1、1多屬性效用之理論與應用效用理論目錄1. 前言 _32. 代表性之事例 _52.1. 學生畢業前工作之選定 -52.2. 消費者行為 -52.3. 運輸工具選擇行為 -52.4. 企業設備投資計畫 -52.5. 替代能源之選擇 -52.6. 水環境與都市計畫 -62.7. 大規模設施之區位選擇與共識形成 -62.8. 公共的風險評估 -63. 風險下的決策 _73.1. 期望效用假說 -73.2. 單屬性效用函數之認定 -73.3. 對風險之態度5 -74. 多屬性效用函數 _74.1. 效用獨立性、加法獨立性與分解表現5 -74.2. 凸依存性與分解表現25，28 -74.3. 凸依存性之解
2、釋 30 -75. 群體效用函數 _75.1. NCGUF 與 DM 之間的凸依存性（正規化附加條件群體效用函數） -75.2. 效用獨立性與凸依存性之解釋 -76. 確定下之決策與可測價值函數 _76.1. 偏好差獨立性、弱偏好差獨立性與分解表現 -76.2. 偏好結構差獨立性與分解表現43 -76.3. 單屬性可測價值函數之鑑定 -77. 期望效用理論之反例 _77.1. Allais 之反例（碓定性之效果）46 -77.2. 希求水準之效果 -77.3. 慣性之效果 -77.4. Ellsburg 之反例 -78. 期望效用理論一般化之記述模式 _78.1. 期望效用模型之變型 -78.
3、2. 風險下之價值函數 -78.3. 其他模型 -79. 結論今後之課題 _710. 補充 1 _7211. 補充 2單一屬性效用之鑑定方法 _731. 前言以人類價值觀定量化為目的之效用理論發展於 1738 年，由 D. Bernoulli 首先提出 (Luce and Raiffa, 1957)，其問題如下所述：擲一枚公正之銅幣出現正反兩面機率各為 1/2，繼續投擲至出現正面為止。如果第 n 次始出現正面則可獲得 2n 元。參加此遊戲，至多少錢還可以支付呢？此遊戲可想成收到的金錢為 2,4,8,.,2n 元，分別出現的機率為 1/2,1/4,.,1/2n。故此遊戲收到金額之期望值為： .1
4、.81421因為此遊戲的期望金額為，是否會有人回答此遊戲可以投入所有財產之價值？就人的行為而言，Bernoulli 說明人們並不是追求金額為最大之行為，而是追求期望效用為最大。，對金額之效用函數提出對數函數，此為效用函數之發端。但是，他未提及：(1) 此效用函數如何測定呢？ (2) 為何期望效用為人類行為的合理規範呢？而 Bernoulli 的模型可以視為有關人類行為原理的記述模型（descriptive model）。Von Neumann-Margenstern (1944) 設定幾個公理，且證明效用最大化為人類行為的合理規範，開始有了規範模型（normative model）。一般而言，
5、在各種不同場合裡作成數學模型時，必須先明確定義每一個目標，且結合該目標建構模型。在相同領域的模型裡，有些只適用於某一個目標，完全無法用於其他目標。有關人類行為或決策之期望模型亦同樣可以說具有此種性質。以目標別期望效用模型之分類如下 3。(1) 敘述性（descriptive ）或探索性（explorative model）模型(2) 預測的（predictive ）或實証的（ positivistic）模型(3) 規範的（normative）或處方的（prescriptive）模型敘述性模型不只單預測人類行為，建構模型時亦考慮所設定之公理是否與人類行為之實情相結合呢？在模型裡所做之資訊處理是否
