1、第 页 1福 建 省 莆 田 第 九 中 学 2019届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考数 学 （ 理 ） 试 题第 卷 （ 共 60 分 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 已 知 i是 虚 数 单 位 ， 复 数 iz 2 ， 则 )21( iz 的 共 轭 复 数 为 （ ）A i2 B i34 C i34 D i342 已 知 集 合 M= 0x,2y|y x ， N= 2xx2lgy|x ， 则 M N为 （
2、）A （ 1， 2） B （ 1， ） C （ 2， ） D 1， ）3 下 列 四 个 结 论 正 确 结 论 的 是 （ ）A 设 ba, 为 非 零 向 量 ， 若 ， 则 a b恒 成 立 ；B 命 题 “ 若 x2=1， 则 x=1” 的 否 命 题 为 ： “ 若 x2=1， 则 x 1” ；C “ 命 题 p q 为 真 ” 是 “ 命 题 p q 为 真 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ；D 关 于 x 的 方 程 0ax2ax2 有 且 仅 有 一 个 实 根 ， 则 1a ；4 已 知 实 数 yx, 满 足 4 02 0632x yx yx ， 则 23 yxz 的
3、最 大 值 为 （ ）A 30 B 2 C 4 D 45 设 x， y R， 向 量 a =（ x， 1） ， b=（ 1， y） ， c=（ 2， 4） 且 a c， b c，则 ba = ( ）A 5 B 10 C 52 D 106 函 数 )sin()( xxf （ 2,0 ） 的 图 象 如 图 所示 ， 为 了 得 到 xxg 2cos)( 的 图 象 ， 则 只 需 将 f（ x） 的图 象 （ ）A 向 右 平 移 6个 长 度 单 位 B 向 右 平 移 12 个 长 度 单 位C 向 左 平 移 6个 长 度 单 位 D 向 左 平 移 12 个 长 度 单 位7 3log2
4、,3,2log 2131log31 2 cba ， 则 cba , 的 大 小 关 系 是 （ ）第 页 2A bac B cba C bca D abc 8 已 知 二 项 式 4)211( xx ， 则 展 开 式 的 常 数 项 为 （ ）A 1 B 1 C 47 D 499 已 知 以 圆 4)1(: 22 yxC 的 圆 心 为 焦 点 的 抛 物 线 1C 与 圆 C 在 第 一 象 限 交 于 A点 ， B点 是 抛 物 线2C ： yx 82 上 任 意 一 点 ， BM 与 直 线 2y 垂 直 ， 垂 足 为 M ， 则 | ABBM 的 最 大 值 为 （ ）A 1 B
5、2 C 1 D 810 已 知 )2|,20)(sin()( xxf 满 足 )()1( xfxf ， 且 )()2( xfxf ， 对 于 定 义域 内 满 足 23)()( 21 xfxf 的 任 意 Rxx 21, ， 21 xx ， 当 | 21 xx 取 最 小 值 时 ， )( 21 xxf 的 值 为（ ）A 4 26 或 4 26 B 4 26 或 4 62 C 32 D 2311 设 函 数 Rtttxexxf x ,5)3()( .若 存 在 唯 一 的 整 数 0x ， 使 得 0)( 0 xf ， 则 实 数 t的 取 值 范 围为 （ ）A 2,3( 2 ee B )
6、2,3( 2 ee C 2,3( 2 ee D )2,3( 2 ee12 如 图 所 示 ， 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， 切 去 阴 影 部 分 围 成 一 个 正 四 棱 锥 ， 则 当 正 四 棱 锥 体 积 最 大 时 ，该 正 四 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为 （ ）A 322 B 2552 C 25169 D 25338二 、 填 空 题 （ 每 题 4 分 ， 满 分 20分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 ）13 已 知 向 量 a与 b 的 夹 角 为 060 ， 且 32|2|,1| baa ， 则 |b .14 已 知 点 )2,1( P 在
