1、利率风险价格形式实证分析：扩展仿射模型与半仿射模型的比较利率风险价格形式实证研究: *扩展仿射模型和半仿射模型的比较 ? 121郑振龙，柯鸿莫天瑜 （1. 厦门大学金融系；2. 第一创业证券） 作者简介： 郑振龙（1966） ，男，汉，福建平潭人，金融学博士，国务院学科评议组成员，国家重点学科厦门大学金融学学术带头人， “闽江学者”特聘教授，厦门大学金融系教授、博导， 金融学季刊主编。研究方向为资产定价、金融工程和风险管理。 电话：13906038903 传真：0592-5920923 邮箱： 通讯地址：厦门大学金融系，361005 柯鸿，男，1984 年 7月出生，汉族，籍贯福建宁德，金融工
2、程硕士，第一创业证券固定收益部。研究方向为资产定价、金融工程与风险管理。 电话：15019267841 邮箱：skywater_ 莫天瑜（1983） ，女，汉族，籍贯浙江，在读博士，厦门大学经济学院金融系金融工程专业。 电话：13779968337， 邮箱： skyfish83_ ?*基金项目：教育部“国际金融危机应对研究”应急项目：金融市场的信息功能与金融危机预警 (2009JYJR051)；福建省自然科学基金：卖空交易对证券市场的影响研究（2009J01316） 。?1?利率风险价格形式实证研究:扩展仿射模型和半仿射模型的比较 摘要在仿射利率期限结构动态模型（Affine DTSM）框架下
3、，利率风险价格主要有四种设定形式：完全仿射模型（CAM） 、实质仿射模型(EAM)、扩展仿射模型(EXAM)和半仿射模型(SAM)。其中，EAM 优于 CAM、EXAM 和 SAM均优于 EAM已经经过理论和实证的证明。然而，EXAM 和 SAM的孰优孰劣无法单从理论上的比较得出结论，同时亦鲜有相关的实证文献对其进行比较研究。因此，本文运用卡尔曼滤波方法，在三因子 CIR基础上对 SAM、EXAM 和 EAM进行了实证比较，实证结果表明 EXAM要优于 SAM。此外，本文的稳健性检验表明，EXAM 虽然已为目前的最优利率风险价格形式，但其仍然不够完善。 ?关键词：利率仿射模型；利率风险价格形式
4、?An?empirical?Research?of?Specification?of?Interest?Risk?Price?A?Comparison?between?Extended?Affine?Model?and?SemiAffine?Model Zheng Zhenlong, Ke Hong Abstract?There?exists?four?primary?specifications?of?interest?risk?price?(Completely?Affine?Model、Essentially?Affine?Model、Extended?Affine?Model、Semi
5、Affine?Model)?under?the?framework?of?Affine?DTSM.?It?has?been?proved?that?EAM?is?superior?to?CAM,?and?that?EXAM?and?SAM?are?both?superior?to?EAM.?But?no?theoretical?evidence?and?few?empirical?study?could?help?to?determine?a?better?model?between?SemiAffine?Model?and?Extended?Affine?Model.?So?this?pap
6、er?does?an?empirical?comparison?on?SAM、EXAM?and?EAM,?and?the?results?suggest?that?EXAM?is?the?best?2?specification?of?interest?risk?price.?However,?the?robust?test?suggests?that?EXAM?is?not?perfect?enough?to?capture?all?the?information.?Key?words:?Interest?Rate?Affine?DTSM;?market?price?of?interest?
