1、上海市浦东新区 2017-2018 学年第一学期高三数学期中质量检测试卷一、填空题1. 幂函数经过点 ，则此幂函数的解析式为_.【答案】【解析】设幂函数为 ，代入点 ，所以 所以 ， ，填。2. 若集合 ， ，则 _【答案】【解析】由题意可得 所以 ，填 。3. 设 为函数 的反函数，则 _.【答案】【解析】不妨设 f(t)=2,所以 ，解得 ，所以 ，填 。【点睛】原函数过（a,b）点，反函数一定过（b,a）点。所以要求 ，只解方程 f(t)=2.4. 不等式 的解集是_.【答案】【解析】原不等式可等价为（x-1）(x+2)0,所以-2x1,填（-2,1）.5. 在一个圆周上有 10 个点，
2、任取 3 个点作为顶点作三角形，一共可以作_个三角形（用数字作答） 【答案】120【解析】由于圆周上的任意三点不共线，所以任取 3 点方法数为 ，填 120.6. 已知球半径为 2，球面上 A、B 两点的球面距离为 ，则线段 AB 的长度为_.【答案】2【解析】由于球面距离为 ，设球心角为 ，所以 ，在 中，为等边三角形，所以 AB=2.【点睛】球面距离一定要与球心角 ，球的半径 R 相关，即 ，而弦 AB,可以放在大圆计算，也可以结合垂径定理放在小圆计算，要根据题意来选择。7. 若 ，且 ，则 的最大值是_【答案】【解析】略8. 在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概
3、率是_（结果用数值表示）【答案】【解析】从五个数字 中，随机取出三个数字的方法有 10 种，剩下两个数字都是奇数的取法有 3 种，所求概率是9. 若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 _【答案】10. 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， a， b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5若要使该总体的方差最小，则 a、 b 的取值分别_【答案】【解析】试题分析：总体的中位数为 ，a+b=21，故总体的平均数为 10，要使该总体的方差最小，只需 最小，又 当且仅当 a=b=10.5 时，等号成立考点：本题考查了统计及基本不等式的运用点评
4、：熟练运用统计知识解决数据问题是解决此类问题的关键，属基础题11. 已知命题 ，命题 .若 中有且只有一个是真命题，则实数 的取值范围是_【答案】.【点睛】命题 中有且只有一个是真命题，包含两种情况：一种是命题 为真且命题 为假，另一种是命题 为假且命题 为真。12. 如图所示，在正方体 中， 、 分别是棱 、 的中点， 的顶点在棱 与棱 上运动.有以下四个命题：平面 ；平面 平面 ； 在底面 上的射影图形的面积为定值； 在侧面 上的射影图形是三角形其中正确命题的序号是_【答案】【解析】错， ，显然当 M 落在 ， 不垂直 ，所以平面 不恒成立。对，因为 ，且 ，所以 平面 。对，因为 的射影
5、是 MB 为定值，点 M 的射影一定在线段 CD 上，所构造的射影三角形均同底等高，所以面积为定值。错，当 M 点落在点 时， 在侧面 上的射影图形是条线段。综上所述，填。二选择题13. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根，分别是 、 ，则“”是“两根均大于 1”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若 ，则 ，但是 ,满足 ，但不满足 。所以是必要不充分条件。选 B.【点睛】若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件，若存一个 ，使 p 成立，但 q 不成立，则 p 不是 q 的充分条件，q 也不是 p 的必要条件。14.
