为学过的长方形后，再分析长方形和平行四边形的关系，进而推导出平行四边形的面积公式；在探索三角形面积公式时，教材先设计了“剪出两个完全一样的三角形纸片，用它们拼成一个学过的图形”的活动，当把三角形转化为平行四边形后，再分析平行四边形与两个三角形的关系，进而推导出三角形面积公式；在探索梯形的面积时，教材设计了“学生自己动手想办法将梯形转化成学过的图形”的活动，当把梯形转化为平行四边形后，再分析、推导出梯形的面积公式。这样以“转化”为活动
4、主线的编排思路，使每一个面积公式推导的过程，都变成了将新知识转化为已学过知识的过程，使学生积累了借助图形转化推导、总结面积公式的活动经验，同时深入地体会了“转化”这一数学思想的运用过程。2、重视动手操作、不断扩大自主探索的空间，发展学生的空间观念。动手操作、自主探索是数学课程标准强调的两种学习方式。 “探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题”是“课程内容”的具体要求。本单元教材在内容编排上，以“动手操作图形转化总结公式尝试应用”为基本模式，一方面让学生经历面积公式自主探索、形成和应用的全过程。另一方面不断提高活动的要求，扩大学生自主探索的空间。如，探索平行四边形面
5、积时，要求“把平行四边形剪一刀拼成一个长方形” ，操作的目的、要求明确具体。在探索三角形面积时，要求“剪出两个完全一样的三角形纸片，用它拼成学过的图形” ，给学生独立思考、自主探索的空间。在探索梯3形面积公式时，教材没有给出操作的材料和方法，而是直接提出“小组合作，探索梯形面积的计算方法”的要求，给学生提供小组合作的机会和更大的探索的空间。这样的探索活动，有利于调动学生的学习积极性，让学生获得数学学习的成功体验；有利于学生借助动手操作、图形转化等建立知识的相互联系，并形成数学思想和方法；有利于学生充分经历知识的建构过程，提高自主探索解决问题的能力。本单元共安排 7 课时，具体内容编排如下：知识
6、块 课时 内容 素材与活动1.平行四边形面积1 课时探索面积公式及应用例题，将一个平行四边形纸片剪一刀，拼成长方形，总结推导出公式。第 1 课时探索面积公式及应用例 1，剪两个完全一样的三角形，拼成一个学过的图形。如长方形或平行四边形，总结推导出公式。2.三角形面积第 2 课时 解决问题例 2，用两块白布制作医院包扎用的三角巾，分别计算三角巾的块数。3.梯形面积1 课时探索面积公式及应用例题，用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形；用一个梯形剪拼成一个长方形。4.组合图形1 课时 组合图形面积例题，多种方法计算拐角楼房地基的面积。5.整理与复习1 课时 整理与复习1. 4 道复习题。2.
