1、第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,大数定律的定义 切比晓夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。,这就是大数定律所阐述的。,测量的经验就是：,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极
2、限定理,定义1,若对任意,想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。,一、定义,第五章 大数定律及中心极限定理,定义2,对任意,1 大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,定理1,回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,定理2,（ 切比晓夫大数定律）,且具有相同的数学,期望及方差，,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：,证：,第五章 大数定律及中心极限定理,定理3（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律),证：令,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,由定理2有,1
3、大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,定理4（辛钦大数定律）,且具有数学期望,思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的 差别及强弱。,第五章 大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,定义,独立同分布的中心极限定理,德莫佛-拉普拉斯定理,用频率估计概率时误差的估计,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,一、定义,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,定理1 (列维-林德伯格定理）（ Levy-Lindberg) （独 立同分布的中心极限定理）,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大
4、样本时的重要工具。,二、中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。,定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）,(De Moivre-Laplace),证明：由二项分布和两点分布的关系知,其中 相互独立且都服从于两点分布，且,2 中心极限定理,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,推论：,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例1,车间有200台车床，它们独立地工作着，开 工率为0.6,开工时耗电各为2千瓦，问供电所至少 要供给这个车间多少电力才能以不低于99.9%的概率保证这个车间正常生产。,设至少
5、要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概 率保证这个车间正常生产。由题意有,解：,记某时刻工作着的车床数为 X，,则 X B(200,0.6).,第五章 大数定律及中心极限定理,即供给282千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,第一类问题是,第二类问题是,问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的 n,第三类问题是,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例2,今从良种率为1/
6、6的种子中任取6000粒，问能 以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的 比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种 粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,第五章 大数定律及中心极限定理,故近似地有,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,良种粒数 X 的范围为,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例3,系统由100个相互独立起作用的部件组成，每 个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有 85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理有,则 XB(100,0.1)。,则整个系统能正常工作当且仅当,设X是损坏的部件
7、数，,第五章 大数定律及中心极限定理,例4 一加法器同时收到20个噪声电压，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记,2 中心极限定理,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。,例5,解：,设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。,由中心极限定理有,第五章 大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,例5（续）,因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.977。,第五章 大数定律及中心极限定理,1) 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛 钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。,第五章 小 结,要求：,1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比晓夫大数定律；,主要内容：,2)中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。,2) 理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌 握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。,
