1、2.1.1 平 面,第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,学习目标 1.了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系. 2.掌握关于平面基本性质的三个公理. 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面,思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？,答案 没有.平行四边形.,梳理 (1)平面的概念 平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.,无限延展,(2)平面的画法,平行四边形,(3)平面的表示方法 用希腊字母表示，如平面，平面，平面. 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABC
2、D. 用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.,45,2,虚线,知识点二 点、直线、平面之间的关系,思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？,答案 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示.,梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达,知识点三 平面的基本性质,思考1 直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？思考2 观察图中的三脚架，你能得出什么结论？,答案 前者不在，后者在.答案 不共线的三点可以确定一个
3、平面.,梳理 关于平面基本性质的三个公理,两点,此平面内,不在一条直线,上,有且,只有,公共直线,1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( ) 2.空间不同三点确定一个平面.( ) 3.一条直线和一个点确定一个平面.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B.,类型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换,解答,解 用符号表示：l，aA，aB，如图.,(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上.,解答,解 用符号表示：A，B，aC，CAB，如图.,反思与感悟 (1)用文字语言
4、、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.,跟踪训练1 (1)若点A在直线b上，b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作 A.Ab B.Ab C.Ab D.Ab (2)如图所示，用符号语言可表述为 A.m，n，mnA B.m，n，mnA C.m，n，Am，An D.m，n，Am，An,答案,例2 如图，已知a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.,类型二 共面问题,证明,证明 因为PQa，所以PQ与a确定一个平面， 所以直线a，点
5、P. 因为Pb，b，所以P. 又因为a，Pa，所以与重合，所以PQ.,引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.,证明,证明 已知：abc，laA，lbB，lcC. 求证：a，b，c和l共面. 证明：如图，ab， a与b确定一个平面. laA，lbB，A，B. 又Al，Bl，l. bc，b与c确定一个平面，同理l. 平面与都包含l和b，且blB， 由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， 平面与平面重合，a，b，c和l共面.,反思与感悟 (1)公理2的推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相
6、交直线有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. (2)点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论.解决该类问题通常有三种方法 纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内. 辅助平面法(平面重合法)：先由有关的点、线确定平面，再由其余元素确定平面，最后证明平面，重合. 反证法. 通常情况下采用第一种方法.,跟踪训练2 如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.,证明,证明 方法一 (纳入平面法) l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，Bl2. 又l2，B.同
7、理可证C. Bl3，Cl3，l3. 直线l1，l2，l3在同一平面内.,方法二 (辅助平面法) l1l2A，l1和l2确定一个平面. l2l3B，l2，l3确定一个平面. Al2，l2，A. Al2，l2，A. 同理可证B，B，C，C. 不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内， 平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.,命题角度1 线共点问题 例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点. 求证：FE，HG，DC三线共点.,类型三 证明共点、共线问题,证明,证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1EB
8、，且HC1EB， 四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B. 又C1GGC，CFBF，,GFHE，且GFHE， HG与EF相交.设交点为K， KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD. KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD， K(平面D1C1CD平面ABCDDC)， EF，HG，DC三线共点.,反思与感悟 证明三线共点问题的基本方法 先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.,跟踪训练3 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，C
9、D，DA上. (1)如果EHFGP，那么点P在直线_上；(2)如果EFGHQ，那么点Q在直线_上.,答案,解析 若EHFGP， 则点P平面ABD，P平面BCD， 而平面ABD平面BCDBD，PBD.解析 若EFGHQ，则Q平面ABC，Q平面ACD， 而平面ABC平面ACDAC， QAC.,解析,BD,AC,命题角度2 点共线问题 例4 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.,证明,证明 如图，连接A1B，CD1，显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1， BD1平面A1BCD1. 同理，BD1平面ABC1D1， 平面A
10、BC1D1平面A1BCD1BD1. A1C平面ABC1D1Q， Q平面ABC1D1. 又A1C平面A1BCD1， Q平面A1BCD1. Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即QBD1， B，Q，D1三点共线.,反思与感悟 点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3，解决此类问题常用的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.,跟踪训练4 如图所示，平面l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线
11、必通过 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M,答案,解析 AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根据公理3可知，M在与的交线上. 同理可知，点C也在与的交线上.,解析,达标检测,1,2,3,4,1.有以下结论： 平面是处处平的面； 平面是无限延展的； 平面的形状是平行四边形； 一个平面的厚度可以是0.001 cm. 其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,5,解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的； 两种说法是错误的.故选B.,解析,2.若一直线a在平面内，则正确的作图是,答案,1,2,3,4,5,解析 B中直线a不应超出平面； C
12、中直线a不在平面内； D中直线a与平面相交.,解析,3.如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为 A.Aa，a，B B.Aa，a，B C.Aa，a，B D.Aa，a，B,解析 点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，表示为Aa，a，B.,解析,答案,1,2,3,4,5,4.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 A.空间中任意三点 B.空间中两条直线 C.一条直线和一个点 D.两条平行直线,1,2,3,4,5,答案,5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_.,1,2,3,4,5,答案,P直线DE,解析 因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC. 又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.,解析,1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚. 2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.,规律与方法,
