1、多维 MA（q）模型的 h 步适时递推预测第 33 卷第 3 期西南民族大学?自然科学版JournalofSouthwestUniversityforNationalities?NaturalScienceEdition文章编号:1003-2843(2007)03 048105多维模型的 h 步适时递推预测牟峰,李裕奇,吴开信(西南交通大学数学系,四川成都 610031)摘要:讨论了新息递推算法的理论和方法,将新息算法运用于多维 MA 模型的预测问题,利用有穷观测值导出并证明了多维 MA 向模型的 h 步适时递推预测公式.关键词:多维 MA 序列;新息序列;h 步预测中图分类号:0212 文献
2、标识码:A?1 引言文献1和2以新息递推算法为基础 ,提出了一维情况下()模型的适时递推预测.本文将就多维情况导出并证明一个相关结论.定义 1【2】x, 称为可逆维 ()过程.如果Xf)j 菏足X,=o)Z,fZ,z,)删(0,)_R“det(I+01z+o2z+oz)o,lzl1其中 o(z),+o1z+o2z+.?+oz 是矩阵多项式,I 是单位矩阵,B 是延迟算子(矩阵 o(z)的每一元素均是阶数不大于 g 的实系数多项式)定义 2121 给定一组观察值 X.,X2.,X,用文,表示 X,建立在上述观察值上的线性最小方差预测,令e,=X,一文 ,则称序列 e,)为X,)的新息序列【.r,
3、定义 3有限集的线陛闭包为,.,x)=tY:=,.,c-C,L,=lJr,如粜是实 bert 空问,S=)=Y:=,Li=1JH=l 一曼 l,2 一曼 2,一曼 .定义 4【11( 到上的投影映射)设是 Hilbert_INH 的线性闭子空问 ,I 是定义在上的恒等映射,则存在唯一的把 H 映到/.t 上的映射 P 使得 IP,把 H 映到上上,称 P 为 H 到上的投影映射.命题 1(投影映射的性质)设是 Hilbert 空间,P 是到闭线性子空间的投影映射,JVz,0)x/.t 上的充分必要条件是 P=O;(2)/.t 的充分必要条件是=.收稿日期:2007.01.10作者简介:牟峰(1
4、980.), 男, 西南交通大学数学系硕士研究生;李裕奇(1956-),男,西南交通大学数学系教授482 西南民族大学? 自然科学版第 33 卷2 主要结论及证明定理 1 设X,)是维时间序列,对所有的 t,EX,=0,协方差函数 (f,)E(Xx如果对每一刀 1,xX 的刀个分量的协方差阵都是非奇异的 ,则一步预报文,刀O 及其预报误差协方差阵,刀 1 可用下式递推计算和Xlf0I,1o(X 一l(1)一l,+1,k+1)一o 一 ol,k=o,.一 1,(2)j=0)=K(n+l,刀+1)一推顺序:v0;o;o,o.,;o,o,o,;)证明:当 i时,X 一文Sl/_I,又由预报方程知 x
5、 一文的每一分量与广.正交,于是有(X,一文)_l_(X 一文 li.(3)式(1)两端右乘 (X 一 Xk+l,o 尼刀,并取期望,由式 (3)有 E 文川(X 一文 1=n,n-kVk由于(X 一文)上 Xk.一文), 故EX(X 一 Xk+l:E 文川(X 一 Xk+1)=o 一,式(4)中的文用式 (1)的文代替 ,有o,一=K(n+l,k+1)-(X 川一 5j+1)ro.由式(4),上式即为一IO.,n-k=K(n+1,k+1)一o 一 o.J=O由假设条件 x.,X 的协方差阵是非奇异的,所以非奇异 ,从而.一=K+1,尼+1)一 k-o 一o-,j=O(4)Ol=一,一+X一/
6、=,/,一/,_-=lI一rO一O+XE第 3 期牟峰等:多维 MA 模型的 h 步适时递推预测 483证毕最后有 X=X 一 X+X 川=X由集合X 一文 ,=1.,+1的正交性,上式即为“一 IK(n+l,+1)=+0 叫 o,=X 一文 X.K(n+l,+1)-II-Io 一o定理 2 设X,)是维)过程X,=o(B)zz,)WN(O,),其中 o):+OB+OB,detE0,是单位矩阵则其协方差函数 (f,)=E(X,x)为1iJq.q0,o 一 iqt.i,q,0,Jiqt.i,Jq,(f,i.约定当 Jq 时 o=0.证明:当 1iJq,ZtXOJiq 时,有(,)=()()()=
