1、对称性思维风暴山东省曲阜师范大学附中 宋连义高中物理中经常能遇到大量的对称性问题，或可以用对称的手法通过作图、等效化简等办法简化问题，找出对称的要素达到解决问题的目的。通过对称性问题的研究，能得到一些学习规律和方法，激发学习中的灵感，树立学好物理学的信心，培养学生发散性思维的能力，最终形成科学的全面的认识。通过对称性问题研究，可以认识到丰富多采的自然界中包含着大量对称的事实，了解事物的内在规律。能感受各种对称问题的出现，其中包含了稳定与和谐。对称性问题多种多样，有运动路径对称；研究对象的对称分布；坐标系中图象的对称；质心不变中的动量守恒；等效电路和力的平衡；非对称问题用对称性手段处理等。通过对
2、称性问题研究，可大大提高图象和图线的运用能力，有利于提高形象思维能力和建立物理模型的能力，提高处理局部与整体的综合能力。一 、 运 动 对 称在中学物理的许多题目中，存在物体运动的对称性。【例 1】 如图 1 所示，在水平面上，有一质量为 m 的物体，在水平拉力作用下，由静止开始移动一段距离后，到达一斜面底端，这时撤去外力物体冲上斜面，上滑的最大距离和在水平面上移动的距离相等。然后物体又沿斜面下滑，恰好停在水平面上的出发点。已知斜面倾角为 30，物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，求物体所受的水平拉力。这是一个关于运动对称问题，物体 m 在运动中经历了四个不同的匀变速运动，在 F 和 f 作用
3、下由 AB，在 mgsin+mg cos 作用下由BC 。由于 AB=BC，B 点是对称位置，在这两段运动中，它们具有加速度对称，路程对称，时间对称，速度（图线）对称等；同理，物体由 C 点滑到 B 点与由 B 点滑到 A点也具有对称关系。抓住这些对称关系不难得到图 2 的速度图线。（图 1）mA BC根据加速度对称关系有： )1(cossinmggF2m解得 gsin2【例 2】沿水平方向向一堵墙壁抛出一个弹性小球 A，抛出点离水平地面的高度为 h ,距离墙壁的水平距离为 s , 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距离墙壁的水平距离为 2s ,如图所示。求小球抛出时的初速度。【
4、分析与解答】因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性，碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上相当于小球从 A抛出，这时落地点到抛出点的距离为 3s , 抛出点的高度仍为 h .由平抛运动规律得：x =3s =v0 t ; y =h = g t2 /2 . v0 = 3s .hg2/【例 3】单摆是具有对称轴的对称运动例子。利用单摆的对称性，可以求得多个物理量。只要对称轴和等效重力加速度 g确定，它的周期也能确定了。如图 5 所示，分析竖直匀加速运动中电梯的加速度 a 的测定方法。【分析与解
5、答】等效重力加速度为 。把 g代入周期ag公式，得 （a-g）glT2当 a0 时，电梯向上加速，周期变小，相同的机械能时，摆角变小。反之，a 0 时，电梯向下加速，周期变大，相同机械能时，摆角变大。电梯中的人通过对单摆的周期测定，可以确定电梯的加速度。同理这个方法可以运用到水平匀变速行驶的火车中。二 、 静 态 对 称oal（图 5）OaO（图 6）vt（图 2）0当研究对象具有对称分布时，可以根据研究对象分布的特点，找出对称关系，它的结构在计算和分析中作对应简化。【例 4】如图 7 所示，物体质量为 2kg，两根轻细绳 AB 和 AC 的一端连于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一
6、个方向与水平线成 =60 的拉力 F，若要使绳都能伸直。求拉力 F 的大小范围。 （设绳AB、AC 分别恰好拉力为零的临界状态进行计算）【分析与解答】假设水平绳 AC 的拉力恰好为零，则物体受三力而平衡，拉力F 方向与 AB 绳方向相对于竖直线而言具有对称性，所以两个力大小相等，由三力平衡条件有：2F AB sin60 =2Fsin60= mg F = mg / = 20 / (N) 3假设绳 AB 的拉力恰好为零，则物体在三个力：mg 、F、F AB 作用下平衡，由三力平衡条件得Fsin60 = mg , F = 2mg/ 3/40N因为取 AB 绳或 AC 绳的拉力恰好为零是两个临界状态，
7、所以，F 的取值范围是：20 / （N） F 40 / （N）3【例 5】 一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分两排，其上端挂在两根钢缆上，图 9 为一截面图，已知图中相邻杆距离均为 9m，靠桥面中心的钢杆长度为 2m， （即 AA=DD=2m）BB=EE， CC=PP，又已知两端钢缆与水平面成 45角，若钢杆自重不计，为使每根钢杆承受负荷相同，试求每杆钢杆长度各为多少米？【分析与解答】设桥钢杆的拉力为 G，总重6G，先后分析 P 点和 E 点。 （如图 10 所示）根据对称性 P 点受 3G 向上的力作用。PE 杆向下对 P 点的拉力为 2G，根据对应边关系，有，同理求得 。所以，米6
