1、均布荷载作用下正交各向异性悬臂梁固端边界条件对位移的影响6 均布荷载作用下正交各向异性悬臂梁固端边界条件对位移的影响 2007 年 7 月均布荷载作用下正交各向异性悬臂梁固端边界条件对位移的影响黄立新,李双蓓,周小军,刘勇(广西大学土木建筑工程学院,南宁 530004)摘要:本文采用 Timoshenko 和 Goodier 处理固端边界条件的两种方法,探讨均布荷载作用下正交各向异性悬臂梁固端边界条件对位移的影响.根据 Lekhniskii 各向异性弹性理论应力解答,推导在第二种固端边界条件下的位移分量的解析解,并在文献已有部分结果的基础上求出第一种固端边界条件下的方向位移解析解,然后得出两种
2、固端边界条件下的位移差别.数值算例中将得出的位移解析解与有限元数值解进行比较,两者吻合良好,然后讨论材料各向异性程度,跨高比和材料弹性主轴方向对位移差别的影响.关键词:悬臂梁;正交各向异性;位移;解析解中图分类号:0343 文献标识码:A 文章编号:1003-0999(2007)040006051 引言复合材料具有高比强,高比模,可设计性,各向异性和多功能性等一系列独特的优点,充分利用这些优点,可使设计出的复合材料结构满足不同使用要求.在航空航天,土木工程,机械工程,汽车工程,船舶工程,能源工程,医疗和体育等众多的领域均可见到大量复合材料产品.作为结构构件,正交各向异性复合材料梁广泛应用于许多
3、工程结构中,因此多年来复合材料梁的研究引起研究设计人员的广泛关注-5.梁的平面应力问题是弹性理论的经典问题.弹性理论研究梁问题时,对梁内部的应力状态和变形状态通常都不作假设.因此,虽然推导过程和所得的解答比较复杂,但是能够更准确地反映复合材料梁的位移和应力分布的实际情况.基于应力函数方法,Timoshenko 和 Goodier_6 研究了各向同性梁的平面应力问题,给出了受拉伸,剪切,纯弯作用的梁,受横向力作用的悬臂梁,受均布荷载的简支梁和其他连续荷载作用梁等问题的弹性理论解答.对于悬臂梁问题,他们给出了两种固端边界条件形式,并讨论它们对梁位移的影响;丁皓江等人研究了均布荷载作用下两端固定的各
4、向同性梁固端边界条件对弹性理论解答的影响;Lekhniskii_5 研究了各向异性梁的平面应力问题,给出受拉伸,剪切,纯弯作用的梁,受横向力作用的悬臂梁,受均布荷载和线性分布荷载的简支梁和悬臂梁问题的弹性理论解答;黄德进等人_8 在弹性主方向和梁轴线夹角为零的情况下,研究了均布荷载作用下两端固定的正交各向异性梁固端边界条件对弹性理论解答的影响.在各向同性梁的弹性问题中,固端边界条件对梁位移的影响与跨高比及材料参数有关;对于各向异性梁的弹性问题.固端边界条件对梁位移的影响不仅与高跨比及材料参数有关,还与弹性主方向和梁轴线的夹角,材料参数各向异性程度有关.本文根据 Lekhniskii 各向异性弹
5、性理论应力解答,推导在第二种固端边界条件下的位移分量的解析解,并在 Kilic 等人基础上求出第一种固端边界条件下方向位移解析解,然后得出两种固端边界条件下的位移差别.把得出的解析解与有限元数值解进行比较,并讨论材料各向异性程度,跨高比和材料弹性主轴方向对位移差别的影响.2 基本方程在各向异性体弹性力学平面问题中,应力一应变关系的广义虎克定律表示为:占=0“11+0,120“y+016(1a)占 y=0,120“+0,220“y+026(1b)Ly=口 16+口 26,+口 66(1c)其中,弹性常数 0l1012,016,026,066 与 E1,E2,.,G.之间的关系参见文献9.应变与位
6、移之间的关系可表示为 J:l,占,占,+Lz其中,M 和分别为方向和方向的位移.由方程(1)和(2)可以得到应力与位移的关系为 :收稿日期:2006-12-25基金项目:广西自然科学基金项目(0339013);广西大学科学研究基金博士启动项目(DD030015)作者简介:黄立新(1964-),男 ,副教授,博士,主要从事复合材料结构与力学研究 .颤鏖2007 年第 4 期玻璃钢/复合材料 7一Ox011n12+O;120“y+16T+a220“y+026“/“+016+26 仃y+下 xy3 解析解(3a)+旦 f.硒 I(3b)2a12016(3C)如图 1 所示,具有窄而高的矩形截面的悬臂