7、5 道练习题。46.铺甬路 1 课时 铺甬路问题情境：公园有一个长 15 米、宽10 米的花坛，计划用方砖在花坛的周围铺上 1 米宽的甬路。1.讨论如何解决相关问题。2.选地砖，计算需要的块数和钱数。3.作出购买地砖的报告。1、平行四边形面积，安排 1 课时。平行四边形的面积（教科书 56 页、57 页） 。教材设计了两个层面的数学活动。第一，剪、拼图形。教材呈现了一个平行四边形纸片的示意图，并提出明确的操作要求：把平行四边形纸片剪一刀，然后拼成一个长方形。兔博士提出“把你的做法和同学交流一下” 。提示先让学生动手剪拼，再交流。教材用学生交流的方式展示了两种剪拼方法。丫丫的方法：从平行四边形的
8、一个顶点向对边作高，沿高剪一刀，得到一个三角形和一个梯形，再将剪下的三角形平移，与梯形拼成了一个长方形。亮亮的方法：从平行四边形一条边上的一点（不是顶点）向对边作高，沿高剪一刀，得到两个直角梯形，再将其中一个直角梯形平移，与另一个直角梯形拼成了一个长方形。第二，讨论拼出的长方形和平行四边形的关系，总结公式。 “议一议”提出：平行四边形和拼出的长方形有什么关系？让学生讨论。教材用两个书中同伴的话给出了讨论的重点。聪聪说：它们的面积相同。红红说：平行四边形的底和高分别与长方形的长和宽相等。接着，教材给出长方形和平行四边形的面积公式，并用箭头显示平行四边形的底、高分别代换长方形的长、宽的过程，清晰地
9、呈现了平行四边形面积公式的推导思路。最后教材结合示意图，给出了面积公式的字母表示的计算公式：Sah。5本节课是在学生探索并掌握了长方形、正方形的面积公式，认识了平行四边形的特征，具有一些剪拼图形的活动经验的基础上学习的。在把平行四边形剪拼成长方形后，分析图形各要素之间的关系，进而推导面积计算公式对学生来说是第一次。因此，本节课的教学重点是将平行四边形转化成长方形后，分析两个图形之间的关系并推导出面积计算公式；教学难点是理解平行四边形和拼出的长方形之间的关系。教学活动中，要按照教材的设计意图，首先提出明确的操作要求，给学生充分动手操作的时间，并充分交流学生不同的剪拼方法。然后，引导学生找出几种方
10、法的相同点，使学生认识到：只要沿着平行四边形的高线剪一刀，剪下的两个图形都可以拼成一个长方形。教学可分为三个环节。第一，提出“议一议”的要求，引导学生观察平行四边形和拼成的长方形，了解平行四边形和长方形的面积相等、平行四边形的底和高分别等于长方形的长和宽。第二，教师启发：把一个平行四边形转化成长方形后，平行四边形面积的计算就可以借助长方形的面积公式解决。然后写出长方形的面积公式，使学生经历下面的推导过程：平行四边形的面积等于长方形的面积，平行四边形的长等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因此平行四边形的面积就等于底乘高。第三，总结出平行四边形面积的字母公式。2、三角形面积，安排 2
11、课时。第 1 课时（教科书 58 页、59 页） ，三角形的面积和平行四边形的面积一样，教材设计了两个层面的数学活动。第一，剪、拼图形。例 l 提出：剪出两个完全一样的三角形纸片，用它们拼成一个学过的图形。接着通过书中三个同伴的交流，展示了三种不同三角形拼的图形。红红用“两个完全一样的直角三角形，拼成一个长方形” ；丫丫用“两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形” ；6聪聪用“两个完全一样的钝角三角形也拼成一个平行四边形” 。第二，小组合作讨论问题，总结三角形面积公式。首先提出了三个问题。问题（1）：拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？问题（2）：三角形的面积和平行四边形的