7、 直 线 2kxy 上 ， 则 圆 锥 曲 线 C ： 13 22 ykx 的 离 心 率 为 .第 页 315 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AD=1， BAD=60 ， E为 CD的 中 点 若 ， 则 AB的 长 为 16 已 知 34)( 2 xxxf 在 a,0 的 值 域 是 1， 3 实 数 a的 取 值 范 围 记 为 集 合 A，xaxxg sin2cos)( 2 记 )(xg 的 最 大 值 为 )(ag 若 bag )( ， 对 任 意 实 数Aa 恒 成 立 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 题 ， 共 7
8、0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17 已 知 数 列 na 的 前 n项 和 是 nS ， 且 ),2(122 2 NnnSSa n nn .（ 1） 若 11 a ， 求 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 在 （ 1） 的 条 件 下 ， 求 数 列 1 nn SS 的 前 n项 和 nT .18 支 付 宝 自 助 付 款 可 以 实 现 人 像 识 别 身 份 认 证 和 自 动 支 付 业 务 ， 于 是 出 现 了 无 人 超 市 .无 人 超 市 的 出 现 大大 方 便 了 顾 客 ， 也 为 商 家 节 约 了 人 工
9、成 本 .某 超 市 对 随 机 进 入 无 人 超 市 的 100名 顾 客 的 付 款 时 间 与 购 物 金 额进 行 了 统 计 ， 统 计 数 据 如 图 所 示 ： （ 时 间 单 位 ： 秒 ， 付 款 金 额 RMB： 元 ）（ 1） 用 统 计 中 的 频 率 代 表 一 位 顾 客 随 机 进 店 消 费 付 款 时 间 的 概 率 ， 试 求 该 顾 客 进 店 购 物 结 算 时 所 用 时 间 的期 望 ；（ 2） 若 一 位 顾 客 在 结 算 时 ， 前 面 恰 有 3个 人 正 在 排 队 ， 求 该 顾 客 等 候 时 间 不 少 于 2分 钟 的 概 率 .
10、第 页 419 已 知 四 棱 锥 ABCDP 中 ， PA 平 面 ABCD， 06032 BADBCDABC ， 22 CDAB ，BCCEBF 32 .（ 1） 求 证 ： DE 平 面 PAF ；（ 2） 若 ABPA 21 ， 求 二 面 角 ACDP 的 余 弦 值 .20 椭 圆 )0(12222 babyax 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 )0,1(),0,1( 21 FF ， 过 2F 的 直 线 l与 椭 圆 交 于 BA, 两点 ， 若 l的 倾 斜 角 为 2 时 ， ABF1 是 等 边 三 角 形 .（ 1） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 若 21|,|
11、 22 BFAF ， 求 1ABF 中 AB 边 上 中 线 长 的 取 值 范 围 .21 已 知 函 数 2)2()2()( xaexxf x .（ 1） 求 函 数 xexfxg 3)()( 的 极 值 点 ；第 页 5（ 2） 当 0x 时 ， 恒 有 024)2( axf 成 立 ， 求 a的 取 值 范 围 .请 考 生 在 22、 23二 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 都 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .22 选 修 4 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 1 3 ,1
12、x ty t (t 为 参 数 ) 在 以 原 点 O 为 极 点 ， x轴 正半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2cos （ 1） 求 直 线 l的 极 坐 标 方 程 和 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ 2） 若 直 线 l与 曲 线 C 交 于 ,P Q两 点 ， 求 POQ 23. 选 修 4 5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 2( ) 2 3f x x a x a ， 2( ) 4g x x ax ， aR（ 1） 当 1a 时 ， 解 关 于 x的 不 等 式 f x 4 ；（ 2） 若 对 任 意 1x R
