1、相似考纲要求内容 基本要求 略高要求相似三角形 了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题知识讲解一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等与 相似，则有 ABC ABC， ，2相似三角形的对应边成比例与 相似，则有 （ 为相似比） kAB3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比与 相似， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则ABC MC AMBC 有 （ 为相似比） Akk与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则 HB H 有 （ 为相似比） ABkCAk与 相似， 是
2、中 的角平分线， 是 中 的角平分 DC AADBC A线，则有 （ 为相似比） kABk4相似三角形周长的比等于相似比与 相似，则有 （ 为相似比） 应用比例的等比性质有C ABkCkAB5相似三角形面积的比等于相似比的平方与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则C AHB AHBC 有 （ 为相似比） 进而可得 ABCAHkk 212ABCHSBCAk二、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如
3、果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型A 字形图 字型，结论： ，图反 字型，结论：ADEBC
4、AAEDCB图双 字型，结论： ，图内含正方形 字形，结论 （ 为正方形边长）FGHaIHGFED CBAGF EDCBAE DCBAEDCBA图 图 图 图 8 字型图8 字型，结论： ，图反 8 字型，结论： 、四点共圆AOBDCAOBCD图双 8 字型，结论： ，图 8 字型，结论：EFA1EF图，结论： 、FGADBECCDESS EFDCBAFEDCBAODCBAODCBAGF EDCBA图 图 图 图 图一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DCBAEDCBAEDCBAODCBA 60FEDCBAFED CBA图 图 图 图 角分线定理与射影定理图内角分线型，结论： ，图外角分
5、线型，结论：AAD图斜射影定理型，结论： ，2BDC图射影定理型，结论：1、 ，2、 ，3、2B2CBA D CB D BACAEDCBAD CBA梅涅劳斯型常用辅助线 G FEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：1“”HDCBA如图： 12ABCDHSBCD2“”GH ODCBA如图： 12ABCDHSAOGD3“”CDEBA如图： ABDAEDCECSSBADEC 学案提升考点一：相似三角形【例 1】 如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ，求证： .DEABCABADCEB
6、ADEB E DCBA【答案】 ADCEBADBCAEBCDAECAE【例 2】 如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积的 4 倍，求 的长.6ED CBA【答案】 ， ，ADBCEABDCE BECA 11342DSEAC【例 3】 如图， 中， ，点 是 内一点，使得 ， 60BPB APBCPA，则 _86PA， P PCBA【答案】 43【解析】 ， ，故 ，120APBC60BAPABCPAP 2【例 4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求 EFG H G FEDCBA【答案】 45【解析】连接 、 ，则 ，若 ，则 可求，DFCG45EDFBFDFEGFG问题的关
7、键是证明 考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用 字形与 字形A8【例 5】 在 中， ， 的延长线交 的延长线于 ， 求证： .ABCEBCPABPECPEDCBAMPEDCBA【答案】过 作 交 于 ，CMA P ， ，PD ，B ，CA ，EM ， ，BD ，CE ，PA BP【例 6】 如图，在 的边 上取一点 ，在 取一点 ，使 ，直线 和 的延长线相BDACEADEBC交于 ，求证： CE PEDCBA4321MPEDCBA【答案】过 作 交 于 ，CMAB DP ， ，P ， ，CAB ，14又 ，DE ， ，24 ，3 ，4 CME BPDCE【例 7