7、risk ?3?一. 引言 究竟怎样的利率动态期限结构模型（Dynamics?Term?Structure?Models,?DTSM）才算是一个成功的利率模型？它需要符合哪些性质和依照哪些评判标准呢？只有首先解决了这个问题，在实际应用中我们才能更好的选择所需要的模型，对目标函数进行建模。?为便于分析，我们可以将利率 DTSM分解为三个组成部分：?a) 瞬时利率 r与状态变量 X的函数关系?b) 风险中性测度（Q）下，状态变量 X的动态过程?c) 现实世界测度（P）下，状态变量 X的动态过程?风险中性测度 Q，是债券价格的定价测度。只有准确描述了状态变量 X在这一测度下的动态过程，并正确构造了瞬
8、时利率r与状态变量 X的函数关系，才能够准确拟合利率期限结构，从而对债券及其衍生产品进行定价。?而现实测度 P，描述的则是状态变量 X在真实世界的过程。只有对这一测度下状态变量 X的动态过程正确建模，并正确构造瞬时利率 r与状态变量 X的函数关系，才能够正确的描述债券价格在现实世界的过程，进而准确提取我们所需要的信息，例如，期限溢价、市场对收益率曲线变化的预期、债券超额收益等等。?因此，一个 DTSM模型是否成功，关键在于其能否对三个组成部分进行准确建模。?针对这三个组成部分，学术界和业界进行了许多的研究，并发展出一系列的 DTSM模型，例如，仿射模型（Affine?DTSM） 、二次高斯模型
9、（QuadraticGaussian） 、非仿射随机波动率模型（nonaffinestochastic?volatility） 、以及包括跳跃或机制转换的模型（Jumps、Regime?Switching）等等。在众多模型中，本文所关注的是目前应用最为广泛的仿射模型框架。?仿射模型是对 DTSM三个组成部分中的(a)与(b)进行了限定，而对(c)并没有做额外的限定：?4?a) 风险中性测度 Q下，状态变量 X的瞬时漂移率与瞬时方差被设定为 X的线性函数?b) 瞬时利率 r被设定为状态变量 X的线性函数?在这两个假定下，债券价格可以方便的表示为 P()=expA()?B，而()XA()、()tt
10、 则服从一个用数值方法十分易解的黎卡提常微分方程组（Riccati?ODEs） 。所以，相比较 B()其他 DTSM而言，在仿射模型框架下对利率期限结构的实证研究就变得十分易于处理，而这也是仿射模型无论在学术界还是业界都十分受欢迎的主要原因。?对仿射模型进行实证最基本的方法，便是利用收益率曲线的面板数据来拟合参数。由于面板数据同时包括了利率横截面和时间序列的信息，因此利用面板数据可以同时得到状态变量在风险中性定价测度 Q和现实测度 P的参数，即，同时得到状态变量 X在风险中性测度 Q和现实测度 P的动态过程。?然而，许多实证表明，在传统的利率风险价格形式（例如将利率风险价格设定为瞬时波动率和一
11、个常数的乘积）的设定下，仿射模型无法同时准确地描述状态变量 X在现实测度 P和风险中性测度 Q的动态过程，具体表现为：在较好地拟合其横截面利率期限结构的时候，却无法同时对未来收益率的变动进行较好的预测；或无法较好地拟合期限溢价的时变性等等。?导致仿射模型出现这一问题的原因有很多，例如，利率风险价格设定形式不够灵活，瞬时利率 r或许是状态变量 X的非线性函数，没有考虑跳跃和机制转换这些因素，等等。因此，要改进仿射模型可以从多方面入手，而本文所关注的是利率风险价格的设定形式问题。?利率的风险价格，是连接风险中性测度 Q和现实测度 P最重要的枢纽。状态变量 X在真实世界的动态过程，与风险中性世界是不
12、一样的。例如，在风险中性世界中，利率动态过程的漂移率是线性的，但是在真实世界却可能是非线性的。再如，两个世界中的均值回复速度或长期均值水平可能是不一样的。风险价格形式设定不正确，将直接导致两个测度下利率动态过程的错误估计，从而致使真实信息的错误提取。因此，为了更准确的描述利率在风险 5?中性测度和现实测度中的动态过程，国外学者们已经越来越重视实证中所选择的利率风险价格设定形式，并且发展出了更加灵活、更加合理的新一代利率风险价格设定形式。?目前为止，理论界主要发展了四种利率风险价格设定形式：完全仿射模型（Completely?Affine?Model,?此处以下简称为 CAM） 、实质仿射模型(
