1、- 1 -15.1 曲边梯形的面积15.2 汽车行驶的路程明目标、知重点1了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 x a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间 a， b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限
2、2求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为 v v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 a t b 内所作的位移 s.情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线 x a， x b(a b)，y0 和曲线 y f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？- 2 -探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题 如图，如何求由抛物线 y x2与直线 x1
3、， y0 所围成的平面图形的面积 S?思考 2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线 x1， y0 和曲线 y x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好Sn Si (
4、)2 xni 1ni 1i 1n ( )2 (i1,2， n)ni 1i 1n 1n0 ( )2 ( )21n 1n 1n n 1n 1n 122 2( n1) 21n3 (1 )(1 )13 1n 12n S Sn (1 )(1 ) .limn lim n 13 1n 12n 13- 3 -求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成思考 4 在“近似代替”中，如果认为函数 f(x) x2在区间 ， (i1,2， n)上的i 1n in值近似地等于右端点 处的函数值 f( )，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也in in是 吗？取任意 i ， 处的函数值 f
5、( i)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？13 i 1n in答 以上方法都能求出 S .我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲” ，在极13限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线 x0， x1， y0 和曲线 y x2所围成的图形的面积解 (1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：0， ， ， ， ， ， ， ， ，1，1n 1n 2n 2n 3n i 1n in n 1n每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2， Sn.(2)近似代替在区间 ， (i1,2， n)上
6、，以 的函数值 2作为高，小区间的长度 xi 1n in i 1n (i 1n )作为底边的小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即1n Si( )2 .i 1n 1n(3)求和- 4 -曲边梯形的面积近似值为S Si ( )2ni 1ni 1i 1n 1n0 ( )2 ( )2 ( )21n 1n 1n 2n 1n n 1n 1n 122 2( n1) 21n3 (1 )(1 )13 1n 12n(4)取极限曲边梯形的面积为S (1 )(1 ) .limn 13 1n 12n 13反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割近似代替求和取极限；(3)
7、关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练 1 求由抛物线 y x2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 y x2为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线 y x2(x0)与直线 x0， y4 所围图形面积 S 阴影 的 2 倍，下面求 S 阴影由Error!，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线 x0， x2， y0 和曲线 y x2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n 等分，- 5 -则 x ， 取 i .2n 2i 1n(2)近似代替求和Sn 2ni 12i 1n 2n 122 23 2( n1) 28n3 (1 )(1 )83 1n 1
8、2n(3)取极限S Sn (1 )(1 ) .limn lim n 83 1n 12n 83所求平面图形的面积为 S 阴影 24 .83 1632 S 阴影 ，323即抛物线 y x2与直线 y4 所围成的图形面积为 .探究点二 求变速运动的路程323思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答 物体以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 s vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间 t 分割成许多“小段” ，在每一“小
9、段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题例 2 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 s vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t) t22(单位：km/h)，那么它在 0 t1 这段时间行驶的路程是多少？解 分割将时间区间0,1分成 n 个小区间，0， ， ， ， ， ， ， ，1n 1n 2n 2n 3n i 1n in， ，1，n 1n则第 i 个小区间为 ， (i1,2， n)i 1n in(2)近似代替第 i 个小矩形的高为 v( )，i 1n- 6 - si v( ) ( )2
10、2 .i 1n 1n i 1n 1n(3)求和sn ( )221nni 1 i 1n 021 22 2( n1) 221n3 2 (1 )(1 )2.n 12n 16n2 13 1n 12n(4)取极限s sn (1 )(1 )2 .limn lim n 13 1n 12n 53这段时间行驶的路程为 km.53反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数 v(t) t22 在t0， t1， v(t)0 形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现跟踪训练 2 有
11、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻 t 的速度为 v(t)3 t22(单位：km/h)，那么该汽车在 0 t2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将它分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为， (i1,2， n)，其长度为 t .每个时间段上行驶的路程记2i 1n 2in 2in 2i 1n 2n为 si(i1,2， n)，则显然有 s si.ni 1(2)近似代替取 i (i1,2， n)，用小矩形的面积 s i近似地代替 si，于是2in si s i v( ) t2in3( )222in 2n (i1,
12、2， n)24i2n3 4n- 7 -(3)求和sn s i ( )ni 1ni 124i2n3 4n (122 2 n2)424n3 424n3 nn 12n 168(1 )(1 )4.1n 12n从而得到 s 的近似值 s vn.(4)取极限s sn 8(1 )(1 )4limn lim n 1n 12n8412.所以这段时间内行驶的路程为 12 km.1把区间1,3 n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1n 2n 3n 12n答案 B解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为 .2n2函数 f(x) x2在区间 上( )i 1n ，