12、面积有什么关系？问题（3）：怎样计算三角形的面积？其中问题（1）和问题（2）重点让学生从面积、底、高方面思考平行四边形和三角形之间的关系，问题（3）则让学生思考如何通过平行四边形的面积公式推导出三角形面积公式。教材给出由平行四边形面积公式推导出三角形面积公式的过程，兔博士还提出“为什么除以 2 呢”的问题，重点引导学生认识拼出的平行四边形面积等于两个三角形面积，使学生深入理解计算公式。最后教材结合示意图，介绍了用字母表示的计算公式：Sah2。探索三角形的面积，从内容编排看，与平行四边形面积结构相近，从学习过程看，本节课没有告诉学生用哪种三角形拼图，也没有具体告诉拼成什么图形，只是提示要拼成学过
13、的图形，因此给学生操作、拼图形的空间更大。另外，在总结公式的过程中，要考虑“用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形” ，求一个三角形的面积要除以 2。所以，推导的思维过程也比上一节增加了难度。本节教学重点是让学生经历三角形面积公式的探索过程，掌握三角形面积计算公式，能用公式计算三角形的面积。教学难点是理解三角形面积除以 2 的原因。教学活动时，要按照教材的设计意图，把握教学重点，突破难点。例 1 的操作活动，首先要给学生充分动手拼图，交流不同结果的空间。同时，引导学生对不同三角形拼出的图形加以归纳，使学生了解，两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形（长方形、正方形都是特殊的平行四边形）
14、 。面积公式的总结可分为三个环节。第一，小组合作，讨论三个问题。第二，交流各组讨论的7结果，先交流（1） 、 （2）两个问题。使学生了解：拼成的平行四边形的底和高就是三角形的一组底和高，平行四边形的面积是两个三角形面积，或一个三角形的面积是平行四边形面积的 （一半） ，为总结三角形面积公式“除以 2”作12准备。然后重点讨论问题（3） ，使学生了解，计算三角形面积要先用三角形的底和高求出与三角形等底等高的平行四边形的面积，再除以 2。第三，写出三角形面积的字母公式。第 2 课时（教科书 60 页、61 页） ，三角形面积的实际问题。教材选择了用白布做医院包扎使用的三角巾的事例，例 2 设计了用
15、两块长、宽都不相等的白布制作同样尺寸的三角巾的问题情境，给出了两块白布的长宽数据，第一块白布长 135 分米，宽 9 分米；第二块白布长 140 分米，宽 10 分米。三角巾两个直角边都是 9 分米。分别提出了两个问题。问题（1）：第一块白布可做多少块这样的三角巾？兔博士提出“白己试着算一算”的要求，教材通过书中同伴展示了两种解决方法。亮亮的方法：先分别计算出第一块白布和一块三角巾的面积，再计算白布可以做多少块三角巾。给出三个算式。白布的面积：13591215（平方分米） 。三角巾的面积：99240.5（平方分米） 。第一块白布可做三角巾：121540.530（块） 。丫丫的方法利用白布的宽和
16、三角巾的直角边都是 9 分米，一个边长 9 分米的正方形可以做 2 个三角巾，先计算白布有多少块边长 9 分米的正方形，再乘以 2。算式：1359230（块） 。大头蛙结合丫丫的做法提出了：画出示意图看一看，算得对吗？让学生直观验证丫丫计算方法的合理性。问题（2）：第二块白布可做多少块三角巾？教材同样借助书中同伴呈现了两种解决问题的思路。红红的方法：用第二块白布的面积除以三角巾的面积。计算结果：大约可以做 34 块。聪聪用实际剪的方法，他发8现“第二块白布做不出 34 块” ，并提出“画图看一看” ，以验证结果的正确性。使学生发现在不允许拼接的条件下会有浪费，做不出 34 块。本节课的教学重点
17、是解决和三角形面积有关的实际问题，教学难点是理解在应用公式解决实际问题时，必须根据实际情况和要求确定方法和结果。教学活动中，要把握好以下几个方面：第一，引导学生理解问题情境。如，两块白布和三角巾的数据信息， “不可拼接”是什么意思等。第二，给学生自主解决问题的时间和空间，并充分交流学生不同的解题思路。第三，让学生学会用画图的方法解决和验证问题的答案。教学问题（1）时，如果学生没有想到丫丫“用边长为 9 分米的正方形”思考的方法，教师可以作为参与者提出来，让学生试着解决。并引导学生画示意图验证计算结果的正确性和方法的合理性。教学问题（2）时，鼓励学生用两种方法解决问题，在学生发现第二块白布做不出
