1、第四节 二次函数考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以及分类讨论三种数学思想. 由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个热点.知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（
2、3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.(1) 单调性与最值O图2-9O图2-8当时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时， ；当时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；. (2) 与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1） 若，则；（2） 若，则；（3） 若，则；（4） 若，则.三、一元二次方程与二次函数的转化1实
3、系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为2.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表2-5所示.表2-5根的分布O图像限定条件OO根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式的解集是二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与轴交点横
4、坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数.恒成立；恒成立. 注 若表述为“已知函数”，并未限制为二次函数，则应有恒成立或；恒成立或.五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二
5、次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析. 例2.41 “”是“方程至少有一个负数根”的（）必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件变式1 已知函数，且，集合，则（ ）.A. ，都有 B. ，都有C. ，使得 D. ，使得变式2 已知函数，若，则（ ）.A. B. C. D. 与的大小不能确定例2.42 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_.评注
6、本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式的解集为与方程的实根之间的联系，即.变式1 设，若时均有，则.变式2 （2012北京理14）已知，若同时满足条件：或；，则的取值范围是_.题型21 二次方程的实根分布及条件思路提示 结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例243 已知是方程的两个根，且，求实数的取值范围.评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于的方程的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数的取值范围.变式2 已知二次函数满足,且关于的方程的两个实数根分别在区间和内，求实数的取值范围
7、.例2.44 已知方程的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 变式1 设直线与轴相交于点P，与曲线相交于Q，R，且|PQ|bc，a+b+c=0，则( ).A. x(0,1)，都有(x)0B. x(0,1)，都有(x)05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得DABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. -4,4
8、B. (-4,4)C. (-,4)D. (-,-4)7. 若函数(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图像关于直线x=1对称，则(x)max=_.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是_.9. 当x0,2时，函数(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是_.10.已知二次函数(x)=ax2-x+c(xR)的值域为0,+)，则的最小值为_.11.已知定义域为R的函数(x)满足(x)-x2+x)=(x)-x2+x.(1)若(2)=3，求(1)，又若(0)=a，求(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得(x0)=x0，求函数(x)的解析式.12.已知二次函数(x)=x2+mx+1(xZ)，且关于x的方程(x)=2在区间(-3,)内有两个不同的实根.(1)求(x)的解析式；(2)若x1,t(t1)时，总有(x-4)4x成立，求t的最大值.
