1、 第四节 曲线与方程考纲解读了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，理解曲线与方程的概念命题趋势探究从内容上看，求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，一般与平面向量结合。从形式上看，以解答题为主，难度中档。从能力要求上看，高考中注重考查学生的逻辑思维，运算，分析和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，恰好能很好的反映学生在这些能力方面的掌握程度。预测2019年高考中，求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性比较强，属于较南题：若出现在客观题中，则通常可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题。轨迹问题是每年必考内容之一，求解方程比较有规律，难度以中
2、等偏难为主。知识点精讲一、曲线的方程和方程的曲线 在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1） 曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上诉定义中 二、直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1） 建系-建立适当的坐标系（2） 设点-设轨迹上的任一点 （3） 列式-列出有限制关系的几何等式（4） 代换-将轨迹所满足的
3、条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简（5） 证明（一般省略）-证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）。简记为：建设现代化，补充说明。注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。题型归纳及思路提示题型146 求动点的轨迹方程思路提示：动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法。一、直译法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易
4、于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。例10.30 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点的轨迹方程。变式1 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹的方程变式2 在平面直角坐标系中，已知点点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程。变式3 （2017课标II，理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，求点P的轨迹方程；二、定义法 若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）
5、的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。例10.31 和是平面上的两点，动点满足 ，求点的轨迹方程.变式1 设圆 与两圆 重点 一个内切，另一个外切，求的圆心轨迹的方程。变式2 已知动圆与定圆外切，又与定直线 相切，那么动圆圆心的轨迹方程是 变式3 已知平面内一动点到点 的距离与点到轴的距离的差等于1，求动点的轨迹的方程。例10.32 如图10-15所示，为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任因点，过焦点 向 的外角平分线作垂线，垂足为，并延长交 于点 ，则点的轨迹方程是 ，点的轨迹方程是 变式1 已知 是双曲线的左，右焦点，是双曲线上任一点（不是顶点），从焦点引的平分线的垂线，
6、垂足为，则动点的轨迹方程所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线变式2 已知点为双曲线又支上异于顶点的任一点，连接 ，作的内切圆，其圆心为，则动圆圆心的轨迹所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线变式3 如图10-16所示，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）A直线 B圆 C双曲线 D抛物线三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。例10.33已知为椭圆上的点，点坐标为，有 求点的轨迹方程。变式1 如图1
7、0-17所示，设是圆 上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且，当在圆上运动时，求点的轨迹的方程. 变式2 如图10-18所示，已知是椭圆 上两动点，且直线 与的斜率之积为 （其中为坐标原点），若点满足 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定植？若存在，求的坐标：若不存在，说明理由。变式3 如图1019所示，抛物线 ，点在抛物线上，过作的切线，切线为（为原点时， 重合于），当时，切线的斜率为。（1）求的值（2）当 在 上运动时，求线段中点 的轨迹方程。四、参数法 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距
8、或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响。例10.34设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，点 是坐标原点，点满足，求动点的轨迹方程。变式1 已知过点 的直线与椭圆交于不同的两点，若， 求点的轨迹方程。变式2 （2016高考新课标3理数）已知抛物线：的
9、焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.最有效训练题45（限时45分钟）1 已知定点不在直线 上，则方程表示一条（ ）A过点且垂直于的直线 B 过点且平行于的直线 C 不过点但垂直于的直线 D 不过点但平行于的直线2过点的直线分别与轴和轴的正半轴交于，点与点关于 轴对称，为坐标原点，若 且，则点的轨迹方程是（ ） A B C D 3动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A B C D 4已知椭圆，为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是（ ） A 圆 B 椭圆 C 线段 D 一段抛物线5线段的长度是10，它
10、的两个端点分别在轴，轴上滑动，则中点的轨迹方程是（ ） A B C D 6如图10-21所示，已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ） A B C D 7（2017黑龙江哈师大附中三模）已知圆，过点作直线交圆于两点，分别过两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为_8在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_9过定点任作互相垂直的两直线与，且与轴交于点，与轴交于点，则线段中点的轨迹方程为 10已知P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_11（2016高考新课标1卷）（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.12过抛物线 的顶点作互相垂直的两弦 （1）求中点的轨迹方程 （2）求抛物线顶点在上的射影的轨迹方程
