1、11.1.2 瞬时速度与导数明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是 s s(t)，物体在 t0时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0到 t0 t 这段时间内的平均变化率，当 t0 时的极限，即 v s t0 t s t0 t lim t 0 s t lim t 0.s t0 t s t0 t2瞬时变化率一般地，函数 y f
2、(x)在 x0处的瞬时变化率是 lim x 0 y x lim x 0.f x0 x f x0 x3导数的概念一般地，函数 y f(x)在 x0处的瞬时变化率是 ，我们称它lim x 0 f x0 x f x0 x为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记为 f( x0)，即 f( x0) lim x 0 y x lim x 0.f x0 x f x0 x4导函数如果 f(x)在开区间( a， b)内每一点 x 都是可导的，则称f(x)在区间( a， b)可导这样，对开区间( a， b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f( x)，于是在区间( a， b)内， f( x)构成一个新的函数，
3、把这个函数称为函数 y f(x)的导函数记为 f( x)或 y(或 y x)导函数通常简称为导数探究点一 瞬时速度思考 1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：2s)存在函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？答 用 0 t0.5 和 1 t2 的平均速度 来粗略地描述其运动状态v在 0 t0.5 这段时间里， 4.05(m/s)；vh 0.5 h 00.5 0在 1 t2 这段时间里， 8.2(m/s)vh 2 h 12 1平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运
4、动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t的函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10，易知 h( ) h(0)， 0，6549 vh 6549 h 06549 0而运动员依然是运动状态思考 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求 t2 时的瞬时速度，可考察在 t2 附近的一个间隔 t，当 t 趋近于 0 时，看平均速度 的变化趋势，用式子v表示，这就是物体在 t2 时的瞬时速度lim t 0h 2 t h 2 t例 1 火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到 100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为 0?解 火箭的运动方程为 h(t
5、)100 t gt2，12火箭向上位移是初速度引起的位移(100 t)与重力引起的位移 的合成(12gt2)在 t 附近的平均变化率为100 t t 12g t t 2 (100t 12gt2) t100 t gt t 12g t 2 t100 gt g t.12当 t0 时，上式趋近于 100 gt.可见 t 时刻的瞬时速度 h( t)100 gt.令 h( t)100 gt0，3解得 t 10.2(s)100g 1009.8所以火箭熄火后约 10.2 s 向上速度变为 0.反思与感悟 瞬时速度是平均速度在 t0 时的极限值要求瞬时速度，可以先求平均速度思考 3 火箭向上速度变为 0，意味着
6、什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？答 火箭向上速度变为 0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例 1 知火箭熄火后上升的时间为 t ，所以火箭熄火后上升的最大高度100gh100 g 2 510.2(m)100g 12 (100g) 10022g跟踪训练 1 质点 M 按规律 s(t) at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点 M 在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值解 s s(2 t) s(2) a(2 t)21 a2214 a t a( t)2， 4 a a t.在 t2 时，瞬时速度为 4 a， s t lim t 0
7、s t即 4a8， a2.探究点二 导数的定义思考 1 从平均速度当 t0 时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？答 对函数 y f(x)来说， f(x)在点 x x0附近改变 x 时，平均变化率为.f x0 x f x0 x当 x0 时，如果平均变化率趋于一个常数 l，则 l 称为函数 f(x)在点 x0的瞬时变化率思考 2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度思考 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？答 若函数 f(x)在区间( a， b)内可导，对( a， b)内每
8、个值 x，都对应一个确定的导数f( x)， f( x)就叫函数 y f(x)的导函数函数 f(x)在点 x x0处的导数是导函数 y f( x)在 x x0处的函数值例 2 利用导数的定义求函数 f(x) x23 x 在 x2 处的导数解 由导数的定义知，函数在 x2 处的导数4f(2) ，lim x 0f 2 x f 2 x而 f(2 x) f(2)(2 x)23(2 x)(2 232)( x)2 x，于是f(2) ( x1)1.lim x 0 x 2 x x lim x 0反思与感悟 求一个函数 y f(x)在 x x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量 y f(x0 x) f(x
9、0)；(2)求平均变化率 ； y x f x0 x f x0 x(3)取极限，得导数 f( x0) .lim x 0 y x跟踪训练 2 利用导数的定义求下列函数的导数：(1)y x2 ax b 在 x0 处的导数；(2)y 在 x2 处的导数x 2解 (1) y f(0 x) f(0)(0 x)2 a(0 x) b0 2 a0 b( x)2 a( x)， x a， y x x 2 a x x y| x0 ( x a) a.lim x 0 y x lim x 0(2) y 2， 2 x 2 2 2 4 x y x 4 x 2 x 4 x 2 4 x 2 x 4 x 2 .14 x 2 f(2)
10、 .lim x 0 y x lim x 0 14 x 2 14探究点三 导数的实际应用例 3 一正方形铁板在 0时，边长为 10 cm，加热后铁板会膨胀当温度为 t时，边长变为 10(1 at) cm， a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率解 设温度的增量为 t，则铁板面积 S 的增量为 S10 21 a(t t)210 2(1 at)2200( a a2t) t100 a2( t)2，因此 200( a a2t)100 a2 t. S t5令 t0，得 S200( a a2t)所以铁板对温度的膨胀率为 200(a a2t)反思与感悟 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率 ，当 x
11、 趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函 y x f x0 x f x0 x数在 x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 x h 时，原油的温度(单位：)为 y f(x) x27 x15(0 x8)计算第2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解 在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f(2)和 f(6)根据导数的定义， y x f 2 x f 2 x
12、2 x 2 7 2 x 15 22 72 15 x x3，4 x x 2 7 x x所以， f(2) ( x3)3.lim x 0 y x lim x 0同理可得， f(6)5.在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3 与 5.它说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 /h 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 /h 的速率上升1一物体的运动方程是 s at2(a 为常数)，则该物体在 t t0时的瞬时速度是( )12A at0 B at0 C. at0 D2 at012答案 A解析 a t at0，li at0. s t s t0 t s t0 t 12
13、 m t 0 s t2函数 f(x)在 x0处可导，则 ( )limh 0f x0 h f x0hA与 x0、 h 都有关B仅与 x0有关，而与 h 无关C仅与 h 有关，而与 x0无关6D与 x0、 h 均无关答案 B3已知 f(x) x210，则 f(x)在 x 处的瞬时变化率是( )32A3 B3 C2 D2答案 B解析 x3， y x f(32 x) f(32) xli 3.m x 0 y x4已知函数 f(x) ，则 f(1)_.1x答案 12解析 f(1) lim x 0f 1 x f 1 x lim x 011 x 1 x .lim x 0 11 x 1 1 x 12呈重点、现规律1瞬时速度是平均速度当 t0 时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当 x0 时的极限值2利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x(3)取极限得导数 f( x0) .lim x 0 y x
