2018年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程教案（打包9套）（新版）新人教版.zip

1《一元二次方程》教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标（一）知识与技能了解一元二次方程的概念；一般式 及其派生的概念；应用一元二次方程概20axbca（念解决一些简单题目．（二）过程与方法通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．一元二次方程的一般形式及其有关概念．（三）情感态度与价值观解决一些概念性的题目．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股“章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？“大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为 尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．x整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果 ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．ACB如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为 54m2的 长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？2如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长 是________， 宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：__ ______．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下 面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般 地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方 程的一般形式．20axbca（一个一元二次方程经过整理化成 后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；20axbca（bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例 1．将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方 程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是 ．因此，方程20axbca（（ 8-2x）（5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x 2-26x+22=0其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22．例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） 2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项 系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） 2+（x-2）（x+2）=1 化成的形式．20axbca（3解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x 2+2x-4=0其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4．三、巩固练习教 材 P32 练习 1、 2四、应用拓展例 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17≠0 即可．证明：m 2-8m+17=（m-4） 2+1∵（m-4） 2≥0∴（m-4） 2+10，即（m-4） 2+1≠0∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数，一次项、一次项20axbca（系数，常数项的概念及其它们的运用．1《21.2.1 直接开平方法》教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程．教学目标知识与技能理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．过程与方法提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f） 2+c=0 型的一元二次方程．情感态度与价值观历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数 量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.重、难点1．重点：运用开平方法解形如（x+m） 2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1．填空（1）x 2-8x+______=（ x-______） 2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____） 2；（3）x 2+px+_____=（x+______） 2．问题 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发， 几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2？2BCAQwww.czsx.com.cnP老师点评：问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3 ） （ ） 2 ．p问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2则 PB=x，BQ=2x依题意，得： x·2x=81x2=8根据平方根的意义，得 x=±2 2即 x1=2 ，x 2=-2可以验证，2 和-2 都是方程 x·2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值．12所以 2 秒后 △PBQ 的面积等于 8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1） 2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2 2即 2t+1=2 ， 2t+1=-2方程的两根为 t1= - ，t 2=- - 1例 1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2） 2=1．解：由已知，得：（x+2） 2=1直接开平方，得： x+2=±13即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根 x1=-1，x 2=-3例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为 x．一年后人均住房面积就应该是 10+10x=10（1+x） ；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x） 2解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x） 2=14.4（1+x） 2=1.44直接开平方，得 1+x=±1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2 应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为 20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程．我们把这 种思想称为“降次转化思想” ．三、巩固练习教材 P6练习．四、应用拓展例 3．某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x） ，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x） 2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x．那么 1+（1+x）+（1+x） 2=3.31把（ 1+x）当成一个数，配方得：（1+x+ 12） 2=2.56，即（x+ ） 2=2．563x+ =±1.6，即 x+ =1.6， x+ =-1.634方程的根为 x1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0） ，那么 x=± p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） 2=p（p≥0） ，那么 mx+n=± ，达到降次转化之目的．p六、布置作业1．教材 P16复习巩固 1．2．选用作业设计:1《21.2.2 配方法》教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标知识与技能理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．