1、第三节 圆的方程考纲解读1.掌握确定圆的三个条件、圆的标准方程与一般方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解与圆有关的问题.命题趋势探究高考中与圆有关的问题主要是圆的方程的求解，四种方程中标准方程是运用最广泛的，因为它能反映圆的几何特征（圆心和半径），通常用待定系数法求圆的方程.有关圆的考题，多在选择题、填空题中结合参数方程、极坐标的形式出现，重点考查标准方程和一般方程，难度不大，有时也将圆融入圆锥曲线中作为解答题考查.预测2019年高考本专题会主要考查：（1）结合直线方程，用待定系数法求圆的方程.（2）利用圆的几何性质求动点的轨迹方程.知识点
2、精讲一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：的参数方程为（为参数）；的参数方程为（为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：点P在圆外；点P在圆上；
3、点P在圆内.（2）点与圆的位置关系：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.题型归纳及思路提示题型125 求圆的方程思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程；（2）经过点A(6,5),B(0,1),且
4、圆心在直线3x+10y+9=0上；（3）经过点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长等于6.变式1在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程例9.18(1)(2016天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为_(2)(2015课标全国)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_变式1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程例9.19 圆关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（ ）A.B.C.D.变式1 若不同两点P,Q的坐标分别为，,则线
5、段PQ的垂直平分线l的斜率为_，圆关于直线l对称的圆的方程为_题型126 直线系方程和圆系方程思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为： 当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注 与圆C共根轴l的圆系例9.20 （1）设直线与直线相交于点P,求过点P且与直线平行的直线的方程.（2）求圆心在直线上且过两圆与的交点的圆的方程.变式1 过
6、直线和圆的交点且面积最小的圆的方程是_变式2 （1）设直线与直线相交于点P，求过点P且与直线垂直的直线的方程.（2）已知圆，若直线与圆C相交于A,B两点，且（O为坐标原点），求m的值和以AB为直径的圆的方程.题型127 与圆有关的轨迹问题思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21(2016天津模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹变式1 在中，若，则的最大值为_例9.22 如图9-11所示，已知P(4,0)
7、是圆内的一点，A,B是圆上两动点，且满足，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程变式1 已知圆上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内的一定点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP中点M的轨迹方程；（2）若，求线段PQ中点N的轨迹.变式2 已知点P(0,5)及圆（1）直线l过P且被圆C截得的线段长，求l的方程；（2）求过点P的圆C的动弦的中点M的轨迹方程.题型128 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件思路提示方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为，半径例9.23方程表示圆，则a的取值范围是（ ）A.B.C.D.评注 对于用二元
8、二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程表示圆的方程的充要条件是（ ）A.B.C.D. 变式2 若圆关于直线对称，则实数a 的值为_题型129 点与圆的位置关系判断思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A(1,1)在圆的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点在圆上,则；若点在圆外,则；若点在圆内,则.反之也成立.变式1 点A(1,0)在圆上，则a的值为_变式2 过占
9、P(1,2)可以向圆引两条切线，则k的范围是（ ）A.B.C.D.题型30 与圆有关的最值问题思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y满足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题例9.26（2017北京文）已知点在圆上，
10、点的坐标为，为原点，则的最大值为_变式1 若圆上任意一点(x,y)都使不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.B.C.D.变式2 若圆上任意一点(x,y)都使不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.B.C.D.题型131 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26(2017新课标理)在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）ABCD变式1 方程表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆例9.27 直线与曲线有且仅有一个公共点，则
11、b的取值范围是（ ）A.B.C.D.变式1 当曲线与直线有两个相异交点时，实数k的取值范围是（ ）A.B.C.D.变式2 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）A.B.C.D.变式3 设集合,，若，则实数m的取值范围是_最有效训练题40（限时45分钟）1.若直线y=kx与圆的两个交点关于直线x+y+b=0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若点(4a-1,3a+2)不在圆的外部，则a的取值范围是（ ）A.B.C.D.3.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三
12、种情形都有可能4.已知圆，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（ ）A.B. C. D. 5.已知两点A(-1,0),B(0,2)，点P是圆上任意一点，则面积的最大值与最小值分别是（ ）A.B.C. D. 6.已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，k的值为（ ）A.B.C.D.7.定义在上的函数f(x)的导函数恒成立，且，若，则的最小值是_8.已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_9.已知直线.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，该圆的方程为_10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点和坐标原点，并且圆心在直线上；（2）圆心在直线上，且与直线相切于点；（3）过三点（4）已知一圆过两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程.11.设定点，动点在圆上运动，以为两边做平行四边形，求点的轨迹方程.12.集合，集合，设集合是所有的并集，求的面积
