1、 材 料 力 学 1第11 章 超静定结构材料力学第11 章 超静定结构22 对称及反对称的利用材料力学 1 力法正则方程3用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为 多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。一、基 本 概 念材料力学4静不定问题分类第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的，可称为外力静不定系统。第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的，可称为内力静不定系统。第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力
2、是静不定的，称为混合静不定系统。分析方法：1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。材料力学5第一类第二类第三类材料力学二、力 法 的 解 题 步 骤1.判定超静定次数；2.在多余约束处满足“变形几何条件”，得到变形协调方程；3.由补充方程求出多余约束力；4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。相 当 系 统：解 除 超 静 定 结 构 的 多 余 约 束，用 多 余 约 束 力X1、X2、X3 代 替 多 余 约 束，得 到 一 个 几 何 不 变 的 静 定 系 统，称为原静不定结构的“相当系统”。基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得
3、到的静定结构，称为原超静定结构的基本静定系，简称静定基。6材料力学7解：判定多余约束反力的数目（一个）选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程，见图(b)。C2lPAB2l(a)PABCX1(b)例1 如图 所 示，梁EI 为 常 数。试 求 支 座 反 力，作 弯 矩 图。01 11=+=P X B变形协调方程材料力学8 用能量法计算 和P 111XPABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫尔定理可得(图c、d、e)EIPlx xlx PEIllP485 d)2(1321=EIl Xx x x XEIlX3d13101 11=材料力学9 求多余约束反力将上述结果代入变形
4、协调方程得048533 31=EIPlEIl XP X1651=求其它约束反力由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。CPAB(f)作弯矩图，见图(g)。(g)+材料力学10三、力法正则方程以力为基本未知量的变形协调方程的标准形式，即所谓的 力法正则方程。X1多余未知量；11在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿X1方向的位移；1P在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；上例中的变形协调方程 可改写成下式：01 11=+=P X B材料力学11对于有n 个 多 余 约 束 反 力 的 静 不 定 系 统 的 正 则 方 程 如 下：由位移互等定理知：j
5、i ij=ij：影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；iP：自由项，表示在基本静定系上，由原载荷引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移。材料力学12例 试 求 图 示 刚 架 的 全 部 约 束 反 力，刚 架EI 为 常 数。qaABa解：刚架有两个多余约束。选取并去除多余约束，代以多余约束反力。qABX1X2 建立力法正则方程 计算系数ij和自由项iP材料力学13qABx1 x2ABx1 x211ABx1 x2EIqax a qxEIaP6d)21(1422201=EIqax x qxEIaP8d)21(142 22202=EIax a x xEIa a34)d d(132021021 11=+=EIax xEIa3d132022 22=EIax axEIa2d13202 21 12=用莫尔定理求得材料力学14 求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得08 3 206 2 344231342313=+=+EIqaXEIaXEIaEIqaXEIaXEIa)(73)(28121=qa Xqa X 求其它支反力由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。qAB