过程与方法通过复习可直接化成 x2=p（p≥0）或（mx+n） 2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点1．重点：讲清“直接降次有困难，如 x2+6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤．2． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1） 2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9老师点评：上面 的方程都能化成 x2=p 或（mx+n） 2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或 mx+n=± p（p≥0 ） ．p如：4x 2+16x+16=（2x+4） 2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题 1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起” ．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另 一队猴子数是 12，那么猴18子总数是多少？你 能解决这个问题吗？问题 2：如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分 作为耕地，要使得耕地的面积为 5000m2，道路的宽为多少？2www.czsx.com.cn老师点评：问题 1：设总共有 x 只猴子，根据题意，得：x=（ x） 2+ 128整理得：x 2-64x+768=0问题 2：设道路的宽 为 x，则可列方程：（20-x） （32-2x）=500整理，得：x 2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（ ） 2使左边配成 x2+2bx+b2的形式 → x 2-64x+322=-768+1024 64左边写成平方形式→（x-32） 2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16 或 x-32=-16 解一次方程→x 1=48，x 2=16可以验证：x 1=48，x 2=16 都是方程的根，所以共有 16 只或 48 只猴子．学生活动：例 1．按以上的方程完成 x2-36x+70=0 的解题．老师点评：x 2-36x=-70，x 2-36x+182=-70+324， （x-18） 2=254，x-18=± ，x-18= 或 x-25425418=- 54，x 1≈34，x 2≈2．可以验证 x1≈34，x 2≈2 都是原方程的 根，但 x≈34 不合题意，所以 道路的宽应为 2．例 2．解下列关于 x 的方程（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为 完全平方式；（2）同上．解：（1）x 2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1） 2=36 x-1=±63x-1=6，x-1=-6x1=7，x 2=-5可以，验证 x1=7，x 2=-5 都是 x2+2x-35=0 的两根．（2）x 2-2x- =0 x2-2x=x2-2x+12= +1 （x-1） 2= 3x-1=± 6即 x-1= ，x-1=- 62x1=1+ ，x 2=1-可以验证：x 1=1+ ，x 2=1- 都是方程的根．6三、巩固练习教材 P6探究改为课堂练习，并说明理由．教材 P39练习 1 、2． （1） 、 （2） ．四、应用拓展例 3．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B 两点出发分别沿AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半．BCAQwww.czsx.com.cnP分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知列出等式．解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半．根据题意，得： （8-x） （6-x）= × 12×8×612整理，得：x 2-14x+24=0（x-7） 2=25 即 x1=12，x 2=2x1=12，x 2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去．所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半．4五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有 x 的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材 P17复习巩固 2．2．选用作业设计．1《21.2.3 一元二次方程根的判别式》教学内容分析从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。教学重点根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：知识和技能1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过 程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；过程和方法1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理 论证能力。情感态度价值观1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。教学策略本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：2序号 教师 学生1 设置悬念 引发兴趣 争先恐后，欲解疑团2 设计练习，创设情境 动手解题，亲身感知3 启发引导，发现结论 观察分析、得出结论4 引导学生，理论验证 阅读理解，自学教材5 揭示定理内涵 加深认识理解6 应用定理，解决问题 巩固应用，形成技能7 归纳小结 整体把握8 布置作业 巩固提高教学流程、设置悬念，引发兴趣：【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。【学生】会争先恐后地编题考老师。【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。设置练习，创设情境。【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。用公式法解一元二次方程（用投影仪打出） 222130961030xxx (注：找三名学生板演，其余学生在位上做)【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻” ，从而发挥了学生的主观能动性。 启发引导，发现结论：【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了 a、b、c 的值，然后求出它的值—— ，为什么要这样做呢？24bac【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：的值的符号在解24bac一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引3【学生】会初步说出 的作用是：它能决定方程是否可解。24bac【教师】 （1）由此可见：在解 起着2 204axbcabac一 元 二 次 方 程 时 ， 代 数 式重要 的作用，显然我们可以根据 的值的符号来判断24c2xc一 元 二 次 方 程的根的情况，因此，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△24bac（读作 delta，它是希腊字母） ”来表示，即△= 。我们说24bac在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。2 244bacbac2 注 意 ： △ 而 应 为 ： △ ＝（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。引导学生，理论验证：【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真阅读课本 P39 的内容，书上从理论 方面给我们做了很好的解释。【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。 5揭示定理：【教师】 （1）由此我们就得出了关于 20axbca一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 定 理 ： 24bac在 一 元 二 次 方 程 中 ， △ ＝若△＞0 则方程有两个不相等的实数根若△ =0 则方程有两个相等的实数根若△＜0 则方程没有实数根（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：2 204axbcabac在 一 元 二 次 方 程 中 ， △ ＝若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根， 则△=0若方程没有实数根， 则△＜0（3）定理与逆定理的用途不同定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。