13、Essentially?Affine?Model，简称为 EAM)、扩展仿射模型(Extended?Affine?Model，简称为 EXAM)和半仿射模型(SemiAffine?Model，简称1为 SAM)。其中，EAM 已经被证明是优于 CAM的利率风险价格设定形式（Duffee(2002)） ，39而 EXAM?(Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)和 SAM（Duarte(2004)）又分别被证明了是优于实质仿射模型的更加一般化的利率风险价格形式。因此，目前为止我们可知 EXAM和 SAM是最优的两个利率风险价格形式。然而，我们在实证时仍然会遇到
14、一个问题：扩展仿射模型和半仿射模型哪个更好？目前为止尚未发现国内外有文章对这两种利率风险价格形式进行正式的比较研究，而这正是促成本文的重要原因之一。?本文拟在三因子CIR模型的基础上，利用卡尔曼滤波法对 EAM、EXAM 和 SAM进行实证比较研究，希望能为国内外学术界的相关研究发展贡献一份微薄的力量。?本文分为六个部分。第一部分为引言；第二部分简单介绍了仿射模型的债券定价基本理论；第三部分系统介绍了利率风险价格的发展脉络，并对各利率风险价格进行了详细的比较分析；第四部分介绍了本文实证研究方法；第五部分为实证研究结果；第六部分为全文的总结。 6?二. 仿射模型框架下的债券定价 仿射模型框架下，
15、瞬时利率 r被设定为：?tr=+Xt0xt?（1）?其中， 是 11的标量；X,是 n1的向量。?0xt 而状态变量 X在风险中性测度 Q的动态过程假定为：?QdX=(?KX)dt+SdW?（2）?ttt?（3）?S(i,i)=+X,S(i,j)=0,ij,1i,jn.tiitt?Q其中，是风险中性测度 Q下标准的布朗运动，, 是 n1向量，K,是nWiitn的矩阵，S 是 nn的对角矩阵。?t12Duffe?and?Kan?(1996)证明了在（1） 、 （2） 、 （3）式的假定下，剩余期限为 到期支、付 1的零息票债券，在 t时刻的价格将服从如下形式：?P()tt+QP()=Eexp(-
16、rd?)tts()t=expA()?B()X()t?（4）?其中，A()是11的标量，B()是 n1的向量，它们都是剩余期限 的函数，并服从如下的常微分方程组：?ndA()1Q2=?B()+B()?ii0d2i=1ndB()1Q2=?KB()?B()?iixd2i=1?（5）?由于到期支付 1的零息票债券，在其到期时的价格 P必须等于 1，否则会出现无风(0)t 险套利机会，所以式（5）的常微分方程组还必须满足一个边界条件：A(0)=B(0)=。?012需要注意的是，Duffe?and?Kan?(1996)在推导式（4） 、 （5）时，并没有对状态变量 X在现实测度 P下的动态过程做出任何的限
17、定。因此，理论上不论状态变量 X在现实测度下的动 7?态过程假定为何种形式，只要满足了（1） 、 （2） 、 （3）式的假定，式（4） 、（5）都能够成立。而利率风险价格是连结现实测度和风险中性测度唯一的枢纽，只要合理设定了利率风险价格的形式，就能够推导出状态变量 X在现实测度下的动态过程，进而得到各经济变量如持有期收益率、连续复利收益率等在现实测度下的动态过程，以对这些经济变量进行观察和预测。?例如，设 n向量为风险价格，则状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为：?tQdX=(?KX)dt+SdWttt ? （6）?P=?KX+edt+SdWtt,xtt 其中 e=S表示状态变量的风险溢酬
