1、鞍山一中 2018 届一模考试数学科试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】求解二次不等式 可得： ，即 ，结合并集的定义可得： .本题选择 D 选项.2. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以零点所在的区间为 ，选 C.3. 若命题 ： ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则：若命题 ： ，则 为 .本题选择 C
2、选项.4. 函数 的对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的解析式即：结合正弦函数的性质可得函数的对称轴满足： ，解方程可得对称轴方程为： .本题选择 D 选项.点睛：求 f(x) Asin(x )( 0)的对称轴，只需令 x k( kZ)，求 x；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x k( kZ)即可5. 指数函数 （ ，且 ）在 上是减函数，则函数 在其定义域上的单调性为（ ）A. 单调递增 B. 单调递减C. 在 上递增，在 上递减 D. 在 上递减，在 上递增【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知： ，函数 的导函数： ，当 时， ，函数 单调递减，当 时
3、， ，函数 单调递增，本题选择 C 选项.6. 设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则可得：，且 ，则： ，即 .本题选择 D 选项.7. 已知函数 ，则 的增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数有意义，则： ，求解不等式可得函数的定义域为： ，二次函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，结合复合函数的单调性可得 的增区间为 .本题选择 B 选项.点睛：求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的
4、性质及利用导数的性质.8. 已知函数 ，若对于区间 上的任意实数 ，都有，则实数 的最小值是（ ）A. 20 B. 18 C. 3 D. 0【答案】A【解析】根据题意可得，即求 ， ，所以 f(x)在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，所以 ， ，选A【点睛】对于区间 D 上， ， 恒成立，一般是转化为的最值问题。9. 如图 1 所示，半径为 1 的半圆 与等边三角形 夹在两平行线 之间， ， 与半圆相交于 两点，与三角形 两边相交于 两点.设弧 的长为 ，若 从 平行移动到 ，则 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 x=0 时, ;当 x= 时,此时 ；当 时
5、, ,三角形 OFG 为正三角形,此时 ，在正三角形 AED 中， AE=ED=DA=1， y=EB+BC+CD=AB+BC+CA(AE+AD)= .如图。又当 时,图中 .故当 时,对应的点( x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项, D 正确。本题选择 D 选项.10. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】已知函数 是定义域为 的奇函数， ， ，由题意可得： f(x)=f(2+x),f(x)是 R 上的奇函数， f(x+4)=f(x+2+2)=f(x2)=f(x+2)=f(x)=f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期
6、函数，则：.本题选择 A 选项.11. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：“我没有偷” ；乙：“丙是小偷” ；丙：“丁是小偷” ；丁：“我没有偷”.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丁说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲考点：推理与证明12. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设不等式的解集为 M，利用排除法：当 m=3 时， ，即 ，选项
7、A,B 错误；当 m=4 时， ，即 ，选项 C 错误；本题选择 D 选项.点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ，则 _.【答案】【解析】由题意可得：，即： ，解方程可得： .14. 已知 为奇函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线方程是_.【答案】【解析】设 ，则 ， ，据此可得： ，且： ，据此可得：曲线 在 处的切线方程是 ,整理为一般式即： .点睛：导数运算及切线的理
8、解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.15. 由 和 围成的封闭图形面积为_.【答案】【解析】解方程： 可得： ，如图所示，结合定积分的性质可得封闭图形面积为：.16. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是_.【答案】【解析】求解不等式： 可得： ，则函数的定义域为： ，且 ，即函数 是定于在 R 上的偶函数，当 时，考查如下函数： ，函数 表示双曲线 位于第一象限的部分，函数 单调递增；，很明显 ，则 ，函数 在区间 上单调递增,结合复合函数的单调性可得函数 在区间
9、 上单调递增,综上可得函数 为偶函数，且在区间 上单调递增，原不等式等价于 ，求解绝对值不等式可得不等式的解集为： .点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“ f”，转化为解不等式(组)的问题，若 f(x)为偶函数，则 f( x) f(x) f(|x|)三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 ，命题 ： ，命题 ： ，满足.（1）若命题 是真命题，求 的范围；（2） 为假， 为真，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或 .【解析】试题分析：(1)由题意可得：当命题
10、p 为真命题时 ，当命题 q 为真命题时 ，据此可得，命题 是真命题，则 ；(2)满足题意时 假 假，或 真 真，据此分类讨论可得实数 a 的取值范围是 或.试题解析：(1) 真，则 或 ，得真，则 ，得真， .(2)若 假 假，则 ，若 真 真，则综上 或 .18. 已知 （ ）过点 ，且当 时，函数 取得最大值 1.（1）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式；（2）在（1）的条件下，函数 ，求 在 上的值域.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意可得函数 f(x)的解析式为 ，则 .(2)整理函数 h(x)的解析式可得： ，结合函数的定义域可得函数
11、的值域为 .试题解析：(1)由函数过 得 ， ， .(2) ，值域为 .19. 已知函数 为奇函数.（1）判断 的单调性并证明；（2）解不等式 .【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：(2)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去 f 符号，求解对数型二次不等式可得原不等式的解集为 .试题解析：（1）由已知 ， ， ， 为单调递增函数. （2） ， ，而 为奇函数， 为单调递增函数， ， ， ， .20. 已知 ， ， ， ， .（1）求 的值.（2） ，求 的值域.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意可得 ， ，然后构造角，结合两角和差正余弦公式可得 .(2)
12、函数 的解析式为 ，令，利用换元法求值域可得函数 的值域是.试题解析：（1） ， ， ， ， ， ，又 ， ，.（2）令 ，的值域为 .21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围；（3）证明： ， .【答案】(1)当 时函数 的递增区间为 ；当 时函数 的递增区间为,函数 的递减区间为 ；(2) ；(3)证明见解析.【解析】略22. 已知函数 （ ）.（1）当 时，求函数 的最小值； （2）若 时， ，求实数 的取值范围.【答案】(1)1；(2) .【解析】试题分析：(1)当 时，函数的解析式为 ，据此求得导函数，结合导函数确定函数的单调性，据此可得
13、函数的最小值为 ；(2)结合题意构造函数 ，然后分类讨论 和 两种情况可得实数 的取值范围是 .试题解析：(1) 当 时，函数的解析式为 ，则： ，结合导函数与原函数的关系可得函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，函数的最小值为： .（2）若 时， ，即 （*）令 ，则若 ，由（1）知 ，即 ，故函数 在区间 上单调递增， .（*）式成立.若 ，令 ，则函数 在区间 上单调递增，由于 ，.故 ，使得 ，则当 时， ，即 .函数 在区间 上单调递减， ，即（*）式不恒成立.综上所述，实数 的取值范围是 .点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