6、與人類行為之實情相結合呢？換言之，不僅是由模型所導出之結果，且過程經過是否朝向促使人類行為走向實情呢？此為當前之課題。在此為記述與分析精度頗高之人類行為的科學，即為求達到人類行為科學的任務。更而，今後的發展方向為期待與認知科學及與知識工程等相融合。在經濟學或經營學的領域裡，期望效用模型常使用做為預測的或實證的模型4，在此公理或資訊處理機能之現實環境為問題。根據此種模型，人類行為是否會獲得高精確度的預測值呢？或是否可以證明呢？此亦為現今的問題點。在工程設計或管理科學裡，有關人類的決策行為，一般不是最適。在此，設計與決策因亦都有一直改良，常常以期望效用理論做成規範及處方的模型，且為事前分析之決策過
7、程。此稱之為決策分析。此種規範的（或處方的）模型當作決策支援系統，可使用於廣泛的範圍 5-9，在此記述模型的精確度是不太成問題，問題在於是否可達成較好的決策結果。在本文裡，以 Von Neumann-Morgenstern 之期望效用理論為基礎，從敘述性模型及規範性模型觀點著手，以如下的流程對效用函數作概觀性的介紹。(4) 代表性之事例(5) 風險下的決策4(6) 多屬性效用函數(7) 群體效用函數(8) 確定下之決策與可測價值函數(9) 期望效用理論之各種反例(10) 期望效用理論一般化之記述模型(11) 今後之課題此時，比起理論的嚴密性，寧可以直觀理解容易為重點進行討論。52. 代表性之事
8、例在進入主題之前，先舉幾個以效用函數為討論對象的代表性事例作為介紹。2.1. 學生畢業前工作之選定對應屆畢業生而言，在畢業前決定未來的出路為極重要的決策問題。在就職前所考慮的重要因素（屬性）當中，可量化者如：年收入、職業種類、工作場所等。在美國，MBA（企業管理研究所）畢業的 100 位學生為對象，有確定下之模型與不確定下之模型，有比較預測模型的性能 10。2.2. 消費者行為A 君在 1950 年產的高級酒大減價時，以一瓶 200 元的價格買了一箱。幾年後，酒商希望將此酒以一瓶 4000 元的價格買回，但 A 君斷然拒絕（A 君到目前為止買相同的酒一瓶只要付 1400 元）。B 君自己停內的
9、草都是他自己割除，若是拜託隔壁的小孩割草的話，每次要付 300 元，但B 君幫助隔壁割同樣面積的草至少要收取 800 元。依據 A 君或 B 君的消費行為是否可以適當地說明敘述性模型呢？ Thaler 11 像此種消費行為，可以使用 Kahneman-Tversky 的期望理論之記述模型，後面有較詳細的說明。2.3. 運輸工具選擇行為張三要從 A 地到 B 地時，可以考慮使用鐵路、公路、計程車、自用小客車、機車、腳踏車等多種運輸工具，張三將根據哪些偏好準則做出選擇呢？選擇的基準（屬性）可以考慮如：時間、費用、方便性、舒適性等。作為運輸系統分析的規範模型，有假設為加法型多屬性效用函數，屬性間相對
10、權重問卷方式求得 6。2.4. 企業設備投資計畫就企業主管而言，設備投資之決策為一項重要的課題。在日本野村君 13 的研究報告裡有關設備投資計畫，由經濟與技術的觀點，可以採取如下三個評估項目（屬性）：投資報酬率、回收期間以及技術水準。首先，求此 3 個屬性的乘法型多屬性效用函數，再以決策者易於瞭解及使用的原則下，求加法型的綜合評估。將此綜合評估式作為有關全公司設備投資計畫的規範，進行替代案評估。2.5. 替代能源之選擇近年來，雖然油價有時因石油過剩而產生低迷，有時又會突然高漲，但是不管如何變化，長期而言石油將會有被消耗殆盡的一天，因而有所謂開發石油的替代能源、節約能源、能源有效利用等相關議提產
11、生，並在各界進行研究開發，如：應使用哪種能源作為發電基礎？使用哪種能源來替代石油？在考慮此問題時，可用下列的屬性作為評估的項目：(12) 經濟性(13) 對環境的影響6(14) 對社會經濟的影響(15) 對健康的影響及其安全性(16) 區域居民之反應(17) 實行的可能性Keeney 與 Sicherman 14 考慮有關這些評估項目之階層結構，求由全部十四個屬性所構成的乘法型多屬性效用函數，可視為替代能源選擇的規範模型。2.6. 水環境與都市計畫以台北地區的基隆河系、淡水河系及其上游如新店溪等區域為對象的水環境與都市計畫之問題，可以適用效用理論。當中，評估新店溪流翡翠水庫往下整個河系之資源開
