1、2012 年惠安县普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） ，第卷第 21 题为选考题，其他题为必考题.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 保持答题卡卡面清洁，不折
2、叠，不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式： 样本数据 的标准差 锥体体积公式12,nxL2()()nsxxn 13VSh其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式，VSh 24R3其中 为底面面积， 为高. 其中 为球的半径.h第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“ ， ”的否定是（ ）xR30xA ， B ，xR30xC ， D ，2集合 ， ，则 与 关系正确的是（ ）|1Py|2xQyPQA B C DPIPQRU3某种菜
3、籽在相同的条件下发芽试验，结果如下表：种子粒数 130 310 700 1500 2000 3000 5000发芽粒数 116 286 639 1339 1810 2097 4515发芽频率 0.892 0.922 0.913 0.893 0.905 0.899 0.903根据上表，可以推断种子发芽的概率最有可能为（ ）A0.80 B0.85 C0.90 D0.924设 ，则 中最大的数是（ ）72701(1)xaxaxL0127,aLA B C D 和3453a45 “ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）1m10xmy2xyA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
4、6. 已知直线 ，平面 ，且 ， ，给出下列四个命题：,l,l若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，/l /lm/l则 .其中正确命题的个数是（ ）A0 B 1 C2 D37函数 为奇函数，且在 上为减函数的 值可()sin2)3cos()fxx,04以是（ ）A B C D365638阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序从输出的点 中任取一(,)xy点，则该点落在不等式组 所表示的平面区域内的概率为（ 302xy）A B C D13165159已知定义在 上的奇函数 的图像连续不断，导函数为 ，当R()fx()fx时，恒有 ，设 ，则满足)0,(x)(xfF的实数 的取值范围是（ ）2
5、FA B C D1,(1,2)1,2()10.在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线 与 轴的交点为 过抛物线上xOy24yxlxM一点 作准线 的垂线 ，垂足为 ，若 、 、 依次成等比数列，PlPN|P|O|PN则 的值为（ ）|MA B C D2224第卷 （非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置11若复数 ， 是虚数单位，则 1iz|z12设等差数列 na的前 项和为 nS，若 ，376a则 9S13已知 ， ，则(,)2si()5主视图 61侧视图俯视图 2tancos()414某几何体的三视图如右图所示，则该几
6、何体体积的最大值为 . 15对于函数 ，如果存在锐角 ，使得将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 ，fx()fx所得曲线仍是一个函数的图象，则称函数 具有旋转性给出如下函数： ； ； ； 12()f()xfe()ln(1)f()sinfx其中，对任意 ，均具有旋转性的函数的序号为 （写出所有满足条0,4件的函数的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 13 分）某机床厂每月生产某种精密数控机床 10 件，已知生产一件合格品能盈利 8 万元，生产一件次品将会亏损 2 万元为了估计该机床厂的盈利能力，相关部门对近 24 个月中
7、，每月生产的合格品的数量（单位：件）进行统计，结果如下：月产合格品数量（件） 7 8 9 10频数 8 10 4 2频率 135216假设生产该精密数控机床任何两件之间合格与否相互没有影响，将频率视为概率（）试估计机床厂今年第三季度中，恰有两个月生产的合格品不少于 8 件的概率；（）求机床厂每月盈利额 的数学期望17 （本小题满分 13 分）如图，在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 轴为始边作任意角 ，它们xOyOx,的终边与单位圆 的交点分别为 ,AB（）设 ， ，求 ；1057ur（）试证明差角的余弦公式 ():cos()csosinC18 （本小题满分 13 分）如图 1，在等腰梯形 中