13、inA f(x)的值变化很小B f(x)的值变化很大C f(x)的值不变化D当 n 很大时， f(x)的值变化很小答案 D解析 当 n 很大，即 x 很小时，在区间 ， 上，可以认为 f(x) x2的值变化很小，i 1n in近似地等于一个常数3在“近似代替”中，函数 f(x)在区间 xi， xi1 上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值 f(xi)B只能是右端点的函数值 f(xi1 )- 8 -C可以是该区间内任一点的函数值 f( i)( i xi， xi1 )D以上答案均正确答案 C4求由曲线 y x2与直线 x1， x2， y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则12面积的
14、近似值(取每个小区间的左端点)是_答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为1， ， ， ， ， ， ， ， ，2，65 65 75 75 85 85 95 95于是所求平面图形的面积近似等于(1 ) 1.02.110 3625 4925 6425 8125 110 25525呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割： n 等分区间 a， b；(2)近似代替：取点 i xi1 ， xi；(3)求和： ( i) ；ni 1f b an(4)取极限： s ( i) .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，limn ni 1f b an为了计算方便，可以取区间上
15、的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1当 n 很大时，函数 f(x) x2在区间 ， 上的值，可以近似代替为( )i 1n inA f( ) B f( )1n 2nC f( ) D f(0)in答案 C2在等分区间的情况下 f(x) (x0,2)及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形11 x2式正确的是( )- 9 -A. B. limn n i 111 in2 2n lim n n i 111 2in2 2nC. ( ) D. nlimn n i 1 11 i2 1n lim n n i 111 in2答案 B解析 x .2 0n 2n和式为 n i 111 2in2 2n
16、应选 B.3把区间 a， b (ab)n 等分之后，第 i 个小区间是( )A ， i 1n inB (b a)， (b a)i 1n inC a ， a i 1n inD a (b a)， a (b a)i 1n in答案 D解析 区间 a， b(ab)长度为( b a)， n 等分之后，每个小区间长度均为 ，b an第 i 个小区间是 a (b a)， a (b a)(i1,2， n)i 1n in4一物体沿直线运动，其速度 v(t) t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为( )A. B.13 12C1 D.32答案 B解析 曲线 v(t) t 与直线 t0， t1，横轴围
17、成的三角形面积 S 即为这段时间内物体12所走的路程5由直线 x1， y0， x0 和曲线 y x3所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形- 10 -面积的的近似值(取每个区间的右端点)是( )A. B.119 111256C. D.1127 2564答案 D解析 将区间0,1四等分，得到 4 个小区间：0， ， ， ， ， ， ，1，以每个14 14 12 12 34 34小区间右端点的函数值为高，4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S( )3 ( )3 ( )3 1 3 .14 14 12 14 34 14 14 25646若做变速直线运动的物体 v(t) t2，在 0 t
18、a 内经过的路程为 9，则 a 的值为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 将区间0， an 等分，记第 i 个区间为 ， (i1,2， n)，此区间长为 ，ai 1n ain an用小矩形面积( )2 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ( )ain an n i 1 ain2 (122 2 n2) (1 )(1 )近似地等于速度曲线 v(t) t2与直线an a3n3 a33 1n 12nt0， t a， t 轴围成的曲边梯形的面积依题意得 (1 )(1 )9，limn a33 1n 12n 9，a33解得 a3.7求直线 x0， x2， y0 与曲线 y x2所围成的曲边梯形的面积解
19、 令 f(x) x2.(1)分割将区间0,2 n 等分，分点依次为x00， x1 ， x2 ， xn1 ， xn2.2n 4n 2n 1n第 i 个区间为 ， (i1,2， n)，每个区间长度为 x .2i 2n 2in 2in 2i 2n 2n(2)近似代替、求和取 i (i1,2， n)，2inSn f( ) xn i 1 2in- 11 - ( )2 i2n i 1 2in 2n 8n3 n i 1 (122 2 n2)8n3 8n3 nn 12n 16 (2 )43 3n 1n2(3)取极限Sli Snli (2 ) ，mn m n 43 3n 1n2 83即所求曲边梯形的面积为 .8
20、3二、能力提升8. _.n i 1in答案 n 12解析 (12 n)n i 1in 1n .1n nn 12 n 129在求由抛物线 y x26 与直线 x1， x2， y0 所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成 n 个小区间，则第 i 个区间为_答案 ， n i 1n n in10已知某物体运动的速度为 v t， t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案 55解析 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为 n(n1,2，10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 s1(1210)55.1
21、1已知自由落体的运动速度 v gt，求在时间区间0， t内物体下落的距离解 (1)分割：将时间区间0， t分成 n 等份把时间0， t分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 t， (i1,2， n)，i 1n itn每个小区间所表示的时间段- 12 - t t ，itn i 1n tn在各个小区间物体下落的距离记作 si(i1,2， n)(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在 t， 上任取一时刻 i(i1,2， n)，i 1n itn可取 i使 v( i) g t 近似代替第 i 个小区间上的速度，i 1n因此在每个小区间上自由落体 t 内所经过的距离可近似表
22、示为tn si g t (i1,2， n)i 1n tn(3)求和：sn si g tn i 1 n i 1 i 1n tn 012( n1)gt2n2 gt2(1 )12 1n(4)取极限： s gt2(1 ) gt2.limn 12 1n 12即在时间区间0， t内物体下落的距离为 gt2.12三、探究与拓展12某物体做变速运动，设该物体在时间 t 的速度为 v(t) ，求物体在 t1 到 t2 这段6t2时间内运动的路程 s.解 (1)分割：将区间1,2等分割成 n 个小区间1 ，1 (i1,2， n)，区间长i 1n in度为 t ，每个时间段内行驶的路程记为 si(i1,2， n)，1n则 sn si.ni 1(2)近似代替： i1 (i1,2， n)，i 1n si v(1 ) t6( )2i 1n nn i 1 1n- 13 - (i1,2， n)6nn i 12(3)求和：sn ni 1 6nn i 12ni 1 6nn in i 16 n( )1n 1n 1 1n 1 1n 2 12n 1 12n6 n( )3.1n 12n(4)取极限：s sn3.limn
