1、上师大附中 2017 学年第一学期期中考试高三年级 数学学科第卷（共 60 分）一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 14 小题，只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.1. 已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】 2. 函数 的定义域为_【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义需有 ，解得 ，所以函数的定义域为 考点：求函数的定义域3. 化简： _【答案】【解析】因为 ，所以填 .4. 函数 ，则 _【答案】【解析】 5. 等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ， ，则_【答案】【解析】由题意可得 ，所以 两
2、式相除得 代入得，填 32。6. 如果函数 的反函数为 ，那么 _【答案】【解析】令 7. 已知 是等差数列，若 ， ，则 的值是_【答案】 或【解析】因为 是等差数列， ，所以 ，又 ，解得： 或，当 时， ， ，当 时， ，所以填 .8. 已知 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】因为 是 R 上的增函数，所以 ，解得 或 ，故填.9. 若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围是_【答案】【解析】函数为奇函数，则： ，解得： a1.则 ，由 ，得 x(0,1)10. 已知 ，函数 在区间 上的最大值是 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】 当 时, 最大值是 ;.当 时, ,舍去综上
3、 的取值范围是11. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ，从点 沿海岸正东 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度是 ，用 （单位： ）表示他从小岛到城镇的时间， （单位： ）表示此人将船停在海岸处距 点的距离.经过计算将船停在海岸处某地，可使从小岛到城镇所花时间最短，则这个最短时间是_ 【答案】【解析】由题意知，所花时间 ，求导 ，令解得 ，当 时， ，当 时 ，所以当 时， 最小值，此时 ，即最短时间为 h.12. 设 是定义在 且周期为 的函数，在区间 上， ，其中集合，则方程 的解的个数是_【答案】【解析】由于 ，则需考虑 的情况在此范围内， 且
4、时，设 ，且 互质若 ，则由 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，只需考虑 与每个周期 的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 的部分，且 处 ，则在 附近仅有一个交点因此方程解的个数为 8 个.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、选择题：本大题共有 4
5、 题,每题给出代号 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13. 函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，故选 B.14. 若 ，则函数 的两个零点分别位于区间（ ）A. 和 内 B. 和 内C. 和 内 D. 和 内【答案】A所以由零点存在定理得两个零点分别位于区间 和 内，选 A.15. 已知函数 .则 （ ）A. 是奇函数，且在 上是增函数 B. 是偶函数，且在 上是增函数C. 是奇函数，且在 上是减函数 D. 是偶函数，且在 上是减函数【答案】A【解析】 所以 是奇函
6、数，且在 上是增函数，选 A.16. 已知函数 （ ， ， ）的图像与 轴交于点 ，在 轴右边到 轴最近的最高坐标为 ，则不等式 的解集是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】由题意得 所以 因此 ，选 D.点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知二次函数 ，若不等式 的解集为 .（1）求解关于 的不等式： ；（2）若 且 ，求 （ ）的最小值.【答案】 （1）解得解集为（，1）（4，+） ；（2）y mi
7、n= .【解析】试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根，即可求解；（2）换元后利用二次函数求最值即可.试题解析：因为二次函数 的解集为 ，所以 且解得 ，（1）由原不等式得 ，解得 或所以不等式的解是（2）令 ，当 时， ，则 ，当 时，当 时， ，当 时， ，综上函数最小值 .18. 在 中， 是 上的点， 平分 ， 是 面积的 倍.（1）求 ；（2）若 ， ，求 和 的长.【答案】 （1） ；（2） ，AC=1.【解析】试题分析:（1）根据正弦定理及面积之间的关系即可求解；（2）在两个有公共边且有等角的三角形中使用余弦定理，且注意到两边长为 2 倍关系，即可解出.试题解析：（1
8、） 是 面积的 2 倍 由正弦定理可知：（2）由（1）知， ， 是 面积的 2 倍 设 ，由余弦定理得： ，解得 .点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19. 设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数） ，且满足 是 与 的等差中项；数列 满足 （ ， ）（1）求数列 的通项公式；（2）试确定 的值，使得数列 为等差数列.【答案】 （1） （2）t=3.【解析】试题分析：（1）
9、根据题意列出方程，解方程即可求出公比，进而写出通项公式；（2）先根据前三项为等差数列求 t 的值，再证明 t 取此值时数列是等差数列即可.试题解析：（1）由 是 与 的等差中项，得 ，因为 为正整数， ，所以.（2） ，当 ，由数列为等差数列得 ，且，得 ，此时可证数列是等差数列，故 .点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前 n 项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前 n 项和的最值，进行
10、转化处理即可.20. 已知 是定义在 上的奇函数.（1）当 时， ，若当 时， 恒成立，求 的最小值；（2）若 的图像关于 对称，且 时， ，求当 时，的解析式；（3）当 时， .若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 的最小值为 ;(2) (3) .【解析】试题分析：（1） 取最小值时，m,n 为函数在 上最大值与最小值，先求函数在 上最值，再根据奇函数性质得在 上最大值与最小值， （2）先根据函数两个对称性（一个关于原点对称，一个关于 对称）推导出函数周期，根据周期性只需求出 解析式，根据关于 对称，只需求出 上解析式，根据奇函数性质根据解析式可得 上解析式， （
11、3）先根据函数解析式得到 ，转化不等式为 ，再根据函数单调性得 ，最后根据不等式恒成立，利用变量分离法求实数 的取值范围.试题解析：（1） ，当 时， .，因为函数 是奇函数，所以当 时， .所以 ， ， 的最小值为 .（2）由 为奇函数，得 ；又 的图像关于 对称，得 ；即 当 ， ；当 ， ；又 ，当 时，（3）易知 ， ；， ；综上，对任 ， 对任意的 恒成立，又 在 上递增， ，即 对任意的 恒成立. 点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式
12、，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的值或解析式.21. 我们称满足： （ ）的数列 为“ 级梦数列”.（1）若 是“ 级梦数列”且 .求： 和 的值；（2）若 是“ 级梦数列”且满足 ， ，求 的最小值；（3）若 是“0 级梦数列”且 ，设数列 的前 项和为 .证明：（ ）.【答案】(1) , ;（2） ；(3)见解析。【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出 构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过 ，利用累加法求出 ，通过两边同除可得 ，累加求 的范围，从而得出结论 .试题解析：（1） 是“1 级梦数列”,所以 ，当 n=2,3,4,时，代入可求得；（2）由条件可得： ， 解得 当且仅当 时取等号.（3）根据 ，可得 又由 得累加得： ，所以 由得点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.