18、。?t,xtt则由式（1） 、 （4） 、 （6）推导可得，剩余期限为的零息票债券的瞬时持有期收益率在现实测度下的动态过程为：?dP()Pt=r+e()dt+vdW()()?（7）?tt,PttP()t其中 v=?B()S()，表示持有期收益率的瞬时波动率；?tte=v=?BS，表示持有期收益率的瞬时风险溢酬。?()()()t,Ptttt 可见，我们只要合理了设定的形式，就能够通过面板数据拟合出持有期收益率现实 t测度动态过程的各个参数，进而对持有期收益率进行观察和预测。?三. 利率风险价格形式的发展 虽然利率风险价格的设定形式不影响式（4） 、 （5）的推导，但利率风险价格的设定仍需要满足一
19、系列的假设条件，例如需满足无套利假设、需尽量准确地刻画投资者对利率的风险态度、要能同时刻画利率一阶矩和二阶矩的动态变化过程等等。因此，为了能更好的刻画投资者的风险态度、以及更好地刻画利率一阶矩和二阶矩的动态变化，目前理论界主要发展了以下四种利率风险价格设定形式。?8?(一) 完全仿射模型（Completely Affine Model，CAM） 14最早的利率风险价格形式由 Fisher?and?Gilles?(1996)提出：?（8）?=Stt1 其中， 表示n1的向量。?1 在这种设定下，状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为：?PdX=(?KX)dt+Sdt+SdW?（9）?ttt1t
20、 其中状态变量 X的 S 表示风险溢酬 e。?tttt,x 由于方差 S也是状态变量的线性函数，因此在这种风险价格设定形式下，状态变量 Xt在风险中性测度和现实测度的动态过程、甚至随机贴现因子的方差全部都是状态变量 tt?10X的线性函数，所以 Duffee(2002)称这种风险价格形式是完全仿射的。?25CAM提出后，被学者们广泛使用。例如，Chen?and?Scott(1993)、Dai?and?Singleton?(2000)、813DE?JONG（2000） 、Lamoureux?and?Witte(2002)等以及目前为止国内的大部分学者都使用completely?Affine的风险
21、价格设定进行了各类实证研究。?然而，这种completely?Affine的设定，却无法从理论上刻画风险溢酬的各种实际特性。为更好的说明，我们考虑一个两因子模型：?0?k0111Q?（10）?dX=?Xdt+dW?ttt0k0X?22t,2?2?在该两因子模型下，状态变量和持有期收益率的瞬时风险溢酬可以分别表示为：?2?(1)?11e=?t,x2(2)X1t,2?（11）?2?(1)?11?（12）?e=?BS=?B()()()?t,Ptt2(2)X1t,2?首先，从式（11） 、 （12）中可以看出，风险溢酬无法受到自身波动率之外的因素影响，9?10这与实际发现并不相符。例如，Duffee(
22、2002)指出，在剔除掉波动率的影响后，持有期收益率的风险溢酬还与收益率曲线的斜率存在十分显著的正相关关系。?其次，CAM 无法刻画持有期收益率风险溢酬小均值、大方差的特征。式（12）中，如果持有期收益率的风险溢酬要满足小均值、大方差的特征，那么需要需要相反的 (2)(1)11 符号才行。然而，通常无法拥有一个相反的符号，因为的符号决定 (2)(1)(2)(1)1111、 、了状态变量风险溢酬的符号（大量实证表明，在 CAM下二者通常都为负） 。?此外，在 CAM的设定下，现实测度和风险中性测度动态过程的漂移项中，有许多参数都是两个测度或漂移项和波动率项所共用的，例如该两因子模型在现实测度下的
23、动态过程为：?Q2Q0?+(1)?k011111P?dX=?X?dt+dW?tttQ2Q0k?(20X)?21?2t,2?2?X 的均值回复速度 k在两个测度下是一样的，X 的长期均值水平?在两个测度 t,11t,22下是一样的。然而，如果实际情况是两个测度下的参数并不一样，那么这些参数的拟合就会出现不可预见的结果：有可能更接近风险中性测度，有可能更接近现实测度，也有可能走了一个折衷的路线。?可见，CAM 有着很大的局限性。在用 CAM进行实证的过程中，经常会出现无法同时准确拟合利率的横截面性质和时间序列性质的问题：要么风险溢酬拟合不好而无法进行较好地预测，要么牺牲了其他参数（例如，拟合期限结