13、， 都 存 在 2x R， 使 得 不 等 式 1 2( ) ( )f x g x 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 第 页 6数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 6 0 分 在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2选 项 C A A D B D D B A B A D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 13
14、 4 14 72 15 21 16 45,(三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 7 0 分 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： （ ） 当 2n 时 ， 222 1nn nSa S ， 即 21 22 1nn n nSS S S ，整 理 得 1 12 n n n nS S S S- - = ， 所 以 11 1 2n nS S 所 以 1nS 是 一 个 公 差 为 2的 等 差 数 列 ，又 1 1 1a S ， 所 以 1 2 1n nS ， 所 以 12 1nS n ，此
15、 时 10, 2n nS S 符 合 题 意所 以 1 12 1n n na S S n 32 1n 2 ( 2)2 1 2 3 nn n ( )( ) 当 1n 时 ， 上 式 不 成 立 ，所 以 1, 12 , 2(2 1)(2 3)n na nn n （ ） 由 （ ） 可 知 ，1 12 1 2 1n nS S n n （ ） （ ） 1 1 1( )2 2 1 2 1n n ，所 以 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 3 3 5 2 1 2 1nT n n 12 nn 18 （ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： （ ） 设 一 位 顾 客 进 店 购 物 结 算
16、 时 间 为 T ， 根 据 统 计 图 表 可 知 ，T 的 可 能 值 为 10， 20， 40， 60，第 页 7所 以 ( 10) 0.4, ( 20) 0.2, ( 40) 0.3, ( 60) 0.1,P T P T P T P T 所 以 该 顾 客 进 店 购 物 结 算 时 所 用 时 间 的 期 望 为 10 0.4 20 0.2 40 0.3 60 0.1 26 （ 秒 ） （ ） 依 题 意 可 知 ， 每 个 顾 客 各 自 的 付 款 时 间 是 相 互 独 立 的 ， 若 3位 顾 客 付 款 时 间 总 计 不 少 于 2分 钟 ， 则3人 的 付 款 时 间
17、可 能 有 如 下 情 况 ： 3个 60秒 ； 2个 60秒 和 另 一 个 可 以 是 10秒 ， 20秒 ， 40秒 中 任 意 一 个 ； 一 个 60秒 ， 另 外 两 个 付 款 时 间 可 以 是 20秒 ， 40秒 或 40秒 ， 40秒 ； 三 40秒 所 以 对 应 的 概 率 为3 2 2 1 1 33 3 20.1 0.1 (0.4 0.2 0.3) 0.1 ( 0.2 0.3 0.3 0.3) 0.3P c c c 0.118答 ： 该 顾 客 等 候 时 间 不 少 于 2分 钟 的 概 率 为 0.11819 （ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： （ ） 证
18、明 ： 过 点 D在 平 面 ABCD内 作 /DN BC ， 交 AB 于 点 N ，因 为 2AB CD ， ABC BCD ，所 以 四 边 形 DNBC 为 一 个 底 角 是 60的 等 腰 梯 形 ，所 以 BN AN CD ， 所 以 N 为 AB中 点 ，由 题 知 90BAD ， 在 Rt NAD 中 ， 2DN AN ，又 60ABC BCD ，所 以 32BC ND ，而 23BF CE BC ，所 以 ,E F 为 BC 的 三 等 分 点 ，连 接 EN ， 所 以 / /NE AF DC，又 在 DEC 中 ， 2EC DC ， 60BCD ，所 以 30DEC ，
19、 所 以 DE CD ， 所 以 DE AF ，又 PA平 面 ABCD， 所 以 PA DE ，因 为 PA AF A ， 所 以 DE 平 面 PAF （ ） 以 A为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 , ,AB AD AP 所 在 直 线 为 , ,x y z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 所 以 平 面 ACD的第 页 8一 个 法 向 量 为 (0,0,1)m ，又 由 （ ） 知 60 , 90ABC AND BAD ，所 以 在 AND 中 ， 3 3AD AN ，所 以 (0, 3,0)D ， 150ADC ， 1 3 3( , ,0)2 2C ， (0,0,1)