8、】 如图， 、 为 边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分别交MNABC BMNCAC、 和 的延长线于点 、 和 .ADEF求证： .3FFNMEDCBA KHFNMG EDCBA【答案】过 ， 分别作 的平行线交 于 ， 两点， 交 于 ，MNACABHGAK ，B ，GH易知 ， ，12K12N ，即 ，4N3又 ，DF ，即 .1EHKEFD考点三：相似三角形与内接矩形考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例 1】 一块直角三角形木板的一条直角边 长为 米，面积为 平方米，工人师傅要把它加工成一AB1.51.5个面积最大的正方形
9、桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【答案】 甲同学设计的方案较好由题意得 ，设甲设计的正方形桌面边长为2BCx由 ，得DEA RtDEtCBA则 ，即 ， ，解得x21.5()x67x在图中，根据勾股定理，得 ，则.1.2M设乙设计的正方形桌面的边长为 ，则 ，y.BNyDEBNAC解得 ， ，307y630572x【例 8】 中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点 、 分别在 、 上，ABCEFGHEFBGHACB GFEDCBAFEDCBA NMGFEDCBA, 边上的高
10、,求 .15BC10ADEFGHS: H GFE D CBA DM FECBA【答案】设正方形 的边长为 ， 、 的交点为 ，则有EFGHxADGM，即AMDBC105解之得， 6x故 23EFGHS:本题有一个相似形中的典型的基本图形：如图， ， ，则/BADCMEFABC（相似三角形高线之比等于相似比）【例 9】 如图，已知 中， ，四边形 为正方形，其中 在边5145， ， DEGFDE，上， 在 上，求正方形的边长ACB， FG， AB GFEDCBAIH GFEDCBA【答案】过 作 ，垂足为 ，连接 CHBCH设 ，则 ，Aa1a则有 ，即 ，解得 ，222B2225(4)(1)a
11、a3 4设正方形的边长为 ，则有 ，即 解得 xDEIACH1x45x所以正方形的边长为 415【例 10】如图，已知 中，四边形 为正方形， 在线段 上， 在 上，如BCEGFDE， ACB， FG， AB果 ， ，求 的面积ADFES3SABGFEDCBAIH GFEDCBA【答案】设正方形边长为 ，则 x26CIBxx， ，由 ，得 ，CDEB IDEHA ，解得 ， ，28x2x63H， 192ABCS【例 11】如图，在 中， ， ， ，动点 （与点 ， 不重合）在 边上，5AB3C4AEACA 交 于 点EFF（1）当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长EF（2）当 的周长与四
12、边形 的周长相等时，求 的长（3）试问在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；P若存在，请求出 的长FECBAP2P1 HQ FECBADP HQ FECBA【答案】 （1） FB CE当 时，则AFS:1:2CEFABS ， 122（2）当 与四边形 周长相等时，则： CEFABF设 与 的相似比为ECBk则 ， ， ，4Ak 3FC4Ak3k 3()(3)5解得： ，67247EAk（3） 如图过 （或 ） ，分别作 垂线，垂足为 （或 ） ，当 （或 ）B1P21EFP2F时， （或 ）为等腰直角三角形过 作 于 ，交 于 ，则1FP2 CHABQ，设 ，
13、QHx由 ，得ABC.4CH ABCEF ，即QH2.45x ，6037x6037 作 的中垂线 ，交 于 ，当 时 为等腰直角三角形EFDPAB2DPEF设 ，则 .5x ABC ，即QH2.40解得 ，即 1049x19EFx考点四：与平行四边形有关的相似问题【例 12】如图，已知平行四边形 中，过点 的直线顺次与 、 及 的延长线相交于点 、ABCDACDE、 ，若 ， ，则 的长是_FG52G EFGDCAB【答案】10.5【例 13】如图，已知 ， ，求证： .DEAB 2OCEADC DOECBA【答案】 ，DEAB ， ，O EODB又 ，2C ，A ，DOB ， ，C ，A D
14、B【例 14】如图， 的对角线相交于点 ，在 的延长线上任取一点 ，连接 交 于点 ，若ABCD:OABEOBCF,求 的值acEb， ， BF O FED CBAK OFED CBA【解析】延长 ，交 于点 EOADK1-22BFCEbaAKDcBFBFbbcaa【答案】【例 15】如图：矩形 的面积是 36，在 边上分别取点 ，使得 ，ABCDABD， EF， 3AEB，且 与 的交点为点 ，求 的面积。2FEFOF KAB CDEF OOFEDCBA【解析】延长 交 的延长线于点 ，连接 。由 知CFBAKOBD， 3EB，而 ，故 。34AEDS136182DABCS: 27184AS