18、 34块三角巾以后，让学生讨论一下：为什么计算和实际做的结果不一样？医院制作三角巾用哪种布比较合适？通过探索交流，使学生认识到：第二块白布实际剪下 15 个边长为 9 分米的正方形白布（30 块三角巾）后，会余下宽 1 分米、长 135 分米和长 9 分米、宽 5 分米的长方形白布，也就是说，在不可拼接的条件下，不能将 1400 平方分米的白布全部用上，会有浪费。所以不能做出 34 块三角巾。医院用第二块白布做三角巾不合适。通过上述的学习过程，使学生感受解决实际问题时，应依据实际情况和具体要求选择数学运算和解决问题的方法。3、梯形面积，安排 l 课时。梯形的面积（教科书 62 页、63 页）
19、。教材设计了“小组合作，探索梯形面积的计算方法”的活动。兔博士提示“想办法将梯形转化成学过的图形” 。教材9以学生交流的方式，呈现了两种转化方法以及相应的梯形面积公式的推导过程。方法一，把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。用丫丫的话给出了转化方法及分析、推导梯形面积计算公式的过程，给出了相应的面积计算公式，显示出：平行四边形的面积和两个梯形的面积相等平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，因此一个梯形的面积（上底下底）高2。方法二，沿着梯形两条腰的中点分别向下底作垂线，并沿高线剪下，得到两个小直角三角形，再将这两个直角三角形分别绕两腰中点顺时针（或逆时针）旋转 1
20、80。 ，就拼成一个长方形。接着给出长方形和平行四边形的面积公式，并显示出推导公式的过程：长方形的面积等于梯形的面积，长方形的长等于梯形上底与下底和的一半，长方形的宽等于梯形的高。得出公式：梯形的面积 高。最后，结合用字母表示上底、下底和高的图形，2上 底 下 底介绍用字母表示的公式。梯形面积公式的推导，教材给出了两种方法，教学重点是将梯形转化成学过的图形，分析、推导梯形面积计算公式，教学难点是理解用一个梯形割补成长方形的推导方法。由于学生有了平行四边形面积、三角形面积公式的活动经验，因此梯形面积公式学习给学生留了更大的探索空间。教学活动中，要按照教材的编写意图，充分发挥每个学生的智慧，提高小
21、组合作的效果，师生合作，突出重点，突破难点。在明确探索梯形的面积计算方法这个学习任务后，可引导学生先回顾三角形面积公式的探索过程，再用两个梯形探索出梯形的面积计算公式。然后，师生合作完成用一个梯形割补的推导过程。4、组合图形面积，安排 1 课时。组合图形面积（教科书第 64 页、65 页） 。教材设计了计算拐角楼房地基面10积的问题情境，给出了拐角楼房地基的示意图。兔博士提出：把你的做法和大家交流一下。指导学生用自己的方法计算，然后交流。教材用学生交流的方式呈现了两种计算方法。方法一，把地基分成了两个长方形，先计算两个长方形的面积，再相加。方法二，把地基分成了两个梯形，先计算两个梯形的面积，再
22、相加。最后，蓝灵鼠提出“还有其他方法吗” ，让学生充分交流其他方法。本节课是在学生认识了组合图形、会计算长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形面积的基础上学习的。教学重点是让学生运用学过的知识解决面积问题，并探索出多样化的解决方法。教学活动中，首先让学生认真观察拐角楼房地基的示意图，了解图中的数据信息，然后鼓励学生自主解决问题。在交流计算方法时，要让学生在地基示意图上表示出自己分割成的图形，及相应数据，再交流计算过程和结果。同时，鼓励学生交流不同的方法。除了书中呈现的两种思路外，也可以把拐角楼房地基划分成其它图形来计算。如，分割成长 60 米、宽 18 米和长（4018）米、宽 1