20、P ，所 以 1 3 3 1 3( , ,1), ( , ,0)2 2 2 2PC DC ，设 平 面 PCD的 法 向 量 为 ( , , )n x y z ，所 以 00PC nCD n 即 1 3 3 02 21 3 02 2x y zx y 令 3x ， 所 以 ( 3, 1, 3)n ，设 二 面 角 P CD A 的 平 面 角 为 ， 且 为 锐 角 ，所 以 21cos = 7| | |n mn m 2 0 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）解 ： （ ） 由 已 知 得 ： 1c ， 2 2 1a b ， 22 3 bc a所 以 22 3a b ， 23 2 3 0a
21、a ， 解 得 3, 2a b 椭 圆 的 方 程 2 2 13 2x y （ ） 当 直 线 的 斜 率 为 0 时 ， 显 然 不 成 立 设 直 线 : 1l x my ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联 立 2 22 3 61x yx my 得 2 2(2 3) 4 4 0m y my 则 1 2 1 22 24 4,2 3 2 3my y y ym m 1ABF 中 AB 边 上 的 中 线 长 为 2 21 1 1 2 1 21 1 ( 2) ( )2 2F A FB x x y y 2 21 2 1 21 ( ) 4 ( )2 m y y y
22、y 2 2 22 21 4 12 4( ) ( )2 2 3 2 3m mm m 第 页 92 2 2 2 222 2 2 2 22 3 3 4 (2 3) 8(2 3) 3( )2 3 (2 3) (2 3)m m m mm m m 令 22 3t m 则 22 3m t 得 1 112 F A FB 2 22 28 3 3 8 1 4 131 3( )3 3t tt t t t 由 2 2F A F B ， 得 11 2 2, yy y y ，2 21 2 1 2 22 1 1 2( )1 42 2 2 3y y y y my y y y m 1 2 ， 221 4 2( 3) 12 0,
23、 2 3 2m tm t 1 1 13 4, 4 3t t ， 1 112 F A FB 51 ,241ABF 中 AB 边 上 中 线 长 的 取 值 范 围 是 51 ,242 1 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）解 ： （ ） 由 题 意 ， 2( ) ( 1) ( 2)xg x x e a x ，得 ( ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2 )x xg x x e a x x e a （ i） 当 0a 时 ， 在 ( , 2) 上 ， ( ) 0g x ， 在 ( 2, ) 上 ， ( ) 0g x （ ii） 当 0a 时 ， 令 ( ) 0g x ， 解 得 2x 或
24、ln(2 )x a 若 212a e ， ln(2 ) 2a ， ( ) 0g x 恒 成 立 ； 若 212a e ， ln(2 ) 2a ，在 ( 2,ln(2 )a 上 ， ( ) 0g x ；在 ( , 2) ， (ln(2 ), )a ， ( ) 0g x 若 212a e ， ln(2 ) 2a ， 在 (ln(2 ), 2)a 上 ， ( ) 0g x ；在 （ ( ,ln(2 )a ,与 ( 2, ) 上 ， ( ) 0g x 综 上 ， 当 0a 时 ， ( )g x 极 小 值 点 为 2 ， 无 极 大 值 点 ； 当 210 2a e 时 ， ( )g x 极小 值 点
25、 为 2 ， 极 大 值 点 为 ln(2 )a ； 当 212a e 时 ， ( )g x 极 小 值 点 为 ln(2 )a ， 极第 页 1 0大 值 点 为 2 ； 当 212a e 时 ， ( )g x 无 极 值 点（ ） 设 2 2( ) (2 2) (2 2) 4 2xh x x e a x a ,因 为 2( ) (4 2) 8 8xh x x e ax a ， 得 2( ) 8 8xh x xe a ( 0)x ,且 函 数 ( )h x 在 0, ) 上 单 调 递 增（ i） 当 8 0a 时 ， 有 ( ) 0h x ， 此 时 函 数 ( )h x 在 0, ) 上
