1、第十二章 计数原理本章知识结构图第一节 计数原理与简单排列组合问题考纲解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念.4.能用计数原理推导排列数、组合数公式.命题趋势探究1.本节为高考必考内容，一般有12道选择题或填空题.2.题目主要以实际应用题形式出现.3.试题的解法具有多样性，一般根据计数重复或遗漏来设计错误选项，在解答选择题时可通过正向（分类相加）和反向（总数减去对立数）互相检验，也可以通过排除法筛选正确选项.知识点精讲基本概念1.分类加法计数原理 有n类方法 完成一件事 任两类无公共方法（
2、互斥） 共有N= 每类中每法可单独做好这件事 种不同方法.如图12-1所示.图12-12.分步乘法计数原理 必须走完n步，才能完成任务 完成一件事 前一步怎么走对后一步怎么 共有N 走无影响（独立） 种不同方法.如图12-2所示.注图12-2两个原理及其区别.分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法
3、总数时，就用分步乘法计数原理.当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(mn)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(nm)的排列个数共有 . (m个连续正整数之积，n为最大数).注规定.排列数公式的两种不同表达形式本质是一样
4、的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用.可重排列与无重排列的区别.例如：用1，2，3，4，5这五个自然数，可排成有重复数字的四位数5555=54无重复数字的四位数5432=区别：不可重复排列：用过的数字不可再用，用一个少一个.可重复排列：用过的数字还可再用，每次可用数字不减少。再例如：4封不同的信，全部投入5个信箱.任意投（投过的信箱可再投入）5555=54.每箱至多一封信（投过的信箱不可再投入）5432=.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(mn)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合
5、数共有 .注同样，公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明.（1）排列和组合的区别.组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.注排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.例如：从10个人中抽出4人参加某项活动有 种方案；从10个人中抽出4人分别参加4项活动有 种方案.(2)一切排列数、组合数、阶乘及它们
6、展开式的因数都是正整数.常见的有0！=1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720.，.(3)公式（性质）.，如.，如（口诀：相邻组合数相加，加一元（nn+1）取大（m+1m，取m+1）.题型归纳及思路提示题型161 分类计数原理与分步计数原理思路提示要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的，若需分类按加法数原理，若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”，分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类，又需要分步，此时要综合运用两个原理.例12.1 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加.(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若
7、需老师，男生，女生各1人参加，有多少种不同选法？(3)若需1名老师和1名学生参加，有多少种不同选法？变式1 有5张卡片，正反面分别写有数字0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，现从中任取三张，排成一列，问共可摆出 个不同的三位数.变式2 晚会原有节目单由7个节目排成，现要新添3个不同的节目，且不改变原有节目的相对顺序，则这3个节目有多少种不同的安排方法？例12.2 (1)若8名学生争夺3项体育比赛的冠军（每名学生参数项目不限），则冠军获得者有 种不同情况（每个项目没有并列冠军）.(2)8名学生从3项体育项目中选择参数，若每一名学生只能参加一项，则有 种不同的参赛方法.变式1 将3个信封投到4
8、个邮箱，最多的投法有 种.变式2 现有6名同学听取同时进行的5个课外知识讲座，每个同学可自由选择其中一个讲座，不同的选法有( )种.A. 56 B. 65C. D. 65432变式3 已知集合A=1,2,3，B=1,2,3,4.(1)映射f: AB共有多少个？(2)映射g: BA共有多少个？例12.3 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则4张贺卡的不同的分配方式有（ ）.A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种变式1 （2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同
9、的选法（用数字作答） 变式2 3个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）.A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 16种例12.4 某外语组有10人，每人至少会英语、法语中的一门.其中7人会英语，5人会法语.从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议，有多少种不同的方法？变式1 用三种颜色染如图12-4-1所示的矩形块，要求每块染一种颜色且相邻不同色.(1)共有多少方法？(2)每种颜色染两块有多少种方法？图12-4-1变式2 （2016年全国II高考）如图12-4-2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一