15、 。又因为K ,OEF，3BF，所以 。从而可知 。所以 。54D54AOEDS42769AODAES又 ，故2A263F【例 16】如图，已知在矩形 中， 为 的中点， 交 于 ，连接 （ ）.BCEAEFCABFCABE（1） 与 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.AEFC（2）设 是否存在这样的 值，使得 ，若存在，证明你的结论并求出 值；BkkAEFBCk若不存在，说明理由. FE DCBA MAB CDEF【答案】 （1）延长 、 ，交于点 .易证 ，故 .FECDMAEFDMEF又 ，故 ， C在 中， ，这个基本图形中，Rt ，故 （2）由 可知，AEFBC1
16、2AEBFAE又 ， ，DC故 从而可知， 23AEFAEB故 ，故 .23BCAEBkC考点五 与梯形有关的相似问题【例 17】如图，梯形 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 ，则梯形的面ABD2pq，积是（ ） q 2p2OA BCDA B2pq2pqC D2P【解析】略【答案】B【例 18】如图，梯形 中， ，两条对角线 、 相交于 ，若 ，那么ABCDB ACBDO:1:9AODCBS _:BOCS OABCD【答案】 3:1【例 19】如图，在梯形 中， ， , ，若 ，且梯形ABCDB 396ADBCA， ， 4DEF与梯形 的周长相等，求 的长EFFEF FEDCB
17、A KH FEDCBA【解析】过点 做 交 于点 设 ,则AKCD FHAxDy， ,EBC 64 (1)32xy由梯形 与梯形 周长相等，可得AEFDF6-498(2)yxy由（1） （2）知 6,5x16, 54AHDAEFBCKC 3DH 45 96B 2E 435FH【答案】 395【例 20】已知：如图，在梯形 中， ， 是 的中点，分别连接 、ABCD/MABAC、 、 ，且 与 交于点 ， 与 交于 .BDMEDCF（1）求证： /EF（2）若 , ，求 的长.abFFEMD CBA【答案】 （1） /ABCD ，MEFBM （中间过渡量） /EFCDD（2） /AM 12ab【
18、例 21】如图，在梯形 中， ， 分别是 的中点， 交BCADB aBCbEF， ， ， ADBC， AF于 ， 交 于 ，求 的长 BEPFQPOQPBFCDEA OQPBFCDEA【解析】方法一：由 可知，ADBC 12aEPAEPaabPQFbb方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想 ，但是本题中没有可以直接使用基/QABCD本 图形结论的条件，可通过连接 来实现，设 、 交于点 .FO ，/ABCAPEFBDC ， ED/PAB （ ，其中 为中间过渡量）OPQOFE /ABF122()abOAEBFab ab如果双向延长 分别与 、 交于点 、 ，则有PQCDGH.GOH【答案】
19、abPQ【例 22】如图，已知梯形 中， ， ， , , （ ）, ,ABCD/B90ABaADb2CabDEC交 于点 ，连接 .DEE（1）判断 与 ， 与 是否分别一定相似，若相似，请加以证明 .CE（2）如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似.abEDC BAFEDC BA【答案】延长 、 交于点 .CDBAF ，12/C ，F EDE在基本图形 中， ，故 AFADFE从而可知， C与 不一定相似，如果相似，则它们必然全等，DB分析如下：若 ，由 ， ， 共用可知，两三角形必然全等；EDECBE若 ，则由 可知， ，ADCB故 ，这是显然不可能的. C当 时，由题意
20、可知， ，故 .DB 60A3ab考点六：相似三角形与实际问题考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例 23】 小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是 米和 米。已知小华的身高为 米，那么他所住楼房的高度为0.511.6_米【答案】48【例 24】 如图，王华同学晚上由路灯 下的 处走到 处时，测得影子 的长为ABCCD米，他继续往前走 米到达 处时，测得影子 的长为 米，已知王华的身高是 米，那么路灯13EEF21.5 FECDBA的高度 等于（ ）ABA.4.5 米 B.6 米 C.7.2 米 D.8 米【答案】B
21、考点七：位似考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例 25】 如图， 与 的位似中心为点 ，若 ， ，则ABC O2AB5与 的面积比是_， 与 的比是_ABC A【答案】 ,4:25【例 26】 作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（ ）A.位似中心可以是多边形的一个顶点 B.位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【答案】C【例 27】 如图是由边长为 1 个单位的小正方形组成的 正方形网格， 为一个定8O点，在网格中画出一个直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点
