1、利率期限结构的静态估计基于上交所国债的实证分析特易附刹 l 革期限结伪伪静态估计一一基于上交所国债的实证分析高荣馨(厦门大学 06 级金融系金融工程专业，福建厦门 361000)【摘要 1 本文以上海证券市场国债交易敬据为基础，分别运用息祟剥离法、多项式样条估计法、指数样条估计法、B-spline 估计、NELSON-SIEGEL 模型和扩展的 NELSON-SIEGEL 模型 SVENSSON 模型分析国内阁债利率期限结构，比较这几种立要的估计方法的拟令效采.t 荣耀词】利率期限结构;息祟剥离法;样条估计法、理|富了瞬时现期利率曲娥的平滑性得以实现，而且又不会使函数形利率期限结构是指在某个时
2、点上不问期限的利率所组成式过于复杂增加参数估计的难度。假如我们选取了 5 年和 8 年的一条利率曲蜡。由于等息果债券一定期阳的的到期收最率等为雨数的分界点，这样战们就能最终确定函数的形式如下 z 于这个期限的市场利率，所以利率期限结掏也可以表示为在某十Bo (t)皿 dc1t+b 川+a川，tE0, 5 1 个时点不同期限的尊息票债券的到期收益率所组成的一条收B(t)骂 =lB(t)=d 沪 c2t+b2t2+a2t3，t E 5,8 5 藏率幽绩。所谓静态分析，就是指对某个时点的黯个利率期限 Bs(t) =da+C3t+b3t2+a3t3, tE 怡，20结构的分析和估计。这里，对于贴现的数
3、日(T)来说，显然有时 0)=1.同时，由于宏观方面，利率期限结构具有连接货币市场与宏观经济的要满足函数平滑度以及导数的条件，右面的等式也必须成立 z 功能:而微观方面，利率期限结构则是资产 价、金融产品设 B, (T) =Bi+l (T) 计、保值和风附管理、毒利以及投机等的基准。近年来在主要工日肌(O(T):出:巳 B 队 i 川+业国家的货币政策执行中，利率期限结构正扮演着越来越建蟹 Bi (叩 T 仔 i)=揣目 B 矶i 仆川 +叶 1P)(T 叽 付) i) i 的角色。其可以从市场上交易的债券，特别是对墙约风盼的回其中 B(j)是函数 BO 的第 k 阶导数(k 啡，1，80(0
4、)=1，80 债的价格中反映出来，因此，我们就可以根据市场上交易的罔(日)耻 Bi)(份，B(i)(8)坦 Bsi)(8)，(i 盟 0，1，2)刀，55 债价格来估计和分析整个市场利率的期限结构。另外，函数还必须满足两个约束条件 z 二、利率期限结构模型简单介绍利用的柬条件，我们将参数缩减到 5 个 g23(-)息票剥离法简介日。(t)=1+bt+Ct 竹 MtE 0,8 11 息巢债券可以看成一系列不同期限的零息债券的组合，这 B(t) = lBs(t) =Bo(t) + (d-d) (t-5)3 tE 5, 8 21 蟆零息债券对应辛苦息票债券的息票和本金。息票和 l 离情是将息民(t)
5、=B(t)+(d-d) (t 叩 5)3+ (d 俨 d:J(t-8)3tE 怡，20o21 票从债券中进行剥离井在此基础上估计无息票债券利率水平前面已经给出了三次样条属敬的贴现凶数的形式，由此就的一种方法。可以通过贴现凶数始出样本债券的理论定价:如果在市场上可观察到一组到期期限时间间隔相同的附 p= 2，F(tOB(th 息剧债价格，就可以通过息祟剥离求得期限的即期利率，其基本照理;是附息罔债的价值应该等于从附息间债分离出来的仓 p 为债券舍价(包括成交价格与应计利息)，F(ti)表示债券部苓息债券的价值之和。但是，.E!.市场上债券之间的问闹不 i 所包含的未来时间 t 发钱的现金流 B(