6、 在下列命题中，不是公理的是（ ）A. 两条相交直线确定一个平面；B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面；C. 如果直线上有两个点在平面 上，那么直线在平面 上；D. 如果不同的两个平面 、 有一个公共点 A，那么 、 的交集是过点 A 的直线.【答案】A【解析】由五个公理可知，A 选项是 B 选项公理的推论，所以选 A.15. 展开式中的常数项为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】略16. 下列四个命题中正确是（）A. 函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的值域相同；B. 函数 与 的值域相同；C. 函数 与 都是奇函数；D. 函数 与 在区间 上都是增函数.【答案】C【解析】A
7、选项中,指数函数的值域为 ， =x,值域为 R,所以 A 错。B 选项中，幂函数的值域为 R, 指数函数的值域为 ,所以 B 错。D 选项中，二次函数在 上是单调递增， 在 R 上为单调递增，D 错。C 选项中, , 定义域为 ,f(x)为奇函数， ，定义域为 ， ，C 对。三、解答题17. 如图所示，圆锥 的底面圆半径 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形（1）求此圆锥的表面积；（2）求此圆锥的体积【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）圆锥底面周长等于展开扇形弧长 AB,可算得扇形半径，即圆锥母线长，再根据圆锥的侧面积公式可求得侧面积， 。 （2） 。试题解析：（1）因为 ，所以
8、底面圆周长为 ，所以底面圆的面积为 ， 所以弧 长为 ， 又因为 ，则有 ，所以 ，扇形 ASB 的面积为 ，所以圆锥的表面积= （2）在 中， . ，所以圆锥的体积 18. （1）解方程： ；（2）已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式的解集【答案】 （1）1；（2）【解析】试题分析：（1）统一指数的底数为 5,再把 当整体，原方程转化为一元二次方程，可解得 t，进一步解得 x.(2)由题意可得方程 的两个根为和 ， 且 ，进一步求得 a,b，代入不等式 ，可求得不等式的解集试题解析：（1）令 ，则 ，解得 或 ，即或 ，解得 或 . （2）由题意可知，方程 的两个根为 和 ， 且
9、 则由韦达定理可得，于是不等式 为 ，则其解集为【点睛】对于一个方程或不等式中有多个指数形式的，常把指数化同底，再应用整体思想，把指数结构整体换元。从而进一步求解。19. 如图，正方体 的棱长为 2，点 为面 的对角线 的中点. 平面交 于点 ， 于点 .（1）求异面直线 与 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析:（1）因为点 为面 的对角线 的中点,连 AC,可证 ，所以 ，所以异面直线 与 所成角，即 。 （ ）即求 ， ，求得线段长度，代入体积公式可解。试题解析：（1）因为点 为面 的对角线 的中点. 平面 ，所以 为
10、的中位线，得 ，又 ，所以 ，因为在底面 中，所以 ，又 ， 为异面直线 与 所成角的平面角，在 中， 为直角， ，所以 ，即异面直线 与 所成角的大小为 .（2） ， ， 计算得三棱锥 的体积为 .20. 已知函数（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）证明： 在 上为增函数； （3）证明：方程 0 没有负数根。【答案】 （1）无奇偶性；（2）见解析；（3）没有负数根.【解析】试题分析：（1）判断奇偶首先看定义域是否关于原点对称，再看 f(x)与 f(-x)关系，本题定义域不关于原点对称，所以非奇非偶函数。 （2）有定义作差法证明函数的单调性。对于指数函数与分式函数可以分组判断。 （3）
11、假设方程有负根， ，方程两边取值范围不一样，矛盾。所以没有负数根。试题解析：（1）因为函数 的定义域为 ， 不关于原点对称，所以函数 没有奇偶性.（2）证明：设 ， ， ， 在 上为增函数.（3）设 ，则 ，由 0，必须 ，则 ，与矛盾,所以方程 没有负数根.【点睛】判断奇偶首先看定义域是否关于原点对称，再看 f(x)与 f(-x)关系，若 f(-x)=f(x)，则为偶函数，若 f(-x)=-f(x)，则为奇函数。用定义证明单调性步骤为：假设-作差-变形-判断-下结论21. 函数 的定义域为 （ ）.（1）当 时，求函数 的值域；（2）若函数 在定义域上是减函数，求 的取值范围；（3）求函数
12、在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 的值.【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）当 时， ， 由均值不等式或钩形函数图像可求得函数值域。 （2）由减函数的定义证明法来求参数的范围。 （3）由于 a 的取值不同，函数的单调性有变化，所以根据单调性来讨论函数的值域，分 和和 讨论函数值域。试题解析：（1）函数 ，所以函数 的值域为（2）若函数 在定义域上是减函数，则任取 且 都有成立，即 ，只要 即可，由 ，故 ， 所以 ，故 的取值范围是 ； （3）当 时，函数 在 上单调增，无最小值， 当 时取得最大值 ；由（2）得当 时， 在 上单调减，无最大值， 当时取得最小值 ； 当 时，函数 在 上单调减，在 上单调增，无最大值，当 时取得最小值 .【点睛】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法。特别注意当函数含有参数时，而参数又会影响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域。
