1、2016 年江苏卷数学高考试题1、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 1,236|23ABx则 =AB_. 【答案】 【解析】试题分析： 1,236|231,2ABx考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2. 复数 (12i)3,z其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. 【答案】5【解析】试题分析： ，故 z 的实部是 5(12)3
2、5zii考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数()()(),(.)abicdabdciabdR相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭为,iR2.abi3. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线2173xy的焦距是_. 【答案】 210考点：双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键： 揭示焦点在 x 轴，实轴长为 ，虚轴长为 ，21(0,)xyab2a2b焦距为 ，渐近线
3、方程为 ，离心率为2cab2cab4. 已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_. 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为 ，1(4.785.14.)51故答案应填：0.1，2222221(4.75)(.8)(.)0.1S 考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.5. 函数 y= 23x-的定义域是 .【答案】 ,1考点：函数定义域
4、【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，此时 循环结束 ，故答案应5,7ab9,5abab9a填：9考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图
5、研究的数学问题，是求和还是求项.7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .【答案】 5.6考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.8. 已知 是等差数列， 是其前 项和.若 ，则 的值是 .naSn 2153,S=10a9a【答案】 20.【解析】由 得
6、，因此51S3229(d),2360.考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及等差数列广义通项公式*1()(),(1,)2nmtnaaStnmtN、 、 ().nmad9. 定义在区间 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 .0,3si2yxcosyx【答案】7【解析】由 ，因为 ，所以1sin2cos0sin2xx或 0,3x共 7 个3513,266x考点：三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三
7、角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.10. 如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆xOyF21()xyab 02by交于 两点，且 ,则该椭圆的离心率是 .,BC90【答案】 63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ，这注重考,ac查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 的,ac ,一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.11. 设 是定义在 上且周期为 2 的函数，在
8、区间 上， ()fxR1,),10,()25xaf其中 若 ，则 的值是 a59()(ff(5)fa【答案】 25【解析】 ，191123()()()25ffffa因此 335a考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是 .,xy2403y2xy【答案】 4,15考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区
9、域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.13. 如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ，ABCD,EF,AD4BCA，则 的值是 . 1BFCE【答案】 78【解析】因为 , ,224364AOBCFBB 241FOBC因此 ，22513,C8FO22178E考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利
10、用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：24AOBCB14. 在锐角三角形 中，若 ，则 的最小值是 .ABCsin2isnBCtant【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量ABCtanttanttanABCABC关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分
11、 14 分）在 中，AC=6，ABC 4cos.5BC=，（1）求 AB 的长；（2）求 的值. cos(6-)【答案】 （1） (2) 5720【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 3sin5B，=26sin5.3ACB(2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求 ，最后根722si(),cos()1010AC据两角差余弦公式求 ，注意开方时正负取舍.726cos(A)60试题解析：解（1）因为 所以4,5B2243sin1cos1(),5B由正弦定理知 ，所以siniACB26sin5.3ACB考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式【名师点睛】三角函数是
12、以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.16. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且， .1BDF求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】 （1）详见解析（2）详见解析考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证
13、明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.17. （本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形1PABCD状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高 的四倍.1ABCD O（1）若 则仓库的容积是多少？6,PO2,m（2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 为多少时，仓库的容积最大？1P【答案】 （1）312（2） 123PO考点：函数的概念、导数的
14、应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 及其上一xOyM2:1460xyy点 (2,4)A（1）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；NxN6xN（2）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ,求直线 的方程；OlM,BCOAl（3）设点 满足：存在圆
15、 上的两点 和 ,使得 ,求实数 的取值范围。(,0)Tt PQTPQt【答案】 （1） （2） （3）2(6)(1)xy:521lyxyx或 2121t(2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为 .402设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，则圆心 M 到直线 l 的距离2675.5md因为 24,BCOA而 2,Md所以 ，解得 m=5 或 m=-15. 学优高考网25m故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线
16、长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以 为主元，揭示 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，P这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.19. （本小题满分 16 分）已知函数 .()(0,1,)xfabab设 .12,a（1）求方程 的根;()fx（2）若对任意 ,不等式 恒成立，求实数 的最大值；R(2)f(6fxmm（3）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 的值。01ab gab【答案】 （1）0 4（2）1【解析】考点：
17、指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.20. （本小题满分 16 分）记 .对数列 和 的子集 T，若 ,定义 ;若1,20U， *naNU0TS，定义 .例如： 时， .现设12,kTtt， 12+kTtttSa=1,36T136+TSa是公比为 3 的等比数列，且
18、当 时， .*naN,40S（1）求数列 的通项公式；n（2）对任意正整数 ，若 ，求证： ；10k1,2kT， 1Tka（3）设 ,求证： .,CDUSCDSS【答案】 （1） （2）详见解析（3）详见解析1na【解析】（2）因为 ， ，1,2Tk 1*30,naN所以 .(31)2kkkrkSa 因此， .1rk考点：等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义
19、的性质应用.21.【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 【选修 41 几何证明选讲】 （本小题满分 10 分）如图，在ABC 中，ABC=90，BDAC ，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：EDC= ABD .【答案】详见解析考点：相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等； (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻 边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例2利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度
20、数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用学优高考网B.【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分）已知矩阵 矩阵 B 的逆矩阵 ，求矩阵 AB.12,0A1=20【答案】5401【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆： ，再根据矩阵运算求矩阵 AB.01B24试题解析：解：设 ，则 ，abcd1 100abcd考点：逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：， ，类似求矩阵特征1|A|,(|0)|dbabAadbccdcabefabgfhdghcd值及特征向量也是如此.C.【选修 44：坐标系与参数方程
21、】 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，椭圆 C 的123xy参数方程为 （ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 ABcos,2inxy的长.【答案】 167考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响D. 【选修 45：不等式选讲 】 （本小题满分 10 分）设 a0，|x-1| ，|y-2| ，求证：|2x +y-4|a.3a
22、【答案】详见解析试题分析：利用含绝对值的三角不等式|ab| |a| |b| 进行放缩证明试题解析：证明：因为 |1,|2|3axy所以 |24|()|1|2|.3axyxy考点：含绝对值的不等式证明【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a| b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或
23、演算步骤22. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线:20lxy2:y(0)Cpx（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；(2,).p求 p 的取值范围.【答案】 （1） （2）详见解析，xy8)34,0(（2）设 ，线段 PQ 的中点12(x,y)(,)PQ0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ,ll于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为.b由 消去 得2ypxb20(*)ypb因为
24、 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 ，化简得 .2()4()0pb20pb方程（*）的两根为 ，从而21,2y120.yp因为 在直线 上，所以0(x,)Ml0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2,).因为 在直线 上(2,).pyxb所以 ，即b2.p由知 ，于是 ，所以20p()04.3p因此 的取值范围为 学优高考网4(,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(
25、3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围23. （本小题满分 10 分）（1）求 的值；3467C（2）设 m，n N*， nm，求证： （m+1 ） +（m+2） +（m +3） +n +（n+1） =（m+1） .1C21Cmn+2Cn【答案】 （1）0（2）详见解析考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的 、1mmkkC，更有 ，现在又有 ，这些性质不需记忆，=mkC1knC1(1)(m),(,)kkCn但需会推导，更需会应用.