6、t，ti)是指在米来时间均匀，那么市场上存在缺失数据点，我们所要求的利率到期期 ti 到期的零息票债券在时间 t 的价格。参数估计的标准是使样限在市场上没有债种可以阻阻，那么这种方陆就难以适用了。本的数的定价误惹(理论价格与实际价格的差别)最小。如果以所以我们般在息票剥离法中配合采用插值法来解决缺失数普涌矮小工乘法来进行估计，就是纷每个债券赋予了相等的权据问题。重。实际上，债券价格的波动主要受利率变动的影响。在利率变(二样条估计地简介动同样大小的情况下，债券的价格还要骂同时受其久期和凸度的 1.多项式样条捕筒函撤响。果然，中长期债券价格的被胡性强哥大于短期债券价格的搬多项式样条函数是由麦卡拉M
7、cculloch 提出的。它假设利动性。所以以最小二二乘估计的中长期债券的定价，误差要大于率期限结构以贴现闵形式表示，贴现因予表示为剑期期限 t 的妞期债券定价误恙。这就是在进行利率期限结构曲线拟食时无连续函数日(t)，并且它是一个多项式分段的数。在实战中多采法避免的样本异方荤特征。为了能更准确地定价，在进行最小用三阶，回为当来用二三阶时，函数连续且工阶可导遮嫂，这保证化决策时对短期债券赋予了较高的权童，根据如下公式 t-130-?时?筂求?璡?瀽僎构莹?漨?楯?琩椨?琩?椩?氢?久?琅?氢?椩櫊?扬?呩?琩?捬挳?琫?低?琫?椫?捬?搲?扉戳?琫氨?琲?沣?卉?琲?呴?汴?汴?吩?椩?十?肴
8、?呩?掸?璵?搱?捵?愲?汬?孏婶?琳琭?潣?殣?棌?玑?沣?椩?久嬵搳?椽?漨椩?低?絬?节?十?十?璵?噅?乓?协?仄?灬 楮?AhbAf 气队酌企一导业一报川川、ddr 非牛，2 出 1 岭轧R( 0, 9) f 00 (0, s) ds 口.?0+ ?)叩 exp 卜。/TL+.?2 ,-, -, -9/T J dr; t) (1 +r t (t) ) 2 可以确定式中的 rj(t)与 Oj(t)分别代表第 j种债券在时. 1-exp-9/TL-9/T exp. 9/T 间 t 的到期收益率和久期。p 为债券的市场价格.C 是每次支付 R(0，9)口。价。1 卜 exp-9/TL+ 2
9、卜exp-9/TJ-的利息，F 是债券的回值，y 是债券的重 Ij 期收益率，n 为债券剩余 exp9/1. 9/T, 付息次数，f 为付息频率，即一年内支付利息的次数。计算出每。/TJ+62l 叫 e 直 p-9/TA 叩 exp斗-9/T 2 个债券的久期 Oj(t)，然后代入极重公式，计算出每个债券的 Wj9/T2 最后，在设定目标函数时加入权重 Wjt 设定的目标函数为这个方程能够产牛远期利率陶绒的各种形状:激增、通减、水平和倒置型曲线。但是利用边种方法，我们无法推导出更为 min L w2 (Pl 句;3)2j 复杂的收插曲钱，例如 V 观和驼峰型收益幽绪。为了克服上边 2.指数桦条
10、法缺点?Svensson (994)提出了一个对 Nelson-SiegeI 模型的扩指数的数的袋减特性与利率期限结构理论有很多相近之展形式，通过再引入一个新的参数防 3，将模型表达式进行此那处，用指数函数拟合利率期限结构，要比二三次样条获得的收越个修正.率曲线11O 平扭。利用指数形式的贴现函数形式进行拟合，但日(t，t+9)口 exp(白。 ，R(t，9)由于债券定价公式是非钱性的嫩，估计参数时涉及非常复杂的从公式中可以看出，附和 NSS 模型中不论是远期利率曲钱非线性估计方法。对贴现函数进行了数学变换，提出了二三次指还是即期利率由擒，均受到?0, 1 和防 2=:个参数的影响。数样条曲钱
11、。贴现函数的一般形式为 z 参数。 。的载街为 1，是一个不会衰减到 0 极限的常数，闵而它恤。1(t, x) =80+ale 咄+8#如+a3e，tET 曲 Ta 对所有期限制感值的影响绝对值都是同步的。当到期期限。D 仇，x) =lo2(t, x) =bo+b 川+b户+b 沪 t,tETT 趋于无穷大时.R()= 0，因此。 。可以认为代表着长期利率h2 也 D3t, x) =CO+Cle-at+C2e+C3e-3et t E 飞，飞水平。参数?1 因乎是一个开始于 1.并很快地单调衰减当O3 在中 x=aO. al.a2.础.bO, bI.悦，b3.cO，clc2，c3).a，bi.的