23、8 米两个长方形；还可以把拐角地基看作是长 60 米、宽 40 米的长方形面积与长（6018）米、宽（40 18）米的长方形面积的差。通过多种计算方法的交流，进一步增强学生对图形之间关系的认识，促进学生空间观念的发展，提高综合运用面积公式解决简单问题的能力。5、整理与复习，安排 1 课时。整理与复习（教科书 66 页、67 页） 。本单元的整理与复习，设计了 4 道复习题和 5 道练习题，对所学知识进行系统复习和整理，对相关技能进行巩固练习。6、铺甬路，安排 1 课时。11铺甬路（教科书 68 页、69 页） ，是结合本单元安排的综合与实践活动。教材选择了现实生活中花坛周围一般都有甬路的事例，
24、设计了用正方形地砖为街心公园的长方形花坛铺甬路的问题情境。共安排了三个层面的活动。活动一，探索要解决的问题。 “议一议”提出了：用正方形地砖铺甬路首先要解决哪些问题？教材给出书中同伴提出的两个问题：红红说：要选择合适的地砖。亮亮说：要算出一共用多少块大头蛙还提出“要做出购买甬路地砖的报告” 。活动二，选地砖，并计算需要的钱数。首先教材给出了两种正方形地砖的示意图，一种边长为 30 厘米，另一种边长为 25 厘米。兔博士提出问题：选用哪种地砖比较合适？教材用亮亮的话引出了选择的想法：选用边长 25 厘米的合适，1 平方米正好用 16 块。然后提出两个问题。问题（1）：用边长 25 厘米的地砖铺甬
25、路，需要多少块？教材首先呈现了学生讨论计算块数的思路和三种示意图。聪聪说：先算出-共要铺多少平方米丫丫说：可以一条边一条边地算接着兔博士提出：根据上面的图示，选择你喜欢的方法计算。教材用学生交流的方式给出两种计算地砖块数的过程和结果。问题（2）：边长 25 厘米的地砖，每块售价是 8 元钱，购买地砖一共需要多少元？活动三，写购买地砖报告。教材给出了写购买铺甬路地砖报告的格式。铺甬路是结合单元学习内容设计的一次综合实践活动。从应用数学知识的角度看，主要是把甬路分割成不同的长方形，并计算需要地砖的块数，计算没有难度；从问题解决的角度看，重点是让学生在有目的、有设计、有合作的实践活动中，经历讨论问题
26、、解决问题，完成方案报告的过程，是一次实实在在的解决问题的实践活动。教学活动中，要按照教材的设计意图，充分利用学生的生活经验和已有知识，让学生经历策划解决问题的具体方案的全过程，可分12为以下三个环节。第一，在学生了解问题和要求后，提出“议一议”的问题，鼓励学生大胆表达自己的想法，了解铺甬路需要研究的问题。第二，解决选地砖的问题。首先让学生了解两种地砖的尺寸，提示学生根据“甬路的宽是 l 米”思考选哪种比较合适，必要的话可以说一说怎样铺。让学生发现：用边长 30 厘米的正方形地砖铺满甬路，沿 1 米铺用 3 块多，不合适；用边长 25 厘米的正方形地砖 l 平方米正好用 16 块，合适。然后重
27、点解决问题（1） 。先讨论可以怎样算，得出不同的图形分割方法，再让学生选择其中一种自己计算，交流需要地砖的块数后，提出问题（2） ，计算出铺甬路需要的钱数。第三，写报告。提出写购买铺甬路地砖的报告的要求。让学生先讨论一下报告的形式和应该包括的主要内容，再自己写报告。（三）目标评价建议目标 1 的评价。一方面结合教学过程来考查，看学生能否按要求剪拼图形，并发现图形之间的联系；能否理解并运用公式正确进行相关图形的面积计算。另一方面通过学生完成教材上的有关图形面积计算的练习内容来考查。目标 2 的评价。主要结合探索图形面积公式的活动考查。看学生在剪拼、分析、推理等数学活动中，能否将新图形剪拼成学过的图形，能否由拼成的图形面积公式推导出探索图形面积的计算公式，能否有条理地、清楚地表达图形转化和公式的推导过程。目标 3 的评价。主要结合解决三角巾问题和综合与实践考查。看学生能否根据具体情境找到解决问题的有效方法，能否主动寻找其他解决方法，能否有条理地表达自己解决问题的过程；看学生是否愿意听取他人的意见和方法，并学习他人好的方法。13目标 4 的评价。主要结合课堂教学活动来进行。看学生能否主动参与各种数学活动，是否理解用图形“转化”的方法探索图形面积公式的科学性，并确定所得公式的正确性；看学生能否利用已有的探索经验不断提升自主探索和推导公式的水平，是否获得探索图形面积公式的基本思路和方法。
