1、中考数学专题讲座 探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例 1】 （江苏镇江)探索研究如图，在直角坐标系 中，点 为函数 在第一象限内的图象上的任一xOyP214yx点，点 的坐标为 ，直线 过 且与 轴平行，过 作 轴的平行线分别交 轴，A(01)， l(0)B， Pyx于 ，连结 交 轴于 ，直线 交
2、轴于 lCQ， xHyR（1）求证： 点为线段 的中点； AQ（2）求证：四边形 为平行四边形； 平行四边形 为菱形；PRAPQxlQCPAOB HRy（3）除 点外，直线 与抛物线 有无其它公共点？并说明理由 PH214yx【思路点拨】 （2）证 ；设 ，证 AP=PQ;（3）求APQ 214m，直线 的解析式与抛物线方程 组成联立方程组，讨论方程组解的情况。PR214yx【例 2】 （福建南平）（1）如图 1，图 2，图 3，在 ABC 中，分别以 ABC， 为边，向 AB 外作正三角形，正四边形，正五边形， ED， 相交于点 O如图 1，求证： ABEDC ；探究：如图 1， O ；如图
3、 2， C ；如图 3， （2）如图 4，已知： ， 是以 为边向 AB 外所作正 n边形的一组邻边； AE， 是以 C为边向 外所作正边形的一组邻边 BD， 的延长相交于点 O猜想：如图 4， O （用含 n的式子表示） ；根据图 4 证明你的猜想【思路点拨】 （2）由正 n边形的内角定理，证 ABEDC 。【例 3】 （内江市）在一平直河岸 l同侧有 AB， 两个村庄， AB， 到 l的距离分别是 3km 和 2km，kmABa(1)现计划在河岸 l上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 13-1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为
4、1d，且 (km)P（其中 l于点 ） ；图 13-2 是方案二的示意图，设该方案中管道长度为 2，且 ()dAB（其中点 A与点 关于 l对称， AB与 l交于点 ） 观察计算（1）在方案一中， 1d km（用含 a的式子表示） ；（2）在方案二中，组长小宇为了计算 2d的长，作了如图 13-3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， 2 km（用含 的式子表示） 探索归纳（1）当 4a时，比较大小： 12_（填“” 、 “”或“” ） ；当 6时，比较大小： d（填“” 、 “”或“” ） ；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就 （当 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短
5、，应选择方案一还是方案二？【思路点拨】参考方法指导解答探索归纳（2） 。A BP l lA BPC图 13-1图 13-2lA BPC图 13-3K方法指导当不易直接比较两个正数 与 的大小时，mn可以对它们的平方进行比较：， ，2()mn0与 的符号相同(当 时， ，即 ；0当 时， ，即 ；2nn当 时， ，即 ；【例 4】 （浙江宁波）如图 1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2 开”纸、 “4 开”纸、 “8 开”纸、 “16 开”纸已知标准纸的短边长为 a（1）如图 2，把这张标准纸对开得到的“16 开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边 与长边 对齐折叠，点 落在 上的点
6、处，铺平后得ABDBADB折痕 ；AE第二步 将长边 与折痕 对齐折叠，点 正好与点 重合，铺平后得折痕 EEAF则 的值是 ， 的长分别是 ， :DB，（2） “2 开”纸、 “4 开”纸、 “8 开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值（3）如图 3，由 8 个大小相等的小正方形构成“ ”型图案，它的四个顶点L分别在“16 开”纸的边 上，求 的长EFGH， ， ， ABCDA， ， ， G（4）已知梯形 中， ， ， ，且四个顶点MNPQ 90M 2NQP都在“4 开”纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的， ， ，面积【
7、思路点拨】 （3）证 , ，设 ，建立关于HDGCF BEGCF Dxx 的方程解之；（ 4）参考图 3 分二类情形讨论。AB CDB CA DEGHFFE4 开2 开8 开 16开图 1 图 2 图 3（第 26 题）a【学力训练】1、 （山东聊城）探索研究：如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理