8、， ， ， ， 为 上一点，ABCD/B1AD3BCE且 ， 将梯形 沿 折成二面角 ，设其大小2BE1E为 xyA BO终边终边xyABO终边终边（1）（2）（）在上述折叠过程中，若 ，请你动手实验并直接写出直线 与9018CD平面 所成角的取值范围（不必证明） ；ABED（）当 时，连结 ， ， ，得到如图 2 所示的几何体 ，90CADABE（i）求证：平面 平面 ；BE（ii）在平面 上是否存在点 ，使得线段 的中点 在平面 上，MN若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由19 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且过双曲线Ex32的顶点
9、21xy（）求椭圆 的方程；（）命题：“设 、 是双曲线 上关于它的中心对称的任意两点，MN21y为该双曲线上的动点，若直线 、 均存在斜率，则它们的斜率之积为PPN定值，且定值是 ”试类比上述命题，写出一个关于椭圆 的类似的正确命2 E题，并加以证明；（）试推广（）中的命题，写出关于方程 （ ， 不同时21mxny0,mn为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.20 （本小题满分 14 分）已知函数 ， ()lnfxaR（）当 时，求 的极值；1()fx（）讨论函数 的零点个数；y（）设数列 ， 均为正项数列，且满足nb，1212nabaLL求证： bba21本题设有（1） 、 （2）
10、 、 （3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 个小题作答，满分14 分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.AB CED图 2AB CDE图 1（1） （本小题满分 7 分）选修 42：矩阵与变换已知 经过矩阵 的变换后变成 ，且 ， ，ABCMABC(1,0)(,)B， ， (0,)(1,0)(,1)（）求矩阵 ，并说明它的变换类型；（）试求出点 的坐标及 的逆矩阵 1（2） （本小题满分 7 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数） 在极坐标xOyl ,xty系
11、（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为Ox极轴）中，曲线 的方程为 C5（）求曲线 的直角坐标方程；（）设曲线 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求l,MNP(1,0)的值|PMN（3） （本小题满分 7 分）选修 45：不等式选讲设不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同21|xx20axb（）求 ， 的值；ab（）求函数 的最大值，以及取得最大值时 的值.()3fbx2012年惠安县普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
12、查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分.三、解答右端所标注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分，满分 50 分1D 2A 3C 4B 5C 6C 7D 8A 9B 10B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 20 分111 1227 13 14 15 12012
13、三、解答题：本大题共6小题 ，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16本小题主要考查概率与统计、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想满分 13 分解：（）机床厂每月生产的合格品不少于 8 件的概率为 ， 2 分123所以，今年第三季度中，恰有两个月生产的合格品不少于 8 件的概率 6 分2314()9PC（）设 表示机床厂每月生产合格品的数量，则 ， 8 分51()7808262E因为 ， 10(0)分所以， ， 12)()6E分答：该工厂每月盈利额 的数学期望为 60 万元 13分17本小题主要考查三角函数的定义、向量数量积等基础
14、知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等满分 13 分解：（）方法一：由已知，得 的夹角为 ， ， 2,OABur30|1OABur分 6|cos2OABurr分方法二：由三角函数的定义，得点 ， ， 2(cos105,in)(s75,in)B分6 分3csi10icos(1057)2ABur（）设 的夹角为 ，,O因为 ，所以， 8 分|1r |OABurru另一方面，由三角函数的定义，得 ， ，(cos,in)(cos,in)B， 10cossinABu分故 ，由于 ， ， 12 分2,kZco()cs所以， 13 分cos()cssin18本小题主要考查
15、空间线面关系、空间角等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力以及推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 13 分解：（）直线 与平面 所成角的取值范围为 3CDABE(0,4分（） （i）在图 1 中，过点 作 ，交 于 ，由平几知识易得/FDBCF，DEBC在图 2 中， ，又 ， ，,DEBCE90BBEC两两互相垂直， 5 分,又 ， 平面 ， 平面 ，,ADCAD又 平面 ， 平面 平面 8 分A（ii）以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，E,BCED,xyzExyz如图所示则 ， ， ， ， ，(0,)(10)A(2,0)(1)(0,1)D9 分假设在平面