12、凶数，因而?1 对短期利率所造成的影响较大，影响的程度 ci，i=0，1.2，3.是未知参数。TO:O，口是所有国债的最常到期期是递减的。当期限趋于 0 时，自 l=R(O)叩?O.可!?看作长短期限。利率的利楚。陈参数?2 因于是一个开始于 O.先是递增，然后根据光滑性条件，为保证分段的数的光滑件以及在分段点会逐步衰减为 0 的函数，因此 J 的影响介于自 O 和?1 之间。的光滑过搜，必须保证贴现函数在罄个定义域内连续且一、二萨 2 增加会对非常姬和非常长的到期期限利率有微弱影响，但阶连续可徽，因此其和多项式样条描值有相同约束条件。利用会增加中期的利率，网而会增加收益率由钱的弯曲度。因此，
13、约束条件，我们将符估参数减少到 6 个。假定样条的数的节点三个参数?o. . 1 和?2 也被分别称为长期因子、知期间子和地为 7 年和 10 年，则 z 中期因子。参数 控制指数的衰减率，它决定了.?l和?2D(t，云)=的衰减速度。如果 的值比较小， 1 和?2 收敛的速率比较Do(t, -x) =1-a叫时 a，e 叫时也叫户，tE 0, 7 快，能较好地拟合较快到期期限的向钱。而去T 倪较大时，D (t, -x)口 l-a，-叩 a3+(均由 b。如+a,-3 a3-b e 哺e 咽+自 1 和?2 收敬的班度较慢，它比较好地拟合较短到期期限的a+3a 俨 be 如 J+be-:拙，t
14、E7，lO23 收藏主扭曲线。在得到即期利率的表达形式后，可以求得贴现因民(t.才)= l-a，-a3+ (a3-b e 如+(b3-ce 如+a 广 3(a3-b 归咱于 t2at3 (b3-C e- e 咄叫 a2 咱(a3-be-;、3(b-c;J e 叮 e 如+c 份制 34. B 样条描值法, tE 10, 20 B 样条模础是将贴现函数化为几个葱的数的线型组合(一其中又叫时，a2，础，b3.c3.a)。般情况下选择 6 个)，然后对基函数定义，最后估计贴现函数的利用无约束最小化条件可以求得何伯参数 1 待测参数。其贴现函数形式为 zm?n L P 产工 Cj(t.) D( t.x
15、)2 日 (s)且 iECAMizct(主(H 叶?j) (叫 j)3) 3. NELSON-SIEGEL 模型及具 SVENSSON 扩展模型32，。0?，=52=10?=20问53Nelson-Sieg 咽 1 模型是 CharlesNelson 和 AndrewSiegelB-Spline可以避免凹归矩阵多重共钱性问题，它是主次样在 1987 年提出的一个参数拟什模裂。该模型通过建立远期瞬条纳闷中最基本的然函数，任何区问上的三次样条都可以自这时利率的函数，从而推倒出即期利率的函数形式。该模梢的一一序列的 n 样条的数战性组合构造出来。个最大好处就是需要害估计的参数相对较少，因此特别适合于
16、估三、基于上交所固 f 贵的实证分析计债券数量不多情况下的利率期限结构，而且这些参数都有很)样本选择明显的经济含义，使得模地本身就很容易被解释。Nelson 和为了进行有赞比较，本文将选择了 2009年 3 月 31 日上海 S?egel 公式的形式与那些描述利率动变化的常微分方程的证券交易所周债交易数据进行拟合比较，从 RESS 盯上面找的僻的表达式十分相似。数据发现，符合上路条件的潜种有 58 只。在瑞择合洁的债券 131 睾企业导如2009 年第 4 期?浩樯?晄?捩?丱椽?乥?卩?刨澡喣漫?穛侣疣?沺?泖?檡? ?弪?璵?吰?璡?戳?汳?敧?嬱侣?刨?印?溶氨玑愲?溡?砽椽?潮?敬?