12、發工程可設定 5 個水準 9 個屬性之階段評估結構，評估洪水控制、用水供給、水資源管理的開發工程。在此可以求乘法型之多屬性效用函數，使用於開發工程有關替代方案選擇。2.7. 大規模設施之區位選擇與共識形成墨西哥市首都圈國際機場興建所做的決策分析規範模型中 5，所考慮的評估項目如下：機場的興建費用、機場的規模、可及性、安全性、對居民的影響以及噪音水準等。一般而言，大規模設施之區位選擇，需考慮利益衝突團體 (興建者、使用者、區域居民等的各種影響，有必要使這些團體之間得到共識或折衷)，此部分在群體效用函數中，將有較詳盡的敘述。2.8. 公共的風險評估新藥的許可、食品添加物的許可、新航空路線的許可、大
13、規模開發的許可等公共決策，本 研 究 流 域產 業（ 利 潤 最 大 ） 行 政 體（ 公 平 性 最 大 ）工 程 期 待 性（ 長 期 效 用 ）工 程 實 效 性（ 短 期 效 用 ）居 民（ 福 祉 最 大 ）水 質 管 理以 提 高 水 質 與 水 環 境要 素 品 質 為 工 程 目 標用 水 供 給以 儘 量 供 給 用 水 需 求為 工 程 目 標洪 水 控 制以 減 少 因 洪 水 受 害 為工 程 目 標 下 流 域中 流 域上 流 域工 程 利 益 之 公平 性工 程 實 效 性（ 短 期 效 用 ） 工 程 期 待 性（ 長 期 效 用 ） xi9xi1, xi2 xi
14、7, xi8xi5, xi6xi3, xi4圖 1 水 資 源 開 發 工 程 之 階 層 評 估 結 構屬 性第 一 水 準第 二 水 準第 三 水 準第 四 水 準第 五 水 準7常會使人們致死或重大的災害發生，含有危險性。像此公共風險之評估，希望能達到如下的目標：(1) 將災害降至最低。(2) 萬一災害發生時，不會只針對特定的人，而可以公平地分配至非特定的多數人。(3) 事前所考慮的災害風險，不是只針對特定的人，而可以公平地分配至非特定的多數人。Keeney 與 Winkler 16 評估此公共風險的公平性，其評估函數是以 3 個屬性之效用函數來構建模型。此亦為規範性模型的一種，由替代案
15、選擇之記述觀點，可以發現幾個反例，但不影響到根據期望效用假設而捨去規範模型。相反地，從記述模型所發現的反例將突顯問題的本質 16。除此之外，尚有其他以決策支援為目的的規範模型，如：在日本有噪音評估 17、北九州市都市環境分析 18、北陸新幹線之區域經濟評估 19 等以公共系統為對象之研究。83. 風險下的決策本節首先說明 Von Neumann-Morgenstern 之期望效用假說 2，並以此為基礎說明單屬性效用函數之認定方法以及對於風險的態度。3.1. 期望效用假說決策者 (Decision Makers，以下簡稱 DM)，可以選擇的替代方案之集合為：A = a, b,.DM 選擇替代方案
16、 a A 時，所得之結果 xi 之機率為 pi；選擇替代方案 b A 時，所得結果 xi 之機率為 qi，發生的所有結果之集合為：X = x1, x2,.此時滿足：pi0, q i0,. ip iq i.1又 X 上之效用函數為 ：XR 時，採用替代方案 a, b,.時之期望效用，分別為：Eap iu(xi), Ebq iu(xi), . (1)在此情形下，若結果係根據一個屬性所決定時，u(x)則稱之為單屬性效用函數。Von Neumann-Morgenstern 2設定五個公理，當這五個公理成立時，證明滿足期望效用假說DM 從替代方案集合 A 中，選擇期望效用為最大之替代方案 之基礎的效用函