重中之重7应用定理，解决问题：【教师】下面我 们就来学习两个定理的应用。例 1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）2 2234016945740xyxk 分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判 断方法， 也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。222140xmxm例 ： 求 证 关 于 的 方 程没 有 实 数 根分析：我先提出两个问题：（1）是谁决定了方程有无实数根？（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？例 2 是补充的一个用 定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例 1 的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。注意；例 1，例 2 之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值，计算△；②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。③根据根的判别式定理，写出结论。（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成 22222aaa 等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。学生练习； 不解方程，判别下列方程根的情况2 2168-3 9610390478xx学以致 用【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。825 10mx1注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。 221450xaxaa思 考 题 ： 已 知 关 于 的 方 程当 取 何 正 整 数 时 ， 方 程 有 实 数 根 ？分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0 解这个不等式，从而求出 a 的取值范围，进而得出 a 的正整数解。注意：本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。归纳小结【教师】 （1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。（2）注意根的 判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆 定理。2 204axbcabac3一 元 二 次 方 程 △ ＝判别式的情况根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理△＞0 2124bacx、 ＝ △ ＞ 0方 程 有 两 个不 相 等 的 实 数 根△＝0 120、 ＝ ＝ △ ＝ 方 程 有两 个 相 等 的 实 数 根△＜0 2124bacx无 意 义 、 、 不 存 在 △ ＜ 0方 程 没 有 实 数 根【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。 布置作业：1、阅读课本 P39 的内容；2、不解方程判定下列方程根的情况：222 306 3650 4 0115 -34-7()58xxxx【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。12410xnb、 已 知 方 程 没 有 实 数 根求 证 ： 一 定 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根注 （第 3、4 题供学有余力的学生做）1《21.2.4 公式法》教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标知识与技能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．过程与方法复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习 引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52（老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为 1，得：x 2- 76x=- 1配方，得：x 2- x+（ ） 2=- +（ ） 2（x- ） 2=7154x- =±x1= + = =1 2x2=- + = 75= 16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） ．2（1）移项；（2）化二次项系数为 1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m） 2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接 开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知 ax2+bx+c=0（a≠0）且 b2-4ac≥0，试推导它的两个根 x1= ，x 2=24bac24bac分析：因为前面具体数字已做得很多，我 们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ x=-bac配方，得：x 2+ x+（ ） 2=- +（ ） 2即（x+ ） 2=ba4c∵b 2-4ac≥0 且 4a20∴ ≥024bca直接开平方，得：x+ =±ba24c即 x=24bc∴x 1= ，x 2=2a24bac由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：3（1）解一元二次方程时， 可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac≥0 时，将 a、b、c代入式子 x= 就得到方程的根．24bac（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例 1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3） （x-2） （3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它 化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=（-4） 2-4×2×（-1）=240x= (4)624∴x 1= ，x 2=6（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=（-5） 2-4×3×（-2）=490x= (5)49736x1=2，x 2=-（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b2-4ac=（-11） 2-4×3×9=130∴x= (1)316∴x 1= ，x 2=64（3）a=4，b=-3，c=1b2-4ac=（-3） 2-4×4×1=-70因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材 P12练习 1． （1） 、 （3） 、 （5）四、应用拓展例 2．某数学兴趣小组对关于 x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0 提出了下列问题．2mx（1）若使方程为一元二次方程，m 是否 存在？若存在，求出 m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程 m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能． （1）要使它为一元二次方程 ，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:① 或② 或③(1)2)0m210102解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m2=1 m=±1当 m=1时，m+1=1+1=2≠0当 m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当 m=1时，方程为 2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1） 2-4×2×（-1）=1+8=9x= (1)934x1=，x 2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x 2=- ．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当 m=0时， （m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以 m=0满足题意．②当 m2+1=0，m 不存在．③当 m+1=0，即 m=-1时，m-2=-3≠05所以 m=-1也满足题意．