24、构形状和定价的参数）的拟合效果来改善风险溢酬的拟合效果。?5Dai?and?Singleton?(2000)利用 CAM对其提出的经典仿射模型（Canonical?Affine?Model）进行了实证研究，其结果表明 CAM很好地刻画了持有期收益率风险溢酬低均值、高方差的特性，然而横截面利率期限结构形状的拟合误差却很大。?1Ahn,?Dittmar,?and?Gallant?(2002)发现 CAM无法准确刻画利率的条件波动率的变化。?10?（二） 实质仿射模型（Essentially Affine Model，EAM） 10Duffee（2002）在 CAM的基础之上进行改进，提出了 EAM
25、的风险价格形式：?=?（13）?S+SXtt1t2t?其中， 表示 n1向量， 表示 nn矩阵，S 表示 nn的对角矩阵，其对角元素12t为?1?(+X),ifinf+X0;()?iitiit?（14）?S(i,i)=?t0,otherwise.?根据Girsanov定理，在该设定下，状态变量在现实测度下的过程可以表示为：?P?（15）?dX=?KXdt+S+IXdt+SdW()()ttt12tt?1,ifinf+X0?()?iit 其中，I 是 n*n对角矩阵，。?I(i,i)=?0,otherwise.?EAM 提出的目的，主要是为了在波动率之外，引入其他因素（如斜率）来影响风险溢酬的变化
26、，从而刻画风险溢酬均值小、方差大的特性。我们同样以（10）式的两因子模型和持有期收益率的风险溢酬来说明 EAM对 CAM的改进。?在 EAM和（10）式的两因子模型下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬可以表示为：?2?(1)+(1,1)X+(1,2)X112t,12t,2?（16）?e=t,x?2(2)X1t,2?2?(1)+(1,1)X+(1,2)X112t,12t,2?（17）?e=?B()S=?B()()t,Ptt2(2)X1t,2?方框里所表示的是 EAM比 CAM多出的变量。Essentially?Affine?与 CAM的不同主要表现在两个方面：?首先，服从 Vasicek?Pro
27、cess的状态变量 X的风险溢酬，除了受到其自身波动率影响外，t,1 还受到 X和 X的影响，进而，作为状态变量风险溢酬的线性组合的持有期收益率风险溢 t,1t,2酬也引入了波动率之外的影响。这是符合风险溢酬实际特性和经济直觉的：人们对于持有期 11?收益率的风险所要求的风险补偿，受到波动率之外的其他因素（例如期限结构的形状）影响。?X(1)(1)(1,1)(1,2)其次，?的风险溢酬的符号不再仅仅取决于，这样之间便可 112t,12以有相异的符号。因此，相比较 CAM而言，EAM 就更能刻画持有期收益率小均值、大方差的特征。?再次，在 EAM下，该两因子模型在现实测度下的动态过程为：?Q2Q
28、0?+?(1)?k?(1,1)?(1,2)1111122Q?dX=?X?dt+dW?ttt20k?0X?t?212,2?2?可以发现，相比较 CAM而言，两个测度下的动态过程允许有更多不同的参数，从而在一定程度上避免了不同测度共用参数的问题。?从以上分析可以发现，EAM 是比 CAM更具一般化性质的风险价格设定形式，=0 时，2EAM就是 CAM。因此在实际应用时，无论从模型设定一般化角度，还是从经济意义上的角度来看，EAM 都是比 CAM更好的选择。?然而，需要注意的是，EAM虽然在风险价格形式设定上比 CAM迈进了一大步，却仍然存在着它很明显的不足之处：?首先，为了更好地刻画风险溢酬的特征