17、數 u(x) 存在。換言之，此時將依如下的規則作為選擇方案的依據。a b EaE b, ab Ea=Eb (2)在此，a b 表示較偏好方案 a 勝於方案 b，ab 表示對方案 a 與 b 之喜好程度無差異。所謂基數的效用函數，是可以指定原點與任意單位為同樣意義的尺度化，u(x)是為滿足(2)式之效用函數時，任意常數 0，對 而言，滿足下式及(2)式u*(x)u( x) (3)將此性質稱為u(x )在正線性轉換的範圍為某一個意義。由 u(x) 與 u*(x) 亦稱之為策略上之同值。使用決策樹 （decision tree） 與機率測度 （lottery, probability measure
18、） 的概念，表現到此為止的議論時，如圖 2 所示。在此 la，l b為分別選擇替代案 a， b時， DM 面對機率測度意義表示如下：ga = (x1 , x2 , ；p 1 , p2 , ) ;gb = (x1 , x2 , ；q 1 , q2 , )ab lalb x1x2x1x2u(x1)u(x1)u(x2)u(x2)ii)x(upii)(qP1q2q1P2 替 代 案 機 率 測 度 機 率 結 果 效 用 期 望 效 用圖 2 決 策 樹 與 機 率 測 度9將(2)式以如下表示，但，(2)1212(),;,)()aiaugxpuE:(2)式機率測度之效用以機率測度之期望效用表示，且期
19、望效用假說就以此表示。3.2. 單屬性效用函數之認定定義 1 確定同值額 (certainty equivalent) 5DM 認為機率測度 la 之喜好度與確定結果之喜好度無差異時， 稱之為機率測度 la 之確定同值額。由期望效用假設，可以得如下之關係(4)()()aiuxgpux在結果之集合 X 裡，x 0 為最差的結果，x *為最佳的結果，因此，將上式之效用函數正規化後如下： 0*();()1ux其次，x* 以機率 p 表示， x0 以機率 (1p) 表示機率測度，即：p x* 1p x0將此以 表示，將是 p = 0.5 時，此機率測度稱之為 50-50 機率測度，以表示。今，機率測度
20、 之確定同值額為 x 時，滿足*0,x*0,0,由期望效用假說，得u(x) = u( ) = p u(x*) + (1p) u(x 0) = p (5)50-50 機率測度使用幾個值即可以很容易認定單屬性效用函數，今對 3 個的 50-50 機率測度，DM 探找確定同值額 x0.5，x 0.25，x 0.75 求滿足如下值時*00*0.5.25750.5(,);(,);(,)x可以求確定同值額之效用值如： *00.5()().().;uxu.20.5.25;xx*.7 0.5()().()7uu圖 3 所示之(x，u(x) 空間，通過 (x0，0) 與 (x*，1) ；求 、 、0.25(,)
21、x0.5(,)x之三個點最為適合 (fit) 的曲線時，可以求單屬性效用函數 u(x)。像此求單屬性效0.75(,)(bababgE: x10用函數之方法稱為由中點連結之確定同值法 5。其他，DM 替代尋找確定同值額，亦有尋找滿足 機率 p 之值的機率同值法 20, 21。*0,x在此因篇幅之限制無法詳細之探討，求單屬性效用函數時有幾點需要注意，由於對 DM 質問之方式不同，所得之效用函數有很大的差異。此亦與後述之期望效用假說之反例 3 , 12 , 22 關連。 1.0 0.75 0.5 0.25 0 x0 x0.25 x0.5 x0.75 x* 圖 3. 由中點連結法單屬性效用函數之認定3
22、.3. 對風險之態度 5面對風險時， DM 之態度可表示如下。定義 2任意非退化機率測定 g (在機率測度裡， ) DM 機率測定比起此者較喜好,1iixXp機率測度之期望結果。(6)ixp滿足如下時，則稱對此 DM 風險之態度，為風險迴避形 (risk averse)。()iugx此時，效用函數 u(x)為如圖 4(a) 所示之凹函數。效用函數之一階微分，即邊際效用(marginal utility)遞減。另外，對於 DM 風險度之態度，風險中立(risk neutrality)時效用函數為線性，如圖 4(b)；風險趨向形 (risk prone 或 risk seeking) 時之效用函數