当 m=0时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1当 m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得 x=-13因此，当 m=0或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0时，其根为 x=-1；当 m=-1时，其一元一次方程的根为 x=- ．13五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材 P17复习巩固 5．2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（） ．A．x= B．x=36236C．x= D．x= 22．方程 x2+4 x+6 =0的根是（） ．3A．x 1= ，x 2= B．x 1=6，x 2=C．x 1=2 ， x2= D．x 1=x2=- 63． （m 2-n2） （m 2-n2-2）- 8=0，则 m2-n2的值是（） ．A．4 B．-2 C．4 或-2 D．-4 或 2二、填空题61．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是 ________．2．当 x=______时，代数式 x2-8x+12的值是-4．3．若关于 x的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为 0，则 m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于 x 的方程：x 2-2ax-b2+a2=0．2．设 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导 x1+x2=- ，x 1·x2= ；bac（2）求代数式 a（x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A千瓦时，那么这户居民这个月只交 10元电费，如果超过 A千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．10A（1）若某户 2月份用电 90千瓦时，超过规定 A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用 A表示）（2）下表是这户居民 3月、4 月的用电情况和交费情况月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）3 80 254 45 10根据上表数据，求电厂规定的 A值为多少？答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．x= ，b 2-4ac≥0 2．4 3．-324bac三、1．x= =a±│b│22． （1）∵x 1、x 2是 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x 1= ，x 2=4bac24bac∴x 1+x2= =- ，2 b7x1·x2= · =24bac24bac（2）∵x 1，x 2是 ax2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx1+c=0，ax 22+bx2+c=0原式=ax 13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2=x1（ax 12+bx1+c）+x 2（ax 22+bx2+c）=03． （1）超过部分电费=（90-A）· 0A=- A2+ A190（2）依题意，得：（80-A）· =15，A 1=30（舍去） ，A 2=501《21.2.5 因式分解法》教 学 媒 体 多 媒 体知 识技 能1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于 0，必有因式为 0，从而降次解方程.过 程方 法1.经历探索因式分解法解一元二次方程 的过程，发展学生合情合理的推理能力.2.体验 解决问题方法的 多样性，灵活选择解方程的方法.教学目标情 感态 度积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成 功体验.教 学 重 点会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程教 学 难 点 将整理成一般形式的方程左边因式分解教 学 过 程 设 计教 学 程 序 及 教 学 内 容 师 生 行 为 设 计 意 图一、复习引入导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.二、探究新知1.因式分解x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x2+12x+36；4x 2+4x+1分析：复习因式分解知识， ，为学习本节新知识作铺垫.2.若 ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为 0，得到 a 或 b 为 0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1) 2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是 0 的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4. 试求下列方程的根4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0○ 1由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫学生根据 ab=0 得到 a=0 或 b=0，为下面学习作铺垫学生直接利用 2 的结论完成 3 中解方程让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解学生回顾因式分解知识为学习本节新知识作铺垫对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力325y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2○ 2x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0;○ 35x2-2x- 41= x2-2x+ 3; 2x2+12x+18=0;○ 4分析：观察 三组方程的结构特点，在方程右边为 0 的前○ 1○ 2○ 3提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边 为 0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为 0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.中的方程结构较复杂，需要先整理.○ 45.选用合适方法解方程x2+x+ 1=0；x 2+x-2=0；(x-2) 2 =2-x；2x 2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法， 提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于 0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：已知（x+y） 2 –x-y=0，求 x+y 的值．○ 1分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ） ．○ 2A． （x-3） （x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2， ∴x 1=13，x 2=7B． （2-5x）+（5x-2） 2=0，∴（5x-2） （5x-3）=0，∴x 1= 5 ，x 2=3C． （x+2） 2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D．x 2=x 两边同除以 x，得 x=1今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，○ 3打算改建养鸡场，建一个面积为 150m2的长方形养鸡场． 为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用三组方程，○ 1○ 2 ○ 3之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次 方程的一般步骤先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正通过学生亲自解方程的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳、比较方程的三种解法，进一步理解降次思想解方程让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力3竹篱围成，如果篱笆的长为 35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中 a≥20m）四、小结归纳本节课应掌握：1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设 计必做：P14：1、2；P17:6学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.加强教学反思 ，帮助学生养成系统整理知识的学习惯加深认识，深化提高 ，形成学生自己的知识体系.教 学 反 思