29、，必须在一定程度上放弃利率方差的时变性特征。?S(i,i)在 EAM中，被设定为这样一种形式：t?1?(+X),ifinf+X0;?()?iitiit?S(i,i)=?t0,otherwise.?S(i,i)只有在该因子的方差下界大于 0时才不为 0。这样设定的目的是为了避免无套利 t机会的存在：当一个因子的波动率为 0时，与该因子相关的风险溢酬必须等于 0，否则理论上就可以进行无风险套利。?2X 例如，在两因子模型中，服从平方根过程的状态变量方差为，方差下界等于0，t,21?如果将与该状态变量相关的 S(2,2)设为 2，则该状态变量的风险溢酬为 tXt,212?2(2)X+(2,1)X+(
30、2,2)X，当某一时刻该状态变量的方差等于 0时，其风险溢酬 12t,22t,12t,2(2,1)X 等于而不为 0，所以理论上就会存在无风险套利的机会。?2t,1 因此，EAM 要刻画风险溢酬的特征，必须在一定程度上放弃利率方差的时变性特征，在其模型中必须至少有一个因子服从类似Vasicek?Process的过程，使研究者在选择模型时会面临一个到底要刻画风险溢酬还是利率方差时变性的尴尬境地。而且对于常用的多因子 CIR模型而言，EAM就对 CAM没有任何的改进，仍然无法准确刻画风险溢酬的特征。?其次，如果服从 Vasicek?Process的状态变量的风险溢酬能够受到服从Square?Roo
31、t?Process的状态变量的影响，但是为什么反过来不行呢？这个问题无论从理论上还是实际上都解释不通。?此外，虽然 EAM大大减轻了状态变量动态过程在现实和风险中性两个测度下共用参数的情况，但只要多因子模型中有状态变量服从 Square?Root?Process，就仍然会存在共用的参数。?105Duffee(2002)在提出 EAM后，使用 QML估计，在 Dai?and?Singleton?(2000)的Canonical?仿射模型基础上对 EAM和 CAM进行了实证比较，结果表明，使用EAM的风险价格形式，?10能更好地在现实测度中预测未来收益率曲线的动态变化。同时，Duffee(2002
32、)也指出，三因子 EssentiallyGaussian?Model 对未来收益率一阶矩的预测效果最好，但对未来利率波动率的预测效果却不如三因子 CIR模型。?6?10Dai?and?Singleton?(2002)借鉴 Duffee(2002)的风险价格设定方式进行研究，也发现了同样的问题：EAM 在 CIR框架下无法同时准确预测未来利率的一阶矩和二阶矩。?（三） 扩展仿射模型（Extended Affine Model，EXAM） 3为了改进 EAM的缺陷，Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)提出了 EXAM的风险价格 13?形式：?+X12t?（18
33、）?=tSt 其中，是 n1向量，是 nn矩阵。?12 根据 Girsanov定理，在该设定下?，状态变量在现实测度的动态过程可以表示为：?PdX=?KXdt+Xdt+SdW()()tt12tt?（19）?其中，+X()表示状态变量的风险溢酬。?12t 需要注意的是，在（18）式中，波动率 S是风险价格的分母。在这种设定下，当状态 t变量波动率等于 0时，状态变量的风险溢酬+X()却不为 0，这样就会导致理论上存 12t3在无风险套利的机会。为了避免这种情况的发生，Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)分别对状态变量在风险中性测度和现实测度下的动态过程进行了
34、相应的参数限制（Feller?条件） ，使得波动率 S恒大于 0，从而无法出现无风险套利机会。在对参数进行限制的前提下，t3Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)通过等价鞅测度的存在性进一步证明了 EXAM的无套利性质。?从理论上说，EXAM 比 EAM更具一般性，因为只要对参数进行 Feller条件限制，保证方差恒大于 0，则无论状态变量的动态过程设为哪种形式（包括均方根动态过程） ，状态变量之间都能相互影响到对方的风险溢酬变化。?这里我们以两因子 CIR模型为例：?X0?k0?1t,111Q?dX=?X?dt+dW?ttt0k?0X?2?2?2t,2?（