7、(B),(B)=(砉 E,一,)(,一)当一 iqt.i,q 时,对,kz 有=0, 所以(f,)=0. 证毕将定理 1 和定理 2 用于过程维)过程X,),有X1=Xn+l_j-文一,1g,X 一一文川一),g,(4)(4),l-I,+,X一十,“O+肘X一O脚OO羔=7,Z/EO(1=OO,f,l484 西南民族大学? 自然科学版第 33 卷和:E(X 一文川 XX 肘.一文 ,其中 o,=1.,和可由式(2) 计算得到,17ii(2)中的K(i,)是由式(3)求得.由方程,式(4)计算得文.,文:.,文,则可得步预报的计算过程.定理 3 设x, 是维)过程,则其步预报方程为X+PsX+其
8、预报的均方误差为oXn+h_j-文一),1gj=hJX 一叉一,hqn.:E(1X+一 x+)2:+,门+)一 n+h-Io,+一_/_l0T+,.j=h证明:当 h1 时,有X 一文,由投影映射的性质,有X+S.Ps.X:(文+x 一文):(文)+(X 一文 )=(文):lfn+h-Io,(X.X 一=lo,【X一一 ,=l又当时,X+一文一)上,而当 Jh 时,X 肘一X 一.则Px+=P(薯.+一.,Xn+h-)-Xn+h-J)+Pn+h-I,+ 一.,x+一一文+一再由投影映射的性质得:n+h-lPsX+=O+=打(X 一一 5L+-j),其中系数.由式(2)确定,从而预报均方误差可表
9、示为E(XPs,X)Xx(5)(6)(7)厅O,【=第 3 期牟峰等:多维 34/I 模型的 h 步适时递推预测 485故对多维)模型,1i1(7),有(证毕)r“+一 If.-厂文一)文“+P)(“+()+一,(+一一文+ 一)o+一,(x+ 一,一文+一,)L/=h,1hq/7,hq 一,?对于固定的,只要由式(4)计算出预报文-,文 2.,文,则可由式(6)递推求出 Px川,Px2,Px 棚,.?,在大部分实际应用问题中有g,此时应用式(6)中第二式.对可逆x,)过程,当 o.时,则可得其大样本近似:Ps.X+此时有 OO/J,=1.,q 和参考文献:1】BROCKWELLPJ,DAVI
10、SRA,TimeSeries:TheoryandMeth2】何书元 .应用时间序列分析M】.北京:北京大学出版社.23】HANNANEJ.MultipleTimeSeriesM.Wiley,19704】杜金观 ,项静恬.随机序列的适时预报法一新息预报法J】.odsMNewYork:SpringeVerley,1986003.数学实践与认识,1981:25.28.Theh-steptimelyrecursivepredictionofmultivariateMA(q)m0de1sMUFengl,LiYu.qi2,WUKai.xin2(DepartmentofMathematics,Southwe
11、stJiaotongUniversity,Chengdu610031.RR.C.)Abstat:I“thjspaper,thetheoryandmethodsbehindtimelyrecursiveoperationaresystematica11ydiscussed,whichareusedtodrive“derifyh-steppredictionformulaofmultivariateMA(q)modelsbyfiniteobservationdata.Keywords:multivariatemodel;innovationsequence;h.stepprediction.“0m.m.O一l,厅+/,-l,=,I-,肘X一+O