23、為凸函數 58。如圖 4(c)。1121()()uxux 2x 21()()uxux 1 x= 2 21()()uxuxx 2 x x xu(x) u(x) u(x) (a)風 險 迴 避 型 (c)風 險 趨 向 型 (b)風 險 中 立 型 圖 4. 風 險 形 效 用 曲 線 Arrow-Pratt 提出測定風險迴避度之局部測度 5 , 23。此測度對 u(x) 之正()/ux線性轉換為不變，且 u(x) 為 x 之線性或指數函數時，取一定值。譬如對金錢而言， DM 之效用若以線性或指數函數表示時，對金錢之 DM 的風險迴避度不隨所持金錢之多少而變。需注意的是，今假設某 DM 對金錢而言
24、，回答如下時，u(10000) = 1， u(0) = 0u(3000) = u( ) = 0.5此 DM 得 10,000 元或 0 元機率 1/2，與確實得 3,000 元認為同程度之喜好。此時，得如下之關係，u(10000)u(3000) = u(3000)u(0) = 0.5由此，就 DM 而言，是否可說所持錢 0 時得 3,000 元與所持錢 3,000 元時得 7,000 元為同程度之喜好？回答是否定的 1，即就 u(x)而言，無法測定 DM 之確實下的偏好強度，要注意只可測定到底風險度下機率測度之好壞，由此，Von Neumann-Morgeustern 的效用函數，由如前述之基
25、數的效用函數 (cardinal utility function) 測出 DM 偏好的觀點，可以由僅給機率測度好壞之順序，得序數的效用函數 (ordinal utility function) 3，確實下之偏好強度與決策，將在後面的價值函數項述及。124. 多屬性效用函數結果 (outcome) xX 為根據 n 個屬性 X1,X2,Xn 之特色顯示者。實際上，此相當於在二節事例之多數個的評估項目。此時結果 x 可以如下表示順序對 (order pair)， 12(,)nx12,n所產生所有結果之集合 Xn，可以直積集合 X1X2Xn 表示，將此稱之為 n 屬性空間。 n 屬性效用函數，可以
26、定義為在 上， 。可以n12:uXR直接求像此之 n 屬性效用函數 u(x1，x 2，x n)，且必須同時考慮多數個屬性之有關機率測度的偏好判斷，此實際上幾乎是不可能的。在此，有關 DM 之偏好是假設多數個屬性之間是獨立性或依存性等，可以直接測定使效用函數屬性之次元減少以求其分解表現，此為重要之課題。在各種獨立性當中，能夠最常實地應用者為 Keeney 5 的效用獨立性與其特別場合的加法獨立性 24，此在 4.1 節說明，更而，當對象之問題為大規模，且互相衝突屬性間之權宜關係 (trade-off relation) 為複雜時，有關某屬性附加條件效用函數形出現因已知條件之其他屬性水準而變化的情
27、況。此時，Keeney 效用獨立性之假設成為不完整。此時，著眼於附加條件效用函數形之變化，對幾個不同條件水準之附加條件效用函數之間假設凸依存性 25 (可以凸結合表示之性質)，Keeney 之效用獨立性，Fishburn 之雙獨立性 (bilateral independence) 26，Bell 之互補間獨立性 27 等為特別之情況，可以發現含一般的分解表現。基於此凸依存性之分解表現，對有關某屬性 DM 風險之態度，因為可以表現與其他屬性水準相關而變化的情況，故記述模型可以構成汎用性高的多屬性效用函數。在此，可以直接測定之效用函數，因只具有多數個單屬性效用函數(附條件效用函數)即可的特色，故