35、20）?在 EXAM的框架下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬可以分别表示为：?(1)+(1,1)X+(1,2)X12t,12t,2?e=S=t,xtt（21）?(2)+(2,1)X+(2,2)X12t,12t,2?14?(1)+(1,1)X+(1,2)X12t,12t,2?e=?BS=?B()()?（23）t,Ptt(2)+(2,1)X+(2,2)X12t,12t,2?方框中所表示的是 EXAM比 EAM多出的变量。?比较两种风险价格形式的不同，可以发现 EXAM几个方面的改进：?首先，EXAM 中因子之间能够相互影响对方的风险溢酬，而 EAM下风险溢酬则只受状态变量其自身波动率的影响。因此
36、，在 EXAM下，风险溢酬中的各参数的符号都可正可负，即使在多因子 CIR模型下，EXAM 也能很好的描述风险溢酬的特性，进而更好的刻画了投资者面对风险源的态度。?其次，在 EXAM下，状态变量在现实测度下的动态过程为：?X0?+?(1)?k?(1,1)?(1,2)1t,111122P?dX=?X?dt+dW?ttt?(2,1)k(2,2)?+(2)0X?222?21?2t,2?可以发现，根据 EXAM对风险价格形式的设定，只要对参数进行 Feller条件限制，并设定参数限制条件使动态过程在两个测度下都能得到唯一解，那么，两个测度下的漂移项中的所有参数（包括长期均值、回复速度、状态变量之间的相
37、关关系）都可以拥有不同的值。这就使得在实证研究时，同一个参数不用同时描述两个测度的动态过程，从而在理论上可以准确地同时刻画两个测度下的动态过程。?3Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)在提出 EXAM的定义后，在Dai?and?Singleton?5(2000)的 Canonical?仿射模型基础上，用 MLE估计比较了 EXAM、EAM 和 CAM三种风险价格的优劣，结果发现 EXAM确实能够在不影响利率横截面性质拟合的情况下改进利率时间序列性质的拟合。?（四）半仿射模型（Semi-Affine Model，SAM） 9为了改进 EAM在 CIR模型中的
38、应用，Duarte(2004)提出了 SAM：?15?1?=+S+SXt0t1t2t?（23）?其中，为 n1向量，其他符号与 EAM相同。?0 在该设定下，状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为：?1?PdX=?KXdt+S+S+IXdt+SdW()()ttt0t12tt?（24）?1?其中，表示状态变量的瞬时风险溢酬。?S+S+IX(t0t12t 可以发现，在这种设定下，状态变量在现实测度下的动态过程和状态变量的瞬时风险溢酬是非 Affine形式的，但是状态变量在风险中性测度下的动态过程仍然是 Affine?形式的，9所以 Duarte(2004)称这种风险价格形式为 SAM。?SAM
39、对 EAM的改进，主要是体现在多因子 CIR模型上。假设一个两因子 CIR模型为：?X0?k0?1t,111Q?dX=?X?dt+dW?ttt0k?0X?2?2?2t,2?则 SAM框架下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬为：?2?X(1)+X(1)1t,101t,11?e=?t,x2X(2)+X(2)?（25）2t,202t,21?2?X(1)+X(1)1t,101t,11?e=?B?()t,P2X(2)+X(2)?（26）2t,20t,21?其中方框表示 SAM比 EAM多出的变量。?我们接下来比较一下 SAM与 EXAM的几点不同，以及它对 EAM的改进：?首先，在这种设定下，风险溢酬、