26、 单 调 递 增 ，则 ( ) (0) 2 8h x h a ， 若 2 8 0a 即 14a 时 ， 有 函 数 ( )h x 在 0, ) 上 单 调 递 增 ，则 ( ) (0) 0h x h ， 符 合 题 意 ； 若 2 8 0a 即 1 04 a 时 ， 存 在 0 0x 满 足 ( )h x 0， 0(0, ), ( ) 0x x h x ， 此 时 函 数 ( )h x 在00, )x（ 上 单 调 递 减 ， ( ) (0) 0h x h 不 符 合 题 意 ；（ ii） 当 8 0a 时 ， 有 ( ) 8 0h a 0 ， 存 在 1 0x 满 足 ( )h x 1 0
27、1(0, ),x x1h(x ) 0 ， 此 时 ( )h x 在 10, )x（ 上 单 调 递 减 ， ( ) (0) 8 2 0h x h a ， 此 时 函数 ( )h x 在 10, )x（ 上 单 调 递 减 ， 不 符 合 题 意 综 上 ， 实 数 a的 取 值 范 围 是 14a 22 解 法 一 ： （ 1） 由 1 3,1 ,x ty t 得 l的 普 通 方 程 为 3 1 3x y ，又 因 为 cos ,sin ,xy ， 所 以 l的 极 坐 标 方 程 为 cos 3sin 1 3 （ 或 2 sin( ) 1 36 ）由 2cos 得 2 2 cos ， 即
28、2 2 2x y x ，所 以 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 2 0x y x （ 2） 设 ,P Q的 极 坐 标 分 别 为 1 1 2 2, , , ， 则 1 2POQ 由 cos 3sin 1 3,2cos , 消 去 得 2cos cos 3sin 1 3 ，第 页 1 1化 为 cos2 3sin2 3 ， 即 3sin 2 6 2 ，因 为 0 2 ， ， 即 72 +6 6 6 ， ， 所 以 2 6 3 ， 或 22 6 3 ，即 12 ,12,4 或 12 ,4 ,12 所 以 1 2 =6POQ 解 法 二 ： （ 1） 同 解 法 一（ 2） 曲 线 C
29、 的 方 程 可 化 为 2 21 1x y ， 表 示 圆 心 为 1,0C 且 半 径 为 1的 圆 将 l 的 参 数 方 程 化 为 标 准 形 式 31 ,211 2x ty t (其 中 t 为 参 数 )， 代 入 C 的 直 角 坐 标 方 程 为2 2 2 0x y x 得 ， 2 23 1 31 1 2 1 02 2 2t t t ，整 理 得 ， 2 0t t ， 解 得 0t 或 1t 设 ,P Q对 应 的 参 数 分 别 为 1 2,t t ， 则 1 2 1PQ t t 所 以 3PCQ ，又 因 为 O是 圆 C上 的 点 ， 所 以 2 6PCQPOQ 解 法
30、 三 ： （ 1） 同 解 法 一 （ 2） 曲 线 C 的 方 程 可 化 为 2 21 1x y ， 表 示 圆 心 为 1,0C 且 半 径 为 1 的 圆 又 由 得 l的 普 通 方 程 为 3 1 3 0x y ，则 点 C到 直 线 l的 距 离 为 32d ，所 以 22 1 1PQ d ， 所 以 PCQ 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 3PCQ ，又 因 为 O是 圆 C上 的 点 ， 所 以 2 6PCQPOQ 23. 解 ： （ 1） 当 1a 时 ， 1 1f x x x ， 则 2 , 1,2, 1 1,2 , 1.x xf x xx x 当 1x 时 ， 由
31、f x 4 得 ， 2 2x 4， 解 得 2 1x ；当 1 1x 时 ， f x 4 恒 成 立 ；第 页 1 2当 1x 时 ， 由 f x 4 得 ， 2x 4， 解 得 1 2x 所 以 f x 4 的 解 集 为 2 2x x （ 2） 因 为 对 任 意 1x R ， 都 存 在 2x R， 使 得 不 等 式 1 2f x g x 成 立 ，所 以 min minf x g x 因 为 22 2 3 1 2 0a a a ， 所 以 2 2 3a a ，且 2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3x a x a x a x a a a a a ， 当 22 3a x a 时 ， 式 等 号 成 立 ， 即 2min 2 3f x a a 又 因 为 2 2 22 4 4 42 4 4a a ax ax x ， 当 2ax 时 ， 式 等 号 成 立 ， 即 2min 4 4ag x 所 以 22 2 3 4 4aa a ， 整 理 得 ， 25 8 4 0a a ，解 得 25a 或 2a ， 即 a的 取 值 范 围 为 2, 2,5