10、起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9图12-4-2题型162 排列数与组合数的推导、化简和计算思路提示尽量用性质计算；推导、证明和化简约分用阶乘形式，计算用乘积形式.例12.5 (1)证明：.(2) 已知，且.证明：解析 (1) 为从n个（nN*）不同元素中取出m（mn, mN*）个（不同）元素，按照一定顺序排成一列的不同排列的个数（即排列数）.如表12-1所示，需要m步完成排列任务.表12-1位置1位置2位置mn种方法n-1种方法n-m+1种方法第一步（为位置1选择一个元素）有n种选法.第二步（为位置
11、2选择一个元素）有n-1种选法.第m步（为位置m选择一个元素）有n-m+1种选法.依分步计数原理，得.(2) 为从n个不同元素中任取m个（不同）元素并成一组的不同组合的个数（即组合数），当mN*，mn时，从n个不同元素中取m个（不同）元素按照一定的顺序排成一列，可以分成两步完成，第一步从n个不同元素中任取m个元素并成一组，第二步把取出的m个元素按照一定的顺序排成一列，依分步乘法原理得.即，又，故.当m=0，.，也成立.故.由，则，依此类推，故.评注 题目中的求和应用，如(i) (ii).变式1 组合数 恒等于( ).A. B. C. D. 变式2 解方程 .例12.6 (1)乘积 可表示为(
12、).A. B. C. D. (2)式子 可表示为( ).A. B. C. D. 变式1市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为()A48 B54 C72 D84题型163 计数原理与排列组合问题的结合思路提示要注意可重排列与不可重排列的区别；选择适当的解题策略，即加法与减法；应注意不重不漏.例12.7 如图12-6所示，电路中共有13个开关（电阻略），每个开关可任选“开”或“关”一种状态，且相互独立.图12-6(1)灯亮，有多少种整体状况；(2)灯灭，有多少种整体状况.变式1 直线方程Ax+By=0，从1,2,3,4,
13、5这五个数中每次取两个不同的数作A和B，共可确定（ ）条直线.A. 20 B. 19 C. 18 D. 16变式2 一个n棱锥的所有顶点共可确定 条直线，这些直线可确定 对异面直线.例12.8 如图12-7所示，有4种不同颜色供选，要求A,B,C,D,E每块一种颜色，相邻两块不同色，共有多少种染色方法？变式1 如图12-9所示，用4种不同颜色给图中A,B,C,D,E,F共6个点染色，要求每个点染一种颜色，且图中每条线段的两个端点不同色，则不同的染色方法共有( )种.A. 288 B. 264 C. 240 D. 168变式2 用4种不同颜色为正方体的六个面着色，要求有公共棱的两个面不同色，则共
14、有( )种不同的着色方法.A. 24 B. 48 C. 72 D. 96变式3 用红、黄、蓝三色之一去涂如图12-10所示的标号19的9个小正方形，使任意有公共边的小正方形不同色，且3,5,7的方块同色，则共有 种不同涂色方法. 图12-9 图12-10变式4 在五边形ABCDE中，五个顶点各染红、黄、绿三色之一，相邻顶点不同色，共有种不同_染法.例12.9 某市汽车牌照前面两个英文字母（不可重复）后面四个数字（可重复）组成，最多有多少个牌照？变式1 某通信公司推出一组手机号码，号码的前7位数固定，从到共10000个号码。公司规定：凡卡号的后4位带有数字4或7的一律作为优惠卡，则这组号码中优惠
15、卡有（ ）个. A.2000 B.4096 C.5904 D.8320变式2 用数字这4个数字组成的四位数中有重复数字的四位数有（ ）个.A.192 B.182 C.174 D.274变式3 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个（用数字作答）.例12.10 设集合，选择的两个非空子集与，要使中最小的元素大于中的最大元素，则与的不同的选择方法共有（ ）种. A.50 B.49 C.48 D.47变式1 ，是的两个子集，中有个元素，中至少有两个元素，且中所有的元素不大于中的最小元素，这样的有_组.变式2 ，从中取出4个不同的子集，满足条件：其中必有和；4个子集中
16、的任意两个子集与，必有或.则4个子集共有_种选法.例12.11 用填如图12-11所示的“九宫图”，每格一数，不同格不同数，其中“”，34图12-11“”已填好，要求每行从左至右，每列从上到下都递增，共有_种不同填格法.126347589图12-12 变式1 在1,2,3,4,5的排列中满足，排列有（ ）个. A.10 B.12 C.14 D.16变式2 用4个数字（只含0和1）排成一个四位数字表示一个信息，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（ ）个. A.10 B.11 C.12 D.15最有效训练题49（限时30分钟）1.3封不同的信任意投入4个不同的信箱，随意投的投法
17、数和每箱至多1信的投法数依次为（ ）. A. B. C. D.2.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）. A.24 B.18 C.12 D.6 3. （2017新课标理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种4. 如图12-13所示，一个环形花坛，分为四块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种一种花，且相邻两块种不同的花，则不同种法共有（ ）种. A.96 B.84 C.60 D.485.有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成 个不同的三位数？6.在书柜的某一层上原有6本书，如果保持原有的书相对顺序不变，在插进去3本不同的书，那么共有_种不同的插入方法（用数字作答）.7.若，则的值_. 8.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种9.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？10. 图12-14某人用四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），在如图12-14中的6个点，上各装一个灯泡，要求同一条线段的两个端点的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法，共有_种.
