1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,第二章 2.2 平面向量的线性运算,学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 向量数乘的定义,思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？,答案 向量.,思考2 向量3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？,答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同. 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的
2、方向相反.,思考3 a的几何意义是什么？,答案 a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|1时，表示a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍.,梳理 向量数乘运算 实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ， 其长度与方向规定如下： (1)|a| .,特别地，当0或a0时，0a 或0 .,向量,数乘,a,0,0,|a|,(2)a (a0)的方向,当 时，与a方向相同； 当 时，与a方向相反.,0,0,知识点二 向量数乘的运算律,思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？,答案 结合律，分配律.,梳理 向量数乘运算律 (1)(a)()a； (2)
3、()aaa； (3)(ab)ab.,知识点三 向量共线定理,思考1 若b2a，b与a共线吗？,答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线. 如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.,思考2 若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？,答案 若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0时，不存在满足ba.,梳理 (1)向量共线定理 向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 . (2)向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，
4、b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b) .,ba,加,减,数乘,1a2b,思考辨析 判断正误 1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.( ),答案,提示,提示 当b0，a0时，实数不唯一.,2.若ba，则a与b共线.( ),提示 由向量共线定理可知其正确.,3.若a0，则a0.( ),提示 若a0，则a0或0.,题型探究,类型一 向量的线性运算,9a,答案,解析,(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.,4b3a,解析 由已知得3x3a2x4a4x4a4b0， 所以x3a4b0，所以x4b3a.,反思与感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数
5、多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.,跟踪训练1 计算：(ab)3(ab)8a.,解答,解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b.,类型二 向量共线的判定及应用,命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e1，e2不共线.,解答,解 b6a，a与b共线.,证明,A，B，D三点共
6、线.,反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线. (2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点.,答案,解析,A，B，D,A，B，D三点共线.,命题角度2 利用向量共线求参数值 例3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值.,解答,解 ke1e2与e1ke2共线， 存在实数，使ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2，,k1.,反思与感悟 利用向量共线定理，即b
7、与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.,跟踪训练3 设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，使dab与c共线？,解答,解 d(2e13e2)(2e13e2) (22)e1(33)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得dkc， 即(22)e1(33)e22ke19ke2. 因为e1与e2不共线，,故存在实数和，使得d与c共线，此时2.,类型三 用已知向量表示其他向量,答案,解析,解析 示意图如图所示，,解答,达标检测,1.下列各式计算正确的有 (1)(7)6a42a； (2)7(ab)8b7a15
8、b； (3)a2ba2b2a； (4)4(2ab)8a4b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,1,2,3,4,解析,5,解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(ab)8b7a7b8b7ab.,1,2,3,4,答案,解析,5,3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则 A.k0 B.k1 C.k2 D.k,答案,1,2,3,4,解析,5,n2m，此时，m，n共线.,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,规律与方法,1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的.,3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.,