28、一看到較複雜的問題，找分解表現亦可以比較容易求得。凸依存性與分解表現，凸依存性的解釋分別在 4.2 節、4.3 節說明。4.1. 效用獨立性、加法獨立性與分解表現 5I 為由 r (1 r n) 個要素所構成 1，2，n 之部分集合， 為由 (nr ) 個要素所構成之 I 的補集合。 n 個屬性之集合 x1， x2， ， xn 可以分成兩組的集合 與,ixI，即由 所做之 r 個屬性空間為 XI，由 所做之 (nr ) 個屬性空,ix,ixI ,iI間為 。IX在說明效用獨立性的概念之前，首先說明偏好獨立性的概念。定義 3 偏好獨立性 (preferential independence) 5
29、 為 偏好獨立時， 變化之偏好順序不與條件水準 有關。此性質以II IIxXIIXx表示。由此，若 時，任意 與對某 滿足下式。(P)IIX(P)II IIXx21， II1I13(7)1212()()()()IIIIIIxxxxX， ， ， ， ，定義 4 正規化後之附條件效用函數(正規函數) 25已知任意 時，x 上之正規後之附加條件效用函數 (以下，稱之為正規函數)，IIX定義為，(8)0(,)(,)(|)IIIIuxx在此， 表示分別為 之最佳水準與最差水準，且為 ，由此之0,IIIX*0(,)(,)IIuxx定義，很明顯地滿足： 0(|)1,(|),I I III IuxuxxX此之
30、正規函數 表示在風險下給任意條件水準 時，顯示 XI 上機率測度|II IIx偏好順序的 r 個屬性效用函數。定義 5 效用獨立性 (utility independence) 5當屬性空間 XI 為與屬性空間 效用獨立時，將 水準固定在某值 ，考慮IXIXIx已知在 XI 上任意二個機率測定時，此偏好順序與固定條件水準 無關，此性質以 IIx表示。II)U(由定義 4 與定義 5 可得如下之重要定理。定理 1 25(9)0(I)(|)(|),IIIIXuxxX(9)式表示正規函數與條件水準無關，且定理 1 可以使用多數個屬性間之效用獨立性來驗証。以下，(9) 式右邊之正規函數，以如下表示。(
31、10)0()|)IIIux其次，得多屬性效用函數之加法形式或乘法形式之分解表現，定義其必要之性質如下：定義 6 相互效用獨立性 5對任意 I 1，2，n，滿足 時，屬性 X1，X 2，X n 稱之為相互效IIX)U(用獨立。定理 2 5屬性 X1，X 2，X n 為相互效用獨立時，加法之分解表現如下成立，14(11)1211(),)()nniiuxkuxf 或乘法型之分解表現如下成立，(12)11()()nnii iikfk但，i) ；001212(,),(,)nnuxux ii) 在式(10) ；|iiiIiiii) ；0(,)iikuxiv) k 為 之解。1()ik定理 3 5n 屬性
32、X1，X 2，X n 已知時，如下之條件為等價：條件 1. X1，X 2，X n 為相互效用獨立條件 2. 對某 i 而言， ，且 ， I = i, j， j = 1, 2, n， j i， n 3ii)UI(IX)P(條件 3. ， i = 1, 2, nii)I(條件 4. ， I = i, i+1, n ，i = 2, 3, , n 且IX nX)UI(條件 5. ， I = i, i+1 ， i = 1, 2, n-1， n 3I)U(實際上，相互效用獨立性將由 (9) 式 驗証時，有必要驗証 2n2 個的獨立性，即 5 個屬性時須驗証 30 個獨立性，在此通常使用條件 1、條件 2。
33、定義 7 加法獨立性 (additive independence) 24, 5當屬性 為加法獨立時，考慮已知在 X 上任意二個機率測度時，此之偏12,nX好順序與 X 上之聯合機率分配無關，僅與 上之邊際機率有關。12,n定理 4 24 , 5屬性 加法獨立時，可得 (11) 式 所示之加法型分解表現，如由定理 212,n與定理 4，很清楚，加法獨立表示相互效用獨立性之特殊狀況。一般而言，評估項目(屬性)有多數個，進行總合評估時，有很多依據各評估項目之權數和做評估。此各評估項目間暗然地相互獨立性是當然的事，且假設更嚴格的加法獨立性。像此之假設，各評估項目間都不會有相互作用之意。此無法反應現實
