1、第十五章 复数概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数本章知识结构图复数复数与复平面内点（向量）的对应关系、模的几何意义几何意义加、减、乘、除、乘方运算考纲解读1. 理解复数的基本概念.2. 理解复数相等的充要条件.3. 了解复数的代数表示方法及其几何意义.4. 会进行复数代数形式的四则运算.5. 了解复数代数的加、减运算的几何意义.命题趋势探究复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，考题难度为低档.知识点讲解一、 基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z
2、点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 两个复数相等（两复数对应同一点）复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二、基本性质1.复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.题型归纳与
3、思路提示题型190 复数概念及其代数运算思路提示无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.例15.1（2017课标1，理3）设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A.BCD变式1(2016年北京卷 9)设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。变式2 （2017年天津理 9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .变式3(2017年全国卷I理 3)设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足
4、，则；：若复数，则.其中的真命题为 （ ）ABCD例15.2（2017课标II，理1）（ ）A B C D变式1（2017年山东理 2）已知,i是虚数单位，若，则a= （ ）（A）1或-1 （B） （C）- （D）变式2（2017年山东文2）已知i是虚数单位，若复数满足,则= （ ）A.-2i B.2i C.-2 D.2例15.3（2017年浙江 12）已知abR，（i是虚数单位）则，ab=_。变式1（2012重庆11）若，其中为虚数单位，则 .变式2 若是虚数单位，且，则（ ） 例15.4（2012湖北1）方程的一个根是A B C D变式1 （2012年上海理15）若是关于的实系数方程的一个
5、复数根，则（ ）A B C D题型190 复数的几何意义思路提示复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.例15.5(2017年江苏 2)已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是_变式1（2017年北京理 2）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（，1） （B）（，1）（C）（1，+） （D）（1，+）变式2 的取值范围为（ ）A B C D变式3 已知，且，则的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5例15.6（2012华约联盟试题）若，且的实部为0
6、，求复数在复平面内对应点的轨迹.变式1 设z是复数，.（1） 求及的实部的取值范围；（2） 若，分析u是否为纯虚数，并说明理由；（3） 求的最小值.最有效训练题58（限时20分钟）1.（2017年全国卷I文 3） 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)2.若复数z满足为虚数单位，则（ ）A B C D3.设是“复数是纯虚数”的（ ）.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件4. 复数z满足则（ ）A B C D5. (全国卷III 2)复平面内表示复数z=i(2+i)的点位于 ( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6.已知复数z，则z的共轭复数（ ）A B C D7.设，且为正实数，则的值为_.8. ,则_.9. 已知复数z 为虚数单位，则_.10.设，且，求对应点的轨迹方程是_.