22、都是小正方形的顶点， 是一条直角边的中点，斜边长 ，且以 为位似中心，相似比为 的位似图形也在正方形网格内，这样的5O3三角形能画出几个？ O O O O O【答案】如图，共有四种可能考点八：“旋转相似三角形” 模型考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例 28】 如图，在 和 中， ，ABCDEBACEBADE（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由【答案】 （1） 、ABDCE CBACBAOCEDBA（2） ，BADCEBADE ，即 ， CABDCE旋转相似三角形模型指是
23、 与 这两对相似三角形，也就是只要有一对ABE 相似三角形，有一个对应顶点重合的情况下，必然会出现另外一对相似三角形，并且在旋转过程中会出现 A 字和 8 字型的情况，如图可以从以下两种旋转的角度来理解 CEDBA ABDEC【例 29】我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1） ，在梯形 中， ， ，垂足为 ABCDB ACDO求证： ，即四边形 是等平方和四边形22AD证明： 如果将图（1）中的 绕点 按逆时针方向旋转 度（ ）后得到图（2）
24、，那么四AOD09边形 能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由ABC证明：【答案】 （1）菱形或正方形；（2）证明： D222;AOBC.OBD 22C即四边形 ABCD 是等平方和四边形 （3）解：四边形 ABCD 是等平方和四边形.证明：原梯形记为 ，依题意旋转后得四边形 ABCD，连接 AC、BD 交于点 ，ABD O BC， OC ODCBAAB CDO ， ， OADOADCB ， 180又 ， CBA1=2 又3=4， 90A由（2）的结论得： 22DCB即四边形 ABCD 是等平方和四边形【例 30】如图 1，四边形 是正方形， 是 边上的一个动点（点 与 、
25、 不重合） ，以 为ABGDGCDCG一边在正方形 外作正方形 ，连结 ， 我们探究下列图中线段 、线段 的长EFBEBE度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图 1 中线段 、线段 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 绕着点 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如图CG2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2证明你的判断321AB CEFGDHOABCEFGDGFEDCBA（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46） ，且 ， ， ， （ ， ） ，AaBbkaba0k第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，
26、以图 5 为例简要说明理由654AB CDEFGOHABCDEFGGFEDCBA（3）在第（2）题图 5 中，连结 、 ，且 ， ， ，求 的值DGB3a2b1k2BED【答案】 （1） ,BE 仍然成立 ,BGDE在图（2）中证明如下四边形 、四边形 都是正方形ACBD ， ， 09CEG （SAS）BGE D又 HCO09BH 09D BE（2） 成立， 不成立 G简要说明如下四边形 、四边形 都是矩形，ACDFG且 ， ， ， （ ， ）abkCEab0k ，BE09B GD:CBGDE又 HCO0H 09D （3） BE2222BGOEO又 ， ，3abk1 222365()42654
27、BDG考点九：“双垂直 ”模型考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例 31】如图，直角 中， ，ABC ADBC证明： ， ， 2D22【答案】 ， ABBA C 2DDD CBA同理可得， ，2BDABDCC 2ACDBB【例 32】如图， 中 ，点 在 上， ， 是 的中点， 于 ，点Rt 90 MAEAC是 的中点，连接 求证： PMEPEP【答案】连接 D ，BA， DMABD （射影定理）2E 2,12ECEP DEB,ABPAD PC EC 考点十：“一线三等角 ”模型考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一【例 33】如图， ，求证：90BDACEABDEC【答案】略【例 34】如图，等边 的边长为 ， 为 上一点，且 ，AB3PB1BP为 上一点，若 ，则 的长为（ ）DC60DCA. B. C. D.322234【答案】 B课后作业ABCDEMPPMEDCB AABCDEMPPMEDCB AECDBA PAB CD
