1、第十四章推理与证明 本章知识结构图合情推理演绎推理归纳类比三段论大前提、小前提、结论直接证明综合法分析法由因导果执果索因间接证明反证法数学归纳法推理证明推理与证明猜想正难则反 第一节 推理考纲解读1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握其基本模式，并能进行一些简单的推理3了解合情推理和演绎推理的联系和差异命题趋势探究作为新课标新增加的内容，主要考查归纳推理和类比推理，题型在选择题、填空题和解答题中均有渗透，主要题型结构为：根据条件，归纳、猜想一个结论，然后证明该结论，虽然合情推理的结论不一定为真，但高考一般考查的是可以通过
2、演绎推理解决的问题，故答案具有唯一性知识点精讲1合情推理合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理2演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理特别是“三段论”推理，其模式为：(1) 大前提已知的一般结论(2)
3、小前提所研究的特殊情况(3) 结论根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：若SM，则S有性质P；检验，M；故具有性质P注如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的题型归纳及思路提示题型185归纳推理思路提示对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，得出一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明这里遵循的是由特殊到一般的推理原理例14.1【2016高考山东文数】观察下列等式：；照此规律，_变式1观察下列各式：553125，5615625，5778125，则52011的末四位数字为()A3125B5625C0625D8125变式2n个自然数按规律排成如图141所示的
4、序列：依次规律从20132015，箭头方向应为()ABCD变式3下面的倒三角形数阵满足如图142所示的排列图142(1)第一行的n个数分别是1，3，5，2n1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是例14.2(2017亳州月考) 观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？(1)，(2)，例14.3设函数(x0)，观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当n且n2时，变式1，则()AB
5、CD变式2已知数列的第1项，且(n1，2，)，猜想a2014例14.4传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图143所示的三角形数：图143将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：(1)是数列中的第项；(2)(用k表示)变式1如图144所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分那么：(1)在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少
6、条线段？同时将圆分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？图144变式2【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.题型186类比推理思路提示两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征这里的类比有从方法(过程)进行类比，有从知识(结论)进行类比我们可以从不同角度出发确定类
7、比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维(平面与空间)之间，椭圆与双曲线之间，等差数列与等比数列之间等例14.5当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：变式1通过计算可得下列等式：2212211；3222221；4232231；(n1)2n22n1将以上各式分别相加，得：n)n即123n类比上述求法：请你求出122232n2的值变式2已知点P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在y22px两边
8、同时对x求导，得，则，所以动点P的切线的斜率类似上述方法，求出双曲线在点P(，)处的切线方程例14.6已知正三角形内切圆半径是高的，把这个结论类比到正四面体中，类似结论应该是变式1平面直角坐标系中，直线的一般方程为AxByC0(A2B20)，圆心C(x0，y0)，半径r0的圆的方程为(xx0)2(yy0)2r2，类比到空间直角坐标系内平面的一般方程为，球心在C(x0，y0，z0)，半径为r0的球的方程为变式2将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面部分分别为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”请仿照直角三角形以下性质：(1)
9、斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：。最有效训练题56（限时35分钟）1.在平面上，若两个正三角形的边长的比，则它们的面积之比为，类似地，空间中，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为，则它们的体积比为（ ） 2.设是正数，且则（ ） 3.观察下列事实：的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12,.则的不同整数解的个数为( ).A.76 B.80 C.86 D.924. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩
10、。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩5.若，定义：.例如: ,则函数的奇偶性为（ ） A.是偶函数而不是奇函数 B. 是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数6. 【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的
11、卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 7.已知数列为等差数列，若，则.类比等差数列的上述结论，对于等比数列，若，则可以得到 8.已知函数，则若，则 9.【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_10.在给出如图14-7所示的数表中，第行第列的数记为且满足， ，(1)则此数表中的第5行第3列的数是_ (2)记第3行的数为数列，则的通项公式为_第1列 第2列 第3列 第4列第1行 1 2 4 8 第2行 2 3 5 9 第3行 3 5 8 13 图14-7