34、偏好狀況的情況很多。二個屬性加法獨立時，在如下二個 50-50 機率測度之間的無異關係成立。15(13)02*10*2101 , xx以下表示加法獨立性不成立的二個例。由此些亦得知加法模型作為記述模型問題很多。【例一】 ：經濟消費水準， ：環境污染水準時，（13）式的左邊表示經濟水準與環境污1x2x染都是最差的狀況與兩者都是最好的狀況分別得 0.5 之機率的機率測度。 與 為加法1x2獨立時，這些二個的機率測度為同程度喜好之意，在現實上大方的人類不是認為（13）式右邊機率測度較喜好嗎？【例二】為評估某一災害之公共風險者， ：A 君遭受被害的程度， ：君遭受被害的程1x2x度時，（13）式之左邊
35、表示均與軍一起遭受被害的狀況與兩者都無遭受被害的狀況，分別是 0.5 機率發生的機率測度，（13）式的右邊表示，不論是君或君何者一方遭受頗大的被害，他方不遭受任何被害之狀況，分別 0.5 機率發生之機率測度。此時，由所謂公共風險公平性（equity）16 的立場，（13）是左邊機率測度者喜好是很明確， 與 之間加法1x2獨立性不成立。 相互效用獨立性稍微放寬， 為成立時，可以得多元線性形之ixi,UI分解表現，請詳閱文獻 5（keeney,1976 ）4.2. 凸依存性與分解表現 25，28在此為表現簡化以 n = 2 作為的時說明， 時，請參閱參考文獻 28，29。3n與 之間如下式，無法滿
36、足效用獨立。1x2（14）112221 forsme uxxX定義 8 凸依存性（ convex dependence）25屬性 滿足屬性 之 m 次凸依存性時，對任意 滿足如下式之1x2x 21,Xx相異 ,.j02（15）1212200,1mjj juxxux與 上之實數函數 存在之意，其性質為以 2:,.jRm21CDxm表示。但 m 表示滿足 （15） 式之最小整數。16此之定義， 時， 上所有正規函數，可以表示以條件水準之不同其他 21CDxm1（m+1 ） 個正規函數凸結合之意。但係數用於不必要是非負的廣義之意。在 （15） 式裡，m0 時，因為對任意 可以得2X01212uxx此
37、時滿足 0 次凸依存性表示不與其他效用獨立性 25。2121UICD若成立時，至多 成立 25。然若 時， 或xm12CDxm 21UIx12Ix成立，一般而言，若 時， ， 或 2x 2112xmCDmm之任一個成立。其次表示在凸依存性之下所得之分解定理。定理 5 25對於 m =1, 2,而言， 成立之充分必要條件為，21xm(16) *000*12122121212121, ,mijijiuxkxkufxcGxx但，*0012121212112,fxxkxkuxkux （17a）*0012121211212,Gku （17b）(17c)*00*1212,uxx為常數， i = 1m* 之
38、和的符號表示 i =1, 2, m-1, m* 之和ijc定理 6 25對 m =1,2,而言， 、 （此為表示） 成立之必要21CDxm1xm21MCDxm充分條件為（18* *00 12122121212121 1, ,mij ijij iji iuxkxkudffdG ）但， 以（17a，17b）式表示，2121,G,f*0 012122121,Hxkuxkuxxux 17（19）為常數，k 1，k 2 滿足（ 17c）式。,ijd在 （18） 式裡，m = 1， 時，得0ijujd*121200121221, fxfuxkxk（20）此表示在 Fishburn 之兩獨立性（ bilateral independence）26 之下的分解表現，又即屬性 與 滿足相互一次凸依存性時（18）式為，21MCDxm12x(21)*121200 *121221 1212, dG,H,fxfukkuxx此表示在 bell
