1、9.3双曲线及其性质1.(2022届甘肃靖远开学考,15)已知双曲线C:x24-y2m=1(m0)的渐近线方程为y=2x,F1、F2分别是C的左、右焦点,P为C右支上一点.若|PF1|=m-1,则PF1F2的面积为.答案226解析由题意得m4=2,m=8.|PF1|-|PF2|=2a=4,|PF1|=m-1=7,|PF2|=3,又|F1F2|=43,由余弦定理的推论得cosF1PF2=521,sinF1PF2=42621,则PF1F2的面积S=1237sinF1PF2=21242621=226.2.(2022届陕西洛南中学月考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分
2、别为F1(-c,0),F2(c,0),过F1的直线l与圆C:x-12c2+y2=c24相切,与双曲线在第四象限交于一点M,且有MF2x轴,则直线l的斜率是,双曲线的渐近线方程为.答案-24;y=x解析如图所示,不妨设直线l与圆C相切于点A,CAF1M,|CA|AF1|=|F2M|F1F2|.|CA|=c2,|CF1|=3c2,|AF1|=3c22-c22=2c.又|F1F2|=2c,|F2M|=2c2,Mc,-2c2,kl=-tanCF1A=-22c2c=-24.将Mc,-2c2代入x2a2-y2b2=1,可得c2a2-c22b2=1,a2+b2a2-a2+b22b2=1,a=b,渐近线方程为
3、y=bax=x.3.(2021呼和浩特二模,15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(3,10),其左焦点为F1,过F1的直线l与C的左支交于点P,Q,点M在y轴上,且PMQM=0,PQ=-4OM,O为坐标原点,则C的标准方程为.答案x24-y28=1解析因为PQ=-4OM,所以|F1P|=2|OM|,直线l与x轴垂直,将x=-c代入x2a2-y2b2=1,得y2=b4a2,则|PF1|=b2a.设双曲线的右焦点为F2,因为O为F1F2的中点,直线l与x轴垂直,所以M是PF2的中点,又PMQM=0,且|PF2|=|QF2|,所以PQF2为等边三角形,所以|PF2|=2|PF
4、1|=2b2a,又|PF2|-|PF1|=2a,所以2b2a-b2a=2a,得b2=2a2,由(3,10)在双曲线x2a2-y22a2=1上,得9a2-102a2=1,解得a2=4,所以b2=8,所以双曲线C的标准方程为x24-y28=1.4.(2022届安徽十校联盟开学考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P,直线F1P与y轴的交点为Q,且点P关于直线QF2的对称点在x轴上,则C的离心率为.答案3+1解析由题意可得F1PF2=2,又由对称性可知QF1F2=F1F2Q=PF2Q=6.故在RtPF1F
5、2中,可得|PF2|=12|F1F2|=c,|PF1|=3c,因为|PF1|-|PF2|=3c-c=2a,所以e=ca=23-1=3+1.5.(2022届江西景德镇一中月考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,且以A为圆心,双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B,C两点,若BAC2,23,则双曲线C的离心率的取值范围是.答案2,2解析如图所示,过点A作ADBC于D,则ACD为直角三角形,所以|AD|=|AC|cosDAC=b cosBAC2b2,2b2.不妨设一条渐近线方程为y=bax,则点A(a,0)到渐近线的距离为|AD|=aba2+b2=abcb2,2b2,即1e12,22,故e2,2.