16、 上存在点 ，使得线段 的中点 在平面,MMN上，则点 的坐标为 ，且存在实数 ，使得N()2xy,，EAC10 分又 ，11 分1(,)(,0)(,10)2xyE即 点 ，12 分,21,y,2xy(1,20)M故存在满足条件的点 ，其轨迹是平行于直线 ，且与直线 的距离EC及与点 的距离均为 1 的直线 13 分B19本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等满分 13 分解：（）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ，E21(0)xyabc则 ， ，31,2ca22
17、1,4cc椭圆 的方程为 5 分E241xyzAB CEDAB CDE图 1F图 2（）关于椭圆 的正确命题是：设 、 是椭圆 上关于它的中心对称EMN241xy的任意两点， 为该椭圆上的动点，若直线 、 均存在斜率，则它们的PP斜率之积为定值，且定值是 146 分证明如下：设点 ， ， ， 7 分(,)xy0(,)y0(,)Nxy直线 、 的斜率分别为 ，PMPMk则 ， 8 分200Nk点 ， 在椭圆上，(,)xy(,)y，且 ，2412041x， 即 ，9 分02014yx所以， （定值） 104PMNk分（）关于方程 （ ， 不同时为负数）的曲线的统一的一般21mxny0,mn性命题是
18、：设 、 是方程 （ ， 不同时为负数）21xy0,mn的曲线上关于它的中心对称的任意两点， 为该曲线上的动点，若直线 、PPM均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是 .PN13 分20本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想以及有限与无限思想满分 14 分解：（）当 时， （ ） ，1a1()fx0x当 时， ，当 时， ，0()0fx在 上递增，在 上递减，()fx,(1,)当 时， 取得极大值 ，无极小值4 分1()fx（）方法一，由 ，得 （*） ，0lnxa令 ，则 ， 5
19、 分ln()gx21()g当 时， ，当 时， ，0exe()0gx在 上递增，在 上递减，,)， 6 分max()()又当 时， ；当 时， ，8 分0gxeln()0xg当 或 时，方程（*）有唯一解，当 时，方程（*）有两0a1e10ae个不同解，当 时，方程（*）无解，所以，当 或 时， 有 1 个零点；e()yfx当 时， 有 2 个零点；10a()f当 时， 无零点 10 分eyx方法二，由 ，得 ，()0flnax的零点个数为 和 的图象交点的y个数 5 分由 和 的图象可知：lnyxa当 时， 有且仅有一个零点； a()f6 分当 时，若直线 与 相切，设切点为0yxln，因为
20、 ，(,)Pxy1(l)，得 ， ，0ln1k切 ek切 故当 时， 有且仅有一个零点； 8ae()yfx分当 时， 有两个零点；当 时， 无零点，10()f 1ae()yfx综上所述，当 或 时， 有 1 个零点；0a1e()yfx当 时， 有 2 个零点；e()yfx当 时， 无零点 10 分1（）由（）知，当 时， (0,)ln1x， ，从而有 ，,nabQlalnnbab即 （ ） ， 12 分ln*N，111inbiii b，即 ，22nnaabLL110niiab，即 ，1ln0ibi12l()0nba 14 分2n21 （ 1） （本小题满分 7 分）选修 42:矩阵与变换xyO
21、本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想等满分7 分.解：（）设 M ，依题意得 ，且 ，a bc d a bc d10 10 a bc d 1 1 0 1Error! 解得，Error!M ，它是沿 x 轴方向的切变变换 4 分1 10 1（） ，故点 C的坐标是（1，1），1 10 1 0 1 1 1又 ， 7 分|0（2） （本小题满分 7 分）选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 7 分解：（）由 ，得 ， ，5225xy曲线 的直角坐标方程为 3 分C（）把直线的参数方程代入
22、到曲线 的直角坐标方程，得 ，C2(1)5tt即 ，由于 ，故可设 是上述方程的两实根，所以 ，20t3012,t 12t又直线 过点 ，故由上式及 t的几何意义，l(1,)P得 2|4MNt7 分（3） （本小题满分 7 分）选修 45：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、一元二次不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想等满分 7 分解：（）不等式 的解集为 ，21|x|13x或所以，不等式 的解集为 ，0ab|x或 3 分4,3ab（）函数的定义域为 ，显然有 ，由柯西不等式可得：5,y，25)()3(4534 22 xxxxy当且仅当 时等号成立，即 时，函数取得最大值5107.257 分