17、汩?协?玑?中?呉?侣?嬱?硰?卶? 湥?橝猩?侣?砩攭慬?卩?敮?傣歬?堩?筄?曎?敧?笭?獳?数?樯?灬慯九戳? 沣?嵥愲?卖敬?潮?濑?漼?帘?玑?念?似物?慉?侣?刨?璿?憹?嬱?琩?慬?愳?卓?给?浔?璵? 氽? 慴?愲?低?绪?乳?戳?囐?慴扯崫愲?碡?愳?椨?慲?乓?戳?猽?琩?侣?愳挳?汥?硰?攩叄?汥旐?玑笭?奖?篒?沣?戳?愩?敬? ?睾?呏?敬?獯?斣?戳琫?溺?命?乥? 汳?崲憿?嬷?玛?櫖?吴?戳?湤?潮?愳?璡?孡?牥?剅?瑂?斿?侣?泒?睓?卩?镶?卓?吲?斡楥?敧?涣?硰?荥?汣?来?乥?敬?坊?斡?汳?篒琳孯?戳挳?潮?吱? 挳?睾慩?瑝斡澣?吲?攭?扩?数慬
18、?愳灻?斡?椩?権?进入估计利率期限结构的数据库时，笔者拉撒了一下几个问通过实证分析的出的结论慕本上和理论是一致的，在此，翩 z 主患者对以上分析结果进行简单的比较，1.我们知堪，信用等级相同而且剩余期限差不多的债券，1.息禀剌离法和桦条估计法倒推出其到期收益嘟(YTM)应非常相氓，沓则，债券定价不合息男号剥离怯是在假定两个最近时间之间的利率服从线性理。所以，通过计算了每只债券的到期收益率，笔者剔除掉或者非蜡性变化的条件下进行估计的，是单个利率水平从短期了 YTM 出现藏大背离的定价不合理的债券.到长期的不断单变景的求解，最踊将 i!蜡利率水平连接鹉来，2.由于刚刚发行的债券价格不是很稳定，容
19、易受到各种就构成利率期限结构:而样条估计陆则是在假定整个样本区间不同经济周素以及市场信息的影响，所以，培者去掉了 09 年发内等息票率服从某种随时间变化的函数关系的条件下进行估行的债券。计的，是对整条利率期限结构的同时估计，使用的是种错性通过以上两个步骤，剩下 19 支满足条件的债券。由于拟合的办法。2002 年 3 月 25 日以后，国债交易价格是以扣除掉祟计利息的息祟剥离法由于是不断地进行单变最求解，因此它的计算净价法表示，回此首先要加上这些债券的累计利息，得出真实误鼓相对比较小，是为样条估计怯的地择提供了一个标准。但的息果债券价格。是它假定某个时期的利率水平只跟最近两个时期的利率水平利用
20、前丽模型简介部分介绍的方讼，笔者利用 MATLAB 编钱性相关，因此对利率随期限变动的描墙上就显得简单.样条辑来拟含了如下利率期限结构。并且在以下几种方法中，笔者估计法则是进行曲线的结性拟合，因此误黯比起单费最求解来在处理现金流权童时坚持异方差假定，因为债券期限越长，越说，会相对比校大.但样条估计如果能够得出和息票剥离相近难对其价格进行估计涉及到越多的不问期限利率的估计).因的结果，则可以耀免误皇宫过大的缺陷，义可以发挥它非线性以此其方禁宽大:妞期债券依赖的贴现利率较少，因此利率的变及计算简单的优势。动引起价格变动相对长期债券来说要小的多，所以相应的其残 2.样条估计法中各具体?法比较维方撞也