8、由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由2、 （山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中 ， ，90ACBDE 45A，斜边 ， 把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到30D 6cmAB7cDCD1CE1（如图乙） 这时 AB 与 CD1相交于点 ，与 D1E1相交于点 FO（1）求 的度数；1OFE（2）求线段 AD1的长；（3）若把三角形 D1CE1绕着点 顺时针再旋转 30得 D2CE2，这时点
9、B 在 D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由（甲）AC EDB B（乙）AE11CD11OF3、 （江苏盐城）如图甲，在ABC 中，ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC，BAC=90当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动试探究：当ABC 满足一个什么条件时，CFBC（点 C
10、、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由 （画图不写作法）（3）若 AC ，BC=3 ，在（ 2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF42相交于点 P，求线段 CP 长的最大值4、 （07 丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 的边 落在 轴的正ABOCx半轴上，且 ， ， =4， =6， =8正方形 的两边分别ABOCABCDEF落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形 面积将正方形 沿 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形 的重叠部分面积为 S（1）分析与计算：求正方形 的边长；DEF（2）操作与求解：正 方 形 平 行 移 动 过 程 中 ， 通 过 操 作 、 观
11、察 ， 试 判 断 （ 0） 的 变 化 情 况 是 OS；A逐渐增大 B逐渐减少 C先增大后减少 D先减少后增大AB CD EF第 28 题图图甲 图乙FEDCBAFED CBA图丙当正方形 顶点 移动到点 时，求 的值；ODEFCS（3）探究与归纳：设正方形 的顶点 向右移动的距离为 ，求重叠部分面积 与 的函数关系xSx式探究操作性问题【典型例题】【例 1】 （江苏镇江)（1）由题可知 1AOCQ， ，90AOHQCH ，即 为 的中点（2）由（1）可知 ， ，ARQP， ，ARP PHQ ，又 ， 四边形 为平行四边形 AR设 ， 轴，则 ，则 214Pm， Py (1)Qm， 214
12、Pm过 作 轴，垂足为 ，在 中，GytAG22211144AP PQAyxBCODE F（备用图）A xBC平行四边形 为菱形APQR（3）设直线 为 ，由 ，得 ， 代入得：ykxbOHC2m， 214P，直线 为 201.4mkb， 21.4mb， PR214yx设直线 与抛物线的公共点为 ，代入直线 关系式得：PR2x， ，解得 得公共点为 22104mx21()04mx214m，所以直线 与抛物线 只有一个公共点 PH2yxP【例 2】 （福建南平）（1）证法一： ABD 与 CE 均为等边三角形，AD，且 60BCE，即 120， 9， 7（2） 36n证法一：依题意，知 BAD和
13、 CE都是正 n边形的内角，ABD， E， (2)180nCAAE，即 BDACBE D， 180O， 180O13 分360ABODABOC， 180BCDA(2)18180nCn【例 3】 （内江市）观察计算（1） 2a；（2） 4探索归纳（1） ； ；（2） 222()(4)0daa当 40，即 5时， 12d， 12d 12d；当 ，即 时， ， ；当 420a，即 5a时， 210d， 120d 12d综上可知：当 时，选方案二；当 5时，选方案一或方案二；当 1（缺 不扣分）时，选方案一【例 4】 （浙江宁波）（1） （2）相等，比值为 214a， ， 2（3）设 ，DGx在矩形
14、中， ，ABC90D， ， ，90HFHCGFHDGCF ，12x同理 BE， ， FGFBEC 14BFCax， ，解得 即 CFB1224xa214xa214DGa（4） ， 2316a278【学力训练】1、 （山东聊城） （1）设正方形的边长为 xcm，则(02)84x即 9解得 1（不合题意，舍去） ， 21剪去的正方形的边长为 1cm（注：通过观察、验证直接写出正确结果给 3 分）（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2，则 y与 的函数关系式为：(10)2(8)即 36改写为 914yx当 2.5时， 0.5最 大 即当剪去的正方形的边长为 2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2若按图 1 所示的方法剪折，则 与 x的函数关系式为：022(8)yA即 31696x当 时， y最 大 若按图 2 所示的方法剪折，则 y与 x的函数关系式为：图 1图 2