8、2h米31h 米米米米 1)65(5)2( PCEB 45（图 9）45C B A D E PC AB D E PE452GP G 3G3G 3G G 3G3G 2G（图 10）（图 12）stvv0ss0后车前车t1 t2【例 6】 如图 11 所示的 A、 B、C、D、E、F 为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知 A、B 、C 三点的电势分别为 1V、6V 、9V，则 D、 E、F 三点的电势分别为多少？【分析与解答】根据正六边形的对称性和匀强电场中任意两条等长的平行线上的电势差相等的原则，有 ， 得：CFCABU2；VF1同理： ， EFEBC VUFBC2VUDA 7)25(,本题
9、利用对称法求解是唯一的途径。可见，对称性在电路简化中起到重要作用。三 、 图 像 对 称1、图象图线的对称在前面的研究中已知运用图象的对称性和物理量的对称，解决了一些其他方法难以解决的问题，在此再举几个图象例子。【例 7】两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为 v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为 s，为保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为m。【分析与解答】两车的减速过程是对称的，不难得到如图 12 所示的速度图线，容易得到两车间因保持 2 s 以上的距离。【例 8】 将光
10、滑细管弯成圆角的长方形，如图 13 所示，固定在竖直平面上， B 角比C 角低，从 A 角同时放进两个小球，一个沿 AB，一个沿 AC 滑到 D 角，问哪个球先到达D 角？【分析与解答】两小球经过的路程相同，根据小球在 AB 段和 CD（图 11）A BF CE DC（图 13）ABD（图 14）tvvD0 tB tD tC tD段及 AC 段和 BD 段加速度关系，可作出速度图象如图 14 所示，所以经 B 角的小球先到达D 点。2、图象的面积相等【例 9】小球以初速 v0 上抛，经过时间 t 后回落到上抛点，已知小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比，试求回落到上抛点时小球的速度 v。
11、【分析与解答】小球在整个上抛和下落过程中的速度-时间图象如图 15（甲）所示。由于速度图线与 t 轴间的面积表示小球在对应时间内经过的路程，故由上抛与下落所经路程相同可知，图中区域A 与区域B 的面积相等。小球所受的阻力 f-t 图象如图 22（乙）所示。由于 f 与 v 成正比，设比例系数为 k，即可表示为 f=-kv，故图乙中区域 A和区域 B的面积一定分别是图甲中区域 A 和区域 B面积的 k 倍，由此可知，区域 A 和区域 B的面积也相等。在 f-t 图象中，图线与 t 轴间的面积表示对应时间内阻力 f 的冲量值。在小球上抛和下落两过程中阻力的冲量值相等。而两过程中阻力方向相反，故两冲
12、量等值反向。由此可知，在小球整个运动过程中，阻力的冲量为零。故由质点动量定理，可得mgtv0 gtv0在这个例子中具有图线包围面积的对称性，正是这些物理量的速度图象中位移的面积相等，阻力图象中阻力冲量的面积相等。简化问题的复杂性。对称性对理解和分析问题有很大的帮助。四 、 轨 迹 对 称【例 10】 如图 16 所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、b、c 和 d，外筒的半径为 r0。在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为 B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区甲AB0 tv（图 15）AB0tf乙域内存在沿半径向外的电场。一质量为 m、带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发，初速度为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S，则两电极之间的电压 U 应是多少？（不计粒子的重力，整个装置在真空中）【分析与解答】该题粒子的运动具有周期性，对应的轨迹具有对称性（如图 17 所示） ，所以只要粒子能沿半径方向进入 b 狭缝，它就能回到 S 点。根据对称性，粒子轨迹半径等于外筒半径 r0。根据能量定恒，有 qUmv21由洛仑兹力提供向心力，有 02rB由此得： .mqrU20 S Boaqd c b（图 16）Soaqd c b（图 17） r0