40、现实测度下的漂移项都是状态变量的非线性函数。这是与之前的三种风险价格设定形式所不同的。?其次，为了刻画风险溢酬的小均值、大方差特性，我们需要风险溢酬中的各参数能够改变符号。EXAM 的方法是在其中一个状态变量的风险溢酬中引入了另外一个状态变量的影响，以使风险溢酬中的各个参数的符号可以改变；而 SAM则直接在风险溢酬中引入状态变量自身的均方根，从而使得各参数符号能够改变。?16?9Duarte(2004)在提出 SAM后，用 MLE对 SAM、EAM 进行了估计和比较，发现在大多数模型中，尤其是多因子 CIR模型，SAM 在一定程度上能够改进 EAM对收益率曲线的预测能力。?四. 本文的实证研究
41、方法 （一） 本文的实证动因 完全仿射模型（CAM）?改善了风险溢酬的刻画，但存在无法同时刻画一阶矩和二阶矩的动态变化的问题。?实质仿射模型(EAM?)试图?解决?EAM 的问题?扩展仿射模型(EXAM)?半仿射模型(SAM)?图 1?风险价格发展脉络图?10图给出了四种风险价格的发展过程。根据之前的理论分析以及 Duffee(2002)、93Duarte(2004)以及 Cheridito,?Filipovic?and?Kimmel(2007)的实证，我们可以知道，EAM 是比 CAM更加一般化的风险价格设定形式，而 EXAM和 SAM也都分别通过各自的方式改进了 EAM，是比 EAM更优的
42、风险价格设定形式。?然而，EXAM和 SAM之间，哪一种风险价格设定形式是更优的呢？本文以下将对 EXAM和 SAM的优劣进行实证比较，以弥补国内外在这一块的空白，为日后的进一步研究提供参考。?17?本文研究的主要方法是利用利率期限结构的面板数据，通过卡尔曼滤波估计出 EAM、EXAM 和 SAM在三因子 CIR模型基础上的各个参数，并比较三种风险价格对期限结构横截面性质和时间序列性质的拟合以及预测能力，以此作为风险价格优劣的评判标准。?（二）因子模型的选择 在 Affine?DTSM框架下，本文选择三因子 CIR模型作为比较风险价格优劣的基础。?在三因子 CIR模型下，瞬时利率与状态变量的函
43、数关系为：?3r=Xtt,i?i=1 而状态变量在风险中性测度下的动态过程可以写为：?X001t,1?k00?11?dX=?0k0Xdt+0X0dW?t22t2t,2t?Q?00k33?00X3t,3?使动态过程在风险中性测度下存在唯一解所需要的参数限制是：?0,k0,i=1,2,3ii?此时债券价格和连续复利收益率可以表示为：?P=expA?BX()()()ttA?B?()()R=?+()?其中，?Q3?2?1?()()iiiAln2+k?ln+k1e+2e()()()()(?iiiiii?22i=?1?i?()i21?e(B=()iQ?()()ii+k1?e+2e()(iii22=k+2i
44、ii18?（三）风险价格设定形式的选择 本文选择 EAM、EXAM 和 SAM三种风险价格形式进行比较研究。?比较 EXAM和 SAM的优劣是本文的主要目的，而 EAM的选择则是为了提供一个基准。?1.?EAM 的风险溢酬?在三因子 CIR模型中，EAM 的风险溢酬为：?2?X?(1)1t,11?2e=X(2)t,xt,21?2X(3)3t,31?为了使状态变量在现实测度的动态过程有唯一解并恒大于 0，所需参数限制是：?Q2k?(i)0,i=1,2,3ii11Q2?,i=1,2,3ii2?2.?EXAM?的风险溢酬?三因子 CIR模型中，EXAM?的风险溢酬为：?(1)+(1,1)X+(1,2
45、)X+(1,3)X?12t,12t,22t,3?e=(2)+(2,1)+(2,2)+(2,3)t,x12t,12t,22t,3(3)(3,1)X(3,2)X(3,3)X12,12,22,3?为了使状态变量在现实测度的动态过程有唯一解并恒大于 0，所需参数限制是：?(i,j)0,1i,j3,ij;21Q2?+(i),=1,2,3;i1i2Q?+1?()11?1PQK?+20()()21?Q?+3()31?此外，EXAM 还要求状态变量在风险中性测度下恒大于 0，所需参数限制是：?1Q2?,i=1,2,3ii2?3.?SAM 的风险溢酬?19?三因子 CIR模型中，SAM 的风险溢酬为：?2?X(1)+X(1)1t,10