7、梁固定于右端,且承受集度为 g 的法向均布荷载.对于这个问题,Lekhniskii 给出了如下应力分量表达式h一l:图 1 受均布荷载作用的复合材料悬臂梁雩+詈【 (1_12 吾)+2212“1-0;66 一(一)】(一+3-4 芳)r,=一(譬一,)一詈嚣 (詈一)其=0ll(4a)(4b)(4e)将应力分量表达式(4)代人应力一位移关系式(3a)和(3b)积分得出含有两个未知函数的位移分量 u 和 v,将位移分量代人式(3c)求出两个未知函数,最后得到位移分量 u 和 v 为:qa,2.qa,n.22qa,33qa,622.9 一一,一 xy+(一一 210+1O50,/,L2hb(_一
8、3a16066Zll(012+一等 2)一簧),一 q每)0l】,一+A(5)=一鲁一(+6 丁 O;664a1,/2+4ZllO;120;16Ct11一.261(誓+/20:,l+0113a263qal22丁 J 一,一312O;164a120210ll02llqa=.3022一丁+一022+O;160;260112a16026ZllY+jL2hb卫2hb其中,A,B 和 c 为积分常数,可由固端边界条件求出.Timoshenko 和 Goodier 对于固端边界条件给出的两种形式分别为:第一种边界条件().=0,().=0,(Ov/Ox=0):h:0第二种边界条件()(.)=O,(口).=
9、0,(/=0)一.Kilic 等_1 叫在研究复合材料悬臂梁的剪切变形效应时,根据第一种边界条件给出 Y 方向位移表达式.为了方便,重写 Y 方向位移表达式,并在 Kilic等的基础上给出方向位移表达式,其结果如下:qzl 一2【.1 一)+Z 凡qal6【.z 一)+h-q(9a2 一 3666+5 立 o;1111,一 2qan3),一 3qaa6,+盈6(一鲁2alI/2一10 一 5+等 5a 一 2),一 2 卫 hb6.Z(4a12016+3a16066ZllZ11+O;163a)y+0ll 凡 04丁a3162a26y40ll/(7)(1)一2q69la.12+6了Z664al)
10、z+3qallz+(+6 丁Z66 一 5o;111/2qa113jL2hb(9 一 a12+6 了Z66 一玺)2+一 qZllh(a12a1637)xy105a2hbhb,.5,一),2 一(一,一 I2a12016Zll一.261),3 一 qa22,一黼盈202 儿一 0056 一,68(+4ylI_,胁0 一儿一 000311 一+60 一 u 一 0058 一JIll-8 均布荷栽作用下正交各向异性悬臂粱固端边界条件对位移的影响 2007 年 7 月2卫hb隧 k5all+一一3一a22+a16a26)10a2all+.一十 ll5021.q(2a;2+a12a16 一警 2a16
11、a26)(8)2.一.根据方程(5),(6)和第二种边界条件 ,本文导出位移分量和 V 的表达式分别为:移差别的影响.表 1 硼一环氧和石墨一环氧复合材料的性能Table1Mechanicalpropertiesofboron-epoxyandgraphiteepoxy一 qal2+qal6+4?嚣嚣行比较,(9a123a66.,1xy 一一+a12+.一a1+(一+一亟 1ll12all/29a123a665allI一(+詈)+q(a+一譬 1(9)llallaI1 一/)_一2旦hbf10 一+)J 2+3q%J 4+qa26(1-x)+(一 3a66+2 一)一(9a12+6 了 a65 一玺)2+qall4+a12a16 一等)一(一.)一 qa22 一 q