21、应该相对较小。根据 2 富翁进行的对间债样本的理论价格和实际市场价格()实证结果分析的价差实证检验蝇示，在样条估计怯中，多项式样条法、日 2 样条从下面儿种利率期限结构估计结果圈来看，战们可以得出法、Nelson2Siegel 模型及 Svennson 模型相对比，多项式样条以下结论 z 怯、82 样条法在价格拟合度方面占有明显优势，估计误差比较 1.载团团愤利率期限结构是随着到期期限的增加而上升小，相比之下，能够较为真实反映不同期限的即期利率水平，在的，这句理论婴求是一戴的。到期期限越长，投资者对回报的此基础上进行的各期限债券的定价误差应该较小.NS 模型和补偿要求就越南，搞不同到期期限进行
22、分析，可以看出，对于辙 NSS 棋刑鼠然规范性较好，但价格拟合精庶牺牲较多。通过嗜期债券(0;-5)年，即期利率上升的势头明显，而中期5-8)年者参考很多业内学者的进一步研究表明.NS 和 NSS模型在反映则表现相对稳定，上升趋势有所碱缎 e 长期间债即期利率蟹高近期即期利率时表现较好，但在对到期日校长的债券定价时误于短期回债，预期理论认为这是投资者预期未来的即期利率上楚较大。8 样条法在利率期限结构的拟合精度、曲线光滑性及升所导致的，市场分割理论则认为这是长期债券流功性坡之短平稳性方丽等锦合方丽嗷果最好.因此模型构墙的利率期限期债券搅动性盏，自然要我得更高的流动性溢价。中长期和中结构与债券市
23、场隐含的期限结构有一定差异。期国债即期利率爱值较小，可能导致长期债券流动性不足，从样条估计利息票剥离陆各有自身的特点以及缺陷，将二者阁中看出中短期债券(5-8)年左右，以及中长期债券(8-12) 结合起来互相比较使用，就可以比较科学合理地对利率期限结年的即期利率曲线上升势头攒慢，即期利率相景不大，地说明构进行静态估计。每一种样条估计法又有各自不同的侧重，所长期债券的赢利街进一步上升的空间，可能导致流动性不足。础，在引用这些模型时应根据自己不同的侧重看来选择不同时 2.可以着出，几种拟舍利率期限结构总体整异不是很大，段不同期限的模型。相对来说，指数样条法估计的利率期限结构在中长期利率段和其他几种
24、估计方法的制得结果黯异比较大。说明我国的国债参考文献 g 利率期限结构已基本形成，而且，利用这几种方法拟合的利率1郑振施，陈蓉彭字，甜兴趣金融工盼.第二版.商等教宵出期限结构也是有效的。尽管我国的国债收益率曲钱符合传统版社的利率期限结构的解释，但是从即期利率翩绪也可以看出，我2)郑报龙，林海.(中国市场利率期限结构的静态估计武汉周的回愤收益率水平偏低，长期国债和姐期间愤利差较小，不金融能完全反映市场的风险状况。我国国债表现出这些特征主费(3)陈雯，陈浪商.(国债利率期限结构建模与实 ?.世界经济是由于我罔资本市场发育不充分，主要的融资方式仍然仅仅限4朱峰.(国债即期利率的拟合估计).证券市场导报于银行借贷，融资渠道狭窄，一些银行大最持有罔债，从而使国5)刘灿易璐深沪两市国债收盖率期限结构的实证研知债愤收益率偏低:问时由于我国的利率市场化尚未实现，利率水券市场平目前仍处较低水平，这也造成挠国债收鹉率较低。6彭字，谢兴相.国债利率期限结构静杏实证分析.西南交?五)静态估计方法简单比较通大学学报132 叩企业导报)2009 年第 4 期?乓?嬱?嬲?嬳嬴嬵?嬶?奔?叄?岩?嶳巁?巅?乥?汳?潮?楥?来?泄?呍?症?
